九年级数学第5讲 二次函数的图象及其性质(一)_教案

教学过程

一、课堂导入

函数是研究两个变量在某变化过程中的相互关系，我们已学过正比例函数，反比例函数和一次函数．看下面两例子中两个变量之间存在怎样的关系．

例如1 正方形的边长是x，面积y与边长x之间的函数关系如何表示？

解：函数关系式是y=x2(x＞0)

次问题中x是y的函数，是什么函数呢？

本节课将主要探讨这样的函数——二次函数的图象及其性质

二．复习预习

教师活动

1、上节课作业检查及知识点回顾，解决上节课遗留的问题。

2、本节课知识点讲解：

（1）二次函数的定义。

（2）二次函数的一般式。

（3）二次函数的图像。

3、本节课重点题型讲解分析。

4、本节课常考知识点对应的题型及解题思路和方法总结。

学生活动

1、讲解上节课所留作业中典型试题的解题方法。

2、回答上节课所讲相关知识点，找出遗漏部分。

3、课堂笔记及教师补充知识点的记录。

4、重点知识点对应典型试题训练，并且通过训练归纳总结常考题型的解题思路和方法。

三、知识讲解

1.二次函数的概念

情景创设

1．什么叫函数？它有几种表示方法？

2．什么叫一次函数？(y=kx+b)自变量是什么？函数是什么？常量是什么？为什么要有k≠0的条件？k值对函数性质有什么影响？(复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念，加深对函数定义的理解．强调k≠0的条件，以备与二次函数中的a进行比较．)

例1农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？

解：函数关系式是y=50(1＋x)2，即y=50x2+100x+50(写在黑板上)

由以上两例，启发学生归纳出(1)函数解析式均为整式(这表明这种函数与一次函数有共同的特征)．(2)自变量的最高次数是2(这与一次函数不同)．

讲解新课

二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c为常数)的函数叫做二次函数．

巩固对二次函数概念的理解：

1．强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．

2．在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如例1中，x＞0．

3．在y=50x2＋100x＋50中，a=50，b=100，c=50．

4．为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)

5．b和c是否可以为零？由例1可知，b和c均可为零．

若b=0，则y=ax2＋c；若c=0，则y=ax2＋bx；若b=c=0，则y=ax2．

以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c 是二次函数的一般形式．

2.二次函数的图像。

情境导入

我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数x

y 3=

的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？

（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？

（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？

同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？

你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？

总结归纳：

1.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象是抛物线，是轴对称图形；

2.当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线的开口向下；∣a∣越小抛物线的开口越大；∣a∣越大抛物线的开口越小；

易错点1：忽视二次项系数0≠a 出错。

例：已知32)4(232-+-=--x x m y m m 是二次函数，求m 的值。

错解：根据题意，有2232=--m m ，即0432=--m m .

解得11-=m ，42=m 。

错解分析：根据二次函数的定义，要使32)4(232-+-=--x x m y m m 是二次函数，m 不但应满足2232=--m m ，还应满足04≠-m ，二者缺一不可，上述解法因忽略了04≠-m ，而导致错误。

正解：根据题意知⎩

⎨⎧≠-=--042232m m m ，解得1-=m 。

易错点2：忽视函数图像的平移与对称轴的变化关系出错。

例：已知二次函数22x y =，将此函数的图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则平移后得到的函数关系式为 。

错解：3)2(22++=x y 。

错解分析：写出平移后得到的函数关系式的关键是确定函数图像的顶点坐标，因为函数22x y =的顶点坐标是），（00，将其图像向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的函数图像的顶点坐标是)32(--，，由于平移前后函数图像的开口大小和方向不变，所以得到的二次函数的关系式为3)2(22-+=x y 。

正解：3)2(22-+=x y 或5822++=x x y 。

易错点3：忽视自变量的取值范围出错。

例：已知12+=x y ，当52≤≤x 时，求它的最大值与最小值。

错解：因为12+=x y 的图象开口向上，顶点坐标（0,1），所以函数的最小值为1，此函数没有最大值。

错解分析：函数12+=x y 与函数12+=x y （52≤≤x ）的图象不同，函数12+=x y （52≤≤x ）的图象是函数1

2+=x y 的图象的一部分，对于12+=x y ，自变量的取值是全体实数，它的函数有最小值，没有最大值，当自变量的取值限定在一定的范围内时，函数的最值可能要发生一定的变化。

正解：因为12+=x y ，当0>x 时，y 随x 的增大而增大，所以12+=x y （52≤≤x ），当2=x 时，函数的最小值为5；

当5=x 时，函数的最大值为26.

易错点4：忽视二次函数的符号出错。

例：若二次函数142-++=m x mx y 的最小值为2，求m 的值。