专题06不定方程

专题06 不定方程

考点一二元一次不定方程的整数解问题

考点点拨

典例精选

1．（新编）方程27x+81y＝9999的整数解有几组（）

A．0B．1C．2D．多于2

【点拨】将原式化简，变为x+3y=1111

3，利用反证法，假设左侧有整数解，则与右侧不是整数相矛盾，

得出此题无整数解．

【解析】解：显然，方程两边同时除以9，得到：3x+9y＝1111

等式的两边同时除以3，得到：

x+3y=1111 3，

要是有整数解时，方程左边是整数，右边因1111不能被3整除必不能是整数，矛盾．

因此整数解0组．

故选：A．

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，关键是利用“整数”这个条件和二元一次方程有无数组解，进行推理．

2．（新编）某书店有11种杂志，2元1本的8种，1元1本的3种，小张用10元钱买杂志（每种至多买1

本，10元钱刚好用完），则不同买法的总数是 266 ．

【点拨】先根据组合公式求出都买2元的有多少种情况，再求出1元的2本，2元的就得4本共多少种情况，相加即可．

【解析】解：首先，都买2元的，就是从8本书中任意选5本这样就有：

C 85=8×7×6×5×45×4×3×2×1

=56种， 其次，买1元的2本，2元的就得4本，这样就是从3本1元的里面选2本出来然后又从8本2元的里面选4本出来：

C 32•C 84=3×2×12×1×8×7×6×54×3×2×1

=210种． ∴56+210＝266种．

故答案为：266．

【点睛】此题考查了组合数公式的应用，难度不答大，要知道，不仅涉及组合数公式，还要用到乘法原理．

3．（新编）求方程6x +22y ＝90的非负整数解．

【点拨】首先对原方程进行化简，先根据一组解求得原方程整数解的表示形式，再求原方程的非负整数解即可．

【解析】解：因为6，22都能被2整除，所以方程两边同除以2得：

3x +11y ＝45．①

由观察知，x 1＝4，y 1＝﹣1是方程3x +11y ＝1②

的一组整数解，从而方程①的一组整数解为

{x 0=45×4=180y 0=45×(−1)=−45

由定理，可得方程①的一切整数解为

{x =180−11t y =−45+3t

（t 为整数）， 因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有

180﹣11t ≥0 ③，

﹣45+3t ≥0 ④，

由于t 是整数，由③，④得15≤t ≤16，所以只有t ＝15，t ＝16两种可能．

当t ＝15时，x ＝15，y ＝0；当t ＝16时，x ＝4，y ＝3．

所以原方程的非负整数解是

{x =15y =0

，{x =4y =3． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解法和求方程的非负整数解．当没有条件限制时，方程的解有无数个．求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．

4．（新编）求11x +15y ＝7的整数解．

【点拨】首先将原方程变形，以求得符合条件的一组整数解，再利用参数表示出所有的整数解即可．

【解析】解：方法1：将方程11x +15y ＝7变形得：x =

7−15y 11

， ∵x 是整数，

∴7﹣15y 应是11的倍数．

由观察得x 0＝2，y 0＝﹣1是这个方程的一组整数解，

∴方程的解为：{x =2−15t y =−1+11t

（t 为整数）． 方法2：先考察11x +15y ＝1，

通过观察易得：11×（﹣4）+15×（3）＝1，

∴11×（﹣4×7）+15×（3×7）＝7，

可取x 0＝﹣28，y 0＝21．

∴方程的解为：{x =−28−15t y =21+11t

（t 为整数）． 【点睛】此题考查了二元一次不定方程的知识．注意二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t 做适当代换，就可化为同一形式．

5．（新编）用S （n ）表示自然数n 的数字和，如S （1）＝1，S （12）＝3，S （516）＝12，等等， 试问是否存在这样的自然数n ，使得n +S （n ）＝2008？请说明理由．

【点拨】先弄清S （n ）与自然数n 的关系，根据关系列出等式，得到二元一次方程组，并确定x 、y 的取值范围，进而推知x 、y 的整数解与n 的取值范围．

【解析】解：n ＝1985或2003（2分）（每个1分）

∵n +S （n ）＝2008，

∴1900＜n ＜2008，

则可设n ＝1900+10x +y 或n ＝2000+10x +y ，

其中0≤x ≤9，0≤y ≤9，且x ，y 为整数．（4分）

（1）若n ＝1900+10x +y ，

则1900+10x +y +1+9+x +y ＝2008，

即11x +2y ＝98，

∴{x =8y =5

，n ＝1985．（8分） （2）若n ＝2000+10x +y ，

则2000+10x +y +2+x +y ＝2008，

即11x +2y ＝6，

∴{x =0y =3

，n ＝2003． ∴n ＝1985或2003．（12分）

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，同时是一道材料分析题，需要通过阅读，得到解题的信息，再加以分析．

6．（潮安区）已知关于x 的方程9x ﹣3＝kx +14有整数解，求满足条件的所有整数k 的值．

【点拨】将原式转化，得到（9﹣k ）x ＝17，根据x 与k 均为整数，即可推出k 的值．

【解析】解：9x ﹣3＝kx +14，

（9﹣k ）x ＝17，

∵x ，k 都是整数，

∴（9﹣k ），x 都是整数，

∴9﹣k ＝﹣17，﹣1，1或17，

∴k ＝26，10，8，﹣8．

【点睛】此题考查了二元一次不定方程的整数解，根据“整数”这一条件即可将方程的解限制在有限的范围内通过试解即可得到k 的值．

精准预测

1．方程|x |+|y |﹣3＝0共有（ ）组不同的整数解（x ，y ）

A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

【点拨】分别求出当|x |＝0、|x |＝1、|x |＝2、|x |＝3时y 的值，然后即可求出所有的整数解．

【解析】解：原方程化为：|x |+|y |＝3，

当|x |＝0时，|y |＝3，y ＝±3；

当|x |＝1时，|y |＝2，y ＝±2；