3.4 线性方程组的解(教案)
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此时，方程组有无数多个解，其全部解为：
【思考】解法1和解法2的比较？（比较发现，解法2较解法1简 单，但解法2只适合于系数矩阵为方阵时的情形。）
由定理1容易得到下面的定理2和定理3，将线性方程组推广到 矩阵方程，又可以得到下面的定理4。
定理2 线性方程组有解的充分必要条件是。 定理3 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。 例4 （自学P72 例10）
说明：将以上的解题过程一般化，则可以得到定理1的证明。
定理1部分证明： 设，对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，总可以化 为下面的行最简形： 记，则线性方程组同解于方程组（要能写成相应的线性方 程组形式）。 (1)当时，方程组无解，而此时。 (2)反之，若，则，方程组有无数解（有效方程个数小于未知数 个数）。对应的方程组为:
定理4 矩阵方程有解的充分必要条件是。
证明：设为矩阵，设为矩阵，设为矩阵，把和按列分块，记为，则 矩阵方程等价于个向量方程。
（1）充分性：设，由于
∴。 由上面的定理2的结论知都有解，故矩阵方程有解。 （2）必要性：矩阵方程 有解，则都有解，设它们的解分别为 记，其中是矩阵的列向量，则有 对矩阵 作初等列变换可以把的第列都变成了0向量，即， 证
令，即得方程组的含有个参数的解: 由于参数可以任意取值，所以方程组有无数个解。（当取
定一组值，上式将得到原方程组的一组解，因此称之为原方程组的通 解。）
(3)若，则的增广矩阵进行初等行变换化成行最简形为： 则方程组有唯一解:。
例3 设有线性方程组
问取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有 无限解？并在有无数解时表示出所有解。
毕
定理5
证明： 设则矩阵方程有解为，由定理4 有， 显然有，则，又考虑同理得到 ，则，综合之得 证毕。
【小结】
本课学习的主要内容有： （1）元线性方程组的解的判定
（ⅰ）无解的充分必要条件是 （ⅱ）有唯一解的充分必要条件 （ⅲ）有无限多解的充分必要条件. （2）求解线性方程组的步骤 （ⅰ）写出增广矩阵并化行最简形； （ⅱ）有解判定；
（1）线性方程组求解； （2）线性方程组解的判定。 【教学手段】 讲授 【知识回顾】 前面学习了矩阵的初等变换以及对矩阵施以初等变换与左乘、右乘 可逆矩阵的关系，从而给出了矩阵逆的新的计算方法，然后学习了矩阵 秩的概念和求法。矩阵的秩是矩阵在初等变换过程中的一个不变量，体 现了矩阵的某些内在的特性，有重要的意义和应用价值，本节将讨论矩 阵的秩在线性方程组解的问题上的应用。将给出线性方程组解的判定方 法以及在有解情况下解的表示。 【教学内容】
解法1 对增广矩阵作初等行变换得 （1）当，方程组有唯一解； （2）当，方程组无解； （3）当，方程组有无数解，这时 由此得到： 设，方程组的全部解可以表示为：
解法2 由于系数矩阵为3阶方阵，则，则方程组有唯一解 的充要条件是，则
，则有 （1）当且时，方程组有唯一解。 （2）当时
此时，故方程组无解。 （3）当时
说明：下面首先讲解几个具体的例子，这样会有一个直观上的认 识，然后再补充给出该定理的证明。
例1 求解线性方程组 解：对增广矩阵作初等行变换得 可见，方程组有无数组解，且由上面的行最简形可得原方 程组同解于： 设，其中为任意常实数，可将方程组的解记为：
例2求解线性方程组 解：对增广矩阵作初等行变换得 可见，故方程组无解。
（ⅲ）有解的情况下，表示出解（特别对于有无数解的情 形）。
（3）一些结论 （ⅰ）有解
（ⅱ）有非零解 （ⅲ）有解
（iV）
【作业】P79 T13(2),T14(2),T16
对于含有个未知量个方程的如下线性方程组： (1)
其矩阵形式为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关于所表示的矩阵在前面以及介绍，下面将要讨论的问题是线性方 程组的解的存在性、唯一性以及求解的方法。首先给出下面的定理：
定理1 对于线性方程组，有以下结论： （ⅰ）无解的充分必要条件是(或) （ⅱ）有唯一解的充分必要条件 （ⅲ）有无数多解的充分必要条件.
§3.3 线性方程组的解
【计划学时】 2 【教学目的与要求】
（1）理解齐次与非齐次线性方程组解的判定的相关结论(无解,有 唯一解或有无限多个解的充分必要条件，包括非齐次线性方程组有解的 充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件)；
（2）掌握使用矩阵的初等行变换求解线性方程组； （3）会进行线性方程组解的判定与讨论。 【教学重难点】
【思考】解法1和解法2的比较？（比较发现，解法2较解法1简 单，但解法2只适合于系数矩阵为方阵时的情形。）
由定理1容易得到下面的定理2和定理3，将线性方程组推广到 矩阵方程，又可以得到下面的定理4。
定理2 线性方程组有解的充分必要条件是。 定理3 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。 例4 （自学P72 例10）
说明：将以上的解题过程一般化，则可以得到定理1的证明。
定理1部分证明： 设，对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，总可以化 为下面的行最简形： 记，则线性方程组同解于方程组（要能写成相应的线性方 程组形式）。 (1)当时，方程组无解，而此时。 (2)反之，若，则，方程组有无数解（有效方程个数小于未知数 个数）。对应的方程组为:
定理4 矩阵方程有解的充分必要条件是。
证明：设为矩阵，设为矩阵，设为矩阵，把和按列分块，记为，则 矩阵方程等价于个向量方程。
（1）充分性：设，由于
∴。 由上面的定理2的结论知都有解，故矩阵方程有解。 （2）必要性：矩阵方程 有解，则都有解，设它们的解分别为 记，其中是矩阵的列向量，则有 对矩阵 作初等列变换可以把的第列都变成了0向量，即， 证
令，即得方程组的含有个参数的解: 由于参数可以任意取值，所以方程组有无数个解。（当取
定一组值，上式将得到原方程组的一组解，因此称之为原方程组的通 解。）
(3)若，则的增广矩阵进行初等行变换化成行最简形为： 则方程组有唯一解:。
例3 设有线性方程组
问取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有 无限解？并在有无数解时表示出所有解。
毕
定理5
证明： 设则矩阵方程有解为，由定理4 有， 显然有，则，又考虑同理得到 ，则，综合之得 证毕。
【小结】
本课学习的主要内容有： （1）元线性方程组的解的判定
（ⅰ）无解的充分必要条件是 （ⅱ）有唯一解的充分必要条件 （ⅲ）有无限多解的充分必要条件. （2）求解线性方程组的步骤 （ⅰ）写出增广矩阵并化行最简形； （ⅱ）有解判定；
（1）线性方程组求解； （2）线性方程组解的判定。 【教学手段】 讲授 【知识回顾】 前面学习了矩阵的初等变换以及对矩阵施以初等变换与左乘、右乘 可逆矩阵的关系，从而给出了矩阵逆的新的计算方法，然后学习了矩阵 秩的概念和求法。矩阵的秩是矩阵在初等变换过程中的一个不变量，体 现了矩阵的某些内在的特性，有重要的意义和应用价值，本节将讨论矩 阵的秩在线性方程组解的问题上的应用。将给出线性方程组解的判定方 法以及在有解情况下解的表示。 【教学内容】
解法1 对增广矩阵作初等行变换得 （1）当，方程组有唯一解； （2）当，方程组无解； （3）当，方程组有无数解，这时 由此得到： 设，方程组的全部解可以表示为：
解法2 由于系数矩阵为3阶方阵，则，则方程组有唯一解 的充要条件是，则
，则有 （1）当且时，方程组有唯一解。 （2）当时
此时，故方程组无解。 （3）当时
说明：下面首先讲解几个具体的例子，这样会有一个直观上的认 识，然后再补充给出该定理的证明。
例1 求解线性方程组 解：对增广矩阵作初等行变换得 可见，方程组有无数组解，且由上面的行最简形可得原方 程组同解于： 设，其中为任意常实数，可将方程组的解记为：
例2求解线性方程组 解：对增广矩阵作初等行变换得 可见，故方程组无解。
（ⅲ）有解的情况下，表示出解（特别对于有无数解的情 形）。
（3）一些结论 （ⅰ）有解
（ⅱ）有非零解 （ⅲ）有解
（iV）
【作业】P79 T13(2),T14(2),T16
对于含有个未知量个方程的如下线性方程组： (1)
其矩阵形式为：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ关于所表示的矩阵在前面以及介绍，下面将要讨论的问题是线性方 程组的解的存在性、唯一性以及求解的方法。首先给出下面的定理：
定理1 对于线性方程组，有以下结论： （ⅰ）无解的充分必要条件是(或) （ⅱ）有唯一解的充分必要条件 （ⅲ）有无数多解的充分必要条件.
§3.3 线性方程组的解
【计划学时】 2 【教学目的与要求】
（1）理解齐次与非齐次线性方程组解的判定的相关结论(无解,有 唯一解或有无限多个解的充分必要条件，包括非齐次线性方程组有解的 充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件)；
（2）掌握使用矩阵的初等行变换求解线性方程组； （3）会进行线性方程组解的判定与讨论。 【教学重难点】