3.4 线性方程组的解(教案)
初中数学教案：线性方程组与解的应用
初中数学教案：线性方程组与解的应用一、线性方程组的基本概念和解法线性方程组是数学中常见的一种数学工具，它描述了若干个线性方程的集合。
在初中数学教学中，线性方程组的应用是重要且常见的内容。
本文将介绍线性方程组的基本概念和解法，并探讨其在实际问题中的应用。
1. 线性方程组的定义线性方程组是由若干个线性方程组成的集合，其中每个线性方程都包含相同的变量，并且这些变量之间满足线性关系。
例如，下面是一个简单的二元一次线性方程组：```{2x + 3y = 7-x + 4y = 6}```其中，x和y是未知数，2x + 3y = 7和-x + 4y = 6分别为两个线性方程。
2. 线性方程组解的表示形式线性方程组可以有三种解：有唯一解、无解或者无穷多解。
对于二元一次线性方程组而言，在坐标平面上可以通过直线表示；对于三元一次及以上阶数的线性方程组，则需要使用多维空间来表示。
因此，我们通常使用矩阵来表示线性方程组。
上述二元一次线性方程组可以表示为：```|2 3| |x| = |7||-1 4| |y| |6|```其中，左侧矩阵表示系数矩阵，右侧矩阵表示常数项矩阵。
3. 线性方程组的解法对于线性方程组的求解，我们通常使用消元法、代入法和等价变形法等方法。
- 消元法：通过加减乘除等运算将线性方程组转化成简化形式，从而求得解。
其中，高斯消元法是常用的一种方法。
- 代入法：通过将某个变量表示为其他变量的表达式，并代入到其他方程中，进而求得未知数的值。
- 等价变形法：对方程进行等价变形，使原有的线性方程组转化成更易求解的形式。
例如，可以通过配方法将线性方程组转化为已知形式。
二、线性方程组在实际问题中的应用线性方程组不仅是数学中重要的概念和工具，还具有广泛的应用。
下面将介绍线性方程组在实际问题中的应用，并探讨其在日常生活中的意义。
1. 平衡问题线性方程组能够很好地描述平衡问题，例如平衡天平的示意图。
假设一个天平上有若干个物体，它们的质量分别为m1、m2、⋯、mn，并且已知两侧物体之间的长度比例关系。
新人教版五年级数学上册《线性方程组 》教案精品完整版
新人教版五年级数学上册《线性方程组》教案精品完整版教案概述：本教案是针对新人教版五年级数学上册的《线性方程组》一章的教学设计。
通过设置合适的教学目标、教学内容和教学方法，帮助学生掌握线性方程组的概念和解题方法，提高他们的数学思维能力和问题解决能力。
教学目标：1.理解线性方程组的概念和特点；2.掌握线性方程组的解题方法和步骤；3.运用线性方程组解决实际问题。
教学内容：1.什么是线性方程组；2.解线性方程组的方法和步骤；3.实际问题的线性方程组表示和解决。
教学方法：1.导入法：通过引入一个生动有趣的问题，激发学生对线性方程组的兴趣和学习动机；2.演示法：通过示范解题过程，引导学生理解解题方法和步骤；3.合作学习：组织学生进行小组合作学习，通过相互讨论和合作解题，提高解题能力和团队合作能力；4.实践应用：引导学生通过解决实际问题，将线性方程组应用到实际生活中，增强他们的问题解决能力。
教学步骤：1.导入：通过一个与学生生活相关的问题引入线性方程组的概念；2.理解：讲解线性方程组的定义和特点，引导学生理解；3.演示：示范解题过程，引导学生掌握解题方法和步骤；4.合作学习：组织学生进行小组合作学习，共同解决线性方程组问题；5.实践应用：通过实际问题的情境设置，引导学生将线性方程组应用到实际生活中；6.总结反思：总结本节课的重点内容，让学生进行思考和反思；7.作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
教学评估：1.教师观察：观察学生在课堂上的参与度和问题解决能力；2.练习评估：通过课后布置的练习题，评估学生对线性方程组的掌握情况；3.小组合作评估：评估学生在小组合作学习中的表现和合作能力。
教学资源：1.教材：新人教版五年级数学上册；2.教具：黑板、粉笔、PPT等；3.其他：练习题、实际问题情境设置。
教学反馈与调整：根据学生的学习情况和反馈，及时调整教学内容和方法，帮助学生更好地理解和掌握线性方程组的知识。
教学延伸：可引导学生进行更复杂的线性方程组解题，并拓展到其他数学领域的应用，如几何题、函数等。
线性方程组的解法教案
线性方程组的解法教案一、引言线性方程组是数学中常见的一个重要概念，解决线性方程组问题是解析几何、线性代数等学科的核心内容。
本文将介绍线性方程组的基本概念和解法，帮助读者更好地理解和应用线性方程组。
二、线性方程组的基本概念1. 定义：线性方程组由一组线性方程组成，每个方程中的未知数的最高次数都为1，且系数皆为实数或复数。
线性方程组可以表示为以下形式：a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₁a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = b₂...a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ = bₙ其中，a₁、a₂、...、aₙ分别为系数，x₁、x₂、...、xₙ为未知数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
2. 解的概念：对于线性方程组，找到一组使得所有方程都成立的值，即为其解。
如果线性方程组存在解，则称其为相容的；如果不存在解，则称其为不相容的。
三、线性方程组的解法1. 列主元消去法列主元消去法是解决线性方程组的常用方法之一。
具体步骤如下：(1) 将线性方程组化为增广矩阵形式，写成增广矩阵[A|B]的形式。
(2) 对增广矩阵进行初等行变换，化简成上三角形矩阵[U|C]的形式，即上面的元素都为0。
(3) 从最后一行开始，按列主元所在的列进行回代求解，得到每个未知数的值。
2. 矩阵的逆和逆的应用矩阵的逆是解决线性方程组的另一种有效方法。
具体步骤如下：(1) 将线性方程组化为矩阵形式，即AX = B。
(2) 若矩阵A可逆，即存在逆矩阵A⁻¹，则方程组的解可以表示为X = A⁻¹B。
3. 克拉默法则克拉默法则是解决线性方程组的另一种方法，适用于方程组的系数矩阵为方阵的情况。
具体步骤如下：(1) 将方程组的系数矩阵记为A，常数项矩阵记为B。
(2) 分别计算方程组系数矩阵的行列式D和将常数项矩阵替换为方程组系数矩阵第i列后的新矩阵Di的行列式Di，并计算比值di = Di / D。
3.4 齐次线性方程组
(2)选取AX O 的n r个线性无关的解向量。
分别令 xr 1 1 0 0 xr 2 0 1 ， ， ，0 1 xn 0 0
基础解系不唯一，但所含解向量的个数唯一。
即AX=0有非零解 则齐次线性方程组AX O存在基础解系, 且基础解
定理 设A 是一个m n 矩阵,若秩( A) r n,
系含n r个解向量。
证明： (1)先求出AX O 的一般解。
对系数矩阵A 作初等行变换化为行最简形矩阵：
行初等变换
共n r 个
基本向量 线性无关
代入AX O 的一般解公式，得AX O 的n r个解：
c1,r 1 c1,r 2 c1n c2,r 1 c2,r 2 c2 n cr ,r 1 , cr ,r 2 , , crn 1 nr 1 2 0 0 0 1 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 c1r 1 c1n 1 0 c2 r 1 c2 n 0 1 crr 1 crn 0 0 0 0 0 0 0 0
共n r个
代入上述一般解公式，即求得AX O 的基础解系。
3. 齐次线性方程组的结构解
定理 设 A 是一个 m n 矩阵，若秩( A) r n ，
则齐次线性方程组 AX O 的结构式一般解为
X k11 k22 knrnr 其中1 ,2 ,,nr是AX O 的一个基础解系，
《线性代数》教案
《线性代数》教案一、引言1. 课程目标：使学生理解线性代数的基本概念，掌握线性方程组的求解方法，了解矩阵和行列式的基本性质，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
2. 教学内容：本章主要介绍线性代数的基本概念、线性方程组的求解方法、矩阵和行列式的基本性质。
3. 教学方法：采用讲授法、案例分析法、讨论法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
二、线性方程组1. 教学目标：使学生理解线性方程组的含义，掌握线性方程组的求解方法，能够运用线性方程组解决实际问题。
2. 教学内容：（1）线性方程组的概念及其解的含义；（2）线性方程组的求解方法（高斯消元法、矩阵法等）；（3）线性方程组在实际问题中的应用。
3. 教学方法：通过具体案例分析，引导学生理解线性方程组的概念，运用高斯消元法和矩阵法求解线性方程组，并讨论线性方程组在实际问题中的应用。
三、矩阵及其运算1. 教学目标：使学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，了解矩阵在数学和实际中的应用。
2. 教学内容：（1）矩阵的概念及其表示方法；（2）矩阵的运算（加法、数乘、乘法）；（3）矩阵的其他相关概念（逆矩阵、转置矩阵等）；（4）矩阵在数学和实际中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解矩阵的概念，掌握矩阵的运算方法，探讨矩阵在其他相关概念中的应用，并了解矩阵在数学和实际中的重要作用。
四、行列式1. 教学目标：使学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，了解行列式在线性方程组求解中的应用。
2. 教学内容：（1）行列式的概念及其表示方法；（2）行列式的计算方法（按行（列）展开、性质的应用等）；（3）行列式在线性方程组求解中的应用。
3. 教学方法：通过具体的例子，引导学生理解行列式的概念，掌握行列式的计算方法，并了解行列式在线性方程组求解中的应用。
五、线性空间与线性变换1. 教学目标：使学生了解线性空间的概念，掌握线性变换的定义和性质，了解线性变换在数学和实际中的应用。
线性方程组的解教案
线性方程组的解教案一、引言线性方程组是数学中重要的概念之一，解决线性方程组的问题是数学学习的基础。
本教案将详细介绍线性方程组的基本概念和解法，旨在帮助学生理解和掌握线性方程组的解的方法。
二、线性方程组概述1. 定义线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。
每个方程中的变量指数都为1，且多个方程之间没有乘法操作。
2. 一元线性方程组一元线性方程组是只包含一个未知数的线性方程组。
例如：a +b = 23a - 2b = 53. 多元线性方程组多元线性方程组是包含多个未知数的线性方程组。
例如：2x + 3y = 74x - 5y = 8三、求解线性方程组的方法1. 矩阵法矩阵法是求解线性方程组的一种常用方法。
首先将线性方程组的系数矩阵和常数项矩阵表示出来，组成增广矩阵，然后通过初等行变换，将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵，进而求得未知数的解。
2. 代入法代入法是通过逐步代入某个方程的解到其他方程中，最终得到所有未知数的解的方法。
首先选取一个方程，将一个未知数表示出来，然后将其代入其他方程中，逐步消去未知数，最终求得解。
3. 消元法（高斯-约当消元法）消元法是通过对线性方程组的方程进行适当的操作，将系数化为0，最终得到一个阶梯形的线性方程组，再通过反向代入求解未知数的值。
该方法适用于解决具有任意未知数和方程的线性方程组。
四、解题步骤及示例1. 确定线性方程组的类型：一元线性方程组还是多元线性方程组。
2. 矩阵法解题步骤：a. 将线性方程组的系数矩阵和常数项矩阵表示出来。
b. 构造增广矩阵。
c. 通过初等行变换，将增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵。
d. 根据行简化阶梯形矩阵，确定线性方程组的解。
3. 代入法解题步骤：a. 选择一个方程，将一个未知数表示出来。
b. 将该解代入其他方程，逐步消去未知数。
c. 反复代入和消元，直到得到所有未知数的解。
4. 消元法解题步骤：a. 将线性方程组写为增广矩阵形式。
b. 选择具有主元的行，通过初等行变换，将该行其他元素化为0。
数学教案线性方程组的解法
数学教案线性方程组的解法数学教案：线性方程组的解法一、引言数学是一门理科学科，它的基础知识被广泛应用于各个领域。
其中，线性方程组作为数学的重要内容之一，具有较广泛的应用背景。
本教案将围绕线性方程组的解法展开，通过分析实际生活中的问题，引导学生理解和应用线性方程组的求解方法。
二、知识概述1. 线性方程组的定义：线性方程组是由一组线性方程构成的方程组，其中每个方程都是形如a₁x₁+a₂x₂+...+aₙxₙ=b的线性方程。
2. 解的概念：线性方程组的解是使得方程组中所有方程都成立的数值组合，也就是使得所有方程的左边等于右边的组合。
3. 解的形式：线性方程组的解可以有无穷个，也可能没有解，还可能只有唯一解。
4. 解的表示方式：线性方程组的解可以用数学符号表示，也可以用文字描述。
三、解法一：代入法1. 基本思想：选取方程组中的一个方程，将其它方程中的变量用这个方程中的变量表示，然后得到一个只含有一个变量的方程，通过求解这个方程得到一个解，再将这个解代入到其它方程中，验证是否满足。
2. 解题示例：解方程组2x + 3y = 8x - 2y = -1选取第一个方程，得到x = (8 - 3y) / 2，然后将x代入第二个方程中，得到(8 - 3y) / 2 - 2y = -1，通过求解这个方程可以得到y = 2，将y的值代入x的表达式中，可得到x = 1。
3. 优缺点：代入法操作简单，容易理解，但当方程较多时，计算量较大。
四、解法二：消元法1. 基本思想：利用多个方程之间的等价变换，将方程组转化为简化的三角形方程组，然后通过逐步求解，得到方程组的解。
2. 解题示例：解方程组x + 3y = 52x - y = 4通过第一个方程的乘以2，得到2x + 6y = 10，并将其与第二个方程相减，得到7y = 6，解得y = 6 / 7，将y的值代入第一个方程，可得到x = 5 - 3 * (6 / 7)。
3. 优缺点：消元法能够准确快速地求得解，并且适用于任意行列数的方程组，但需要较强的计算能力。
高中二年级数学教案：线性方程组求解
高中二年级数学教案：线性方程组求解一、引言二年级数学教案：线性方程组求解在高中数学课程中，线性方程组是一个非常重要的内容，它在代数领域中具有广泛的应用。
线性方程组求解是求解多个未知数与多个方程之间的关系问题，对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力具有重要作用。
本教案将介绍高中二年级线性方程组求解的相关知识点和解题方法。
二、知识点概述1. 什么是线性方程组？线性方程组是由一些关于未知数x1, x2, ..., xn 的形如a1x1 + a2x2 + ... + anxn =b 的等式所组成的集合。
其中，a1, a2,..., an, b 是已知数。
每个等式称为一个方程。
2. 线性方程组的分类根据未知数个数与方程个数之间的关系，线性方程组可以分为无解、有唯一解和有无穷多解三种情况。
3. 解线性方程组的方法- 列主元素消去法：通过行变换将线性方程组转化为行简化阶梯型，进而找到可得出结论的特殊情况。
- Cramer法则：利用行列式的性质，求解线性方程组。
- 矩阵法：将线性方程组转换为矩阵形式，运用矩阵的基本运算进行解答。
- 向量法：将线性方程组转化为向量形式，通过向量的运算求解。
三、教学目标1. 知识目标通过本教学，学生应能够：- 掌握线性方程组的概念及分类；- 了解不同的解线性方程组方法，并能根据具体情况选择合适的方法。
2. 能力目标通过本教学，学生应能够：- 运用所学知识解决与实际问题相关的线性方程组；- 培养逻辑思维和数学建模能力。
四、教学过程一、引入新知识在课堂开始时，可以通过提问和举例等方式引导学生回忆上节课所学内容，并将其与今天要学习的线性方程组求解联系起来。
例如：“我们上次讲了什么内容？这些内容和今天我们要讲探究点之间关系有什么联系呢？”二、讲授知识点1. 给出定义及分类：- 定义并介绍什么是线性方程组；- 分类引导学生进行探究，通过几个例题将线性方程组分类进行解释。
2. 介绍不同的解线性方程组方法及应用：- 列主元素消去法：简单的解释并结合具体例题进行讲解。
初中数学教案：线性方程组的解法和应用
初中数学教案：线性方程组的解法和应用一、线性方程组的解法线性方程组是初中数学中的重要内容，它描述了多个变量之间的关系。
解线性方程组可以帮助我们解决实际问题，掌握解法和应用方法对于学生的数学素养是必不可少的。
1.1 消元法消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
通过逐步消去未知量，将线性方程组化简为较简单的形式，从而得到方程组的解。
下面以一个简单的例子来说明消元法的步骤：例题：解下面的线性方程组2x + 3y = 84x - 2y = 2解法：首先，我们通过变换等式使得第一个方程的系数为1，即将第一个方程乘以2/4，得到新的方程组：2x + 3y = 82x - y = 1然后，将第二个方程的系数与第一个方程相减，消去x的变量：2x + 3y = 8- (2x - y = 1)---------------4y = 7最后，求出y的值：y = 7/4将y的值代入原方程组的第一个方程，求出x的值：2x + 3(7/4) = 82x + 21/4 = 82x = 8 - 21/4x = 23/8所以，原方程组的解为：x = 23/8，y = 7/4。
1.2 代入法代入法是解线性方程组的另一种常用方法。
通过将一个方程的解代入另一个方程中，逐步求解出未知量。
以下是一个例题的解法步骤：例题：解下面的线性方程组3x + 2y = 72x - y = 1解法：首先解出第一个方程的x：3x + 2y = 73x = 7 - 2yx = (7 - 2y)/3然后将x的表达式代入第二个方程中：2[(7 - 2y)/3] - y = 1解出y的值：(14 - 4y)/3 - y = 114 - 4y - 3y = 3-7y = -11y = 11/7最后将y的值代入第一个方程中，求出x的值：3x + 2(11/7) = 73x + 22/7 = 73x = 49/7 - 22/7x = 27/7所以，原方程组的解为：x = 27/7，y = 11/7。
线性方程组解法教案设计
线性方程组解法教案设计。
一、教学目的通过本教学，学生应该能够：1.理解线性方程组的概念及其应用；2.知道线性方程组的解法方法；3.掌握高斯元法、高斯-约旦消元法和克拉默法等解法方法；4.理解线性方程组解的唯一性和无穷解；5.通过实例掌握线性方程组解法。
二、教学内容1.线性方程组的概念及其应用线性方程组是指由n个一次方程组成的方程组。
这些方程的形式通常是a1x1 + a2x2 + … + anxn = b，其中a1到an是已知系数，x1到xn是未知数，b是常数。
线性方程组在数学和物理等许多领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，线性方程组用于求解多元素化学反应中的反应速率；在金融学中，线性方程组用于计算证券市场的均衡价格；在生物学中，线性方程组用于建立动力学模型。
2.线性方程组的解法方法线性方程组的解法有许多种，其中最常见的包括高斯消元法、高斯-约旦消元法和克拉默法。
高斯消元法是一种通过消元、回带等操作，将线性方程组变成简化的上三角矩阵的方法。
高斯消元法的优点是简单易懂，缺点是速度比较慢，当行数比较大时，消元的次数较多。
高斯-约旦消元法是在高斯消元法的基础上进行改进的一种方法，它是一种直接把线性方程组化为阶梯矩阵的方法。
高斯-约旦消元法的优点是比高斯消元法快，缺点是计算量也比较大，需要进行多次操作。
克拉默法是一种基于行列式理论的解法，用于求解线性方程组。
克拉默法以求出每个未知数的值，但相比其他方法，它的计算量较大，因为需要计算各种行列式的值。
3.线性方程组解的唯一性和无穷解一般情况下，线性方程组的解可能是唯一的，也可能是无穷个。
当方程组中的方程个数等于未知数的个数时，解的个数唯一。
当方程组中的方程个数小于未知数的个数时，解可能有无穷多个。
当线性方程组有唯一解的时候，我们称之为非奇异矩阵。
当线性方程组有无穷个解的时候，我们称之为奇异矩阵。
一个矩阵是否为奇异矩阵与其行列式是否等于0有关。
4.实例操作在课堂上，可以通过一些实例来帮助学生更好地掌握线性方程组的解法。
线性方程组的解法详细教案(公开课)
线性方程组的解法详细教案(公开课)
前言
本文将详细介绍线性方程组的解法，希望通过此公开课，学生们能更好地掌握这一知识点。
一、什么是线性方程组
线性方程组是由若干个线性方程组成的集合，其中每个线性方程的未知数个数相同。
例如：
2x + 3y = 7
4x - 5y = 1
这就是一个由两个线性方程组成的线性方程组，其未知数个数为2。
二、解线性方程组的方法
1.高斯消元法
高斯消元法是一种基本的线性代数算法，方程组的增广矩阵可
以通过行初等变换来进行化简，从而得到其阶梯形矩阵或行最简阶
梯形矩阵，进而求解线性方程组。
2.克拉默法则
克拉默法则是一种基于行列式的方法，它可以求解规模较小的
线性方程组。
但由于其需要计算多个行列式，某些时候计算量较大，而且稳定性较差。
三、解线性方程组的步骤
1.对系数矩阵进行消元，通过行初等变换将其变为阶梯形矩阵
或行最简阶梯形矩阵。
2.根据阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵，列出新的线性方程组。
例如：
2x + 3y = 7
0x - 1y = -5
3.反推得到未知数的值，从下往上推导出每个未知数的解。
例如：
y = 5
2x + 3(5) = 7
2x = -8
x = -4
四、总结
通过以上的讲解，我们可以简单地总结如何解一个线性方程组：
1.通过高斯消元法或者克拉默法则将系数矩阵转化为阶梯形矩
阵或行最简阶梯形矩阵
2.由阶梯形矩阵或行最简阶梯形矩阵列出新的线性方程组
3.通过反推的方式得出未知数的解
希望这份详细的教案可以帮助大家更好地掌握线性方程组的解法。
全面解读新人教版九年级数学上册教案：线性方程组的解法
数学是一门重要的学科，在学生的学习过程中扮演着极其重要的角色。
在九年级数学上册中，线性方程组是一个非常重要的知识点，是以后学习更高级别的数学知识的基础。
新人教版九年级数学上册教案中呈现的线性方程组的解法，是同学们学习该知识点的基石。
本文将全面解析该教案内容，为同学们提供更好的数学学习经验。
一、线性方程组的概念及性质什么是线性方程组呢？线性方组是指一组形如$ a_1x_1+a_2x_2+……+a_nx_n=b $的方程组，其中$a_1,a_2,……,a_n和b$为已知常数，$x_1,x_2,……,x_n$为未知数，且$ n,b\in N+^* (\mathrm{N}^*=\mathrm{N} - \{0\}) $。
线性方程组的求解就是找出一组$ x_1,x_2,……,x_n$ ，使得它们代入原方程组中可以使得每一个方程都成立，这些未知数就是方程组的解。
线性方程组中的参数可以是任意实数，也就可以求得一组实数解，这是线性方程组的一个非常重要的性质。
并且，如果线性方程组有解，则它必定有无数个解。
这听起来很难理解，但实际上是很容易解释的。
因为对于任意两组解，它们都可以通过差一个全为常数的解得到，这样的解就有无数个。
二、线性方程组解法1. 列方程法列方程法是一种应用最为广泛的线性方程组解法。
在学习这种解法时，我们要做的就是将问题转化为一个或多个方程，再运用基本的代数知识进行求解。
这种方法不仅简单易行，而且适用于大部分线性方程组求解问题。
考虑如下两个方程组：$ 2x+3y=11 $$ 4x-3y=1 $我们可以通过公式$ y=\frac{1}{3}(2x-11) $得到$ y$的值，并将其代入其中一个方程中，比如说第一个方程式中我们得到$$ 2x+3\cdot\frac{1}{3}(2x-11)=11 $$移项可得$$ 4x-11=11 $$解得$x=3$,代入$ y=\frac{1}{3}(2x-11)$可得$ y=-2$。
数学课教案线性方程组的解法
数学课教案线性方程组的解法数学课教案主题：线性方程组的解法引言：线性方程组是数学中一个重要的概念，也是解决实际问题的关键方法之一。
本节课将介绍线性方程组的基本知识和解法，帮助学生掌握解线性方程组的方法，提高他们的数学解题能力。
第一节：线性方程组的基本概念与性质线性方程组是由一组线性方程组成的方程组。
学生们首先需要了解线性方程组的定义和基本性质，如系数矩阵、常数向量、增广矩阵等概念，并掌握线性方程组的解集表示方法。
第二节：线性方程组的解的分类线性方程组的解可以分为唯一解、无解和无穷多解三种情况。
本节课将详细介绍线性方程组解的分类条件，并通过实例演示不同类型解的判断方法。
第三节：线性方程组的高斯消元法高斯消元法是解线性方程组的一种常用方法。
学生们需要掌握高斯消元法的基本思想和步骤，并能够熟练运用该方法解决线性方程组。
本节课还会通过示范演算和练习题，帮助学生加深对高斯消元法的理解和应用。
第四节：线性方程组的矩阵表示线性方程组可以通过矩阵形式来表示，这样可以更方便地进行计算和推导。
学生们需要学习如何将线性方程组转化为增广矩阵、行阶梯形矩阵等形式，并掌握相关的计算方法。
第五节：线性方程组的向量表示向量是线性代数中的重要概念，也是解线性方程组的有效工具。
学生们需要学习如何将线性方程组转化为向量形式，以便更好地理解和求解线性方程组。
第六节：线性方程组的应用实例线性方程组是数学与实际问题联系紧密的一种工具。
本节课将通过一些实际问题的案例，让学生们了解线性方程组在物理、经济等领域的应用，提高他们的数学建模能力。
结语：线性方程组的解法是数学中的一项重要内容，也是培养学生数学思维和解决实际问题能力的关键。
通过本节课的学习，相信学生们可以充分了解和掌握线性方程组的基本知识和解法，为他们今后的学习和发展打下坚实的基础。
希望同学们能够认真对待本节课的内容，积极思考，加强练习，不断提高自己的数学水平。
初中三年级数学课堂教案：掌握线性方程组的解法
初中三年级数学课堂教案：掌握线性方程组的解法一、引言数学是一门重要且实用的学科，对学生培养逻辑思维能力和解决实际问题具有重要意义。
而线性方程组作为数学中的一个重要概念，在初中三年级的数学教育中也占据着重要位置。
掌握线性方程组的解法对于学生理解和应用代数知识以及培养解决实际问题的能力都具有积极作用。
本文将从理论基础、解方方法和应用示例三个方面进行论述，帮助教师更好地设计初中三年级数学课堂教案，使学生在主动参与学习的过程中掌握线性方程组的解法。
二、理论基础1. 什么是线性方程组？线性方程组由多个等式组成，并且每个等式都是关于相同未知数集合的一次（即次数为1）代数方程。
例如：2x + y = 53x - 4y = -7每个等式称为一个线性方程，两个以上的线性方程联立称为线性方程组。
2. 解向量和解空间对于给定的线性方程组，找出使得每个等式都得到满足的未知数量值，这些未知数量值构成一个解向量。
所有可能的解向量构成的集合称为解空间。
三、解方方法1. 代入法代入法是最简单直观的线性方程组解法之一，适用于线性方程组中某个方程较为简单或包含单变量的情况。
具体步骤如下：- 选择一个方程，将其中一未知数表示成另一未知数的函数；- 将其它未知数都用这个式子代入到剩下的方程中，得到只包含一个未知数的新方程；- 解新方程，得出相应变量的值；- 将求得的值代入最初选择的方程中，求得另一个未知数的值。
2. 消元法消元法是一种常用且有效的线性方程组解法，在教学中也十分重要。
具体步骤如下：- 将线性方程组按照已知顺序进行排列；- 使用倍乘和消去操作，将各个行最大限度地化简为行阶梯形；- 利用回代运算求出各未知数，并检验是否满足原始等式；四、应用示例1. 商场促销活动假设商场正在进行打折促销活动，购买A商品可享受5%折扣，购买B商品可享受8%折扣。
现某消费者购买了5件A商品和3件B商品，总共花费600元。
假设原价分别为x和y元，则可以建立以下线性方程组：0.95x + 0.92y = 6005x + 3y = 600通过解这个线性方程组，可以得到x的值为100元，y的值为80元，从而知道原价分别为100元和80元。
高等代数教案第3章向量与线性方程组
第三章 向量与线性方程组Ⅰ.授课题目:§3.1 线性方程组的解 §3.2 n 维向量空间 §3.3 向量组的线性相关性 §3.4 线性方程组解的结构 Ⅱ.教学目的与要求:1. 掌握数域、矩阵、逆矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩等概念2. 掌握矩阵的运算性质、逆矩阵的求法、分块矩阵的初等变换 Ⅲ.重点与难点:重点:矩阵的运算、逆矩阵的求法、矩阵的初等行变换 难点: 伴随矩阵，逆矩阵，初等矩阵、矩阵秩的概念 Ⅳ.教学内容§3.1 线性方程组的解例3.1 用矩阵的初等变换解下列线性方程组：（1）123123123253336212434x x x x x x x x x +-=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩；（2）123451234512345232222283536x x x x x x x x x x x x x x x -+-+=⎧⎪++--=⎨⎪-+-+=⎩；（3）12341234123222253335x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪++-=⎨⎪-+=⎩.提示或答案：（1）()(),3R A R A b ==，原方程组有唯一解()1,1,2T--；（2）增广矩阵行等价于1-23-12205-40-5400000-4⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，()()2,,3R A R A b ==，原方程组无解； （3）增广矩阵行等价于411013*********0⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，()(),4R A R A b =<，原方程组的通解为()12124113011,1003010x c c c c R ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭.定理3.1 n 元线性方程组Ax b =（1）无解的充分必要条件是()(),R A R A b <； （2）有唯一解的充分必要条件是()(),R A R A b n ==； （3）有无穷多解的充分必要条件是()(),R A R A b n =<.练习：用矩阵的初等变换解下列线性方程组：（1）1231231242232101138x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩； （2）2312312325227x x x x x x x x +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩；（3）12341234123423133128x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪++-=⎨⎪-++=⎩答案：（1）无解；（2）有无穷多解0310,12c c R ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）有无穷多解()21108201x c c R -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 定理3.2 n 元齐次线性方程组0Ax =， （1）只有零解的充要条件是()R A n =； （2）有非零解的充要条件是()R A n <.例3.2 求齐次线性方程组的通解1234123412342403230340x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩.答：()1212132211,221001x c c c c R⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例3.3 设有线性方程组()()()12312312310131x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 问λ取何值时，（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.解法1 对增广矩阵(),A b 作初等行变换，化成行阶梯形矩阵，有()()()()1110111,11130311100313A b λλλλλλλλλλλλλ++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+→⋅⋅⋅→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-+-+⎝⎭⎝⎭. （1）当0λ≠且3λ≠-时，()(),3R A R A b ==，方程组有唯一解；（2）当0λ=时，()()1,,2R A R A b ==，方程组无解； （3）当3λ=-时，()(),2R A R A b ==，方程组有无穷多个解. 这时，()21101011,1213011211230000A b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭于是，原方程组等价于132312x x x x =-⎧⎨=-⎩. 此时，原方程的通解为()111210x c c R -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.解法2 因系数矩阵A 为方阵，故方程有唯一解的充要条件是系数行列式0A ≠. 而()()()21111111111113111300311111100A λλλλλλλλλλλ+=+=++=+=+++， 因此，当0λ≠且3λ≠-时，方程组有唯一解. 当0λ=时，()11101110,1113000111100000A b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 知()()1,,2R A R A b ==，方程组无解. 当3λ=-时，()21101011,1213011211230000A b ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 知，()(),2R A R A b ==，方程组有无穷多个解. 且通解为()111210x c c R -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.练习：1. 求解齐次线性方程组12341234123422020320x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪--+=⎨⎪+--=⎩. 2.当,a b 为何值时，线性方程组()1234234123412341212343565x x x x x x x x x ax x b x x x a x +++=⎧⎪-+=⎪⎨+++=⎪⎪++++=⎩ （1）无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多解？并在有无穷多解时求出其通解.答案或提示：1. ()()1211221231,,1,0,0,1,0,1,,55TT x c c c c R ξξξξ⎛⎫===+∈ ⎪⎝⎭2. ()1111101121,0010300010A b a b a ⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪-- ⎪-⎝⎭.（1）当1,3a b =≠时，()()2,,3R A R A b ==此时，方程组无解；（2）当1,a b ≠为任意实数时，()(),4R A R A b ==此时，方程组有唯一解；（3）当1,3a b ==时，()(),24R A R A b ==<，方程组有无穷多解. 此时，()1021001121,0000000000A b -⎛⎫ ⎪-⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭原方程组可化为134234212x x x x x x =-+⎧⎨=+-⎩. 通解为()1212021112,010001x c c c c R -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.小结：课外作业：§3.2 n 维向量空间1. n 维向量空间定义 3.1 所谓数域P 上一个n 维向量就是由数域P 中n 个数12,,,n a a a 组成的有序数组,其中i a 称为第i 个分量.通常地，n 维向量可以写成一列12n a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，也可以写成一行()12,,,n a a a ，前者称之为n 维列向量，用,,,a b c ，或,,,αβγ⋅⋅⋅表示，后者称之为n 维行向量，用,,,TTTa b c ，或,,,T T Tαβγ⋅⋅⋅表示.今后，如无特别声明，我们提到的n 维向量都是指的n 维列向量.如果两个n 维向量()()1212,,,,,TTn n a a a a b b b b ==对应分向量相等，即i i b a =()1,2,,i n =⋅⋅⋅,则称为这两个向量相等，记作.a b =定义零向量()00,0,,0T=⋅⋅⋅，负向量()12,,Tn a a a a -=---.设P 是一个数域，用nP 表示数域P 上全体n 维向量组成的集合，在nP 中如下定义向量加法和数量乘法（统称为向量的线性运算）：对P λ∀∈，()()1212,,,,,TTn n n a a a a b b b b P ==∈()()()12121122,,,,,,,TTTn n n n a b a a a b b b a b a b a b +=+=+++，()()1212,,,,TTn n a a a a a a a λλλλλ==.这样定义的向量的线性运算满足如下八条运算律：以下,P λμ∈，,,na b c P ∈ 加法的交换律：a b b a +=+；加法的结合律： ()()a b c a b c ++=++； 右零元律：0a a +=； 右负元律：()0a a +-=； 1乘向量律：1a a =；数乘向量的结合律：()()a a λμλμ=； 数对向量加法的分配律：()a b a b λλλ+=+； 向量对数加法的分配律：()a a a λμλμ+=+.定义3.2 设n P 是以数域P 中的数作为分量的n 维向量的全体，在nP 中定义如上的向量加法和数量乘法（并满足以上八条运算律），我们称nP 是数域P 上的n 维向量空间.2. 子空间定义3.3 设V 是向量空间nP 的非空子集，如果V 对于向量的加法和数量乘法两种运算都封闭，那么就称集合V 对于向量空间nP 的向量加法和数乘向量构成一个向量空间，称之为向量空间nP 的子空间.例3.1 集合{}22(0,,,),,T n n V x x x x x P ==∈是向量空间nP 的子空间.事实上，若V a a T n ∈=),,,0(2 α，V b b T n ∈=),,,0(2 β则V b a b a T n n ∈++=+),,,0(22 βα，V a a T n ∈=),,,0(2λλλα .例3.2 集合{}22(1,,,),,T n n V x x x x x P ==∈不是n P 的子空间.事实上，若V a a T n ∈=),,,1(2 α，V b b T n ∈=),,,1(2 β则V b a b a T n n ∉++=+),,,2(22 βα.所以V 不是向量空间.例3.3 设βα,是两个已知的n 维向量，则集合{},V x P λαμβλμ==+∈是一个向量空间. 称为由向量βα,所生成的向量空间.一般地，由m ααα,,,21 所生成的向量空间为{}112212,,,m m m V x P λαλαλαλλλ==+++∈.小结：课外作业：§3.3 向量组的线性相关性1. 向量的线性表示以下我们总是讨论在某固定数域P 上的n 维向量空间，不再每次声明. 定义3.4 如果存在一组数s k k k ,,,21 ，使得.2211s s k k k βββα+++=则称向量α是向量组s βββ,,,21 的一个线性组合，或称向量α可由向量组s βββ,,,21 线性表示（或线性表出）称s k k k ,,,21 为组合系数.例如，对向量组()()()1232,1,3,1,4,2,5,4,2,1,4,1T T Tααα=-=-=--，容易看到，.3213ααα-= 因此，3α是21,αα的一个线性组合.又如，任一个n 维向量()12,,,Tn a a a α=都是向量组12100010,,,001n εεε⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的一个线性组合，因为.2211n n a a a εεεα+++=我们称向量组n εεε,,,21 为n 维单位向量组.由定义可以看出，零向量是任一向量组的线性组合(只要取系数全为0就行了)；其次，向量α是向量组s βββ,,,21 的线性组合的充要条件是方程组1122s s x x x βββα+++=有解.例3.4 证明向量()1,1,5Tb =-可由向量组()()()1231,2,3,0,1,4,2,3,6TTTa a a ===线性表示，并求出相应的组合系数.定义 3.5 如果向量组:A 12,,,l ααα中每一个向量(1,2,,)i i l α=都可以由向量组:B s βββ,,,21 线性表示，那么称向量组A 可以由向量组B 线性表示，如果两个向量组互相可以线性表示，就称这两个向量组等价.向量组之间的等价有以下的性质： 1) 反身性：每一个向量都与它自身等价；2) 对称性：如果向量组t ααα,,,21 与向量组s βββ,,,21 等价，那么向量组s βββ,,,21 与向量组t ααα,,,21 也等价;3) 传递性：如果向量组t ααα,,,21 与向量组s βββ,,,21 等价，s βββ,,,21 与pγγγ ,,21等价，那么向量组t ααα,,,21 与p γγγ ,,21等价.如果向量组12,,,r ααα可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，则()11,2,,si ij j j k i r αβ===∑即()()1212,,,1,2,,i i i s is k k i r k αβββ⎛⎫⎪ ⎪=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭.因此，()()111112222121212,,,,,,i r r r s ss rs k k k k k k k k k αααβββ⎛⎫ ⎪ ⎪⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以，如果()12,,,r A ααα=，()12,,,s B βββ=分别表示以12,,,r ααα和s βββ,,,21 为列向量的矩阵，向量组12,,,r ααα可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，则存在矩阵s r K ⨯，使得A BK =.例3.5 证明向量组1211:1,210A a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与向量组等价.证 对向量组(),A B 施行初等行变换()111011101021,120101110111102101110000A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭可以看出来1122122,b a a b a a =-=-+，即()()121221,,11b b a a -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，显然121111112--⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()()121211,,12a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即112212,2a b b a b b =+=+.故向量组A 与向量组B 等价.本题后面部分也可以这样做，进一步作初等行变换102111100111120100000000-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可以得到112212,2a b b a b b =+=+.2. 向量组的线性相关性定义3.6 对向量组)2(,,,21≥s s ααα ，如果存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 使得11220s s k k k ααα+++=，则称向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关.否则称向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关.注（1）任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的；（2）如果一个向量组线性相关，则其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示；（3）两个向量21,αα线性相关⇔21ααk =，即它们的分量对应成比例. 从几何的角度看，就是这两个向量共线；（4）如果三个向量321,,ααα线性相关，则其中一个向量是另外两个向量的线性组合，譬如123k l ααα=+，因此，这三个向量共面,反之也成立；（5）设()12,,,s A ααα=，则向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关⇔齐次方程组0Ax =有非零解⇔()R A s <（即A 是列降秩矩阵）；（6）向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关⇔齐次方程组0Ax =只有零解⇔()R A s =（即A 是列满秩矩阵）. 或者说，向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性无关⇔若11220s s k k k ααα+++=，则120s k k k ====；（7）1n +个n 维向量一定线性相关（这是因为，以这1n +个n 维向量为列向量构成的矩阵的秩必定小于1n +）；（8）如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关；反之，如果一向量组线性无关，那么它们的任何一个非空的部分组也线性无关.（即“部分相关⇒整体相关”；“整体无关⇒部分无关”）（向量个数增加）（9）如果向量组11112221221212,,,s s srs r r a a a a a a a a a ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关，则各向量加多一个分量得到的向量组111212122212121,11,21,,,,s s s r r rs r r r s a a a a a a a a a a a a βββ+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性无关；反之，若向量组12,,,s βββ⋅⋅⋅线性相关，则向量组12,,,s ααα⋅⋅⋅线性相关（即“截断组无关⇒加长组无关”；“加长组相关⇒截断组相关”）（向量维数增加）；（10）如果向量组12,,,s ααα⋅⋅⋅线性无关，添加一个向量β后，12,,,,s αααβ⋅⋅⋅线性相关，则β一定可以由12,,,s ααα⋅⋅⋅线性表示，而且表示法是唯一的.例3.6 n 维单位向量n εεε,,,21 组成的向量组线性无关.事实上，由,02211=+++n n k k k εεε也就是由1212,(1,0,,0)(0,1,,0)(0,0,,1)(,,)(0,0,,0)T T Tn T n Tk k k k k k +++==可以推出.021====n k k k故n εεε,,,21 线性无关.例3.7 讨论向量组123(2,1,7),(1,4,11),(3,6,3)T T T a a a =-==-的线性相关性.例3.8 已知向量组123,,a a a 线性无关，112223331,,b a a b a a b a a =+=+=+.证明向量组123,,b b b 线性无关.例3.9 已知向量1231021,2,4157a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（1）讨论向量组123,,a a a 及向量组12,a a 的线性相关性；（2）向量3a 能否由向量组12,a a 线性表示？如果能，求其组合系数. 练习：1.判断向量组()()()1231,0,1,2,1,1,2,4,2,3,5,10TTTααα=-=---=-线性相关还是线性无关.2.设向量组：()()()()12341,1,1,1,2,3,1,3,,3,4,5TTTTt αααα====.（1）问t 为何值时，向量组123,,ααα线性相关？线性无关？（2）问t 为何值时，向量组1234,,,αααα线性相关？线性无关？3.证明：如果向量组123,,ααα线性无关，则向量组1122233312,23,3βααβααβαα=+=+=+也线性无关.4.设向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关，问： （1）1α能否由23,αα线性表示？说明理由； （2）4α能否由123,,ααα线性表示？说明理由.3. 向量组的极大无关组与向量组的秩定义3.7 向量组的一个部分组称之为是这个向量组的一个极大线性无关组（简称极大无关组）. 如果这个部分组本身线性无关，但是从这个向量组中任意加一个向量（如果还有的话）后都线性相关.例如，在向量组123(2,1,3,1),(4,2,5,4),(2,1,4,1)T T T ααα=-=-=--中，由21,αα一个极大线性无关组. n 维单位向量组n εεε,,,21 就是nR 的一个极大无关组.注（1）向量组的极大无关组可能不是唯一的；（2）一个线性无关的向量组，其极大无关组就是它本身； （3）任一向量组与它的极大无关组等价； （4）向量组的任意两个极大无关组一定等价.定理 3.3 如果向量组r ααα,,,21 可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，且r s >，那么向量组r ααα,,,21 必线性相关.证 记()12,,,r A ααα=，()12,,,s B βββ=.由于向量组r ααα,,,21 可以由向量组s βββ,,,21 线性表示，故存在矩阵s r K ⨯，使得A BK =.注意到，齐次方程组0Kx =的解都是齐次方程组0Ax =的解. 而(){}min ,R K r s s r ≤=<（r是未知量的个数），所以，前者一定有非零解，故后者也有非零解. 所以向量组r ααα,,,21 必线性相关.注 （1）定理3.3可以叙述成：如果一个较多的向量组可以由一个较少的向量组线性表示，则较多的向量组一定线性相关.（2）定理3.3的逆否命题是：如果向量组r ααα,,,21 可以经向量组s βββ,,,21 线性表出，且r ααα,,,21 线性无关，那么.s r ≤推论1 两个等价的线性无关的向量组，必有相同个数的向量. 推论2 向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.定义3.8 向量组的极大无关组所包含的向量个数称为这个向量组的秩.注 （1）向量组线性无关的充分必要条件为它的秩等于它所含有向量的个数； （2）等价的向量组必有相同的秩；（3）含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个无关的部分向量组都能扩充成一个极大线性无关组. 全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组. 规定这样的向量组的秩为零；（4）矩阵的秩等于矩阵的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩. 练习：设121311:,1113A a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，123213011:,,102120B b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭证明向量组A 与向量组B 等价.例3.10 设向量组A ：123452*********,,,,4622436979a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.求A 的一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表示.（P101～102）练习：设矩阵122121221143A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪---⎝⎭,求矩阵A 的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示.例3.11 设m n m s s n C A B ⨯⨯⨯=，那么()()()(),.R C R A R C R B ≤≤ （教材P103）例3.12 设()ijm nA a ⨯=，证明()1R A =⇔存在非零列向量a 及非零行向量Tb ，使得TA ab =.证 ⇒：（必要性）设矩阵()12,,,n A ααα=⋅⋅⋅ ，由于()1R A =，所以，列向量组12,,,nααα⋅⋅⋅的极大无关组只含一个向量，不妨假定1α是它的一个极大无关组.设2211,,n n k k αααα=⋅⋅⋅=，则()()121112,,,1,,,T n n A k k k k ab αααα=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=. 令()12,1,,,Tn a b k k α==⋅⋅⋅，则TA ab =.⇐：（充分性）由T A ab =知，()1R A ≤.其次，由于a 和Tb 都是非零向量，因此，A O ≠，因此()1R A ≥，故()1R A =. 证毕.例3.13设A 是m n ⨯矩阵，B 是m s ⨯矩阵，则()(){}()()()max ,,R A R B R A B R A R B ≤≤+. 证 设()()12,R A r R B r ==，矩阵,A B 的列向量的极大无关组分别是112,,,r ααα和212,,,r βββ. 于是(),A B 的全体列向量，一定可以由向量组121212,,,,,,,r r αααβββ线性表示，即()()(),R A B R A R B ≤+.另一方面，A 的列向量个数小于(),A B 的列向量个数，因而()(),R A R A B ≤；同时()(),R B R A B ≤. 因而，()(){}()max ,,R A R B R A B ≤.故()(){}()()()max ,,R A R B R A B R A R B ≤≤+.例3.14已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足323A x Ax A x =-，且向量2,,x Ax A x 线性无关. （1）记()2,,P x Ax A x =，求3阶矩阵B ，使AP PB =；（2）求A .例3.15 设1212,,,ααββ都是3维列向量，且12,αα线性无关，12,ββ线性无关，证明：存在非零向量γ，使得既可以由12,αα线性表示，也可以由12,ββ线性表示.当121212300,1,2,12351ααββ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭时，求出所有的向量γ.提示 4个3维向量1212,,,ααββ必线性相关，故有不会为0的数1212,,,k k l l ，使得112211220k k l l ααββ+++=，显然12,k k 不全为零，取11221122k k l l γααββ=+=--.解方程组112211220x x y y ααββ+++=，求其通解可知()0,1,1Tk γ=4. 向量空间的基、维数与向量的坐标§3.4 线性方程组解的结构在有了向量和矩阵的理论准备之后，我们现在可以来分析一下线性方程组的问题，给出线性方程组有解的判别条件.设线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,221122222212111212111s n sn s s n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1）引入向量,,,,,2121222122121111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=s sn nn n s s b b b a a a a a a a a a βααα （2）于是线性方程组（1）可以改写成向量方程.2211βααα=+++n n x x x （3）显然，线性方程组（1）有解的充分必要条件为向量β可以表成向量组n ααα,,,21 的线性组合. 用秩的概念，方程组（1）有解的条件可以传述如下：定理7（线性方程组有解的判别定理） 线性方程组（1）有解的充分必要条件为它的系数矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211与增广矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s sn s s n n b b b a a a a a a a a a A 21212222111211__有相同的秩.证明 先证必要性，设线性方程组（1）有解，就是说，β可以经向量组n ααα,,,21 线性表出，向量组n ααα,,,21 与向量组βααα,,,,21n 等价，因而有相同的秩. 这两个向量组分别是矩阵A 与__A 的列向量组. 因此，矩阵A 与__A 有相同的秩.再证充分性，设矩阵A 与__A 有相同的秩，就是说，它们的列向量组n ααα,,,21 与βααα,,,,21n 有相同的秩，令它们的秩为r ，n ααα,,,21 中的极大线性无关组的是由r 个向量组成，无妨设r αα,,1 是它的一个极大线性无关组. 显然r αα,,1 也是向量组βααα,,,,21n 的一个极大线性无关组，因此向量β可以经r αα,,1 线性表出. 既然β可以经r αα,,1 线性表出，当然它可以经n ααα,,,21 线性表出. 因此，方程组（1）有解.应该指出，这个判别条件与以前的消元法是一致的，我们知道，用消元法解线性方程组（1）的第一步就是用初等变换把增广矩阵__A 化成阶梯形. 这个阶梯形矩阵在适当调动前n 列的顺序之后可能有两种情形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+000000`000000000001222221111211 r r rn rr nrn r d d c c d c c c d c c c c 或者 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000000`000000000000222221111211r rn rr n rn r d c c d c c c d c c c c 其中.0,,,2,1,01≠=≠+r ii d r i c 在前一种情形，我们说原方程组无解，而在后一种情形方程组有解，实际上，把这个阶梯形矩阵中最后一列去掉，那就是线性方程组（1）的系数矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯形. 这就是说，当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解，当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加1时，方程组无解.以上的说明也可以认为是判别定理的另一个证明.根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法，这个解法有时在理论上是有用的. 设线性方程组（1）有解，矩阵A 与__A 的秩都等于r ，而D 是矩阵A 的一个不为零的r 级子式（当然它也是__A 的一个不为零的子式），为了方便起见，无妨设D 位于A 的左上角.显然，在这种情形下，__A 的前r 行就是一个极大线性无关组，第s r ,,1 +行都可以经它们线性表出，因此，方程组（1）与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++rn rn r rr r n n r r n n r r b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 11222121111111,, （4） 同解.当n r =时，由克拉默法则，方程组（4）有唯一解，也就是方程且（1）有唯一解. 当n r <时，将方程组（4）改写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++---=++---=++++++++.,,11,11211,222121111,111111n rn r r r r r rr r n n r r r r n n r r r r x a x a b x a x a x a x a b x a x a x a x a b x a x a （5） （5）作为r x x ,,1 的一个方程组，它的系数行列式.0≠D 由克拉默法则，对于n r x x ,,1 +的任意一组值，方程组（5），也就是方程组（1），都有唯一的解，n r x x ,,1 +就是方程组（1）的一组自由未知量，对（5）用克拉默法则，可以解出r x x ,,1 ：⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=++++.```,```11,111,111n rn r r r r rn n r r x c x c d x x c x c d x（6） （6）就是方程组（1）的一般解.§6 线性方程组解的结构在解决了线性方程组有解的判别条件之后，我们进一步来讨论线性方程组解的结构. 在方程组的解是唯一的情况下，当然没有什么结构问题. 在有多个解的情况下中，所谓解的结构问题就是解与解之间的关系问题. 下面我们将证明，虽然在这时有无穷多个解，但是全部的解都可以用有限多个解表示出来. 这就是本节要讨论的问题和要得到的主要结果. 下面的讨论当然都是对于有解的情况说的，这一点就不再每次都说明了.上面我们提到，n 元线性方程组的解是n 维向量，在解不是唯一的情况下，作为方程组的解的这些向量之间有什么关系呢？我们先看齐次线性方程组的情形. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0,0,02211222221211212111n sn s s n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 是一齐次线性方程组，它的解所成的集合具有下面的两个重要的性质：1：两个解的和还是方程组的解.设（n k k k ,,,21 ）与（n l l l ,,,21 ）是方程组（1）的两个解. 这就是说，把它们代入方程组，每个方程成恒等式中，即∑==nj jij ka 10 （s i ,,2,1 =）∑==nj jij la 10 （s i ,,2,1 =）把两个解的和),,,(2211n n l k l k l k +++ （2）代入方程组，得000)(111=+=+=+∑∑∑===nj j ij n j j ij nj j j ijl a k a l k a（s i ,,2,1 =）这说明（2）确实是方程组的解.2：一个解的倍数还是方程组的解.设（n k k k ,,,21 ）是（1）的一个解，不难看出（n ck ck ck ,,,21 ）还是方程组的解，因为∑∑===⋅==nj j ij nj j ijc k a c ck a1100)( （s i ,,2,1 =）从几何上看，这两个性质是清楚的，在3=n 时，每个齐次线性方程组表示一个过原点的平面. 于是方程组的解，也就是这些平面的交，如果不只是原点的话，就是一条过原点的直线或一个过原点的平面. 以原点为起点，而端点在这样的直线或平面上的向量显然具有上述的性质.对于齐次线性方程组，综合以上两点即得，解的线性组合还是方程组的解. 这个性质说明了，如果方程组有几个解，那么这些解的所有可能的线性组合就给出了很多有解. 基于这个事实，我们要问：齐次线性方程组的全部解是否能够通过它的有限的几个解的线性组合给出来？回答是肯定的. 为此，我们引入下面的定义：定义17 齐次线性方程组（1）的一组解t ηηη,,,21 称为（1）的一个基础解系，如果 1）（1）的任意一个解都能表成t ηηη,,,21 的线性组合； 2）t ηηη,,,21 线性无关.应该指出，定义中的条件2）是为了保证基础解系中没有多的解. 事实上，如果t ηηη,,,21 线性相关，也就是其中有一个可以表成其他的解的线性组合，譬如说t η可以表成121,,,-t ηηη 的线性组合，那么121,,,-t ηηη 显然也具有性质1）.现在就来证明，齐次线性方程组的确有基础解系.定理8 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含有的解的个数等于,r n -这里r 表示系数矩阵的秩（以下将看到，r n - 也就是自由未知量的个数）定理的证明实际上就是一个具体找基础解系的方法.证明 设方程组（1）的系数矩阵的秩为r ，无妨设左上角的r 级子式不等于零，于是按上一节最后的分析，方程组（1）可以改写成⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=++---=++---=++++++++.,,11,11211,22121111,11111n rn r r r r rr r n n r r r r n n r r r r x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a （3） 如果，n r =，那么方程组没有自由未知量，方程组（3）的右端全为零，这时方程组只有零解，当然也就不存在基础解系，以下设.n r <我们知道，把自由未知量的任意一组值（n r c c ,,1 +）代入（3），就唯一地决定了方程组（3）＿＿也就是方程组（1）的一个解. 换句话说，方程组（1）的任意两个解，只要自由未知量的值一样，这两个解就完全一样，特别地，如果在一个解中，自由未知量的值全为零，那么这个解一定就是零解.在（3）中我们分别用r n -组数)1,,0,0(,),0,,1,0(),0,,0,1( （4）来代自由未知量（n r r x x x ,,,21 ++），就得出方程组（3）——也就是方程组（1）的r n -个解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===---).1,,0,0,,,(),0,,1,0,,,),0,,0,1,,(,1,22121111 r r n r n r n r r c c c c c c ηηη （5） 我们现在来证明，（5）就是一个基础解系. 首先证明r n -ηηη,,,21 线性无关，事实上，如果02211=+++--r n r n k k k ηηη ，即).0,,0,0,0,,0(),,,,*,(*,212211 ==+++---r n r n r n k k k k k k ηηη比较最后r n -个分量，得 .021====-r n k k k 因此，r n -ηηη,,,21 线性无关.再证明方程组（1）的任意一个解都可以由r n -ηηη,,,21 线性表出，设),,,,,,(211n r r r c c c c c ++=η （6）是（1）的一个解，由于r n -ηηη,,,21 是（1）的解，所以线性组合r n n r r c c c -+++++ηηη 2211 （7）也是（1）的一个解. 比较（7）和（6）的最后r n -个分量得知，自由未知量有相同的值，从而这两个解完全一样，即.2211r n n r r c c c -+++++=ηηηη （8）这就是说，任意一个解η都能表成r n -ηηη,,,21 的线性组合. 综合以上两点，我们就证明r n -ηηη,,,21 确为方程组（2）的一个基础解系，因而齐次线性方程组的解有基础解系. 证明中具体给出的这个基础解系是由r n -个解组成. 至于其他的基础解系，由定义，一定与这个基础解系等价，同时它们又都是线性无关的，因而有相同个数的向量. 这就是定理的第二部分. ¶由定义容易看出，任何一个线性无关的与某一个基础解系等价的向量组都是基础解系（读者自己证明）.下面来看一般线性方程组的解的结构. 如果把一般线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,221122222212111212111s n sn s s n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （9） 的常数项换成0，就得到齐次线性方程组（1）. 方程组（1）称为方程组（9）的导出组. 方程组（9）的解与它的导出组（1）的解之间有密切的关系：1：线性方程组（9）的两个解的差是它的导出组（1）的解. 设（n k k k ,,,21 ），),,,(21n l l l 是方程组（9）的两个解，即 ∑∑====nj nj i j ij i j ijb l a b k a11, （s i ,,2,1 =）它们的差是).,,,(2211n n l k l k l k ---显然有∑∑∑====-=-=-n j nj i i j ij j ij nj j j ijb b l a k a l k a1110)( （s i ,,2,1 =）这就是说，).,,,(2211n n l k l k l k --- 是导出组（1）的一个解. ¶2：线性方程组（9）的一个解与它的导出组（1）的一个解之和还是这个线性方程组的一个解. 设（n k k k ,,,21 ）是（9）的一个解，即∑==nj i j ijb k a1 （s i ,,2,1 =）又设),,,(21n l l l 是导出组（1）的一个解，即∑==nj jij la 10 （s i ,,2,1 =）显然∑∑∑====+=+=+n j nj i i j ij j ij nj j j ijb b l a k a l k a1110)( （s i ,,2,1 =）由这两点我们很容易证明下面的定理：定理9 如果0γ是方程组(9)的一个特解,那么方程组(9)的任一个解γ都可以表成 ,0ηγγ+= (10)其中η是导出组(1)的一个解,因此,对于方程组(9)的任一个特解0γ,当η取完它的导出组的全部解时,(10)就给出(9)的全部解.证明 显然),(00γγγγ-+= 由上面的1,0γγ-是导出组(1)的一个解,令 0γγ-=,η就得到定理的结论.既然(9)的任一个解都能表成(10)的形式,由2,在η取完(1)的全部解的时候,,0ηγγ+=就取完(9)的全部解.定理9说明了,为了找一线性方程组的全部解,我们只要找出它的一个特解以及它的导出组的全部解就行了,导出组是一个齐次方程组,在上面我们已经看到,一个齐次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表出.因此,根据定理我们可以用导出组的基础解系来表出一般方程组的一般解:如果0γ是方程组(9)的一个特解,r n -ηηη,,,21 是其导出组的一个基础解系,那么(9)的任一个解γ都可以表成 .22110r n r n k k k --++++=ηηηγγ推论 在方程组(9)有解的情况下,解是唯一的充分必要条件是它的导出组(1)只有零解. 证明 充分性:如果方程组(9)有两个不同的解,那么它的差就是导出组的一个非零解.因之,如果导出组只有零解,那么方程组有唯一解.必要性:如果导出组有非零解,那么这个解与方程组(9)的一个解(因为它有解)的和就是(9)的另一个解,也就是说,(9)不止一个解.因之,如果(9)有唯一解,那么它的导出组只有零解.¶ 线性方程组的理论与解析几何中关于平面与直线的讨论有密切的关系.我们来看线性方程组⎩⎨⎧=++=++.,23232221211313212111b x a x a x a b x a x a x a (11) (11)中每一个方程表示一个平面,线性方程组(11)有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题.我们知道,两个平面只有在平行而不重合的情形下没有交点.(11)的系数矩阵与增广矩阵分别是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22322211131211__232221131211b a a a b a a a A a a aa a a A 与 它们的秩可能是1,也可能是2.有三个可能的情形:1.A 的秩＝1，__A 的秩＝1，这就是说A 的两行成比例，因而两个平面平行，又因为__A 的两行也成比例，所以这两个平面重合，方程组有解.2．A 的秩＝1，__A 的秩＝2，这就是说，两个平面平行而不重合，方程组无解.3．A 的秩＝2.这时__A 的秩也一定是2,在几何上就是这两个平面不平行,因而一定相交,方程组有解.例2.18 利用矩阵的初等行变换求解线性方程组123412341234123422244622436979x x x x x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪+-+=⎪⎨-+-=⎪⎪+-+=⎩。
数学初中教案：线性方程组的解法与应用
数学初中教案：线性方程组的解法与应用一、线性方程组的解法线性方程组是初中数学中常见的问题，它由多个线性方程共同组成。
解决线性方程组问题的方法有多种，下面我们将介绍几种常用的解法。
1. 列主元消去法列主元消去法是一种常用于解决二元和三元线性方程组的方法。
首先，我们将线性方程组写成增广矩阵形式，即将系数矩阵和常数向量合并为一个矩阵，然后通过基本行变换将其化简为最简形。
接着，利用回代或者代入的方法求得未知数的值。
2. 克莱姆法则克莱姆法则适用于规模较小（通常是二阶或三阶）的线性方程组。
该方法要求对应系数矩阵可逆。
根据克莱姆法则，只需要计算系数矩阵与相应未知数对应列向量的行列式，并除以系数矩阵行列式即可得到每个未知数的值。
3. 矩阵消元法矩阵消元法是一种高效解决大规模线性方程组问题的方法。
首先，将线性方程组写成增广矩阵形式，然后利用初等行变换将其化简为梯形矩阵。
接着，通过回代或者逆序消元法求得未知数的值。
二、线性方程组的应用线性方程组不仅在数学理论中有重要的地位，而且在实际生活中也有广泛的应用。
下面我们将介绍线性方程组的几个常见应用。
1. 电路分析在线性电路分析中，经常需要解决包含电阻、电容和电感等元件的复杂线性方程组。
通过求解这些方程组，可以确定电路中各个元件的电压和电流大小，进而进行相关计算和设计。
2. 最小二乘法最小二乘法是一种常用于数据拟合和函数逼近问题的统计技术。
采用最小二乘法，可以通过拟合一个或多个线性方程组来找到与实际测量数据最接近的函数模型。
3. 经济学模型经济学中有许多问题可以转化为线性方程组进行求解。
例如，在供需分析中，通过建立供给曲线和需求曲线对市场平衡价格进行预测；在投资组合理论中，利用资产收益率与风险之间的线性关系对投资组合进行优化配置。
4. 工程应用线性方程组在工程领域也有广泛的应用。
例如，在结构分析中，可以通过求解线性方程组来确定建筑物或桥梁的静力平衡问题；在信号处理中，采用线性方程组可以预测和校正噪声干扰对信号质量产生的影响。
高中数学课讲义教案
高中数学课讲义教案
主题：线性方程组的解法
教学目标：
1. 了解线性方程组的基本概念，掌握解线性方程组的基本方法；
2. 能够灵活运用代数方法和图解方法求解线性方程组；
3. 能够解决实际问题中的线性方程组。
教学过程：
一、导入（5分钟）
引导学生回顾一元一次方程组的解法，并说明线性方程组的概念和解法对于解决实际问题
的重要性。
二、讲解（15分钟）
1. 线性方程组的定义和分类；
2. 代数方法求解线性方程组的步骤；
3. 图解方法求解线性方程组的步骤。
三、练习（20分钟）
1. 让学生完成一些代数方法求解线性方程组的练习题；
2. 让学生在坐标系上画出线性方程组的图像，并求解。
四、拓展（10分钟）
引导学生思考，如何将线性方程组应用到实际生活中的问题中，提高他们的综合应用能力。
五、总结（5分钟）
总结本节课的重点内容，巩固学生对线性方程组的理解和应用。
六、作业布置（5分钟）
布置相关作业，让学生巩固今天所学知识。
教学资源：
1. 教材相关知识点；
2. 锦囊，活动卡片等教学辅助资料；
3. 多媒体设备。
评估方式：
1. 课堂练习；
2. 作业完成情况；
3. 学生的课堂表现。
初中数学教案线性方程组
初中数学教案线性方程组初中数学教案一、教学目标通过本节课的学习，学生应能够：1.了解线性方程组的概念，并能够运用相关概念解决实际问题；2.熟悉解线性方程组的基本方法；3.培养数学建模的能力和解决实际问题的思维方式。
二、教学重点线性方程组的解法和应用三、教学步骤与方法步骤一：导入新知通过呈现实际问题引入线性方程组的概念，激发学生的学习兴趣。
例如：小明去市场买了3个苹果和2个橙子，共花费15元；小王去市场买了2个苹果和4个橙子，共花费16元。
问小明一个苹果多少钱，一个橙子多少钱？步骤二：概念讲解与引入根据引入问题的特点，引出线性方程组的概念，并解释什么是未知数、系数、常数项等相关概念。
步骤三：解一元一次方程的回顾复习一元一次方程的解法，以便为后续的线性方程组解法做铺垫。
步骤四：解二元一次线性方程组教师通过解释概念和方法，引导学生掌握二元一次线性方程组的解法。
可从几何解法和代数解法两个角度进行讲解。
步骤五：解实际问题将解二元一次线性方程组的方法应用于实际问题的解决。
例如，小明乘坐地铁和公交车一共花费了28元，乘坐地铁的次数是2次，公交车的次数是5次。
已知地铁票价为3元，公交车票价为5元，请问地铁和公交车的次数各是多少次？步骤六：解三元一次线性方程组介绍三元一次线性方程组的解法，并引导学生通过实例掌握解法的步骤。
步骤七：综合应用通过综合应用题，让学生进一步巩固掌握线性方程组的解法。
例如：甲乘坐出租车和公交车往返于两个城市之间，共花费了82元。
已知出租车每公里2元，公交车每次8元。
已知出租车共行驶了30公里，问甲乘坐了多少次公交车？四、教具准备1.课件：用于展示实际问题的引入和解决方法。
五、课堂总结回顾今天的学习内容，强调线性方程组解法的重要性，并鼓励学生多应用于实际问题中。
六、课后作业1.练习册上相关练习题的完成；2.查找并解答一个与线性方程组相关的实际问题。
注：以上这份教案可以作为教师授课的参考，具体教学过程中，可以根据学生的掌握情况和教学时间的安排进行适当调整。
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【思考】解法1和解法2的比较？（比较发现，解法2较解法1简 单，但解法2只适合于系数矩阵为方阵时的情形。）
由定理1容易得到下面的定理2和定理3，将线性方程组推广到 矩阵方程，又可以得到下面的定理4。
定理2 线性方程组有解的充分必要条件是。 定理3 元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。 例4 （自学P72 例10）
定理4 矩阵方程有解的充分必要条件是。
证明：设为矩阵，设为矩阵，设为矩阵，把和按列分块，记为，则 矩阵方程等价于个向量方程。
（1）充分性：设，由于
∴。 由上面的定理2的结论知都有解，故矩阵方程有解。 （2）必要性：矩阵方程 有解，则都有解，设它们的解分别为 记，其中是矩阵的列向量，则有 对矩阵 作初等列变换可以把的第列都变成了0向量，即， 证
解法1 对增广矩阵无解； （3）当，方程组有无数解，这时 由此得到： 设，方程组的全部解可以表示为：
解法2 由于系数矩阵为3阶方阵，则，则方程组有唯一解 的充要条件是，则
，则有 （1）当且时，方程组有唯一解。 （2）当时
此时，故方程组无解。 （3）当时
（1）线性方程组求解； （2）线性方程组解的判定。 【教学手段】 讲授 【知识回顾】 前面学习了矩阵的初等变换以及对矩阵施以初等变换与左乘、右乘 可逆矩阵的关系，从而给出了矩阵逆的新的计算方法，然后学习了矩阵 秩的概念和求法。矩阵的秩是矩阵在初等变换过程中的一个不变量，体 现了矩阵的某些内在的特性，有重要的意义和应用价值，本节将讨论矩 阵的秩在线性方程组解的问题上的应用。将给出线性方程组解的判定方 法以及在有解情况下解的表示。 【教学内容】
（ⅲ）有解的情况下，表示出解（特别对于有无数解的情 形）。
（3）一些结论 （ⅰ）有解
（ⅱ）有非零解 （ⅲ）有解
（iV）
【作业】P79 T13(2),T14(2),T16
说明：将以上的解题过程一般化，则可以得到定理1的证明。
定理1部分证明： 设，对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，总可以化 为下面的行最简形： 记，则线性方程组同解于方程组（要能写成相应的线性方 程组形式）。 (1)当时，方程组无解，而此时。 (2)反之，若，则，方程组有无数解（有效方程个数小于未知数 个数）。对应的方程组为:
毕
定理5
证明： 设则矩阵方程有解为，由定理4 有， 显然有，则，又考虑同理得到 ，则，综合之得 证毕。
【小结】
本课学习的主要内容有： （1）元线性方程组的解的判定
（ⅰ）无解的充分必要条件是 （ⅱ）有唯一解的充分必要条件 （ⅲ）有无限多解的充分必要条件. （2）求解线性方程组的步骤 （ⅰ）写出增广矩阵并化行最简形； （ⅱ）有解判定；
对于含有个未知量个方程的如下线性方程组： (1)
其矩阵形式为：
关于所表示的矩阵在前面以及介绍，下面将要讨论的问题是线性方 程组的解的存在性、唯一性以及求解的方法。首先给出下面的定理：
定理1 对于线性方程组，有以下结论： （ⅰ）无解的充分必要条件是(或) （ⅱ）有唯一解的充分必要条件 （ⅲ）有无数多解的充分必要条件.
§3.3 线性方程组的解
【计划学时】 2 【教学目的与要求】
（1）理解齐次与非齐次线性方程组解的判定的相关结论(无解,有 唯一解或有无限多个解的充分必要条件，包括非齐次线性方程组有解的 充分必要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件)；
（2）掌握使用矩阵的初等行变换求解线性方程组； （3）会进行线性方程组解的判定与讨论。 【教学重难点】
令，即得方程组的含有个参数的解: 由于参数可以任意取值，所以方程组有无数个解。（当取
定一组值，上式将得到原方程组的一组解，因此称之为原方程组的通 解。）
(3)若，则的增广矩阵进行初等行变换化成行最简形为： 则方程组有唯一解:。
例3 设有线性方程组
问取何值时，此方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有 无限解？并在有无数解时表示出所有解。
说明：下面首先讲解几个具体的例子，这样会有一个直观上的认 识，然后再补充给出该定理的证明。
例1 求解线性方程组 解：对增广矩阵作初等行变换得 可见，方程组有无数组解，且由上面的行最简形可得原方 程组同解于： 设，其中为任意常实数，可将方程组的解记为：
例2求解线性方程组 解：对增广矩阵作初等行变换得 可见，故方程组无解。