角平分线在三角形中的比例关系

角平分线在三角形中的比例关系

关于角平分线，除了知道它把一个角平分为二，以及平分线上任意一点到其两边的距离相等外，它在三角形中还存在一些美丽的对称性质。

1，角平分线定理：如图P2，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：BD∶DC=AB∶AC

【解析】用面积法来证明：如图P2-1，作DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F。则DE=DF，∴S△ABD∶S△ACD=AB∶BC；又S△ABD∶S△ACD=BD∶CD，故BD∶DC=AB∶AC。

2，如图JP2，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，则有AB∶AC=BD∶DC。

【解析】用面积法可证明此结论，方法同上，具体略。

利用上述结论，我们可以快速解决一些问题：

3，如图JP3，I是△ABC内角平分线的交点，AI交对应边于点D，求证：AI∶ID=（AB+AC）∶BC。

【解析】根据角平分线定理，AI∶ID=AB∶BD=AC∶CD，∴AI∶ID=（AB+AC）∶（BD+CD）=（AB+AC）∶BC。

4，如图JP4，已知：PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC与PB相交于点D，且PB=4，PD=3。求AD·DC的值。

【解析】如图JP4-1，过点P作∠APB的角平分线，交AC于点E。

根据角平分线定理，AP∶PD=AE∶ED=4∶3，

∴ED=3AD/7；又∠APB=2∠ACB，

∴∠EPD=∠BCD，∠ PDE=∠CDB，故△PDE∽△CDB，

∴PD∶DC=ED∶BD，即ED·DC=PD·BD=3，

∴（3AD/7）·DC=3，故AD·DC=7。

5，如图XZ5，已知：AD、AE分别为△ABC的内、外角平分线，

【解析】根据角平分线定理，AC∶AB=DC∶BD = EC∶BE，

∴（CD+BD）∶BD=（EC+BE）∶BE，

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