《理论力学》静力学典型习题答案

1-3 试画出图示各结构中构件AB的受力图1-4 试画出两结构中构件ABCD的受力图1-5 试画出图a和b所示刚体系整体各个构件的受力图1-5a1-5b1-8在四连杆机构的ABCD的铰链B和C上分别作用有力F1和F2，机构在图示位置平衡。

试求二力F1和F2之间的关系。

解：杆AB，BC，CD为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。

解法1(解析法)假设各杆受压，分别选取销钉B和C为研究对象，受力如图所示：由共点力系平衡方程，对B 点有：∑=0x F 045cos 02=-BC F F对C 点有：∑=0x F 030cos 01=-F F BC解以上二个方程可得：22163.1362F F F ==解法2(几何法)分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和C对B 点由几何关系可知：0245cos BC F F =对C 点由几何关系可知： 0130cos F F BC =解以上两式可得：2163.1F F =2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。

试求A 和C 点处的约束力。

F F解：BC为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB在B点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。

曲杆AB受到主动力偶M的作用，A点和B点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB保持平衡。

AB受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）：=∑M0)45sin(100=-+⋅⋅MaFAθaMFA354.0=其中：31tan=θ。

对BC杆有：aMFFFABC354.0===A，C两点约束力的方向如图所示。

2-4解：机构中AB杆为二力杆，点A,B出的约束力方向即可确定。

由力偶系作用下刚体的平衡条件，点O,C处的约束力方向也可确定，各杆的受力如图所示。

对BC杆有：0=∑M030sin20=-⋅⋅MCBFB对AB杆有：ABFF=对OA杆有：0=∑M01=⋅-AOFMA求解以上三式可得：mNM⋅=31，NFFFCOAB5===，方向如图所示。

// 2-6求最后简化结果。

解：2-6a坐标如图所示，各力可表示为:j Fi FFρρρ23211+=，i FFρρ=2，j Fi FFρρρ23213+-=先将力系向A点简化得（红色的）：j Fi FFRρρρ3+=，kFaMAρρ23=方向如左图所示。

由于ARMFρρ⊥，可进一步简化为一个不过A点的力(绿色的)，主矢不变，其作用线距A点的距离ad43=，位置如左图所示。

2-6b同理如右图所示，可将该力系简化为一个不过A点的力（绿色的），主矢为：i FFRρρ2-=其作用线距A点的距离ad43=，位置如右图所示。

简化中心的选取不同，是否影响最后的简化结果？是2-13解：整个结构处于平衡状态。

选择滑轮为研究对象，受力如图，列平衡方程（坐标一般以水平向右为x 轴正向，竖直向上为y 轴正向，力偶以逆时针为正）：∑=0x F 0sin =+Bx F P α ∑=0y F0cos =--αP P F By选梁AB 为研究对象，受力如图，列平衡方程：∑=0x F 0=-Bx Ax F F ∑=0y F 0=-By Ay F F0=∑A M0=⋅-l F M By A求解以上五个方程，可得五个未知量A By Bx Ay Ax M F F F F ,,,,分别为：αsin P F F Bx Ax -==（与图示方向相反） )cos 1(α+==P F F By Ay （与图示方向相同）l P M A )cos 1(α+= （逆时针方向）2-18解：选AB 杆为研究对象，受力如图所示，列平衡方程： 0=∑A M0cos cos 2cos =⋅-⋅-⋅αααl F l G a N D∑=0y F0cos =--F G N D α求解以上两个方程即可求得两个未知量α,D N ，其中：31])2()(2arccos[lG F a G F ++=α未知量不一定是力。

2-27解：选杆AB 为研究对象，受力如下图所示。

列平衡方程：（运用力对轴之矩！）以下几题可看一看！=∑yM0tansincostan21=⋅-⋅-⋅αθθαcFcFcPBCBCNFBC6.60='=∑xM0sin21=⋅-⋅-⋅aFcFaPBCBθNFB100=由∑=0yF和∑=0zF可求出AzAyFF,。

平衡方程0=∑xM可用来校核。

思考题：对该刚体独立的平衡方程数目是几个？2-29解：杆1，2，3，4，5，6均为二力杆，受力方向沿两端点连线方向，假设各杆均受压。

选板ABCD为研究对象，受力如图所示，该力系为空间任意力系。

采用六矩式平衡方程：=∑DEM045cos02=⋅F02=F=∑AOM045cos45cos45cos06=⋅-⋅-aFaFFF226-=(受拉)=∑BHM045cos45cos064=⋅-⋅-aFaF FF224=(受压) 0=∑ADM045sin45cos061=⋅-⋅+⋅aFaFaFF F 2211+=(受压)0=∑CD M 045sin 031=⋅-⋅+⋅a F a F a F FF 213-=(受拉)0=∑BC M045cos 0453=⋅-⋅+⋅a F a F a F05=F本题也可以采用空间任意力系标准式平衡方程，但求解代数方程组非常麻烦。

类似本题的情况采用六矩式方程比较方便，适当的选择六根轴保证一个方程求解一个未知量，避免求解联立方程。

2-31 力偶矩cm N M⋅=1500解：取棒料为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程:⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑=∑=000Oy x M F F⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅+=+-=-+02)(045sin 045cos 21102201M DF F N p F N p F 补充方程：⎩⎨⎧==2211N f F N f F s s 五个方程，五个未知量s f N F N F ，2211,,,，可得方程：02222=+⋅⋅-⋅M f D p f M S S解得491.4,223.021==S S f f 。

当491.42=S f 时有：)1(2)1(2221<+-=S S f f p N 即棒料左侧脱离V 型槽，与提议不符，故摩擦系数223.0=S f 。

2-33解：当045=α时，取杆AB为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑=∑=AyxMFF⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-⋅-⋅=-+=-sin2cossinsincoscossinααθαθθθBApCATCATpTFTFSN附加方程：NSSFfF=四个方程，四个未知量sSNfTFF，,,，可求得646.0=sf。

2-35解：选棱柱体为研究对象，受力如图所示。

假设棱柱边长为a，重为P，列平衡方程：⎪⎩⎪⎨⎧∑=∑=∑=000xB A F M M⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+⋅+⋅-=+⋅-⋅0sin 032sin 2cos 032sin 2cos αααααP F F a P a P a F a P a P a F B A NA NB 如果棱柱不滑动，则满足补充方程⎩⎨⎧==NBs B NA s A Ff F F f F 21时处于极限平衡状态。

解以上五个方程，可求解五个未知量α,,,,NB B NA A F F F F ，其中：32)(3tan 1221+-+=s s s s f f f f α(1)当物体不翻倒时0≥NBF ，则：060tan ≤α(2)即斜面倾角必须同时满足(1)式和(2)式，棱柱才能保持平衡。

3-10解：假设杆AB ，DE 长为2a 。

取整体为研究对 象，受力如右图所示，列平衡方程：∑=0C M 02=⋅a F By 0=By F取杆DE 为研究对象，受力如图所示，列平 衡方程：∑=0H M 0=⋅-⋅a F a F Dy F F Dy =∑=0B M02=⋅-⋅a F a F Dx F F Dx 2=F CxF CyF BxF By取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0y F 0=++By Dy Ay F F FF F Ay -=(与假设方向相反)∑=0A M 02=⋅+⋅a F a F Bx Dx F F Bx -=(与假设方向相反) ∑=0B M02=⋅-⋅-a F a F Dx AxF F Ax -=(与假设方向相反)3-12解：取整体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0C M 0=⋅-⋅x F b F DFbx F D = 取杆AB 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0A M 0=⋅-⋅x F b F BF bx F B =F CxF CyF D杆AB 为二力杆，假设其受压。

取杆AB 和AD 构成的组合体为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0E M02)2(2)(=⋅--⋅+⋅+bF x b F b F F AC D B解得F F AC=，命题得证。

注意：销钉A 和C 联接三个物体。

3-14解：取整体为研究对象，由于平衡条件可知该力系对任一点之矩为零，因此有：∑=0A M 0)(=+-M M F M B A即B F 必过A 点，同理可得A F 必过B 点。

也就是A F 和B F 是大小相等，方向相反且共线的一对力，如图所示。

F AF B取板AC 为研究对象，受力如图所示，列平衡方程：∑=0C M 045cos 45sin 00=-⋅-⋅M b F a F A A解得：ba M F A-=2(方向如图所示)3-20解：支撑杆1，2，3为二力杆，假设各杆均受压。

选梁BC 为研究对象，受力如图所示。

其中均布载荷可以向梁的中点简化为一个集中力，大小为2qa ，作用在BC 杆中点。

列平衡方程：∑=0B M 0245sin 03=-⋅-⋅M a qa a F)2(23qa aMF +=(受压)选支撑杆销钉D 为研究对象，受力如右图所示。

列平衡方程：∑=0x F 045cos 031=-F F qa a M F 21+=(受压)∑=0y F045sin 032=--F F )2(2qa aM F +-=(受拉)选梁AB 和BC 为研究对象，受力如图所示。

列平衡方程：DF 3 F 2 F 1xy∑=0xF045cos03=+FFAx)2(qaaMFAx+-=(与假设方向相反)∑=0yF0445sin032=--++qaPFFFAyqaPFAy4+=∑=0AM0345sin242032=-⋅+⋅-⋅-⋅+MaFaqaaPaFMAMPaqaMA-+=242(逆时针)3-21解：选整体为研究对象，受力如右图所示。

列平衡方程：∑=0AM022=⋅-⋅aFaFByFFBy=∑=0BM022=⋅-⋅-aFaFAyFFAy-=∑=0xF0=++FFFBxAx(1)由题可知杆DG为二力杆，选GE为研究对象，作用于其上的力汇交于点G，受力如图所示，画出力的三角形，由几何关系可得：FFE22=。