静定结构的位移计算-图乘法
静定结构的位移计算—图乘法计算静定结构的位移(建筑力学)
ql 2 8
) (5 8
l) 4
5ql 4 384 EI
()
温度变化时位移计算公式
设结构上侧温度变化t1，下侧温度变化t2，则杆轴线处温度变化为t0 =（h2t1+h1t2）/h。
此时任一微元体变形如图所示，包括两种形式：
①轴线伸长量du； ②截面转角dθ。
使用公式 L t L 和图中的几何关系，不难得到：
l
l
]
[t0
0
l
t h
1 2
l
l
]
-6l 18l 2 6l(1 3)()
h
h
N图
M图
支座位移时结构位移计算公式
支座位移直接引起结构位移，并不引起结构变形。因此，仅有支座位移时， 结构微元体变形为0。所以，虚拟状态内力虚功为0。将这一结论代入结构位移计 算的一般公式，即可得到支座位移时结构的位移计算公式：
N Nds EA
荷载作用下位移计算步骤
（1）计算位移状态（实际状态）结构内力：M、Q、N； （2）假设虚拟状态（受力状态）； （3）并求其内力 M、 、Q ；N （4）代入位移计算公式并求解。
计算示例
例：计算图（a）所示简支梁中点C处得竖向线位移（EI为常数）。
（a）实际状态
（b)虚拟状态
解：（1）计算实际状态弯矩
位置如图a所示。
（3）当图形的面积和形心位置不易
图b
确定时,可将其分解为几个简单的图形,分
别与另一图形相乘,最后把结果相加,图b。
图a
（4）当y0所在图形是由若干直线段
组成的折线时,应分段进行图乘，再进行叠
加，图c。
（5）当直杆各杆段截面性质不同,即
EI不同时,应分段图乘,再进行叠加，图d。
结构力学静定结构位移计算习题解答
6-1 求图示桁架AB 、AC 的相对转角，各杆EA 为常量。
解：（1）实状态桁架各杆的轴力如图（b ）所示。
(b)(a)N(d )(c)题6-1N N（2）建立虚设单位力状态如（c ）所示,求AB 杆的转角。
1113(2)82i P iAB i i P a P a P a N N l P a a a E A EA EA EA EAϕ⋅⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅⋅==++⨯=∑（↺）（3）建立虚设单位力状态如（d ）所示,求AC 杆的转角。
113(2)()(72i P i AC i iP a P a N N lPa a E A EA EA EAϕ⋅⋅⋅-⋅-⋅⋅==+⨯=∑（↺）故，AB 、AC 的相对转角为两杆转角之差：8(7(10.414AB AC P P P PEA EA EA EAϕϕϕ+-=-=-==-（夹角减小）6-2 求半圆曲梁中点K 的竖向位移。
只计弯曲变形。
EI 为常数。
方法一 解：（1）荷载作用下的实状态的约束反力如图（a ）所示。
以任意半径与水平坐标轴的顺时针夹角为自变量，其弯矩方程为：sin (0)P M θθπ=-≤≤Pr（2）建立虚设单位力状态如（b ）所示，其弯矩方程为：[]1cos )(0)2211cos()cos )()222i M πθθππθθθπ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-=≤≤⎪⎩(r -r r -r (r +r(a)题6-2（3）积分法求半圆曲梁中点K 的竖向位移。
20233220022311cos )(sin )cos )(sin )2211cos )sin cos )sin sin sin 2)sin sin 2)2222cos 2i V Pk Pr Pr M M ds rd rd EIEI EI Pr Pr d d d d EI EI Pr EI πππππππππθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⋅-⋅-⋅∆==+⎡⎤⎡⎤=-⋅+⋅=-+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(r -r (r +r (-(+(-(+(-11320211cos 2)cos cos 2)442Pr EI πππθθθ⎡⎤⎢⎥+-+=-↑⎢⎥⎣⎦（）( 方法二：本题也可以只算纵向对称轴左边，再乘2。
静定结构的位移计算
第4章
二、单位荷载法
1、定义：应用虚力原理，通过加单位力求实际位移的方法。 2、计算结构位移的一般公式
PK=1 RK
1
RK RK3
2
( a , a , a , Ca )
位移状态
RK
4
(M K ,Q K , N K , RK )
虚力状态
对上述两种状态应用虚功原理：
1 Ka R K 1 C a1 R K 2 C a 2 M K a ds Q K a ds N K a ds
P/2
P/2
c
c
CV
4、结构的动力计算和稳定分析中，都常需计算结 构的位移。
第4章
三、计算位移的有关假定
2、小变形假设。变形前后荷载作用位臵不变。 3、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。 4、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆 弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
ω1
ω2
MP图
1 Δ (ω1 y1 ω2 y2 ) EI
第4章
3、当杆件为变截面时亦应分段计算； y1
EI1
y2
EI 2
MK图
ω1
EI1
ω2
EI 2
MP图
1 1 Δ ω1 y1 ω2 y2 EI1 EI 2
第4章
4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧时，取正号； 异侧时，取负号。
13860 0.0924m( ) EI
第4章
例题 试求左图所示刚架C点的竖向位移AV和转角C。 EI 1.5 105 KN m 2 各杆材料相同，截面抗弯模量为:
MB A
力状态(状态1)
静定结构的位移计算
第4章静定结构的位移计算计算结构位移的目的结构在荷载作用下会产生内力，同时使其材料产生应变，以致结构发生变形。
由于变形，结构上各点的位置将会发生改变。
杆件结构中杆件的横截面除移动外，还将发生转动。
这些移动和转动称为结构的位移。
此外，结构在其他因素如温度改变、支座位移等的影响下，也都会发生位移。
b5E2RGbCAP例如图4—1a所示简支梁，在荷载作用下梁的形状由直变弯，如图4—1b所示。
这时，横截面的形心移动了一个距离，称为点的线位移。
同时截面还转动了一个角度，成为截面的角位移或转角。
p1EanqFDPw又如图4—2a所示结构，在内侧温度升高的影响下发生如图中虚线所示的变形。
此时，C点移至C点，即C点的线位移为C C。
若将C C沿水平和竖向分解<图4—2b），则分量C C和CC分别称为C点的水平位移和竖向位移。
同样，截面C还转动了一个角度，这就是截面C的角位移。
DXDiTa9E3d在结构设计中，除了要考虑结构的强度外，还要计算结构的位移以验算其刚度。
验算刚度的目的，是保证结构物在使用过程中不致发生过大的位移。
RTCrpUDGiT计算结构位移的另一重要目的，是为超静定结构的计算打下基础。
在计算超静定结构的反力和内力时，除利用静力平衡条件外，还必须考虑结构的位移条件。
这样，位移的计算就成为解算超静定结构时必然会遇到的问题。
5PCzVD7HxA此外，在结构的制作、架设等过程中，常须预先知道结构位移后的位置，以便采取一定的施工措施，因而也须计算其位移。
jLBHrnAILg本章所研究的是线性变形体系位移的计算。
所谓线性变形体系是位移与荷载成比例的结构体系，荷载对这种体系的影响可以叠加，而且当荷载全部撤除时，由何在引起的位移也完全消失。
这样的体系，变形应是微小的，且应力与应变的关系符合胡克定律。
由于变形是微小的，因此在计算结构的反力和内力时，可认为结构的几何形状和尺寸，以及荷载的位置和方向保持不变。
xHAQX74J0X功广义力和广义位移在力学中，功的定义是：一个不变的集中力所作的功等于该力的大小与其作用点沿力作用线方向所发生的分位移的乘积。
结构力学-图乘法
NP
N
1
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第23页
DP
M M P ds EI
F N FNP l EA
1 1 4 1 2 2 ( 2 2 8 ) 3 ( 2 2 2 ) 3 ( 3 2 0 . 5 ) 1 EI 4 1 2 2 1 ( 4 8 ) ( 4 8 ) ( 4 2 ) 1 2 EI 2 3 2 3 3 1 1 EA
Δ Cy
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第17页
解 绘出实际状态及虚拟状态的 M P 、M 图。
72
2 16 8 4 2 16 8
20
4
MP图
y5 y 4 y 3
y1 y2
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第18页
Cy
yc
EI
[( 4 20 )( 4 ) ( 4 4 )( 4 )] EI 2 3 3 2
B
xd
A
xc
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
结构力学电子教案
第七章
静定结构位移计算
第4页
B
A
M M P ds EI
tg EI
xc
yc
EI
由此可见，上述积分式等于一个弯矩图的面积 乘以其形 心处所对应的另一个直线弯矩图上的纵距 y c ，再除以EI。 这就是图形相乘法的计算公式，简称为图乘法。
结构位移计算中复杂图形图乘法技巧探析
结构位移计算中复杂图形图乘法技巧探析摘要：以结构力学位移计算中复杂图形图乘法为背景，分析了图乘法的三个应用条件，总结了复杂图乘法的常用方法。
以线荷载作用下悬臂梁中点竖向位移和变刚度悬臂梁端点竖向位移的两个计算实例，分析了构造标准抛物线图形的技巧，总结了图乘法分段图乘、加减相伴的图乘原则，对复杂图形图乘法的计算效率大大提高。
关键词：结构力学；位移计算；图乘法；技巧探析1图乘法的基本公式结构力学单位荷载法计算位移的一般公式中，由积分法计算梁或刚架杆件的结点或截面位移。
若积分法满足如下三个条件：其一，杆件是直杆；其二，截面抗弯刚度EI为常数；其三，两个图形中至少有一个是直线图形时，可以采用图乘法求解结点或截面位移［1-2］。
图乘法的应用简化了位移计算求解过程，减少了计算量。
图乘法的发明是由当时为莫斯科铁路运输学院的学生V ereshchagin于1925年提出，该方法后以他的名字被命名为韦列夏金规则。
位移积分法简化为图乘法的公式如式（1），具体推导过程参见文献［3-4］。
∫BAMiMkEIds=1EIωy0（1）式中，Mi,Mk中至少有一个图形是直线的弯矩图，EI是截面抗弯刚度且为常数，A,B是杆件积分区间，ds是截面微段，ω是曲线弯矩的面积（若两弯矩图均为直线，可任取），y0是曲线弯矩图的形心位置对应直线弯矩图的纵坐标。
2复杂图乘法分析结构力学教材中给出一般图乘法总结如下：式中括号内a,b,c,d同侧为正，异侧为负。
特殊情况一个梯形为三角形，式（2）的a,b,c,d中一项为0，问题得以简化。
除文献4介绍的两种方法外，还可以采用延长1弯矩图形的方法。
图2中Mp弯矩图分解为ω1和ω2，ω1沿整个l长度为标准二次抛物线，对应形心位置为y1；同样ω2沿右端l/2长度为标准二次抛物线，对应形心位置为y2；两者所得位移相减，即为ΔC的竖向位移，如式（3）。
Δc=ω1·y1－ω2·y2＝1EI［13·12ql2·l·l4－(－13·18ql2·l2·l8)］=17ql4384EI(↓)（3）实例二，求解图3（a）B点竖向位移，（沿杆件各段EI不同）由于沿直杆EI不同，常用方法必须采用分段图乘。
结构位移计算-3图乘法
l
h
qh3l () 12EI
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。
C
lq
1
1 1
A
B
ll
Mi 1/l
ql 2 / 4
ql 2 / 4
0
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
CD
yc 1 2ql2 1
EI EI 3 8 2
ql / 4 ql / 4
例. 试求图示梁B端转角.
A
P B B
EI
l/2
l/2
MP
Pl/ 4
解: B MEMIPds
yc
EI
1 1 l Pl 1 EI 2 4 2
M1
A
B
1
Mi
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结
果为正?
1 Pl 2 ( ) 16 EI
练习： 试求图示梁A端竖向位移. P
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P
A
C
l
l
2
2
a
B
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
D
NP P/2
P A
l Cl
2
2
a
B
Ni 1/ 2
D
1 A
l Cl
2
2
a
B
l
MP
Pl
M
4
4
C y E 2 [1 2 ( I2 l P 4 ) 3 2 l 4 l] E 1 1 2 A P 2 a 4 P E 38 l 4 P E I( ) a A
三、图形分解
求 B
6 静定结构的位移计算2
三,应用图乘法的几个具体问题
对于两个图形都是梯形的情况(异侧) 对于两个图形都是梯形的情况(异侧)
A a C
A 1
MP1
A 2
MP2
B b D
y2
MP 图
y1
d
1 1 1 ∫ MP Mdx = EI (∫ Mp1Mdx + ∫ Mp2 Mdx) = EI ( A1 y1 + A2 y2 ) EI
c
3 5PL Ay0 1 1 L L8EI EI EI 2 2 2 6
点竖向位移. 例 7: 计算图示结构 点竖向位移. : 计算图示结构A点竖向位移
AV
3 Ay0 1 qL 3L qL4 =∑ = × × = EI EI 3 4 4EI
AV
A
C
1 M =1 =1 M
B
M
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
A y0 EI
0
1/ l
q
MP
解:作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
C =
ql / 4 ql / 4
∑
1 2 ql 2 1 = × × ×l × EI 3 8 2 ql 3 ( ) = 24 EI
组合结构, 例 9. 已知 组合结构,求△Dy.
6-7 静定结构支座移动时的位移计算
静定结构由于支座移动不会产生内力和变形, 静定结构由于支座移动不会产生内力和变形,
k = ∑ FR c + ∑ ∫ FN du + ∑ ∫ M d + ∑ ∫ FS γds
得到: 得到:
Kc = ∑ FR c
仅用于静定结构
h
1 1
l/2
l/2 a
浅谈用图乘法计算结构位移的要点
△ ： ∑』
３ ． ３注 意事 项
， ｄ ｓ ＝ ∑
ｓ
△ ： ∑ 』
、
＋ ∑ 』
＋ Ｚ ． ｆ － ｈ － Ｍ
ｚ
这 样 就把 积 分 运 算 转 化 成 了 四 则 运算 ， 大 大 减 少 了 ¨算 量 。 式 巾 ∑ 表 示 各 或 各 杆段 分 别 图乘 然 后 求 和 。 （ １ ） 结 构 必 须满 足 以上 三 个 应 用 条 什 ， 日 纵＾ 标 必 须 取 白真 线 图 形 ， 对
（ ２ ） 面积 Ａ与纵坐标 Ｙ 。 在基线 的同 一 侧时 ， Ａ 耿正号 ， 在 不 同侧 时 ， 耿 负号 。
和剪切变 形 ‘ 般很小 ，所 以可 以忽略这 两部分 的影 响而仅考虑 弯曲变形 ， 实 践 证 明这 足 以满 足 工 程 的精 度 要 求 。 因 此 结 构 的 位移 计 算 公 式 就 简 化 为
小结： 图 乘 法 是 学 习 结 构 力 学 的 必 备 工 具 之 ， 在 求 解 结 构 尤 其 是 超 静 定 结 构 位 移 的简 单 实 用 的方 法 ， 掌 握 它 将 给 我 们 学 习 结 构 力 学 带 来 极 大 的方 便 ， 而 只 要 理解 公式 的适 用 条 件 我 们 可 以发 现 图乘 法 不 难 掌 握 。希 望 同学们 能够刻苦钻研 ， 深刻理解 图乘 法， 为结构 力学的深入学习打 卜 基
则运算 ， 从而使计算得以简化。
用图乘法带来帮助。 例： 求 Ｆ图所示杆件 结构 Ｃ 点的竖向位 移， 图巾各杆长度均 为 １ ， 刚 发
均为 Ｅ Ｉ且 Ｅ Ｉ 为常数。
ａ
３ ． ２推 导 过 程 如 下 图所 示 为 一 直 杆 的 两 个 弯矩 图 ， 图 中坐 标 为 Ｘ的任 意 截 面 上 可表
结构力学 静定结构的位移计算1
P
A
3．位移计算的一般公式
设：结构受荷载的作用， 及支座移动，求A点的竖 向位移。
W外=W变
外力所作的虚功总和W外，等于 各微段截面上的内力在其虚变 形上所作的虚功的总和W变 。
1）位移状态的设定 q
P A
dx
a) 若求结构上C点的竖向位移，
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力矩。
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力 偶的两个集中力的值取 1/d。 作用于杆端且垂直于杆(d等 于杆长)。
3) 若要求结构上两点(A、B)沿其连线 的相对位移，可在该两点沿其连线 加上两个方向相反的单位力。
A
2）作 M 图 P=1
A C
1.5 M1 图
B 2m
6
B
B
D
66
A
BB
D
9
1
CV
1 1 61.5 3
EI 2
2 2 3 9 5 1.5
EI 3
8
189
=
（向下）
4EI
2）作 M 图
A
BD
6 6
M2 图
A
BB
D
9
1
D
1 EI
一、概述
1．位移的种类
1) 角位移：杆件横截面产生的转角 2) 线位移：结构上各点产生的移动 3) 相对位移（相对角位移，相对线位移）
Aθ
Δ A
θ
（A截面的转角θ ）
（A结点的水平线 位移Δ，转角θ）
ΔA A
静定结构位移计算典型例题(附详细解题过程)
静定结构的位移计算——典型例题【例1】计算如图1(a)所示梁结构中跨中C 点的竖向位移，已知EI 为常数。
【解】方法一：（积分法）（1）荷载作用的实际状态以及坐标设置如图6-8(a)，其弯矩方程为：（2）虚设单位力状态，以及坐标设置如图6-8(b)，其弯矩方程为：（3）积分法求跨中的竖向位移图1方法二：图乘法（1）荷载作用的实际状态，其弯矩图如图1(c)所示； （2）虚设单位力状态，其弯矩图如图1(d)所示； （3）图乘计算跨中竖向位移【例2】计算如图2(a)所示半圆曲梁中点C 的竖向位移，只考虑弯曲变形。
已知圆弧半径为R ，EI 为常数。
CV ∆21102211112222P qlx x l M qlx q x l l x l ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎛⎫⎪--<≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩1021122x x l M l l x l ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩24/20/211111113()22222232l l P CVl MM ql ds x qlxdx l qlx q x l dx EI EI EI EI ⎡⎤⎛⎫∆==⨯⨯+⨯⨯--=↓⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰4222211112111311121113()222432284223232232cPCV A y MM ds EI EI ql l ql l ql ql l l l ql l EI EI EI ω∆==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯=↓ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑⎰CV ∆图2【解】（1）实际荷载作用下，以任意半径与x 轴的顺时针夹角θ为自变量（图2a ），弯矩方程为（截面内侧受拉为正）：（2）虚设单位荷载状态如图2(b)所示，其弯矩方程为：（3）积分法求跨中的竖向位移【例3】如图3(a)所示梁的EI 为常数，在荷载F 作用下测得结点E 的竖向位移为9mm （向下），求截面B 处的角位移。
图乘法计算直梁和刚架的位移
设：EI = 1.5 ×105 KN m 2
第16章 静定结构位移计算 16章
c所示 所示。 解 荷载弯矩图和单位弯矩图如图 b c所示。 在AB段, MP和 AB段 图均是三角形； M图均是三角形； 在BC段，MP图 BC段 可看作是由B.C 可看作是由B.C 两端的弯矩竖标所连成的三角形 与相应简支梁在均布荷载作用下的标准抛物线图 即图b中虚线与曲线之间包含的面积]叠加而成。 [即图b中虚线与曲线之间包含的面积]叠加而成。
第16章 静定结构位移计算 16章
解 先作出M 先作出MP图和
M 图 分别如图 (b)(c)所示。 (b)(c)所示 所示。
,
第16章 静定结构位移计算 16章
应用图乘法求得结点B的水平位移为： 应用图乘法求得结点B的水平位移为：
BH
=
1 (ω1 y1 + ω 2 y 2 + ω 3 y3 ) = EI
第16章 静定结构位移计算 16章
将上述各部分分别图乘再叠加， 将上述各部分分别图乘再叠加，即得
1 1 1 2 × 2 × × 300 × 6 × 4 × × 45 × 6 × 3 EI 2 EI 3
CV =
6660 6660 = = = 0.0444 m = 4.44cm(↓ ) 5 EI 1.5 × 10
θ =du= dv = 0
于是上式可简化为
K= -－
Σ FRi Ci
第16章 静定结构位移计算 16章
这就是静定结构在支座位移时的位移计算 公式。 为虚拟状态图b 公式。式中 FRi 为虚拟状态图b的支座反力 Ci为实际状态的支座位移 为实际状态的支座位移， Ci为实际状态的支座位移， Σ F C 为反
第16章 静定结构位移计算 16章
建筑力学第五章_静定结构位移计算
1）图乘法的应用条件
1、杆件为直杆； 2、各杆段的EI分别等于常数；
形心
ω
A
B
3、M、MP图中至少有一个是直线图形。
y
2）图乘法的计算公式
A
B
Δ
=
Σ
ωi yi EI
为任一弯矩图（直线或曲线均可）的面积
y为面积为的弯矩图图形的形心对应的直线弯矩图的纵坐 标，即y必须在直线图上量取。
公式正负号规定：若与y 在杆件的同一侧时，乘积取正值，
1
二、位移计算的一般公式
虚功和虚功原理
功、广义力、广义位移 物理上定义：W = F·S F—集中力；S—线位移 现在将此式的定义扩大： W = P 式中： W—广义功； P—广义力； — 与P相应的广义位移 功的正负号规定：当力P与相应位移Δ方向一致时，功为正； 两者方向相反时，功为负。
虚功
1、 定义：凡力在其它因素引起的位移上所做的功，称为 虚功。
①增加中间支座
5ql 4 fa 384EI
而
１
fb 38 fa
28
②两端支座内移
如图所示，将简支梁的支座向中间移动而变成外伸梁， 一方面减小了梁的跨度，从而减小梁跨中的最大挠度；另 一方面在梁外伸部分的荷载作用下，使梁跨中产生向上的 挠度（图c），从而使梁中段在荷载作用下产生的向下的 挠度被抵消一部分，减小了梁跨中的最大挠度值。
MAB A
qL2/8
A
B
MBA
＋
B A
B
qL2/8
A
B
15
C
例1：试用图乘法计算如图所 MP图 A ω1
B
示简支梁跨中截面C的竖向位
移ΔC和B端的角位移φB。EI为
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
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桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
建筑工程力学单元10-静定结构的位移计算
单元10 静定结构的位移计算
高等教育出版社
单元10 静定结构的位移计算
10.1 计算结构位移的目的 10.2 变形体的虚功原理 10.3 结构位移计算的一般公式 10.4 计算静定结构在荷载作用下的位移 10.5 图乘法计算静定结构在荷载作用下的 10.6 计算静定结构在支座移支时的位移 10.7 线弹性结构的互等定理
线性变形体系和叠加原理的使用条件是：①材料 处于弹性阶段，应力与应变成正比；②小变形。因 此可以应用叠加原理计算结构的位移。
10.2 变形体的虚功原理
一、功、实功和虚功
（1）功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力×力作用点沿力方向上的位移
（2）实功：力在本身引起的位移上作功，恒为正值 （3）虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功（力 在虚位移上作的功），可正可负 力与位移同向，虚功为正，力与位移反向，虚功为负。 虚位移：与作功的力无关。是结构的支承条件和变形条
刚架与梁的位移计算公式为：
iP
MM Pds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
图乘条件：（1）EI为常量或分段为常量； （2）杆轴为直线或分段为直线；（3）MP、 M 中至少有一个为直线或分段为直线。
一、图乘法公式推导
MM EI
P
ds
1 EI
MM Pds
(对于等 截面杆)
K FSFSPds GA
10.4 计算静定结构在荷载作用下的位移
二.位移计算公式
1.梁与刚架
KP
M M P ds EI
2.桁架
KP
FNFNPds EA
FNFNP ds EA
FN FN P l EA
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这种利用内力图相乘代替积分的方法称为图乘法。
如果两个图形均为直线，则可取其中任一图形面积和 另一图形纵距相乘；如果两个图形都为曲线，则不能用图 乘法。
利用图乘法应注意：
（1）要满足3个条件；
（2）形心的纵距需取自直线图形； （3）正、负号规定：两个内力图在基线同侧时，乘 积为正。
例 1 计算图示结构 C 点转角
FP
FP B
C
0.5EI
a
EI A
a
C
5FP a 2 2EI
(
)
例 2 ：计算图示结构 B 点转角。
A
B
EI
20kN
m 10m40kN
m
B
500 3EI
(
)
当内力图是由迭加得到时，图乘也可用迭加法。
对于两个图形都是梯形的情况（同侧）
1
2
Mp M dx 1 y1 2 y 2
y1
(2c 3
d)
FP
EI
A
C
B
l/2 l/2
例 8： 计算图示结构A点竖向位移
FP＝0.5qL q
A
EI B
L
例 9（课后完成） : 计算图示结构 C点竖向位移 q
A l/2C l/2 B
作业： 5—20、5—23
第五章 静定结构的位移计算
§5-5 图乘法
目的：用弯矩图面积乘积代替积分 条件：
（1）各杆为等直杆 （2）各杆截面物理参数（EI、EA、GA）为常数 （3）内力图Mp、MK中至少有一个是直线
K
M P M ds Mp M C
EI
EI
(d )
公式（d）的意义在于：当两个内力图形中有一条为 直线时，其积分结果为曲线图形积分段内的面积ω与其形 心相对应的直线图形中纵距的乘积。
EI＝常数 D A
a
DH
FP a 3 6EI
()
例 4： 计算图示结构 B 点转角
q
A
B EI ql2 / 4
B
ql3 24 EI
(
)
l
例 5: 计算图示结构 C点竖向位移
A
CV
11qL4 384EI
()
q
B
C
L
L/2
例 6： 计算图示结构 C 点竖向位移
q
A
B
EI
C
l/2
l/2
例7： 计算图示结构 C 点竖向位移
y2
(c
2d ) 3
当内力图是由迭加得到时，图乘也可用迭加法。
对于两个图形都是梯形的情况（异侧）
A a 1 C
y1
c
2
y2
B b MK 图 D
d M图
Mk M dx 1 y1 2 y 2
y1
(2c 3
d
)
y2
(c
2d) 3
例3： 计算图示结构 D 点水平位移
FP
FP B
C
a/2 a/2