Song神圆锥曲线的性质整理 (1)
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数学
椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）
椭圆必背的经典结论
1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
x
2.PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的
轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
x
3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
x
4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x
5.若
000
(,)
P x y在椭圆
22
22
1
x y
a b
+=上，则过
P的椭圆的切线方程是
00
22
1
x x y y
a b
+=.
x
6.若
000
(,)
P x y在椭圆
22
22
1
x y
a b
+=外，则过Po作椭圆的两条切线切点
为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
+=.
x
7. 椭圆
2
2
22
1x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF θ∠=，则椭圆的焦点三角形的面积为
122tan
2
F PF S b θ
∆=.
x
8. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：
10||MF a ex =+, 20||MF a ex =- (1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).
x
9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴的一个
顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
x
10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交
于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上
的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
11. AB 是椭圆22
221x y a b
+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中
点，则2
2OM AB
b k k a ⋅=-，即0
202y a x b K AB -=.
x
12. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是
22
00002222x x y y x y a b a b
+=+.
若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=内，则过Po
的弦中点的轨迹方程是
22
002222x x y y x y
a b a b
+=+.
14.椭圆的光学特性.
双曲线
1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.
2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
y
x
x
4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线
的切线方程是00221x x y y
a b
-=.
6. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲
线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y
a b
-=.
7. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为
双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为
122t
2
F PF S b co γ
∆=.
8. 双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c
当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.
当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--
1. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.
2. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.
3. AB 是双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，
M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0
20
2y a x b K AB =。
4. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则被Po 所平分
的中点弦的方程是22
00002222x x y y x y a b a b
-=-.
5. 若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b
-=（a ＞0,b ＞0）内，则过Po 的弦中
点的轨迹方程是22002222x x y y
x y a b a b
-=-.
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭 圆
椭圆会推导的经典结论 1. 椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ，
与y 轴平行的直线交椭圆于P 1、P 2时A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程
是22
221x y a b
-=.
2. 过椭圆22
221x y a b
+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条
倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点，则直线BC 有定向且
20
20
BC
b x k a y =（常数）
.