圆的一般方程化为标准方程公式

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圆标准方程和一般方程公式

圆标准方程和一般方程公式圆是一种常见的几何形状，其特点是它的所有点都离某一点（称为圆心）的距离都相等。

由于圆的特殊性，许多有关它的几何公式非常有用，其中有一种叫做“标准方程”的公式，可以很简洁地描述一个圆。

除此之外，还有一种称为“一般方程”的公式，它也可以描述一个圆，但它更加灵活。

一、圆的标准方程圆的标准方程是 x2+ y2 =r2，其中x和y分别是圆上任一点的横纵坐标，r是圆的半径，即定义圆的点到圆心的距离。

根据这个公式可以知道，任意一个点的坐标之和的平方等于这个点和圆心的距离的平方，也就是说，任意一个点到圆心的距离都一定是定值r。

二、圆的一般方程圆的一般方程为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2，其中a、b和r分别为圆心的横纵坐标和圆的半径。

这个公式表示圆上任一点（x,y）到圆心（a, b）的距离的平方等于圆的半径平方，也就是说任一点到圆心的距离都是定值r。

这是一般方程的一般形式，也就是说，只要圆心和半径单独给定，就可以求出一个圆的一般方程。

三、两种方程的比较有了标准方程和一般方程的概念，我们可以比较这两种方程的异同点了。

首先，标准方程不需要给出圆心的坐标，只用一个半径便可以描述一个圆，而一般方程则需要具体的圆心坐标。

此外，由于标准方程只有一个参数（半径），因此它描述的圆只能是圆心位置固定的某一个圆，而一般方程可以描述任意位置的圆。

四、圆的标准方程和一般方程的应用圆的标准方程和一般方程可以应用于多种领域。

在几何、数学以及许多其他学科中，它们都可以用来描述各种几何图形，如圆、椭圆、圆柱、圆锥等。

此外，它们也可以用来解决各种实际问题，如矩形中心的坐标、求解圆的面积和周长等。

综上所述，圆的标准方程和一般方程非常重要，它们可以用于许多几何图形描述和实际问题的解答上，发挥着重要作用。

(用)圆的一般方程

ⅱ)方程的思想 (待定系数法)
ⅲ)数形结合的思想
圆的标准方程 x - a + y - b = r
2 2
2
• 方程：x + y - 2 x + 4 y + 5 = 0 表示什么图形？ 2 2 • 方程： x + y - 2 x + 4 y + 1 = 0 表示什么图形？ • 方程：x 2 + y 2 - 2 x + 4 y + 6 = 0 表示什么图形？
2 2
思考：当D=0，E=0或F=0时， 2 2 圆 x + y + Dx + Ey + F = 0 的位置分别有什么特点？
y C o y C x o x y C
o
x
D=0
E=0
F=0
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
练习：求过三点A(0,0), B(6,0), C (0,8)的圆的方程.
例4 已知 ABC 的顶点是A(0，0)、B(1，1)、C(4，2)，
求这个三角形的外接圆方程，并指出它的圆心和半径。解：设所求圆的方程为 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
由 A、 B 、在圆上，则有
D = -8 F =0 E=6 D+ E+F +2= 0 F =0 4 D + 2 E + F + 20 = 0
知识回顾：
圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2

圆方程的一般式和标准式

圆方程的一般式和标准式
圆方程是由椭圆方程扩展而来的，它表示一个圆的几何特性。

圆方程具有两种形式：一般式和标准式。

一般式形式由(x-h)^2+(y-k)^2=r^2构成，其中(h,k)是圆的圆心，r 是半径。

以这种一般式表达，圆的圆心可以是任何坐标系中的点，圆的半径也可以是任意大小的。

而标准式则使用更加一致的方式来表达圆的几何特性，它由
(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0)构成，其中D、E和F是常数。

此外，标准式也可以表示另一种圆方程，即x^2+y^2-2ux-2vy+c=0，在这种圆方程中，(u,v)是圆的圆心，c是半径的平方。

总而言之，圆方程既可以使用一般式表示，也可以使用标准式表示。

使用不同的形式可以更好地描述圆的几何特性，这也是圆方程最常见的应用之一。

圆的一般方程如何化为标准方程公式

圆的一般方程如何化为标准方程公式圆是一个平面内到定点距离为定值的点的集合，那么圆的一般方程可以表示为：(x-a)²+ (y-b)²= r²其中，(a, b)是圆心坐标，r是圆的半径。

我们可以通过一些代数运算将圆的一般方程化为标准方程公式，即：(x-h)²+ (y-k)²= r²其中，(h, k)是圆心坐标。

具体方法如下：1. 将一般方程展开，得到：x²- 2ax + a²+ y²- 2by + b²= r²2. 将x²和y²的系数变为1，即将方程两边同时除以r²，得到：(x²- 2ax + a²)/r²+ (y²- 2by + b²)/r²= 13. 对于第一项，我们可以将x²- 2ax + a²写成(x - a)²的形式，即：(x - a)²= x²- 2ax + a²所以，我们可以将第一项化为：(x - a)²/r²4. 同理，对于第二项，我们可以将y²- 2by + b²写成(y - b)²的形式，即：(y - b)²= y²- 2by + b²所以，我们可以将第二项化为：(y - b)²/r²5. 将第三步和第四步的结果代入原方程，得到：(x - a)²/r²+ (y - b)²/r²= 16. 最后，将r²移到等号右边，即可得到标准方程公式：(x - a)²+ (y - b)²= r²因此，圆的一般方程可以通过一些代数运算化为标准方程公式，使得我们更方便地研究和理解圆的性质和特征。

圆的坐标系公式

圆的坐标系公式
一、圆的标准方程。

1. 在平面直角坐标系中。

- 圆心为(a,b)，半径为r的圆的标准方程为(x - a)^2+(y - b)^2=r^2。

- 例如，圆心为(1,2)，半径为3的圆的方程为(x - 1)^2+(y - 2)^2 = 9。

- 推导：设圆上任意一点P(x,y)，圆心C(a,b)，根据两点间距离公式d=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)，因为圆上的点到圆心的距离等于半径r，所以√((x - a)^2+(y - b)^2)=r，两边平方就得到(x - a)^2+(y - b)^2=r^2。

2. 特殊情况。

- 当圆心在原点(0,0)时，圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

例如，半径为2的圆（圆心在原点）的方程为x^2 + y^2=4。

二、圆的一般方程。

1. 方程形式。

- 圆的一般方程为x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0（D^2+E^2 - 4F>0）。

- 我们可以将一般方程转化为标准方程来确定圆心和半径。

- 对于x^2+y^2+Dx + Ey+F = 0，通过配方可得
(x+(D)/(2))^2+(y+(E)/(2))^2=(D^2 + E^2-4F)/(4)，此时圆心坐标为(-(D)/(2),-(E)/(2))，半径r=(1)/(2)√(D^2 + E^2-4F)。

- 例如，对于方程x^2+y^2 - 2x+4y - 4 = 0，其中D=-2，E = 4，F=-4。

- 先配方：x^2 - 2x+1+y^2+4y + 4=4 + 1+4，即(x - 1)^2+(y + 2)^2=9，圆心为(1,-2)，半径为3。

圆的一般方程求半径

圆的一般方程求半径
圆的一般方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0，其中圆心坐标是（-D/2，-E/2）。

半径：1/2√（D2+E2-4F）。

圆的一般方程
圆的一般方程，是数学领域的知识。

圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0，或可以表示为X+D/22+Y+E/22=D2+E2-4F/4。

标准方程：圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。

如果已知：1圆半径长R；2中心A的坐标a,b，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定如下图。

根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。

结论如下：（x-a）2+（y-b）2=R2。

当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x2+y2=R2。

圆的定义
在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。

这个定点叫做圆的圆心。

圆形一周的长度，就是圆的周长。

能够重合的两个圆叫等圆，等圆有无数条对称轴。

圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但永远无法等于0。

感谢您的阅读，祝您生活愉快。

圆的标准方程椭圆

圆的标准方程基础梳理1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 2．圆的标准方程(1)方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)表示圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r (r ＞0)的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2. 3．圆的一般方程方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4.故有： (1)当D 2＋E 2－4F ＞0时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，以D 2＋E 2－4F 2为半径的圆；(2)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (3)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 4．P (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的位置关系(1)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2，则点P 在圆外； (2)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2，则点P 在圆上； (3)若(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2，则点P 在圆内．例1. 写出下列各圆的方程 (1)圆心在原点，半径是3； (2)经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)；例２. 已知两点P 1(4，9)和P 2(6，3)，求以P 1P 2为直径的圆的方程；且试判断点M(6，9)、N(3，3)、Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？例3. 求下列各圆的半径和圆的坐标： (1) 0622=-+x y x (2)x 2+y 2-8x+6y=0，练习1．圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标准方程为( )．A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．x 2＋(y －1)2＝2C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．(x －1)2＋y 2＝22．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 满足的条件是( ) A ．m <12 B ．m <10 C ．m >12 D ．m ≤123．（重庆1）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（）A.22(2)1x y +-=B.22(2)1x y ++=C.22(1)(3)1x y -+-=D.22(3)1x y +-=4．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离为( ) A.12 B.32C ．1 D. 3 5．(2011年四川)圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3)D ．(2，－3) 6．(2011年安徽)若直线3x ＋y ＋a ＝0过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0的圆心，则a 的值为A ．－1 B ．1 C ．3 D ．－3 7.（广东文，13）以点（2，1-）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 . 8.(2005全国Ⅰ文)设直线l 过点)0,2(-，且与圆122=+y x 相切，则l 的斜率是9.【2012高考辽7】将圆x 2+y 2-2x-4y+1=0平分的直线是（A ）x+y-1=0 （B ） x+y+3=0 （C ）x-y+1=0 （D ）x-y+3=0 10．经过三点A (0，0)、B (1，0)、C (2，1)的圆的方程为（）Ａ．x 2＋y 2＋x －3y －2=0 Ｂ． x 2＋y 2＋3x ＋y －2=0 Ｃ． x 2＋y 2＋x ＋3y =0 Ｄ． x 2＋y 2－x －3y =011.若圆22240x y z y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为（）A ．-2或2B ．2132或C ．20或D ．-2或012．若直线2ax －by ＋2＝0(a >0，b >0)经过圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心，则1a ＋1b 的最小值是A.12 B.14C ．4D ．2直线与圆的位置关系基础梳理 1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：相离、相切、相交．判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ＜0⇔相离.(2) 几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系：d ＜r ⇔相交，d ＝r ⇔相切，d ＞r ⇔相离．例1. 直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB ∣∣= . 例2．已知圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( )．A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．相交过圆心D ．相离例3. 圆422=+y x 被直线0323=-+y x 截得的劣弧所对的圆心角的大小为（）A π3B π6C π4D π2练习1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离2.【2012高考安徽9】若直线01-+-y x 与圆2)(22=+-y a x 有公共点，则实数a 取值范围是（A ） [-3，-1] （B ）[-1，3] （C ） [ -3，1] （D ）（-∞，-3]U[1，+∞）3.【2012高考重庆3】设A ，B 为直线y x =与圆221x y += 的两个交点，则||AB =（D ）24.【2012高考广东8】在平面直角坐标系xOy 中，直线3450x y +-=与圆224x y +=相交于A 、B 两点，则弦AB的长等于A. B. C.D . 15.【2102高考福建7】直线与圆x 2+y 2=4相交于A,B 两点，则弦AB 的长度等于A. D.16.【2102高考北京文9】直线x y =被圆4)2(22=-+y x 截得弦长为__________。

圆的标准方程和一般方程

圆的标准方程和一般方程圆是平面上一组点的集合，这些点到圆心的距离都相等。

圆的标准方程和一般方程是表示圆的两种常用方程形式。

下面将详细介绍这两种方程。

一、圆的标准方程：这个方程的意思是，平面上的一个点(x,y)在圆上，当且仅当这个点到圆心的距离等于半径。

由标准方程可以得到一些重要的信息：1.圆心：方程中的(h,k)给出了圆的圆心坐标。

将方程与标准形式进行比较，可以直接读出圆心的坐标。

2.半径：方程中的r表示圆的半径。

半径是圆心到圆上任意一点的距离，由标准方程可以直接得到半径的值。

3.圆的性质：根据标准方程的形式，可以得出以下性质：（1）所有满足标准方程的点都在圆上；（2）圆心到圆上任意一点的距离都等于半径；（3）与圆心距离相等的两个点在圆上的切线互相垂直。

二、圆的一般方程：圆的一般方程是一种更一般化的圆的代数方程形式，通常写作Ax²+Ay²+Dx+Ey+F=0。

其中A、B、D、E、F都是实数，并且A和B不能同时为0。

这个方程的意思是，平面上的一个点(x,y)在圆上，当且仅当它满足这个方程。

一般方程与标准方程之间的转换：1.一般方程转换为标准方程：要将一般方程转换为标准方程，需要完成以下步骤：（1）将方程展开，同时移动所有项到等号右侧，得到形如Ax²+Ay²+Dx+Ey=-F的方程；（2）提取x和y的系数，得到形如A(x²+y²)+Dx+Ey=-F的方程；（3）将x²+y²用标准形式替代，即(x-h)²+(y-k)²=r²；（4）与一般形式进行比较，解得圆心坐标和半径。

2.标准方程转换为一般方程：要将标准方程转换为一般方程，需要完成以下步骤：（1）将标准方程展开，得到形如(x-h)²+(y-k)²=r²的方程；（2）将方程中的平方项进行拆分，得到形如x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² = r²；（3）将常数项合并，得到形如x² + y² - 2hx - 2ky + (h² + k² - r²) = 0；（4）与一般形式进行比较，解得一般方程的系数A、B、D、E和F。

圆的一般式怎么化成圆的标准方程

圆的一般式怎么化成圆的标准方程圆的标准方程是指一般式ax^2+by^2+cx+dy+e=0中参数a、b、c、d、e满足以下条件：a，b不等于0，且a/b=b/a，c^2+d^2−4ab−4e=0。

一般式是指一个多项式满足一般椭圆及圆形方程，可以用一般式来描述二维图形，如椭圆、圆形等。

圆的一般式和圆的标准方程在形式上有所不同，但是都可以描述圆形，而把一般式利用变元法变换成标准方程可以得到它的中心位置及半径。

圆的一般式为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0，可以利用下面的公式将其变换成圆的标准方程：首先，将常数F提出来使一般式变为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey=−F。

然后，将变元分别约到一次方程，分别得到x和y的二次函数，即x^2+Ex/A+ F/A=0以及 y^2 +Ey/C+F/C=0。

再将上述两式相加，得到x^2+y^2+(E/A+E/C)xy+F/A+F/C=0。

最后，利用参数变换法，即将椭圆的长短轴换到相反的位置，得到x^2/A^2+y^2/C^2+(E/A^2+E/C^2)xy+C/A+A/C=0。

将上述式中的xy项乘以A^2C^2，再加上(A^2+C^2)(E^2/A^2C^2−F/A^2C^2)，得到标准的圆的方程为（x^2/A^2+y^2/C^2）+(E/A^2+E/C^2)xy+(E^2/A^2C^2−F/A^2C^2)=0，其中EC^2/A^2+EC^2/C^2=4，E^2/A^2C^2−F/A^2C^2=0，这表明原式所描述的图形是一个圆形。

总之，圆的一般式和标准方程都能描述圆形，但是要想知道圆的中心和半径，就只能利用变元法把一般式变换成标准方程，由此可以计算出圆的中心位置和半径。

高一数学圆的标准方程和一般方程公式

高一数学圆的标准方程和一般方程公式
高一数学圆的标准方程和一般方程公式
：期中考试已经结束了，大家知道自己还有哪些知识不熟了吗?小编也为大家整理了高一数学圆的公式，希望大家喜欢。

圆：体积=4/3(π)(r^3)
面积=(π)(r^2)
周长=2(π)r
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：(a,b)是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0
(一)椭圆周长计算公式
椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。

(二)椭圆面积计算公式
椭圆面积公式：S=πab
椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

椭圆形物体体积计算公式椭圆的长半径*短半径*PAI*高
总结：高一数学圆的公式就为大家介绍完了，高考是重要的考试，大家要好好把握。

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圆的一般方程和标准公式

圆的一般方程和标准公式圆的标准方程公式：（x-a）²+（y-b）²=R²。

圆的一般方程公式：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。

标准方程圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。

如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定(如下图)。

根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程。

结论如下：（x-a）²+（y-b）²=R²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R ²圆的一般方程圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y的降幂排列，得：x²+y²-2ax-2by+a²+b²-R²=0设D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；则方程变成：x²+y²+Dx+Ey+F=0任意一个圆的方程都可写成上述形式。

把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：(1)x2项和y2项的系数相等且不为0(在这里为1)；(2)没有xy的乘积项。

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0圆的端点式：若已知两点A（a1,b1）,B（a2,b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆 x²+y²=r²上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0·x+b0·y=r²在圆（x²+y²=r²）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0·x+b0·y=r²。

圆的一般方程

(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.
圆的方程配方展开
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
巩固：
１．方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时， m的取值范围是（ D ）
1 A. m1 B. m 1 4
1 1 D. m 或m 1 4 4
C.m
2 - 4 x - 8 y - 80 = 0 2 + y x (4)点 A(3,5) 是圆的一条弦的中点,则这条弦所在的直线方程是
设圆的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
把点A，B，C的坐标代入得方程组
6 + 6D + F = 0 2 8 + 8E + F = 0
2
F =0
D = -6, E = -8.
所求圆的方程为：
2 2 x + y - 6x - 8 3;(y-b)2=r2
1、A ＝ C ≠ 0 2、B=0 3、
D2＋E2－4AF＞0

二元二次方程
表示圆的一般方程
[简单的思考与应用] (1)已知圆
2 + Dx + Ey + F = 0 2 + y x
的圆心坐标为
(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
(D) (D)4,-6,-3
( A)4,-6,3 ( B) - 4,6,3 (C) - 4,6,-3

圆的一般方程(用)

(D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 D2 E2 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
练习
判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 (4) x2+y2-12x+6y+50=0
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
求半径到圆上一点的距离）
（圆心列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F），写出标准方程（或一般方程）
待定系数法
a b 1 0
a 3
(1 a)2 (1 b)2 r 2 b 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2 r 5
圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ( y 2)2 25.
小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦
的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
解1: ∵A(1,1),B(2,-2)
线线段段AABB的的垂中直点平 D(分32 ,线 1C2D),的kA方B 程2为2：11y+13.
1
(x
3 ).
23 2

圆的一般方程和标准方程的转换(含每步提示和答案解析-原创材料)-精选.pdf

圆的标准方程与一般方程的转换1.已知方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是圆的一般方程，则其标准方程为__________。

答案：（x+2D ）２+（y+2E ）２=2244DEF提示①：将原方程配方并整理x2+Dx+（2D）２+y2+Ex+（2E ）２-（2D ）２-（2E ）２+F=0（x+2D ）２+（y+2E ）２-2244DEF=0提示②：将常数项移至方程右边。

（x+2D ）２+（y+2E ）２=2244DEF2.将圆的方程（x-a ）２+（x-b ）２=r 2化为一般方程的形式，结果为___________。

答案：x2+y2-2ax-2by+a 2+b2-r 2=0 提示①：将原方程去掉括号并整理x2+y2-2ax-2by+a 2+b2=r 2提示②：将方程右边化为0 x2+y2-2ax-2by+a 2+b2-r 2=03.已知圆的一般方程为x2+y2+6x-8y=0，则其标准方程为___。

A 、(x-3)2+(y-4)2=25 B 、(x-3)2+(y-4)2=5 C 、(x+3)2+(y-4)2=25 D 、(x-3)2+(y-4)2=5答案：C提示①：将原方程配方x2+6x+32+y2-8y+42-32-42=0(x+3)2+(y-4)2-25=0提示②：将常数项移至方程右边(x+3)2+(y-4)2=254.方程2（x+5）２+2y2=3表示一个圆，则这个圆的一般方程为___。

A、2x2+2y2+20x+47=0B、2x2+2y2+20x=-47C、x2+y2+10x+472=0 D、2x2+2y2+20x=-472答案：C提示①：将原方程去括号并整理2x2+2y2+20x+50=3提示②：将方程右边化为02x2+2y2+20x+47=0提示③：将x2、y2系数化为 1x2+y2+10x+472=05.圆C的方程为：x2+y2+4x-4y+4=0，则圆C的圆心坐标为___。

A、(-4,4)B、(4,-4)C、(2,-2)D、(-2,2)答案：D提示①：将原方程配方并整理x2+4x+22+y2-4y+22-22-22+4=0(x+2)2+(y-2)2-4 =0提示②：将常数项移至方程右边(x+2)2+(y-2)2=4提示③：根据标准方程（x-a）２+（x-b）２=r2的圆心坐标为（a，b），题中圆的圆心坐标为（-2，2），选D。

圆的一般方程

x y8 0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如何求以线段AB为直径的圆方程？
思考2:一般地，已知点A(x1，y1)，B(x2， y2)，则以线段y AB为P 直径的圆方程如何？
B A
o
x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
例题分析
例1：求过三点A（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
第一课时
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
知识回顾：
(1) 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
解：设所求的圆的方程为： x2 y2 Dx Ey F 0
A（0，0）， M1 （1，1）， M2 （4，2)在圆
上 F 0
D
E
F
2
∵
0
D 8, E 6, F 0
新疆王新敞
学案
4D 2E F 20 0
x y 8x 6y 0 2 2
新疆王新敞
学案
r1
DF D2 E2 4F 5 4, 3
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0）
二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的关系:
1、A ＝ C ≠ 0 2、B=0

解析几何圆的公式

解析几何圆的公式圆的解析几何方程如下圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F>0)。

其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

该圆圆心坐标为(-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。

圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数)圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

经过圆x^2+y^2=r^2上一点M(a0，b0)的切线方程为a0*x+b0*y=r^2在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M(a0，b0)引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为a0*x+b0*y=r^2 扩展资料：直线与圆的位置关系平面内直线与圆的位置关系有三种：（1）相离：无交点；（2）相切：仅有一个交点；（3）相交：有两个交点。

直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离d与半径r的关系：（1）d>r：直线与圆相离；（2）d=r：直线与圆相切；（3）d<r：直线与圆相交。

初中数学圆的知识点总结1、圆是定点的距离等于定长的点的集合2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合4、同圆或等圆的半径相等5、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆6、和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线7、到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线8、到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线9、定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

圆的一般方程圆心和半径公式

圆的一般方程圆心和半径公式圆的特点：1、圆有无数条半径和无数条直径，且同圆内圆的半径长度永远相同。

2、圆是轴对称、中心对称图形。

3、对称轴是直径所在的直线。

4、是一条光滑且封闭的曲线，圆上每一点到圆心的距离都是相等，到圆心的距离为R地点都在圆上。

一：求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算：1、圆心在过切点且与切线垂直的直线上．2、圆心在任一弦的中垂线上．3、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．圆的一般方程是x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0)，其中圆心坐标是（-D/2,-E/2），半径【根号（D+E-4F）】/2。

圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。

2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）^2+（y+E/2）^2=（D^2+E^2-4F）/4.故有：（1）、当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D^2+E^2-4F）/2为半径的圆；（2）、当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；（3）、当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。

半径公式：直径是指通过一平面或立体图形中心到边上两点间的距离，通常用字母“d”表示，连接圆周上两点并通过圆心的直线称圆直径，连接球面上两点并通过球心的直线称球直径。

而半径就是直径的一半，所以半径=直径0.5。

圆的一般方程

D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
例3：
已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3），端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
圆的标准方程：
2 2 ( x a) ( y b) r 2
圆心和半径各是：
a , b
r
思考
方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形？
方程x2+y2-2x-4y+6=0表示什么图形？
方程x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0在
什么条件下表示圆？
2 2 D E D E 4F 配方得： ( x )2 ( y )2 2 2 4
0表示一个圆
比一比
圆的标准方程 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
圆的一般方程
x
2

y
2
Dx Ey F 0
( D 2 E 2 4 F 0)
例 1：判断以下6 y 1 0
2 2
(2) x y 2 x 6 y 10 0
2 2
巩固练习：
(1)已知圆x y Dx Ey F 0的圆心为
2 2
(2,3), 半径为4, 则D ___ ___ F ___ -3 4 E -6
(2)方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时，
m的取值范围是___________;
面积最大的圆的方程是___________
(3)已知实数x,y满足x2+y2-6y+5=0,