第三章 整式的乘除好题精选（含解析）
第三章整式的乘除好题精选
一．选择题（共15小题）
1．下列运算正确的是（）
A．（a﹣3）2＝a2﹣9 B．a2•a4＝a8
C．＝±3 D．x6÷x3＝x3
2．如图，把6张长为a、宽为b（a＞b）的小长方形纸片不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设这两个长方形的面积的差为S．当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a、b满足（）
A．a＝1.5b B．a＝2.5b C．a＝3b D．a＝2b
3．下列运算正确的是（）
A．5m+2m＝7m2B．﹣2m2•m3＝2m5
C．（﹣a2b）3＝﹣a6b3D．（b+2a）（2a﹣b）＝b2﹣4a2
4．下列运算中正确的是（）
A．（a2）3＝a5B．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1
C．a8a2＝a4D．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9
5．如图一个正方形和一个长方形有一部分重叠在一起，重叠部分是边长为3的正方形，则未重叠部分的面积是（）
A．mn+a2﹣18 B．mn+a2﹣9 C．mn+a2+9 D．mn+a2
6．如图，是L型钢条截面，则它的面积为（）
A．ac+bc B．ac+bc﹣c2
C．（a﹣c）c+（b﹣c）c D．a+b+2c+（a﹣c）+（b﹣c）
7．如图，若将图（1）中的阴影部分剪下来，拼成如图（2）所示的长方形，比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式（）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
8．化简（x+y+z）2﹣（﹣x+y+z）2+（x﹣y+z）2﹣（x+y﹣z）2的结果是（）A．4yz B．8xy C．4xy﹣4yz D．8xz
9．如图，甲图是边长为a（a＞1）的正方形去掉一个边长为1的正方形，乙图是边长为（a﹣1）的正方形，则两图形的面积关系是（）
A．甲＞乙B．甲＝乙C．甲＜乙D．甲≤乙
10．根据下图“十”字形的割补，你能得到哪个等式（）
A．a2﹣x2＝x（a+2x）B．a2﹣4x2＝2x（a+2x）
C．a2﹣x2＝（a﹣2x）（a+2x）D．a2﹣4x2＝（a﹣2x）（a+2x）
11．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案，已知其中大正方形的面积为64，小正方形的面积为9．若用x，y分别表示小长方形的长与宽（其中x＞y），则下列关系式中错误的是（）
A．4xy+9＝64 B．x+y＝8 C．x﹣y＝3 D．x2﹣y2＝9
12．6张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）
A．a＝3b B．C．a＝4b D．
13．如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2+ab＝a（a+b）
14．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（）
A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．3
15．现定义一种运算“⊙”，对任意有理数m、n，规定：m⊙n＝mn（m﹣n），如1⊙2＝1×2（1﹣2）＝﹣2，则（a+b）⊙（a﹣b）的值是（）
A．2ab2﹣2b2B．2a2b﹣2b3C．2ab2+2b2D．2ab﹣2ab2
二．填空题（共10小题）
16．已知ab＝a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）＝．
17．将代数式化成不含有分母的形式是．
18．如图，从边长为（a+5）的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形，剩余部分沿虚线剪开再拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是．
19．用4块完全相同的长方形拼成正方形（如图），用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可得到1个关于a，b的等式为．
20．若100a+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是．
21．在学习乘法公式的时候，我们可以通过图形解释加深对公式的理解，下面这个图形可以解释的乘法公式是．
22．比较大小：﹣142﹣1．（填“＞”或“＜”）．
23．已知a2+b2＝12，a﹣b＝4，则ab＝．
24．x2﹣（x﹣1）（x+1）＝
25．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足a+b＝10，ab＝12，图中阴影部分的面积为．三．解答题（共13小题）
26．先化简，再求值：（2a+b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b），其中a＝，b＝﹣2．
27．若实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求a2﹣b2+（cd）﹣1÷（1﹣2m+m2）的值．
28．一个长方体的高是8cm，它的底面是边长为3cm的正方形．如果底面正方形的边长增加acm，那么它的体积增加多少？
29．乘法公式的探究及应用．
（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是（写成平方差的形式）．
（2）若将图（1）中的阴影部分剪下来，拼成如图（2）所示的长方形，此长方形的面积是（写成多项式相乘的形式）．
（3）比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式：．
（4）应用所得的公式计算：[（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1]÷263．30．阅读材料：若“三角形”表示运算a﹣b+c，表示运算ad﹣bc，求：当x＝﹣1，
y＝2时，×的值．
31．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值；
②已知：，求：的值．
32．已知：a+b＝4
（1）求代数式（a+1）（b+1）﹣ab值；
（2）若代数式a2﹣2ab+b2+2a+2b的值等于17，求a﹣b的值．
33．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图2拼成一个正方形．
（1）直接写出图2中的阴影部分面积；
（2）观察图2，请直接写出下列三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决如下问题：若p+q＝9，pq＝7，求（p﹣q）2的值，
34．如图，某小区规划在一个长30米、宽20米的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．设通道的宽为x米，种植花草的面积为S平方米．
（1）用含x的代数式表示S（要求有计算过程，结果化简）；
（2）当x＝2时，求S的值．
35．（1）2x（x2﹣1）﹣3x（x2+）
（2）4（x+1）2﹣（2x+5）（2x﹣5）
36．计算：
（1）（﹣2x3y）2•（﹣2xy）+（﹣2x3y）3÷2x2
（2）20202﹣2019×2021
（3）（﹣2a+b+1）（2a+b﹣1）
37．在长为3a+2，宽为2b﹣1的长方形铁片上，挖去长为2a+4，宽为b的小长方形铁片，求剩余部分面积．
38．【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．
例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题：
（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．
【知识迁移】（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．
参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列运算正确的是（）
A．（a﹣3）2＝a2﹣9 B．a2•a4＝a8
C．＝±3 D．x6÷x3＝x3
【分析】A、运用完全平方公式，少﹣6a；
B、同底数幂的乘法，底数不变，批数相加；
C、表示9的算术平方根，值为3；
D、同底数幂的除法，底数不变，批数相减．
【解答】解：A、（a﹣3）2＝a2﹣6a+9，所以此选项不正确；
B、a2•a4＝a6，所以此选项不正确；
C、＝3，所以此选项不正确；
D、x6÷x3＝x3，所以此选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了整式的混合运算、算术平方根，熟练掌握完全平方公式和有关幂的运算法则是关键．
2．如图，把6张长为a、宽为b（a＞b）的小长方形纸片不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设这两个长方形的面积的差为S．当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a、b满足（）
A．a＝1.5b B．a＝2.5b C．a＝3b D．a＝2b
【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a与b的关系式．【解答】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝a，右下角阴影部分的长为PC，宽为2b，
∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+4b，BC＝BP+PC＝a+PC
∴AE+4b＝a+PC，
∴AE＝a﹣4b+PC，
∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝aAE﹣2bPC＝a（a﹣4b+PC）﹣2bPC＝（a﹣2b）PC+a2﹣4ab，
则a﹣2b＝0，即a＝2b．
故选：D．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形列出面积差的代数式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
3．下列运算正确的是（）
A．5m+2m＝7m2B．﹣2m2•m3＝2m5
C．（﹣a2b）3＝﹣a6b3D．（b+2a）（2a﹣b）＝b2﹣4a2
【分析】A、依据合并同类项法则计算即可；B、依据单项式乘单项式法则计算即可；C、依据积的乘方法则计算即可；D、依据平方差公式计算即可．
【解答】解：A、5m+2m＝（5+2）m＝7m，故A错误；
B、﹣2m2•m3＝﹣2m5，故B错误；
C、（﹣a2b）3＝﹣a6b3，故C正确；
D、（b+2a）（2a﹣b）＝（2a+b）（2a﹣b）＝4a2﹣b2，故D错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是整式的计算，掌握合并同类项法则、单项式乘单项式法则、积的乘方法则以及平方差公式是解题的关键．
4．下列运算中正确的是（）
A．（a2）3＝a5B．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1
C．a8a2＝a4D．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式和完全平方公式分别求出每个式子的值，再判断即可．
【解答】解：A、结果是a6，故本选项不符合题意；
B、结果是4x2﹣1，故本选项不符合题意；
C、结果是a10，故本选项不符合题意；
D、结果是a2﹣6a+9，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式和完全平方公式等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
5．如图一个正方形和一个长方形有一部分重叠在一起，重叠部分是边长为3的正方形，则未重叠部分的面积是（）
A．mn+a2﹣18 B．mn+a2﹣9 C．mn+a2+9 D．mn+a2
【分析】由正方形中空白部分的面积为a2﹣9，长方形中空白部分的面积为mn﹣9，相加即可得．【解答】解：由图形知，正方形中空白部分的面积为a2﹣9，长方形中空白部分的面积为mn﹣9，
∴未重叠部分的面积是a2﹣9+mn﹣9＝a2+mn﹣18，
故选：A．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是根据图形列出未重叠部分面积的代数式及整式的混合运算顺序和运算法则．
6．如图，是L型钢条截面，则它的面积为（）
A．ac+bc B．ac+bc﹣c2
C．（a﹣c）c+（b﹣c）c D．a+b+2c+（a﹣c）+（b﹣c）
【分析】将图形分割成如图所示的两个长方形和一个正方形，结合图形列出算式c（a﹣c）+c（b﹣c）+c2，再根据整式的混合运算顺序与运算法则计算可得．
【解答】解：如图所示，
它的面积为c（a﹣c）+c（b﹣c）+c2
＝ac﹣c2+bc﹣c2+c2
＝ac+bc﹣c2，
故选：B．
【点评】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是将图形分割成几个基本图形和整式的混合运算法则．
7．如图，若将图（1）中的阴影部分剪下来，拼成如图（2）所示的长方形，比较两图阴影部分的面积，可以得到乘法公式（）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2
【分析】根据图形可以写出相应的等式，从而可以解答本题．
【解答】解：由图可得，
a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
【点评】本题考查平方差公式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．化简（x+y+z）2﹣（﹣x+y+z）2+（x﹣y+z）2﹣（x+y﹣z）2的结果是（）A．4yz B．8xy C．4xy﹣4yz D．8xz
【分析】利用平方差公式，将代数式（x+y+z）2﹣（﹣x+y+z）2+（x﹣y+z）2﹣（x+y﹣z）2化简计算，即可得到结果．
【解答】解：（x+y+z）2﹣（﹣x+y+z）2+（x﹣y+z）2﹣（x+y﹣z）2
＝（x+y+z﹣x+y+z）（x+y+z+x﹣y﹣z）+（x﹣y+z+x+y﹣z）（x﹣y+z﹣x﹣y+z）
＝2（y+z）×2x+2x×2（z﹣y）
＝4xy+4xz+4xz﹣4xy
＝8xz，
故选：D．
【点评】本题主要考查了平方差公式的运用，解决问题的关键是利用平方差公式进行化简变形．9．如图，甲图是边长为a（a＞1）的正方形去掉一个边长为1的正方形，乙图是边长为（a﹣1）的正方形，则两图形的面积关系是（）
A．甲＞乙B．甲＝乙C．甲＜乙D．甲≤乙
【分析】直接根据题意表示出各部分面积进而得出答案．
【解答】解：∵甲图是边长为a（a＞1）的正方形去掉一个边长为1的正方形，
∴甲图的面积为：a2﹣12＝（a+1）（a﹣1），
∵乙图是边长为（a﹣1）的正方形，
∴乙图的面积为：（a﹣1）2，
∵a＞1，
∴（a+1）（a﹣1）＞（a﹣1）2，
故甲＞乙．
故选：A．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的几何背景，正确表示出各部分面积是解题关键．
10．根据下图“十”字形的割补，你能得到哪个等式（）
A．a2﹣x2＝x（a+2x）B．a2﹣4x2＝2x（a+2x）
C．a2﹣x2＝（a﹣2x）（a+2x）D．a2﹣4x2＝（a﹣2x）（a+2x）
【分析】由题意可得大正方形面积﹣4个小正方形面积＝右侧矩形面积，进而得出答案．
【解答】解：由图形可得：a2﹣4x2＝（a﹣2x）（a+2x），
故选：D．
【点评】此题主要考查了平方差公式的几何背景，正确表示出图形面积是解题关键．
11．如图是用4个相同的小长方形与1个小正方形密铺而成的大正方形图案，已知其中大正方形的面积为64，小正方形的面积为9．若用x，y分别表示小长方形的长与宽（其中x＞y），则下列关系式中错误的是（）
A．4xy+9＝64 B．x+y＝8 C．x﹣y＝3 D．x2﹣y2＝9
【分析】分别根据大正方形边长、小正方形边长的不同表示可判断A、B，由A、B结论利用平方差公式可判断C，根据大正方形面积的整体与组合的不同表示可判断D．
【解答】解：A、因为正方形图案面积从整体看是64，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），即4xy+4＝64，故此选项正确；
B、因为正方形图案的边长8，同时还可用（x+y）来表示，故此选项正确；
C、中间小正方形的边长为3，同时根据长方形长宽也可表示为x﹣y，故此选项正确；
D、根据A、B可知x+y＝8，x﹣y＝3，则x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝24，故此选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查根据数形结合列二元一次方程的能力，解答需结合图形，利用等式的变形来解决问题．
12．6张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD 内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）
A．a＝3b B．C．a＝4b D．
【分析】表示出左上角和右下角部分的面积，求出它们的差，根据它们的差与BC无关即可求出a与
b的关系式．
【解答】解：如图，
设S1的长为x，则宽为4b，S2的长为y，则宽为a，
则AB＝4b+a，BC＝y+2b，
∵x+a＝y+2b，
∴y﹣x＝a﹣2b，
S＝S1﹣S2
＝ay﹣4bx
＝ay﹣4b（y﹣a+2b）
＝（a﹣4b）y+4ab﹣8b2，
∵S始终保持不变，
∴a﹣4b＝0，
则a＝4b，
故选：C．
【点评】本题主要考查整式的混合运算的应用，解题的关键是弄清题意，列出面积差的代数式及整式的混合运算顺序与运算法则．
13．如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．a2+ab＝a（a+b）
【分析】用两种方法正确的表示出阴影部分的面积，再根据图形阴影部分面积的关系，即可直观地得到一个关于a、b的恒等式．
【解答】解：方法一阴影部分的面积为：（a﹣b）2，
方法二阴影部分的面积为：（a+b）2﹣4ab，
所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
故选：C．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是用两种方法正确的表示出阴影部分的面积．
14．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m﹣n的值为（）
A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．3
【分析】把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照即可得到m﹣n的值．
【解答】解：（x﹣m）（x+n）＝x2+nx﹣mx﹣mn＝x2+（n﹣m）x﹣mn，
∵（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，
∴n﹣m＝﹣3，
则m﹣n＝3，
故选：D．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．
15．现定义一种运算“⊙”，对任意有理数m、n，规定：m⊙n＝mn（m﹣n），如1⊙2＝1×2（1﹣2）＝﹣2，则（a+b）⊙（a﹣b）的值是（）
A．2ab2﹣2b2B．2a2b﹣2b3C．2ab2+2b2D．2ab﹣2ab2
【分析】根据题目中的新运算可以求得（a+b）⊙（a﹣b）的值，本题得以解决．
【解答】解：∵m⊙n＝mn（m﹣n），
∴（a+b）⊙（a﹣b）
＝（a+b）（a﹣b）[（a+b）﹣（a﹣b）]
＝（a2﹣b2）×2b
＝2a2b﹣2b3，
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算、有理数的混合运算，解题的关键是明确它们的计算方法．二．填空题（共10小题）
16．已知ab＝a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）＝2．
【分析】将ab＝a+b+1代入原式＝ab﹣a﹣b+1合并即可得．
【解答】解：当ab＝a+b+1时，
原式＝ab﹣a﹣b+1
＝a+b+1﹣a﹣b+1
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及整体代入思想的运用．
17．将代数式化成不含有分母的形式是5ax﹣1y﹣2．
【分析】原式利用负整数指数幂法则化简即可得到结果．
【解答】解：原式＝5ax﹣1y﹣2，
故答案为：5ax﹣1y﹣2
【点评】此题考查了负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．如图，从边长为（a+5）的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形，剩余部分沿虚线剪开再拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+10．
【分析】根据拼成的长方形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积列式整理即可得解．【解答】解：拼成的长方形的面积＝（a+5）2﹣52，
＝（a+5+5）（a+5﹣5），
＝a（a+10），
∵拼成的长方形一边长为a，
∴另一边长是a+10．
故答案为：a+10．
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，表示出剩余部分的面积是解题的关键．
19．用4块完全相同的长方形拼成正方形（如图），用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可得到1个关于a，b的等式为（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
【分析】根据长方形面积公式列①式，根据面积差列②式，得出结论．
【解答】解：S阴影＝4S长方形＝4ab①，
S阴影＝S大正方形﹣S空白小正方形＝（a+b）2﹣（b﹣a）2②，
由①②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab．
【点评】本题考查了完全平方公式几何意义的理解，此题有机地把代数与几何图形联系在一起，利用几何图形的面积公式直接得出或由其图形的和或差得出．
20．若100a+64和201a+64均为四位数，且均为完全平方数，则整数a的值是17．
【分析】由于100a+64和201a+64均为完全平方数，可设100a+64＝m2①，201a+64＝n2②，则m、n均为正整数，又因为它们都是四位数，则1000≤m2＜10000，1000≤n2＜10000，解得m、n的取值范围，再将②﹣①，得101a＝n2﹣m2＝（n+m）（n﹣m），因为101是质数，且﹣101＜n﹣m ＜101，所以n+m＝101，故a＝n﹣m＝2n﹣101．把a＝2n﹣101代入201a+64＝n2，得到关于n的一元二次方程，解方程求出n的值，从而求出符合条件的a值．
【解答】解：设100a+64＝m2①，201a+64＝n2②，
则m、n均为正整数，且32≤m＜100，32≤n＜100．
②﹣①，得101a＝n2﹣m2＝（n+m）（n﹣m），
因为101是质数，且0＜n﹣m＜101，
所以n+m＝101，
故a＝n﹣m＝2n﹣101．
把a＝2n﹣101代入201a+64＝n2，
整理得n2﹣402n+20237＝0，
解得n＝59，或n＝343（舍去）．
所以a＝2n﹣101＝17．
故答案为17．
【点评】本题主要考查了完全平方数的定义，一元一次不等式组的解法，因式分解，一元二次方程的解法等知识，综合性较强，属于竞赛题型，有一定难度．
21．在学习乘法公式的时候，我们可以通过图形解释加深对公式的理解，下面这个图形可以解释的乘法公式是（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
【分析】根据图形确定出平方差公式即可．
【解答】解：根据题意得：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【点评】此题考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
22．比较大小：﹣14＜2﹣1．（填“＞”或“＜”）．
【分析】直接利用负指数幂的性质化简，进而比较得出答案．
【解答】解：∵﹣14＝﹣1，2﹣1＝，
∴﹣14＜2﹣1．
故答案为：＜．
【点评】此题主要考查了负指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
23．已知a2+b2＝12，a﹣b＝4，则ab＝﹣2．
【分析】将a﹣b＝4两边同时平方，然后将a2+b2＝12代入所得结果进行计算即可．
【解答】解：∵a﹣b＝4，
∴a2﹣2ab+b2＝16，
∴12﹣2ab＝16，
解得：ab＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
24．x2﹣（x﹣1）（x+1）＝1
【分析】原式利用平方差公式计算，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：原式＝x2﹣x2+1＝1，
故答案为：1
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
25．如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足a+b＝10，ab＝12，图中阴影部分的面积为32．
【分析】将a+b＝10两边平方，利用完全平方公式展开，将ab的值代入求出a2+b2的值，即为两正方形的面积之和；由两个正方形的面积减去两个直角三角形的性质即可求出阴影部分面积．
【解答】解：将a+b＝10两边平方得：（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100，
将ab＝12代入得：a2+b2+24＝100，即a2+b2＝76，
则两个正方形面积之和为76；
∴S阴影＝S两正方形﹣S△ABD﹣S△BFG＝a2+b2﹣a2﹣b（a+b）＝（a2+b2﹣ab）＝×（76﹣12）＝32．
故答案为：32．
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及化简求值，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．三．解答题（共13小题）
26．先化简，再求值：（2a+b）2﹣（2a+3b）（2a﹣3b），其中a＝，b＝﹣2．
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将a，b的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝4a2+4ab+b2﹣（4a2﹣9b2）
＝4a2+4ab+b2﹣4a2+9b2
＝4ab+10b2，
当a＝，b＝﹣2时，
原式＝4××（﹣2）+10×（﹣2）2
＝﹣4+10×4
＝﹣4+40
＝36．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
27．若实数a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，求a2﹣b2+（cd）﹣1÷（1﹣2m+m2）的值．
【分析】根据相反数，绝对值，倒数，平方的概念及性质，得出未知数，化简原式，代入求值即可．【解答】解：由题意得：a+b＝0，cd＝1，m＝±2，
原式＝（a+b）（a﹣b）+×＝0+1×＝
当m＝2时，原式＝＝1，
当m＝﹣2时，原式＝．
∴原式的值为1或．
【点评】主要考查相反数，绝对值，倒数，平方的概念及性质．
相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．28．一个长方体的高是8cm，它的底面是边长为3cm的正方形．如果底面正方形的边长增加acm，那么它的体积增加多少？
【分析】长方体变化后的高为8cm，底面边长为（3+a）cm，根据长方体的体积公式进行计算即可．【解答】解：它的体积增加了：
8（3+a）2﹣8×32
＝72+48a+8a2﹣72
＝8a2+48a．
答：它的体积增加8a2+48a．
【点评】本题考查了完全平方公式，分别用整式表示两个长方体的体积，再求差，即可得到体积增加的值．
29．乘法公式的探究及应用．
（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是a2﹣b2（写成平方差的形式）．
（2）若将图（1）中的阴影部分剪下来，拼成如图（2）所示的长方形，此长方形的面积是（a+b）（a﹣b）（写成多项式相乘的形式）．
（3）比较两图中阴影部分的面积，可以得到乘法公式：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．
（4）应用所得的公式计算：[（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1]÷263．
【分析】（1）根据面积的和差，可得答案；
（2）根据矩形的面积公式，可得答案；
（3）根据图形割补法，面积不变，可得答案；
（4）根据平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是a2﹣b2，
故答案为：a2﹣b2；