最优下料问题 ppt课件

i l j L或wj W ，则 aij 0 （ i 1, , k ）)，记第 种下料
方式下料一次产生的余料（即料头）为i i 1,..., k 。
二维单一原材料下料模型的建模思想与一维单一原材料 下料模型类似。得到如下有交货时间限制的二维下料问 题的数学模型：
k
mfixn
i 1
ixi 10 .0% 8 i k1sig xin 1 a l
调用动态规划方法，得到一种下料方式，此方法里 含有当前的零件，在得到此下料方式后，先尽可能 按照此方式进行处理，以尽量减少下料方式数，然 后再应用贪婪思想。依次类推，直到得到所有的零 件。这样我们将得到一种下料方案。如果此方案满 足约束要求则停止处理，否则对权值进行调整，如 果结果不能满足时间紧迫度的限制，则将优先权值 步长直接调节到理论上限，随后通过二分查找的方 法进行选择，如果材料利用率过低，则参照以上方 法进行调节。而后重复上述过程，直到得到合理结 果。
称为二维下料问题。特别当所有零件的宽度
均与原材料相等，即，则问题称为一维下料
问题。特别当所有零件的宽度均与原材料相 等下，料即 问题wi=。W. (i=1,2,…,m) ，则问题称为一维
一个好的下料方案首先应该使原材料的 利用率最大，从而减少损失，降低成本， 提高经济效益。其次要求所采用的不同 的下料方式尽可能少，即希望用最少的 下料方式来完成任务。因为在生产中转 换下料方式需要费用和时间，既提高成 本，又降低效率。此外，每种零件有各 自的交货时间，每天下料的数量受到企 业生产能力的限制。因此实用下料问题 的目标是在生产能力容许的条件下，以 最少数量的原材料，尽可能按时完成需 求任务, 同时下料方式数也尽量地小.请 你们为某企业考虑下面两个问题。
算法描述：
1. 局部最优 //计算当前单根利用率最大值，并得到一组可行下料方案 FOR I = 1 TO 工件总种类数 FOR J = 原材料总长度 DOWNTO 0
IF 在J的位置已经有解 FOR K = 第I件工件中未切割的数量 DOWNTO 1 当前长度 = J + 第I件工件的长度*K IF 当前长度位置尚未得到解 THEN 保存当前解 ELSE 对两个解进行比较选取较优解
本文采用的降维思想为：第一步，先考虑长度（或宽度） 这一维(以下采用先考虑宽度为例进行说明)，将宽度相 同的零件归为一类，对每一类,假设各自存在与该类等 宽与原母板等长的母板。这样，每一类零件宽度与各自 的母板宽度相等，这就转化为一维下料问题。故可借助 一维下料模型的算法解出原母板在长度维上的切割方式。 这种方式找到的是长度维上的局部近似最优。第二步， 考虑宽度（或长度）这一维。由上一步，我们可以得到 每一宽度各自所需的母板根数，可将每一类宽度视为一 维切割中一个零件的长度，将每一类所需的根数作为零 件的下料任务，原母板的宽度作为现在一维切割原料的 长，这样又得到一个一维下料问题，同样借助一维下料
二维下料问题
二维情况下，假设在矩形原料切割时采用正 交切割，切割时的锯缝可以是直的也可以是 弯的；不允许零件旋转；而且切割所引起的 锯缝损耗忽略不计。
假设共有 k 种不同下料方式，第 i 种下料方式下料
的总块数记为 xi i 1,..., k ，并记第i 种下料方式产生零件
j 的个数记为 aij (如果某零件 j （1 j M ）满足
词汇:
1、下料问题(cutting stock problem)”是把 相同形状的一些原材料分割加工成若干 个不同规格大小的零件的问题；
2、二维下料问题----下料时，零件的边必 须分别和原材料的边平行 ;
3、一维下料问题----所有零件的宽度均与 原材料相等 。
分析:
本题是有交货时间限制的大规模单一原 材料下料问题。 1、目标是既要所用材料最少，也要下 料方式少。 2、有交货时间限制
一维下料问题
假设
（1）每天下料的数量受到企业生产能力 的限制，在未完成需求任务前，每天下料 的数量等于最大下料能力。
（2）每个切割点处由于锯缝所产生的损 耗不可忽略。
（3）增加一种下料方式大致相当于使原 材料总损耗增加0.08%。
（4）每种零件有各自的交货时间，若某 零件无交货时间，则记该零件交货时间为 无穷大。
2.建立二维单一原材料实用下料问题的数学模 型, 并用此模型求解下列问题.制定出在企业生 产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同 时求出等额完成任务所需的原材料块数和所 需下料方式数.这个问题的单一原材料的长度 为 3000mm,宽度为100mm, 需要完成一项有 43种不同长度和宽度零件的下料任务. 具体数 据度见、表宽二 度， 和其 数中量. li,切wi割,ni时分的别锯为缝需可求以零是件直的的长也 可以是弯的，切割所引起的锯缝损耗忽略不 计.据估计，该企业每天最大下料能力是20块 要求在4天内完成的零件标号(i)为: 3,7,9,12,15, 18, 20, 25, 28, 36.
1
s.t.
k
i1 a然ij 后xi代入 n j
j 1,...,m
k
y d max ，i,推d j得该线光j源的范围为[－0.03, 0j.03]m1。, , m
i 1
k
a yij i,d j n j
j Sd j
i 1
yi,dl yi,d j xi
(i 1, , k; dl d j )
基本思想是：对模型计算时，不用先得到一定数 量的下料方案，而是在选取下料方案时就以数学 模型中的目标和约束条件为基础来进行寻找。
为了保证尽量节省材料，应该尽量将比较大的零件 先进行处理，并同时辅以长度小的零件，以保证单 个原料的利用率尽量大。因此对每一个零件按照其 长度大小依次给定处理顺序的权值。为了保证时间 的要求，有要求的零件应该尽量优先处理，对每一 个零件按时间紧迫度t依次给定一个处理顺序的权值。 两者的结合将作为每一个零件动态规划初始权值。 在决定了处理顺序后，首先利用贪婪思想，选取 当前尚没有得到的零件集合中权值最大的一个进 行处理。
问题 ：
1.建立一维单一原材料实用下料问题的数学模 型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产 能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时 求出等额完成任务所需的原材料数，所采用 的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长 度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度 零需件求的零件下的料长任度务，. 具n体i为数需据求见零表件一的，数其量中. 此li外为， 在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为 5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是 100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i)为:
模型的解法来获得局部近似最优解。经过上述两步后， 二维下料问题就转化为了两个一维下料问题，在借助一 维下料问题的求解算法得到两个局部最优解后，可以通 过两者的结合得到最终解。算法的基本思想是：
首先比较长的种类和宽的种类，从中选取种类比较少 的一个作为第一次降维考虑的基础(在不影响一般性的 前提下，以下假设宽度种类较少来进行描述)。按照宽 度对所有零件进行分类，然后假设已经有各种宽度的 模板足够多，而模板的长和原材料的长相等。这样在 接下来的切割过程中将不考虑跨度问题，这样将完全 变为一维下料问题。为了得到更优的解应该优先处理 宽度最宽的一类，所以依据宽度给定每一类零件一个 权值。同时要考虑到交货时间的要求，交货时间比较 短的零件应该优先处理，所以依据交货时间给定每一 类零件一个权值，两者的结合作为处理顺序的权值。
k
(ai, jm aij )xi
nj
j 1,...,m
i1 k
i1
yi,d j
dj
max ( j 1,
, m)
k
ห้องสมุดไป่ตู้
a yij i,d j
i 1
nj
( j 1, , m)
yi,dl xi , yi,d j
yi,d j xi
(i
0且为整数 (i
1, 1,
, k; , k;
dl d j ) j 1, , m)
模型求解
目前，解有交货时间限制的二维下料问题的常用 方法是启发式算法，但是这种方法在大规模的下 料问题中并不能将问题的规模降到一个合理的范 围。对于大规模的二维下料问题，本文给出新的 求解方法。先利用降维思想将二维下料问题化为 两个一维下料问题，对每一个一维下料问题，再 使用本文一维下料问题的DP贪婪算法进行计算， 再将两者的结果结合起来，得到最终的结果。
主讲：
研究生建模2004年B题
实用下料问题
“下料问题(cutting stock problem)”是把 相同形状的一些原材料分割加工成若干
个不同规格大小的零件的问题，此类问
题在工程技术和工业生产中有着重要和 广泛的应用. 这里的“实用下料问题” 则是在某企业的实际条件限制下的单一 材料的下料问题。
FOR I = 材料长度 DOWNTO 1 IF 当前长度有解存在 THEN
返回解
算法描述：
2.全局贪婪 对所有需要的零件进行处理 FOR I = 1 TO 工件种类总数 WHILE 如果当前种类还有剩余(按照权值大小依次处理) DO 利用上述局部最优处理选取一种至少含有当前种类一根的最优解
累加计算结果 更新数据表格 3.反复调整 调整权值 IF 得到全局的解法不合理 IF 不能按时完成零件 按规则加大优先权值 ELSE 浪费过于大 按规则加大长度权值 调用上述全局贪婪
变量定义（符号）
m
零件种类总数
xi
第i种下料方式下料的根数
k
下料方式的种类数
i
第i种下料方式每根的余料
模型的建立
借助函数
signal(
xi
)
1 0
xi xi
0 0
，可得所用材料
的余料 f1(x) 和采用的下料方式 f2 (x) 分别为：
k
k
f1 (x) i xi ， f2 (x) signalxi
现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈 长方形，长度为L,宽度为W，现在需要将一 批这种长方形原料分割成m种规格的零件, 所
有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽 度分别为(l1,w1) ，…，(lm,wm )，其中wi＜li<L， w为i<nW1,n. 2(,i…=1,n,2m,…。下,m料)。时m，种零零件件的的边需必求须量分分别别和 原材料的边平行。这类问题在工程上通常简
求在 d 天内完成的零件集合，则必须满足：
k
i 1 k
aij
yi
nj
( j F）
i 1
yi
d max
即 d 天内需要完成的零件必须在前 d max 根原材料的切割中得到。
根据上述分析，得到有时间限制的一维单一下料问题模型：
min
f
x
k
i xi
i 1
1
0.08%
k i 1
signalxi
xi , yi,d j 0且为整数(i 1, , k; j 1, , m)
i 其中 yi,d j ：第 种下料方式前 d j 天内下料总根数， Sdj ：
交货时间均等于 d j 的零件集合
模型的求解
对于该问题，因为可能的下料方式将随需要的零件 种类数量成指数级增长，所以它是一个NP－Hard 问题。这样对于大多数问题，一般方法无法得到 最优结果或无法及时得到最优结果。因此对于大 规模的一维下料问题，我们给出了结合动态规划 和贪婪算法的新算法，称之为DP贪婪算法。
5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48;
要求不迟于6天完成的零件标号(i) 为:4,11,24,29,32,38,40,46,50. (提示：可 分层建模。(1).先考虑用材料既少,下料 方式又少的模型, 或先仅考虑所用材料 最少的模型及增加一种下料方式大致相 当于使原材料总损耗增加0.08%情况下 的最佳方案。 (2).在解决具体问题时,先 制定4天的下料方案,再制定6天的下料方 案,最后制定53种零件的下料方案. 这一 提示对第2题也部分适用.)
i 1
i 1
借助模型假设中假设(3)：增加一种下料方式
大致相当于使原材料总损耗增加 0.08% 。故可
将双目标转化为单目标：
k
mf( ix) n
i 1
ixi 1 0 .0% 8 i k1sig xin 1 a l
由于每天下料的数量受到企业生产能力 max 的限制，假设在 d 天内 各种下料方式的下料总根数分别为 y1 , y2 ,…, yk ，零件 j 的需求数量 为 n j ，第 i 种下料方式下料一次产生的零件 j 的个数为 aij 。设 F 是要