2数列—数列求和方法总结
数列求和的九种方法
数列求和的九种方法数列求和是数学中的一项基本技巧，在解题过程中经常会遇到。
为了求和一个数列，我们需要确定数列的通项公式，即根据数列中的规律找到一个表示该数列的函数。
在数列求和的过程中，有许多不同的方法可以使用。
下面将介绍九种常见的数列求和方法：逐项相加法、换元法、望眼法、边缘和法、归纳法、递推法、辅助行法、减法求和法和计算机辅助法。
1.逐项相加法逐项相加法是最基本的数列求和方法，即将数列中的每一项相加得到总和。
这种方法适用于数列的项数较少且没有明显的规律的情况。
2.换元法换元法是将数列中的每一项用一个新的变量表示，从而简化数列求和。
通过代入和逆代（将通项公式反解为原始项）两种方法，将数列求和转化为变量求和，从而计算出数列的总和。
3.望眼法望眼法是通过观察数列中的规律，寻找数列中的重复子列来简化求和。
通过找到重复子列后可以将数列分解为几个相同的子列求和，从而简化计算。
4.边缘和法边缘和法是将数列中的每一项的和用前面项的和表示，从而将数列求和转化为前缀和的计算。
该方法适用于数列中的每一项与前面的项之间有明显的关系的情况。
5.归纳法归纳法是通过数学归纳法的思想，利用数列的递推关系来计算数列的总和。
通过假设前n-1项的和为Sn-1，并推导得到前n项的和Sn的表达式，从而计算数列的总和。
6.递推法递推法是通过数列的递推关系来计算数列的总和。
通过将数列中的每一项与前面的项之间的关系列出，从而将数列的求和转化为递推关系的计算。
7.辅助行法辅助行法是将数列构造成一个表格的形式，通过辅助行的计算来求解数列的总和。
通过辅助行的计算，可以将原本复杂的数列求和转化为简单的表格求和。
8.减法求和法减法求和法是通过将数列求和转化为数列的差的求和来计算数列的总和。
通过将数列中相邻项之间的差进行求和，从而求解数列的总和。
9.计算机辅助法计算机辅助法是利用计算机的计算能力来求解复杂的数列求和问题。
通过编写计算机程序来实现数列求和，从而计算出数列的总和。
二次数列理解二次数列的规律和求和方法
二次数列理解二次数列的规律和求和方法二次数列是指数列的一种，其通项公式可以表示为an = a + bn + cn²，其中a、b、c为常数，n为项数。
二次数列的规律和求和方法是数列的重要概念和应用，下面将从这两个方面进行论述。
一、二次数列的规律二次数列的规律主要体现在它的通项公式上，通过观察数列中的数字、计算前几项的差值和比值等方法，就可以推导出这个公式。
对于已知的二次数列，我们可以通过找到前几项的差值或比值的规律，来确定公式中的常数a、b、c的值。
例如，考虑数列1, 4, 9, 16, 25，我们可以发现每一项都是前一项的平方，即an = (n-1)²。
这个规律可以通过观察数列的数字得出。
又如，考虑数列3, 8, 15, 24, 35，我们可以发现每一项都比前一项多了从1开始的递增的奇数，即an = n² + 2n + 1。
这个规律可以通过计算数列项之间的差值得出。
总之，通过观察数列的数字和计算项之间的差值或比值，我们可以推导出二次数列的通项公式，并进一步理解二次数列的规律。
二、二次数列的求和方法求和是对数列中的各项进行加总的操作，而二次数列的求和方法是指对二次数列中的项进行求和的特定方法。
对于已知的二次数列，我们可以通过不同的方法来求和。
以下是常用的二次数列求和方法：1. 公式法：对于符合特定规律的二次数列，可以通过已知的数列通项公式来求和。
具体方法是将数列的通项公式代入求和公式中，然后进行计算。
2. 差分法：对于通项公式中的一次项和常数项，可以通过使用差分法来求和。
差分法是将数列中的相邻项相减，得到一个新的数列，然后对这个新数列进行求和。
通过连续多次的差分操作，最终可以得到一个线性数列，然后使用线性数列的求和公式进行计算。
3. 通项法：对于一些无法找到明显规律的二次数列，可以通过求前n项的和的通项来进行求和。
这个方法需要对二次数列进行观察和计算，从而得到前n项的和的通项公式，再将具体的值代入公式进行计算。
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中的一个重要概念，常用于计算数列中各项之和。
数列求和公式有多种方法，下面将介绍七种常见的求和公式方法。
方法一：等差数列求和公式等差数列是指数列中每一项与前一项之差都相等的数列。
等差数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等差数列求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法二：等比数列求和公式等比数列是指数列中每一项与前一项之比都相等的数列。
等比数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
等比数列求和公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法三：斐波那契数列求和公式斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项之和的数列。
斐波那契数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
斐波那契数列求和公式为Sn=f(n+2)-1，其中Sn表示数列的和，f表示斐波那契数列。
方法四：调和数列求和公式调和数列是指数列中每一项的倒数是一个调和级数的一项。
调和数列求和公式是通过将数列项数n代入公式中，计算数列中各项之和Sn。
调和数列求和公式为Sn=1+1/2+1/3+...+1/n，即Sn=Hn，其中Hn表示调和级数的n项和。
方法五：等差数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等差数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之差等于同一个常数d。
等差数列求和差分公式为Sn=[(a1+an)/2]n，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，an表示末项，n表示项数。
方法六：等比数列求和差分公式通过差分公式，我们可以得到等比数列的求和公式。
差分公式是指数列中相邻两项之比等于同一个常数q。
等比数列求和差分公式为Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn表示数列的和，a1表示首项，q表示公比，n表示项数。
方法七：等差数列求和公式（倍差法）倍差法是一种基于等差数列的求和方法。
数列求和公式方法总结
数列求和公式方法总结数列求和是高中数学中一个重要的概念和计算方法，可以通过公式来计算数列的和。
在求和过程中，我们常常需要运用数列的性质和特点，选取合适的方法进行计算。
本文将对数列求和的公式方法进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
首先，我们先回顾一下数列的基本定义。
数列是指由一系列有序的数按照一定规律排列而成。
数列的一般形式可以表示为{a₁，a₂，a₃...an}，其中a₁，a₂，a₃...表示数列的各项，n表示数列的项数。
对于简单的等差数列（即各项之间差值相等的数列），我们可以利用求和公式来计算其和。
等差数列的求和公式是Sn=n/2×（a₁+an），其中Sn表示数列的前n项和，n表示项数，a₁表示首项，an表示末项。
这个公式的推导思路是将数列分成对称的两部分，每一项与其对应的对称项的和相等，然后将这些和相加得到所求的和。
如果需要计算数列的某一部分（如从第m项到第n项）的和，我们可以利用Sn - Sm-1 = am +am+1 + ... + an这个公式。
对于等比数列（即各项之间比值相等的数列），我们同样可以利用求和公式来计算其和。
等比数列的求和公式是Sn = a₁(1-qⁿ)/(1-q)，其中Sn表示数列的前n项和，a₁表示首项，q表示公比。
这个公式的推导思路是将数列的每一项乘以一个系数，使得其比值等于公比，然后将这些式子相加得到所求的和。
除了等差数列和等比数列，我们还遇到了一种比较特殊的数列，即调和数列。
调和数列是指数列的倒数序列，则其和的公式是Sn = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。
调和数列的求和公式是一个无限级数，不难发现，随着n的增大，数列的和趋于无穷大。
对于其他一些特殊的数列，我们可能需要采用其他的方法来计算其和。
例如，对于斐波那契数列（每一项是前两项之和），我们可以通过列式方法、递推关系、矩阵乘法等方法来计算其和。
对于级数和（无穷级数）的计算，我们可以通过收敛准则来判断级数是否收敛，进而决定是否可以计算其和。
数列求和方法总结
02
方法描述
将数列正序和与倒序和对角线上的元 素相乘，再求和，即可求得数列的前 n 项和
03
例子
以等比数列为例，已知首项 a1，公比 q，项数 n，则前 n 项和为 Sn = \frac{a1(1-q^n)}{1-q}
03
间接求和方法
裂项相消法
总结
裂项相消法是通过将数列的每一项拆 分为两个部分，然后利用相邻两项相 消的方式，达到求和的目的。
倒序相加法
适用范围
适用于数列正序和倒序相加的情况
方法描述
将数列正序和与倒序和相加，再除以 2，即可求得数列的前 n 项和
例子
以等差数列为例，已知首项 a1，公差 d，项数 n，则前 n 项和为 Sn = \frac{n}{2}(a1 + an) + \frac{n}{2}(d)
错位相减法
01
适用范围
利用计算机程序简化求和
01
适用场景
当数列项数较大，且需要多次求和时
02
原理
编写计算机程序可以减少重复计算，提高效率。
03
方法
①将数列各项存储到一个数组或列表中；②编写一个循环，逐一将数
组或列表中的各项相加，并输出结果。
06
数列求和的推广
数列求和与计算机科学
算法设计与优化
数列求和算法是计算机科学中算法设计和优化的经典案例，如快速排序、归并排 序等算法都可以通过数列求和进行优化。
分组求和法
要点一
总结
分组求和法是将数列中的项按照某种 规律分成若干组，然后将每一组的和 相加得到最终的和。
要点二
适用范围
适用于数列中各项之间没有明显的递 推关系，但是可以将数列中的项按照 某种规律分成若干组的情况。
数列求和各种方法总结归纳
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
an (2)设数列{ n－1}的前n项和为Sn， 2 a2 an 即Sn＝a1＋ 2 ＋…＋ n－1，① 2 Sn a1 a2 an 故S1＝1， 2 ＝ 2 ＋ 4 ＋…＋2n，② 所以，当n＞1时，①－②得
a2－a1 an－an－1 an Sn 2 ＝a1＋ 2 ＋…＋ 2n－1 －2n
－ － －
(2)由题意知bn－an＝3n 1，所以bn＝3n 1＋an＝3n 1－2n＋21. Tn＝Sn＋(1＋3＋…＋3
n－1
3n－1 )＝－n ＋20n＋ 2 .
2
[冲关锦囊]
分组求和常见类型及方法
(1)an＝kn＋b，利用等差数列前n项和公式直接求解； (2)an＝a·n－1，利用等比数列前n项和公式直接求解； q (3)an＝bn±cn，数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列， 采用分组求和法求{an}的前n项和.
(1)求数列{an}的通项公式； 第三行
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求 {bn}的前2n项和S2n
[自主解答]
(1)当a1＝3时，不合题意；
当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意． 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3，
2 3a2＝1，a3＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式； 1 (2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列{b }的前n项和． n
[自主解答]
(1)设数列{an}的公比为q.由a2＝9a2a6得 3 9 3
1 1 2 2 2 a3＝9a4，所以q ＝ .由条件可知q＞0，故q＝ . 1 由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝3. 1 故数列{an}的通项公式为an＝3n.
数列求和公式七个方法
数列求和公式七个方法数列求和是数学中常见的问题之一、下面将介绍七种常用的数列求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、等差数列二次项求和、递归数列求和、斐波那契数列求和、等差数列部分项求和、正弦数列求和。
一、等差数列求和：等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn = (n/2)(a1 + an)其中，n为项数，a1为首项，an为末项，Sn为和。
二、等比数列求和：等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。
从首项到第n项的和Sn可以通过以下公式计算：Sn=a1(q^n-1)/(q-1)其中，n为项数，a1为首项，q为公比，Sn为和。
三、等差数列二次项求和：对于等差数列的二次项和，可以通过对等差数列求和公式进行二次求和得到。
Sn=(n/6)*(2a1+(n-1)d)(a1+(n-1)d+d)其中，n为项数，a1为首项，d为公差，Sn为和。
四、递归数列求和：递归数列是一种特殊的数列，其中每一项都是前一项的函数。
递归数列的求和可以通过编写一个递归函数来实现。
例如，对于斐波那契数列：F(n)=F(n-1)+F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1可以编写一个递归函数，将前两个项相加，并递归调用函数来求和。
五、斐波那契数列求和：斐波那契数列是一种特殊的递归数列，其中前两个项为1，从第三项开始每一项都是前两项的和。
斐波那契数列求和可以通过编写一个循环来实现，累加每一项的值。
六、等差数列部分项求和：对于等差数列的部分项求和，可以通过求解两个和的差来实现。
设Sn为从第m项到第n项的和，Sm为从第1项到第m-1项的和，Sn 可以通过以下公式计算：Sn = Sn - Sm = (n-m+1)(a1 + an) / 2其中，m和n为项数，a1为首项，an为末项。
七、正弦数列求和：正弦数列是一种特殊的数列，其中每一项的值由正弦函数确定。
数列 知识点总结及数列求和,通项公式的方法归纳(附例题)
⎩⎨⎧无穷数列有穷数列按项数 2221,21(1)2nn a a n a a n a n=⎧⎪=+=⎪⎨=-+⎪⎪=-⋅⎩n n n n n常数列:递增数列:按单调性递减数列:摆动数列:数 列数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、通项公式，递推公式、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等.1.数列的有关概念：（1） 数列：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. （2） 从函数的观点看，数列可以看做是一个定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数。
当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
由于自变量的值是离散的，所以数列的值是一群孤立的点。
（3） 通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =.如: 221n a n =-。
（4） 递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，121n n a a -=+，其中121n n a a -=+是数列{}n a 的递推公式.再如: 121,2,a a ==12(2)n n n a a a n --=+>。
2．数列的表示方法：（1） 列举法：如1，3，5，7，9，… （2）图象法：用（n, a n ）孤立点表示。
（3） 解析法：用通项公式表示。
（4）递推法：用递推公式表示。
3．数列的分类：按有界性M M M >Mn n n n +⎧≤∈⎪⎨⎪⎩有界数列:存在正数,总有项a 使得a ，n N 无界数列:对于任何正数，总有项a 使得a4．数列{a n }及前n 项和之间的关系:123n n S a a a a =++++ 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列1.等差数列的概念如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数d ，这个数列叫做等差数列，常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式⑴通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差.可变形为d m n a a m n )(-+= ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 3.等差中项如果b A a ,,成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即：A 是a 与b 的等差中项⇔b a A +=2⇔a ，A ，b 成等差数列.4.等差数列的判定方法⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列； ⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列. 5.常用性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd 。
数列求和各种方法总结归纳
数列求和各种方法总结归纳数列求和是数学中常见的问题之一，涉及到很多的方法和技巧。
下面我将对几种常见的数列求和方法进行总结归纳。
一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项的差都相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等差数列的和：1. 公式法：对于等差数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等差数列的和可以表示为：S = (a1 + an) * n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。
2.差分法：我们可以通过差分法来求等差数列的和。
即将数列中相邻两项的差列示出来，并求和，这样就变成了一个等差数列求和的问题。
例如对于数列1,3,5,7,9，差分后得到的数列是2,2,2,2，再求和得到83.数学归纳法：我们可以通过数学归纳法来求等差数列的和。
首先假设等差数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
例如对于数列1,3,5,7,9，我们可以假设Sn=1+3+5+7+9，然后通过归纳可以得到Sn+1=1+3+5+7+9+11=Sn+a(n+1)，其中a(n+1)为数列的第n+1项，最终求得Sn=n^2二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项的比相等的数列。
我们可以通过以下几种方法来求等比数列的和：1.公式法：对于等比数列求和的最常用的方法是通过公式来求和。
等比数列的和可以表示为：S=a*(1-r^n)/(1-r)，其中a为首项，r为公比，n为项数。
需要注意的是，当r小于1时，求和公式仍然成立。
当r等于1时，等比数列的和为a*n。
2.求导法：我们可以通过对等比数列求导来求和。
对等比数列进行求导得到的结果是一个等差数列，然后再对等差数列进行求和就可以求得等比数列的和。
3.数学归纳法：和等差数列一样，我们也可以通过数学归纳法来求等比数列的和。
首先假设等比数列的和为Sn，然后通过归纳可以得到Sn+1和Sn之间的关系，最终求得Sn的表达式。
三、递推数列求和递推数列是指数列中每一项都是由前面一项或几项推出来的。
数列求和方法总结(课堂PPT)
主讲人：陈鑫城 1
本节概要 数列求和的常用方法 公式法 分组求和法 裂项相消法 错位相减法 倒序相加法
2
一、公式法
等差数列前 n 项和公式：
Sn
n(a1 2
an )
na1
n(n 1) 2
d
．
等比数列前 n
项和公式：
Sn
na1(q a1(1
1) qn)
1 q
a1 anq 1 q
①－②得( 1 1 2 )S n 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 n 2 2 n n 1221n1
2n
2n1
∴
Sn
4n2 2n1
16
17
五、倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的 方法，就是将一个数列倒过来排列，再把它与原 数列相加。
18
例
5.设
f
(x)
a a2
an 1
7
练:习 求数 11 2列 ,31 4,51 8,,2n121n,
的n 前 项.和
8
三、裂项相消法
“裂项相消法”,此法常用于形如{1/f(n)g(n)} 的数列求和，其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的 一次函数。把数列中的每一项都拆成两项或几项 的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有 限的几项
9
例 3 ： Sn求 1 1221 3 n(1 n 1 )
10
练习：
11
12
13
四、错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时 所用的方法，这种方法主要用于求数列{an· bn} 的前n项和，其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和 等比数列.
数列求和的几种方法 2
3、求和 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 n 1 2 1 1 an 2 n(n 1) n(n 1) n n 1 2 2n Sn n 1
1 练习：已知数列an 的通项 an , n 1 n 求前n项和。 1 解： an n 1 n n 1 n S ( 2 1) ( 3 2)( 4 3)
将数列的每一项（实际就是通项）拆分成两项， 在求和时除前、后若干项外，中间各项相互抵消。 主要适用于通项公式为分式的形式
1 1 1 1 2、求和 1 3 3 5 5 7 (2n 1) 2n 1
1 1 1 1 an (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1 1 11 1 11 1 原式 1 2 3 2 3 5 2 5 7 3、求和 1 1 1 1 1 1 1 1 n 1 2n 1 2 2n 1 1 1 n 1 2 21 2 n 1 2 3 1 S1 2 3 n n 2 3 1 2n 4 2n 1
2 3 4 n 1
练习：已知 a R, 求 Sn 1 2a 3a 4a n a ,
2 3 n 1
需讨论： a 1, a 0, a 1且a 0三种情况。
1 (n 1)a n nan 1 2 (1 a) Sn n(n 1) 2 (a 1) (a 1)
1 10n (1 9n)10n 1 n n 10 1 10 9 n (9n 1)10 1 Sn 81 适用于一个等差数列与一个等比数列的积数列 的求和 ，只需在原前n项和的基础上，乘以一 个公比q，再两式相减即可。
数列求通项公式及求和9种方法
数列求通项公式及求和9种方法数列是指按照一定规律排列的一系列数值。
求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。
一、等差数列求通项公式和求和等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。
例如：1，3，5，7，9，……，其中差为21.1求通项公式对于等差数列，可使用以下公式计算通项：通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。
1.2求和求和的公式为：S_n=(a_1+a_n)*n/2其中S_n表示数列前n项的和。
二、等比数列求通项公式和求和等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。
例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为22.1求通项公式等比数列的通项公式为：a_n=a_1*q^(n-1)其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。
2.2求和求等比数列前n项和的公式为：S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)三、斐波那契数列求通项公式和求和斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。
例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……3.1求通项公式斐波那契数列的通项公式为：a_n=a_(n-1)+a_(n-2)其中a_n表示数列的第n项。
3.2求和斐波那契数列前n项和的公式为：S_n=a_(n+2)-1四、等差数列的和差公式求通项公式和求和对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。
4.1公式和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。
已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用和差公式计算公差d：d=(a_n-a_1)/(n-1)4.2求通项公式已知首项a_1、公差d和项数n，可以使用通项公式计算任意项的值：a_n=a_1+(n-1)*d4.3求和已知首项a_1、末项a_n和项数n，可以使用求和公式计算等差数列前n项的和：S_n=(a_1+a_n)*n/2五、等比数列的部分和求和公式求通项公式和求和对于等比数列，如果已知首项、公比和项数，可以使用部分和求和公式求通项公式和求和。
数列求和公式总结
数列求和公式总结数列是数学中一种基本的概念，它可以将多个数字按照一定的规律排列起来的结构，相当于是一种数字的列表。
数列中的数项JSJKL 按照一定的规律来排列，因此对于数列中的数项，可以使用数列求和公式来计算它们的总和。
数列求和公式具有多种类型，其中比较常见的有等差数列求和公式、等比数列求和公式、指数数列求和公式以及无穷数列求和公式。
等差数列是指公差d相等的数列，等差数列求和公式是比较常见的一种，其公式如下：Sn=n(a1+an)/2其中，Sn表示数列的和，a1为数列的首项，an为数列的末项，n为数列的项数。
例如，a1=2， an=18，n=8，则Sn=8(2+18)/2=88。
等比数列是指每一项比前一项的比例相同的数列。
等比数列求和公式为：Sn=a1(1-qn)/1-q其中，Sn表示数列的和，a1为数列的首项，q为数列的比例，n 为数列的项数。
例如，a1=2，q=1/2，n=6，则Sn=2(1-1/26)/1-1/2=28。
指数数列是指每一项以某种等比比例来计算的数列，指数数列求和公式为：Sn=a1(1-rn)/1-r其中，Sn表示数列的和，a1为数列的首项，r为数列的比例，n 为数列的项数。
例如，a1=2，r=1/4，n=4，则Sn=2(1-1/44)/1-1/4=14。
无穷数列是指数列中某一项到无穷大时，数列和也到无穷大。
无穷数列求和公式为：Sn=lim(n→∞)∑nk=1ak其中，Sn表示数列的和，ak为数列的项。
以上就是数列求和公式总结，不管是等差数列、等比数列、指数数列，还是无穷数列，都可以使用相应的求和公式来计算数列的总和，为了准确的计算出数列的总和，要认真的分析具体的数列，然后再使用相应的求和公式来计算。
最全面总结：数列求通项、求和方法总结
数列求通项、求和的方法总结一、定义法 —— 直接利用等差或等比数列的定义求通项。
特征：适应于已知数列类型（等差or 等比）的题目．例．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=二、公式法求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。
特征：已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系例．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S nn n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-三、由递推式求数列通项法类型1 特征：递推公式为)(1n f a a n n +=+对策：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。
例1. 已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。
数列求和方法总结
数列求和方法总结1.公式法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可以组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解。
常见的公式：（1）等差数列求和公式d n n n a a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=（2）等比数列求和公式⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11n q qq a q na S n（3）)12)(1(61 (3212)222++=++++n n n n（4）233332)1(.......321⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++++n n n例1：求和：S n =1+（1+21）+（1+21+41）+........+[1+21+41+…+（21）n-1]．2. 奇偶分析法对于正负项间的数列或含有()n1-的运算结构的数列求和，通常要进行奇偶分析分类讨论求解。
例2：等比数列{a n }中．a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数．且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）如数列{b n }满足b n =a n +（﹣1）n lna n ，求数列b n 的前n 项和s n ．练习1：数列{a n }中)(543*1N n n a a n n ∈-=++．（1）若a 1=﹣20，求数列的通项公式；（2）设S n 为{a n }的前n 项和，证明：当a 1＞﹣27时，有相同的n ，使S n 与|a n+1+a n |都取最小值．练习2：已知数列{a n }的前4项成等差数列，且满足⎩⎨⎧+=+)(,2)(,22为偶数为奇数n a n a a nn n ． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）数列{a n }的前n 项的和为S n ，求满足S n ＜2012的最大的S n 的值．3. 分段讨论法一般地，求形如{}n a 型数列的前n 项和，常用分段讨论法，通过分段讨论脱去绝对值号后求解。
关于数列求和的解题方法总结
例1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n.
(1)求证：{an}为等差数列;
(2)求Sn的最小值及相应的n;
(3)记数列{
}的前n项和为Tn，求Tn的表达式。
解：(1)n=1时，a1=S1=-8
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-10
∴an=2n-10an+1-an=2
∴{an}是等差数列.
3.情感、态度与价值目标
通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.
4..教学重点、难点
①重点：等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用.突出重点的方法：“抓三线、突重点”，即一是知识技能线：问题情境→公式推导→公式运用;二是过程方法线:从特殊、归纳猜想到一般→错位相减法→数学思想;三是能力线：观察能力→初步解决问题能力
∴2Sn=n（a2+an）Sn=n（a1+an）/2
倒序相加法的解题关键就是要能够看到首项和末项之间的关系，这就需学生要有一定的`敏感度，一眼就能找准解题的方法，然后就是要细心地做。()因此，做数列题除了要注意总结和归纳解题方法外，大量的习题训练也是十分必要的。
二、用公式法
对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。等差数列的基本求和公式为：Sn=（a1+an）n/2;变形公式为Sn=na1+n（n-1）d/2（d为公差）。等比数列的求和公式为：Sn=na1（q=1）；Sn=a1（1-qn）/（1-q）=（a1-anq）/（1-q）（q≠1）（q为公比，n为项数）。利用公式来求数列之和是一种比较基本的题型，它的难度不大，只要掌握基本公式，并且具有一定的敏感度就能做对这类型的题。
数列求和方法及数学归纳法
数列求和一、常用公式法直接利用公式求和是数列求和的最基本的方法．常用的数列求和公式有：等差数列求和公式:等比数列求和公式:二、错位相减法可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.例1：求和：.设，其中为等差数列，为等比数列，公比为，利用错位相减法求和.解：，两端同乘以，得，两式相减得于是.说明：错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题.三、裂项相消法适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等例2 求数列{1/(＋)}的前n项和解：∵1/(＋)＝－(n＋1－n＝1)分母有理化∴1/(＋)＋1/(＋)＋…＋1/(－)＝－1＋－＋…＋－＝－1说明：对于分母是两二次根式的和，且被开方数是等差数列，利用乘法公式，使分母上的和变成了分子上的差，从而S n又因中间项相消而可求。
四、分组转化法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．例3 已知集合A＝{a|a＝2n＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的个数，以及这些元素的和解：由210＝1024，211＝2048知210＋9×10－4＜2000211＋9×10－4＞2000∴A中有10个元素,记这些元素的和为S10，则(首项为9，公差为9的等差数列)S10＝2＋22＋23＋…＋210＋9＋18＋…＋90－4×10(首项为2，公比为2的等比数列)＝2(210－1)＋99×5－40＝2501说明：本题中A是一个集合，集合中的元素是不可重复的，也是没有顺序，所以集合与数列是不同的，但在求和时与10个元素的顺序无关，所以可借用数列的方法求和。
五、配对求和法对一些特殊的数列，若将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，则在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先配对求和，然后再求Ｓｎ．例4, 设数列的首项为，前项和满足关系式：（1）求证：数列是等比数列。
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数列求和方法总结
一、常用公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n n 1、【2014·北京卷（文15）】已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和.
2、（2013年高考四川卷（文））在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.
二、错位相减法
错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的内容。
需要我们的学生认真掌握好这种方法。
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
3、【2014·全国卷Ⅰ（文17）】已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2
560x x -+=的根。
（I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）求数列2n n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和.
4、【2012高考浙江文19】（本题满分14分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =22n n +，n ∈N ﹡，数列{b n }满足a n =4log 2b n ＋3，n ∈N ﹡.
（1）求a n ，b n ；
（2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
三、裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.
5、（2013年高考江西卷（文））正项数列{a n }满足2(21)20n n a n a n ---=.
(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令1(1)n n
b n a =+,求数列{b n }的前n 项和T n .
6、2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-.
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列2121
1{}n n a a -+的前n 项和.
四、分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若数列{}n a 的通项公式为n n n b a c +=，其中{}{}n n b a ,中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般用分组结合法。
7、求数列 16
14,813,412,21
1的前n 项和；
能力提升
8、【2014·四川卷（理文19）】设等差数列{}n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上（*n N ∈）。
（1）若12a =-，点87(,4)a b 在函数()f x 的图象上，求数列{}n a 的前n 项和n S ；
（2）若11a =，函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列{
}n n
a b 的前n 项和n T 。