数学必修一第三章测试(附答案)

第三章测试

(基础过关卷)

(时间：90分钟 满分：100分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的)

1．设α，β是方程2x 2

＋3x ＋1＝0的两根，则14αβ

+??

?

??

的值为( )

A.8

B.18 C ．－8 D ．1

8

-

2．设a ＝l og 23，b ＝l og 43，c ＝0.5，则( )

A.c

3．如图所示，曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系是(

)

A.a

A .－a

B ．1a -

C.3a －4a

D. 3

a －2a 2 5．函数f (x )＝1

33,1,

log ,1,

x x x x ?≤??>??则y ＝f (x ＋1)的图象大致是( )

6．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x

＋m (m 为常数)，则f (－l og 35)的值为( ) A.－4 B ．4 C ．－6 D ．6

7．设函数f (x )＝()1

22log ,0,

log ,0,

x x x x ?>??-

A .(－1,0)∪(0,1)

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1,0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(0,1)

8．已知a >b ，函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图象如图所示，则函数g (x )＝l og a (x ＋b )的图象可能为( )

9．在f 1(x )＝12

x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝2x ，f 4(x )＝1

2log x 四个函数中，当x 2>x 1>1时，使1

2

[f (x 1)＋f (x 2)]

???

成立的函数是( )

A.f 1(x )＝12

e B ．

f 2(x )＝x 2 C ．f 3(x )＝2x D ．f 4(x )＝1

2log x

10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )在[0，＋∞)上为增函数，且f 13?? ???

＝0，则不等式

1log 8f x ?

? ??

?>0的解集为( )

A. 10,2?? ???

B. 1,12?? ???∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞) D. 10,2??

???

∪(2，＋∞) 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上) 11．函数y ＝2＋l og a (3x －2)(a >0，且a ≠1)的图象所过定点的坐标是__________．

12．关于x 的方程29X

??

???

＝2m －3有负根，则实数m 的取值范围是__________．

13．关于x 的方程l g x 2－l g(x ＋2)＝0的解集是__________．

14．据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设

2013年的冬季冰雪覆盖面积为m ，从2013年起，经过x 年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y 与x 的函数关系式是__________．

15．定义：区间[x 1，x 2](x 1

区间[a ，b ]的长度的最大值与最小值的差为__________．

三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分8分)已知f (x )＝l og a

11x

x

+- (a >0，且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；

(2)求使f (x )>0的x 的取值范围．

17．(本小题满分10分)已知指数函数y ＝g (x )满足g (2)＝4，定义域为R 的函数f (x )＝

()()2g x n

g x m

-++是

奇函数．

(1)确定y ＝g (x )的解析式； (2)求m ，n 的值；

(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．

18．(本小题满分10分)分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(sp l )来描述声

音的大小：把声压P 0＝2×10－

5帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区． (1)根据上述材料，列出分贝值y 与声压P 的函数关系式； (2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区？

(3)某晚会中，观众用仪器测量到最响亮的一次音量达到了90分贝，试求此时的声压是多少？

19．(本小题满分12分)已知函数f (x )满足f (l og a x )＝

()()

22

11a x x a -- (其中a >0，且a ≠1)．

(1)求f (x )的解析式及其定义域；

(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在两个不同的点，使过两点的直线与x 轴平行，如果存在，求出这两点；如果不存在，说明理由． 参考答案： 一、选择题

1．解析：由两根之和α＋β＝32

-

， 得14αβ

+?? ???

＝32

14-

??

???

＝3

24

8. 答案：A 2．答案：A 3．答案：D

4．解析：l og 38－2l og 29＝3l og 32－4l og 23＝23

log 3

－4l og 23＝3a －4a .

答案：C

5．解析：f (x ＋1)＝()11

33,0,

log 1,0,x x x x +?≤??+>??

故选B. 答案：B

6．解析：由题意，得f (0)＝0，即1＋m ＝0，所以m ＝－1. 所以f (－l og 35)＝－f (l og 35)＝－(3l og 35－1)＝－4. 答案：A

7．解析：f (－x )＝()122log ,0log ,0x x x x ?-->??-

22log ,0,

log ,0.

x x x x ?-??

当m >0时，f (m )

2log m 1；

当m <0时，f (m )

2log (－m )?－1

所以m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．

答案：C

8．解析：由函数f (x )＝(x －a )(x －b )的图象可知，a >1，0

9．解析：可用特殊值法令x 1＝2，x 2＝4逐一验证． 答案：A 10．解析：不等式1log

8f x ??

???>0等价于1log 8f x ?

? ??

? > f 13?? ???.

因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上为增函数，所以f (x )在(－∞，0]上为减函

数，则有1log 0,811log 83x x ?≥????>??或1log 0,8

11

log 8

3x x ?2.

因此，原不等式的解集为10,2??

???

∪(2，＋∞)．

答案：D 二、填空题 11．答案：(1,2)

12．解析：方程有负根，即当x <0时，29X ?? ???＝2m －3有解，∴29X

??

???

>1.

∴2m －3>1.∴m >2.

答案：m >2

13．解析：由220,20,2,x x x x ?>?

+>??=+?

得x ＝2或x ＝－1.

答案：{－1,2}

14．解析：设每年的冰雪覆盖面积减少率为a .

∵50年内覆盖面积减少了5%，∴(1－a )50

＝1－5%，解得a ＝1－150

0.95.

∴从2013年起，经过x 年后，冰雪覆盖面积y ＝m [1－(1－1

50

0.95)]x

＝m ·50

0.95x . 答案：y ＝m ·

50

0.95x 15．解析：y ＝2,0,

2,0,

x

x x x -?≥??

度的最大值为2，最小值为1.故最大值与最小值的差为1. 答案：1 三、解答题

16．解：(1)要使f (x )有意义，x 的取值必须满足

11x

x +->0，即10,10x x +>??->?或10,10,

x x +>??->? 解得－1

故f (x )的定义域为(－1,1)．

(2)当a >1时，由l og a

11x x +->0＝l og a 1，得11x

x +->1，即11,11.

x x x -<-?解得00＝l og a 1，得0<11x

x +-<1，即11,11.

x x x -<

解得－1

故当a >1时，所求x 的取值范围为0

(2)由(1)知f (x )＝122x x n

m

+-++.

∵f (x )在R 上是奇函数，∴f (0)＝0，即

1

2n m

-+＝0.∴n ＝1.

∴f (x )＝1122x

x m

+-+.

又由f (1)＝－f (－1)知124m -+＝1

121m -

-+，解得m ＝2. (3)由(2)知f (x )＝1

1222x x +-+＝－12＋1

21x +，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．

又f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)， ∴t 2－2t >k －2t 2，即3t 2－2t －k >0. 由判别式Δ＝4＋12k <0可得k <1

3

-. 18．解：(1)由已知，得y ＝20l g

p P . 又P 0＝2×10－

5，则y ＝20l g

5210p

-?.

(2)当P ＝0.002时，y ＝20l g 5

0.002

210

-?＝20l g 102＝40(分贝)． 由已知条件知40分贝小于60分贝，所以该地区为无害区． (3)由题意，得90＝20l g

0p P ，则0

p P ＝104.5，所以P ＝104.5P 0＝104.5×2×10－5＝2×10－

0.5≈0.63(帕)．

19．解：(1)令l og a x ＝t ，则x ＝a t .

因为x >0，所以t ∈R .

所以f (t )＝()

()

2211

t t a a a a --＝21a a -·21t t a a -＝21a a -(a t －a －t )，即f (x )＝21a a -(a x －a －

x )(x ∈R )．

(2)不存在，设x 1，x 2∈R ，且x 1

()()

()12

1212112

x x x x x

x

a a a a a

a +---+，

因为ax 1＋x 2＋1>0，ax 1＋x 2>0，而不论a >1还是0

所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

故在函数y ＝f (x )的图象上不存在两个不同的点，使过两点的直线与x 轴平行．