浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系

浅谈数列极限与函数极限在解题中的区别和联系摘要在数学分析中，极限的知识体系包括数列极限和函数极限。

在求解数列极限的方法中，我们从极限的定义出发，根据极限的性质以及相关的定理法则，例如单调有界收敛来论证极限；在求解函数极限时，其方法与数列极限有着相同之处，同时又有所区别。

本文重点在于分析数列极限与函数极限在解题中的相似之处与不同之处，同时研究数列极限与函数极限的关系。

关键词：数列极限；函数极限；区别；联系目录1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处 (3)1.1 定义法在极限解题中的应用 (3)1.1.1 定义法概述 (3)1.1.2 定义法解题实例分析 (3)1.2 迫敛性在极限解题中的应用 (4)1.2.1 迫敛性概述 (4)1.2.2 迫敛性解题实例分析 (4)1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 (5)1.3.1 积分中值定理概述 (5)1.3.2 积分中值定理实例分析 (6)1.4 本章小结 (6)2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处 (7)2.1 存在条件不同 (7)2.1.1 数列极限存在条件 (7)2.1.2 函数极限存在条件 (9)2.2 特殊形式的极限 (10)2.2.1 数列极限的特殊解法研究 (10)2.2.3 两个重要形式的函数极限解法研究 (12)3数列极限与函数极限的关系 (13)3.1海涅定理 (13)3.2海涅定理的应用 (14)4 结论 (16)1 数列极限与函数极限在解题中的相似之处数列极限与函数极限在解题过程中，存在着很多的相似之处。

主要表现在数列极限与函数极限的解题过程中，其方法的运用方面存在着很多的共同点。

下面将重点分析进行数列极限与函数极限的解题过程中，定义法以及利用数列迫敛性在数列极限与函数极限中的运用。

1.1 定义法在极限解题中的应用 1.1.1 定义法概述数列极限的N ε-定义：设{}n a 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正数N ，使得当n N >时，有n a a ε-<，则称数列{}n a 收敛于a 。

记作：lim n n a a →∞=。

否则称{}n a 为发散数列。

函数极限定义：设n X {}是一个数列，a 是实数，如果对任意给定的ε>0，总存在一个正整数N ，当n N >时，都有n X a -<ε，我们就称a 是数列n X {}的极限。

记为lim n n X a →∞=。

1.1.2 定义法解题实例分析例. 求证数列极限1lim 1,nn a →∞=其中0a >。

证：当1a =时，结论显然成立。

当1a >时，记11na α=-，则0α>，由()1111(1)nna n n ααα=+≥+=+-得111na a n --≤，任给0ε>，则当1a n N ε->=时，就有11n a ε-<，即11n a ε-<即1lim 1,nn a →∞=当1111101,1,lim 1,lim 1lim n n n n nn a b b b a ab→∞→∞→∞<<=>=∴==时，令则由上易知综上，1lim 1,nn a →∞=0a >例. 按函数极限定义证明0!1lim=∞→n n 。

解: 11112n n n n n =(-)(-)⋯1≤!令1n <ε，则让n >ε1即可， 存在1N ε=[]，当n N >时，不等式: ()()111n 1n 21n!n n =--⋯≤<ε成立，所以0!1lim =∞→n n 。

1.2 迫敛性在极限解题中的应用 1.2.1 迫敛性概述数列极限迫敛性：设数列{}{},n n a b 都以a 为极限，数列{}n c 满足：存在正数N ，当n>N 时，有n n n a c b ≤≤，则数列{}n c 收敛，且lim n n c a →∞=。

函数极限迫敛性：设0lim ()lim ()x x x x f x g x A →→==，且在某),('0δx u o 内有()()()f x h x g x ≤≤，则0lim ()x x h x A →=1.2.2 迫敛性解题实例分析例.求数列极限22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭ 解：记2221212n n x n n n n n n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭，则2212121n n nx n n n n n ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≤≤++++22(1)(1)2(2)2(1)n n n n n x n n n n ++∴≤≤+++ 22(1)1(1)limlim 2(2)22(1)n n n n n n n n n n →∞→∞++==+++Q由迫敛性得22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪++++++⎝⎭=12。

注：迫敛性在求数列极限中应用广泛，常与其他各种方法综合使用，起着基础性的作用。

例：求函数极限01lim x x x -→⎡⎤⎢⎥⎣⎦的极限 解：Θ11x 1x x ⎡⎤≤<-⎢⎥⎣⎦ 且0lim(1)1x x -→-= 由迫敛性知 ∴ 01lim x x x -→⎡⎤⎢⎥⎣⎦注：做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。

1.3 积分中值定理在极限解题中的应用 1.3.1 积分中值定理概述数列极限中值定理如下：定理一（费马定理）：设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义并且在0x 处可导，如果对任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），那么0()0f x '=。

定理二（罗尔定理）：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,且)()(b f a f =,那么在),(b a 至少存在一点(,)a b ξ∈,使得0)('=ξf 。

定理三（拉格朗日中值定理）：如果函数()f x 在闭区间],[b a 上连续,在开区间),(b a 内可导,那么至少存在一点(,)a b ξ∈，使得))(()()('a b f a f b f -=-ξ。

结论也可写成：()()()f b f a f b aξ-'=-。

定理四（柯西中值定理）：如果函数)(x f 及)(x F 在闭区间],[b a 上连续，在开区间),(b a 内可导，且)('x F 在),(b a 内每一点处均不为零，那末在),(b a 内至少有一点)(b a <<ξξ，使等式)()()()()()(''ξξF f a F b F a f b f =--成立。

函数极限中值定理：设函数()f x 在区间[],a b 上连续，将区间[],a b 分成n 个子区间[](](](]00112,,,,,,,,.i a x x x x x x b ⋅⋅⋅在每个子区()1,i i x x -任取一点()i 1,2,,n i ξ=⋯，作和式，当0λ→时，(λ属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间()a,b 的定积分。

1.3.2 积分中值定理实例分析例. 求2lim arctan arctan 1n a a n n n →∞⎛⎫- ⎪+⎝⎭，()0a ≠ 解：设()arctan f x x =，在,1a a n n ⎡⎤⎢⎥+⎣⎦应用拉格朗日中值定理，得 21,,1111a a a a a a f f n n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故当n →∞时，0ξ→，可知 原式=22lim 11n a nn a n ξ→∞⋅⋅=++。

例. 求1123lim (0)p p p pp n n p n+→+∞+++∧+> 解: )0(321lim 1>++++++∞→p n n p p p p p n Λ=11lim ()n pn i i n n→+∞=∑ 设p x x f =)(，则)(x f 在[]0,1内连续，],1[,1nin i n i n x i i -∈==∆ξ取 所以， p i n if )()(=ξ所以原式=111+=⎰p dx x p 1.4 本章小结以上方法是在高等数学里求解极限的重要方法。

在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选择出适当的方法。

这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。

这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。

达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。

从上述的介绍中可以看出求极限的方法不拘一格，我们应具体问题具体分析，不能机械地用某种方法，对具体题目要注意观察，有时解题可多种方法混合使用，要学会灵活运用。

2 数列极限与函数极限在解题中的不同之处数列极限与函数极限在解题过程中虽然存在有很多相似之处，但也有着很多的不同之处，下面本章主要针对数列极限与函数极限的存在条件不同以及一些特殊的极限解题方式的不同进行分析与研究。

2.1 存在条件不同2.1.1 数列极限存在条件定理一（单调有界定理）：在实数系中，有界且单调数列必有极限。

证明：不妨设{}n a 单调递增有上界，由确界原理{}n a 有上确界{}n a a sup =，下面证明a a n n =∞→lim 。

0>∀ε，一方面，由上确界定义{}n N a a ∈∃，使得N a a <-ε，又由{}n a 的递增性得，当N n >时n N a a a ≤<-ε；另一方面，由于a 是{}n a 的一个上界，故对一切n a ，都有ε+<≤a a a n ； 所以当N n >时有εε+<<-a a a n ，即ε<-a a n ，这就证得a a n n =∞→lim 。

同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且为它的下确界。

例 设1111,1,2,23n a n n ααα=++++=L L 其中2α≥，证明数列{}n a 收敛。

证明：显然数列{}n a 是单调递增的，以下证明它有上界。

事实上， 222131211na n ++++≤Λ ⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-++⋅+⋅+≤n n n n 11131212111)1(13212111ΛΛ Λ,2,1212=<-=n n， 于是由单调有界定理便知数列{}n a 收敛。