第6章 屈服准则与本构方程

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广义虎克定律的张量表达式：
形状变化
体积变化
Principle of Metal Forming
广义虎克定律的比例及差比表达式：
又据等效应力表达式：
由差比表达式有：
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将前式代入等效应力公式有：
Principle of Metal Forming
令： 则有复杂应力状态下应力强度与应变强度表达式：
1 2 3 0
半径：
Principle of Metal Forming
2 s 3
Π面上σm＝0
主轴线上点单向应力状态
关于主轴线对称
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4 ）中间主应力的影响和屈服条件的简化形式
若已知主应力大小顺序，则有屈雷斯加屈服条件：
Principle of Metal Forming
Principle of Metal Forming
Saint-Venant塑性流动方程 。 表达式推导：
分量表达式：
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３．Prandtl-Reuss理论
Prandtl-Reuss在 Levy－Mises 理论的基础上考虑了弹性变形，即：
Principle of Metal Forming
简记为：
Principle of Metal Forming
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实验值
主应力表达式：
单向拉伸屈服应力
4
H.Tresca 、Von.Mises屈服准则的比较：
提出的出发点不同，表达式也不同，但当两个主应力相同时 者一致。前者基于实验，后者基于理论。 相同点： １） 表达式与坐标选择无关，左边都是不变量的函数。 ２） 三个主应力可任意转换而不影响屈服，同时认为拉应力 和压应力的作用相同。 ３） 各表达式均与应力球张量无关。
df
f d ij 0 ij
中性变载、对硬化材料不产生变形，对理想塑性材料产生塑性流 动，应力状态沿初始屈服表面切线方向移动。
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6.3 本构方程
本构关系：塑性变形时的应力应变关系，其数学表达式称本构方程或 物理方程。
Principle of Metal Forming
1 弹性应力应变关系
单拉、剪 其中：
全 量 形 式 虎 克 定 律
狭 义
一般应力
广 义
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左式表明：物体弹性 变形时其单位体积的变化 率与平均应力成正比，说
Principle of Metal Forming
明应力球张量使物体产生
弹性体积改变。
前两式相减有：
偏 量 形 式 虎 克 定 律
即：
同理有：
或归纳为：
上式表明：应变偏张量与应力偏张量成正比，即物体的形状改变由应力 的偏张量引起。
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应变硬化材料的应力状态：
１．当：
f df d ij 0 ij
Principle of Metal Forming
加载、产生塑性流动变形、 应力状态由初始屈服表面向外移动。 ２．当：
df
f d ij 0 ij
卸载、产生弹性回复变形、应力状态由初始屈服表面向内移动。 ３．当：
主应力表达式：
Principle of Metal Forming
M T
比较，如上图： 整体与Mises吻合最好
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两个屈服准则的比较：
１）一般韧性材料（如Cu、Al、Ni金属及其合金还有中碳钢）与Mises准 则条例较好；然而诸如退火软钢等材料又似乎与Tresca准则符合更好。而
Principle of Metal Forming
第6章 屈服准则与本构方程
1.基本概念
在单向拉伸应力状态下判别材料是否屈服的标准就是材料质点的应力是否 达到屈服应力σs，应力σs ＝ σ就是单向拉伸情况下的屈服条件或屈服准则。对 于任意应力状态，当6个独立的应力分量符合一定条件时，质点进入塑性状态， 这种关系称为屈服准则。 可表示为：
Principle of Metal Forming
由广义虎 克定律微分得： 则有：
弹性应 变部分
塑性应 变部分
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Prandtl-Reuss理论的特点：
１） Levy－Mises 理论是Prandtl-Reuss理论 不考虑了弹性变形的特
殊形式。前者仅适用于大应变，无法求弹性回复及残余应力问题；后者
Principle of Metal Forming
Principle of Metal Forming
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Principle of Metal Forming
Mises 圆柱面：
半径：
中心线：等倾线
(2) H.Tresca屈服表面 Tresca六棱柱面：
内接Mises 圆柱面的正
六棱柱面
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３）Π平面上的屈服轨迹
Π平面定义：主应力空间中，通过坐标原点，并垂直 于等倾线的平面，其方程为：
' ' U1 ( )( ij ij m ij ) m ij 2 ' ' ' ' 1 ( ＋ ＋ ij ij ij m ij m ij m ij m ij ij ) 2
其中上式第三、四项为零。 第二项只与球张量有关，表示体积变化能。
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不同点：
H.Tresca屈服准则没有考虑中间应力影响，三个主应力大小未 知时使用不便。
Von.Mises屈服准则考虑了中间应力的影响，故使用方便。
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3 屈服准则的几何表达——屈服轨迹和表面
１）平面应力状态的屈服轨迹
(1) Von.Mises
Principle of Metal Forming
分量表达式：
注意： Levy－Mises 方程仅适用于理想刚塑性材料，它只给出了应 变增量与应力偏量之间的关系。由于dεm ＝0，因而对应的应力球张量 不能唯一确定。故若已知应变增量，只能求得应力偏量，不能求出全应 力，反之亦然。
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２．应力－应变速率方程
把Levy－Mises 方程对时间求导，即是应力－应变速率方程。 Saint-Venant于1870年提出，由于类似于牛顿粘性流动公式，故又称
Principle of Metal Forming
max
max min
2
C
实验值 剪切屈服强度
单向拉伸屈服应力
主应力表达式：
以上三个表达式满足其中之一即屈服。
另称：最大切应力不变条件
3
2 ） 米塞斯（Von.Mises）屈服准则
1913年德国力学家Von.Mises从纯数学角度提出： 意义：受力物体（质点）的等效应力达到屈服值时即进入塑性状态。 表达式：
Mg合金则因组织不稳定等因素，适合哪个准则尚无定论。总之大多数材料 符合Mises准则。 ２）两者的统一表达式： Mises准则 Tresca准则
1 3 1 s
β: 中间主应力影响系数，取值范围1～1.15
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5应变硬化和后继屈服
前述理论只适合于各向同性的理想塑性材料，对于硬化材料： 初始屈服与前述规律相同，当材料产生硬化后，在变形的某一瞬时， 都有一后继屈服表面和屈服轨迹。
意义：应变偏量各分量与应力偏量各分量成正比
适用于求解小应变及弹性回复和残余应力问题。 ２） Levy－Mises 理论和Prandtl-Reuss理论着重指出了应变增量与
应力偏量间的关系。
３） ４）
可反映复杂加载过程的积累作用。 上述理论仅适用于加载情况，卸载仍然服从虎克定律。
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4 全量理论（形变理论）
增量理论虽严密而不实用，因从应变增量积分到全量并非易事。全 量理论就是在一定条件下直接确定全量应变的理论。Hencky于1924年、
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OAC、比例、主轴 重合、力变对应
OBD(I)F、非比例、 主轴不重合、力变 不对应
OAC(E、J)F、非比 例、主轴不重合、 力变不对应
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3 增量理论（流动理论）
描述材料处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之间关系。 它针对加载过程中每一瞬间的应力状态所确定的该瞬间的应变增量，这
3 UV 1 m ij m ij 2 2 m m
3(1 2 ) 2 m 2E
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第一项只与偏张量有关，表示形状变化能：
' ' Uf 1 ij ij 2 1 4G
'ij 'ij
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41G '2 x '2 y '2 z 2( '2 xy '2 zy '2 zx）
为评价中间应力的影响，设： Lode参数 Mises准则 Tresca准则 则：
1 3 1 s
比较，如右图： μσ=±1 时 Mises 、Tresca重合
μσ=0 时 两者差别最大，误差15.5%
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4 实验验证
Taylor、Quinney实验：
材料 Cu、Al、钢
方法 薄壁管扭转、轴拉 提问正剪应力表达式 屈服准则表达式： T M
３）加载瞬时应力与应变主轴重合 ４）塑性变形时体积不变，即 表达式：
d d ij ij
意义：应变增量与应力偏量成正比
类似于广义虎克定律的比例及差比表达式：
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其中dλ：
等效应变增量或 应变增量强度
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Principle of Metal Forming
Principle of Metal Forming
那达依于1937年、伊留伸于1943年相继提出了形变理论，其中后者应用 较多。 伊留伸理论的基本假设： １）塑性变形量小，与弹性变形属同数量级。
２）比例、单增、无卸式加载。
３）加载过程中应力与应变主轴方向不变、且重合。 ４）塑性变形时体积不变，即泊松比值为0.5。 表达式：
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(2) H.Tresca
Principle of Metal Forming
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(3) 屈服轨迹在分析问题时的应用
判断变形状态
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分析准则异同
等双向应力
平面应力或应变
单向应力 纯剪切应力
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2. ）主应力空间的屈服表面 (1) Von.Mises屈服表面
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塑性变形的特点：
１）非线性关系。 ２）塑性变形时可以认为体积不变，应力球张量为零。 ３）应力主轴与全量应变主轴不一定重合。 ４）变形不完全可逆、与应变历史有关。非单值对应。
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OBD、比例、主轴 重合、力变对应
OF′F、比例、主轴 重合、力变对应
Principle of Metal Forming
样就撇开了加载历史的影响。 １．Levy－Mises理论 Levy和Mises分别于1871和1913年建立了理想刚塑性材料的流动理论。 基本假设：
１）理想刚塑性
２）符合Mises屈服准则，即
s
d ij d ij
瞬时正常数，加载时变 化、卸载时为零 25
E
上式表明：在弹性变形范围内，应力强度与弹性应变强度成正比，比例 系数仍为Ｅ。
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弹性应变能
物体在外力作用下产生弹性变形，若物体保持平衡且无温度变 化，则外力所做的功将全部转换成弹性势能。 即：
Principle of Metal Forming
U1 2 ( ij ij )
引入偏、球张量，有：
f ( ij ) C
C是与材料性质有关、与应力状态无关的常数。
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基本概念
Bauschinger效应
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反向加载引起的屈服
应力降低的现象。
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2.两个常用屈服准则
1 ）屈雷斯加（H.Tresca）屈服准则
1864年法国工程师H.Tresca提出： 意义：受力物体（质点）中切应力达到最大时，物体就发生屈服。 表达式：
2 2 2 2 2 2 1 12 ( ) ( ) ( ) 6 ( xy zy zx ) x y x z y z G





1 6G

2
按米塞斯屈服条件，有：
U f 61 G s
2
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2 塑性本构方程 弹性变形的特点：
１）完全线性关系。 ２）变形完全可逆、与应变历史无关。单值对应。 ３） 应力主轴与应变主轴重合。 4 ）球张量使物体体积发生弹性变化。
Principle of Metal Forming
后继屈服轨迹变化非常复杂，最常见的假设是基于材料各向同
性的等向强化模型，其特点： １．材料硬化后依然各向同性。 ２．屈服轨迹中心位置不变，形状与理想塑性材料一致。 屈服准则表达式： f(σij)=Y Y（瞬时、 后继屈服应力） 变化规律：
f ( )