圆锥曲线之椭圆小题含详解
圆锥曲线之椭圆题库 含详解 高考必备
椭圆题库1 E 、F 是椭圆2224x y +=的左、右焦点，l 是椭圆的右准线，点P l ∈，过点E 的直线交椭圆于A 、B 两点.（1） 当AE AF ⊥时，求AEF ∆的面积； （2） 当3AB =时，求AF BF +的大小； （3） 求EPF ∠的最大值.解：（1）2241282AEF m n S mn m n ∆+=⎧⇒==⎨+=⎩（2）因484AE AF AB AF BF BE BF ⎧+=⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，则 5.AF BF +=（1）设)(0)P t t > ()tan EPF tan EPM FPM ∠=∠-∠221()(1663t t t t t t -=-÷+==≤++，当t =30tan EPF EPF ∠=⇒∠= 2 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF （1）求点T 的轨迹C 的方程；（2）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.（1）解 ：设点T 的坐标为).,(y x当0||=时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.当|0||0|2≠≠TF 且时，由0||||2=⋅TF ，得2TF ⊥. 又||||2PF PQ =，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，a F OT ==||21||1，所以有.222a y x =+ 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是.222a y x =+ （2）解：C 上存在点M （00,y x ）使S=2b 的充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=+.||221,2022020b y c a y x 由③得a y ≤||0，由④得.||20c b y ≤所以，当cb a 2≥时，存在点M ，使S=2b ； 当cb a 2<时，不存在满足条件的点M.当cb a 2≥时，),(),,(002001y x c MF y x c MF --=---=，由2222022021b c a y c x MF MF =-=+-=⋅，212121cos ||||MF F MF MF MF MF ∠⋅=⋅，22121sin ||||21b MF F MF MF S =∠⋅=，得.2tan 21=∠MF F 3 已知椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程；（Ⅱ）若直线2:+=kx y l 与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线C 2的方程为12222=-b y a x ，则.1,31422222==+=-=b c b a a 得再由 故C 2的方程为.1322=-y x （II ）将.0428)41(1422222=+++=++=kx x k y x kx y 得代入 ③ ④由直线l 与椭圆C 1恒有两个不同的交点得,0)14(16)41(16)28(22221>-=+-=∆k k k即 .412>k ① 0926)31(1322222=---=-+=kx x k y x kx y 得代入将.由直线l 与双曲线C 2恒有两个不同的交点A ，B 得.131.0)1(36)31(36)26(,0312222222<≠⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+-=∆≠-k k k k k k 且即)2)(2(,66319,3126),,(),,(22+++=+<+<⋅--=⋅-=+B A B A B A B A B A B A BA B A B B A A kx kx x x y y x x y y x x OB OA k x x k k x x y x B y x A 而得由则设.1373231262319)1(2)(2)1(222222-+=+-⋅+--⋅+=++++=k k kk k k k x x k x x k B A B A .0131315,613732222>--<-+k k k k 即于是解此不等式得 .31151322<>k k 或 ③ 由①、②、③得.11513314122<<<<k k 或 故k 的取值范围为)1,1513()33,21()21,33()1513,1( ----4．已知某椭圆的焦点是F 1（－4，0）、F 2（4，0），过点F 2，并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10．椭圆上不同的两点A （x 1，y 1）、C （x 2，y 2）满足条件：｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC 中点的横坐标；（3）设弦AC 的垂直平分线的方程为y ＝kx ＋m ，求m 的取值范围.（12a ＝｜F 1B ｜＋｜F 2B ｜＝10，得a ＝5.又c ＝4， 所以b ＝22c a -＝3．故椭圆方程为252x ＋92y ＝1．（2）解：由点B （4，y B ）在椭圆上，得｜F 2B ｜＝｜y B ｜＝59． 方法一：因为椭圆右准线方程为x ＝425，离心率为54．根据椭圆定义，有｜F 2A ｜＝54（425－x 1），｜F 2C ｜＝54（425－x 2）．由｜F 2A ｜、｜F 2B ｜、｜F 2C ｜成等差数列，得 54（425－x 1）＋54（425－x 2）＝2³59． 由此得出x 1＋x 2＝8． 设弦AC 的中点为P （x 0，y 0）， 则x 0＝221x x +＝28＝4．（3）解法一：由A （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在椭圆上，得9x 12＋25y 12＝9³25， ④ 9x 22＋25y 22＝9³25． ⑤由④－⑤得9（x 12－x 22）＋25（y 12－y 22）＝0，即9（221x x +）＋25（221y y +）（2121x x y y --）＝0（x 1≠x 2）.将221x x +＝x 0=4，221y y +＝y 0，2121x x y y --＝－k1（k ≠0）代入上式，得9³4＋25y 0（－k 1）＝0（k ≠0）．由上式得k ＝3625y 0（当k ＝0时也成立）.由点P （4，y 0）在弦AC 的垂直平分线上，得y 0＝4k ＋m ，所以m ＝y 0－4k ＝y 0－925y 0＝－916y 0．由P （4，y 0）在线段BB ′（B ′与B 关于x 轴对称）的内部，得－59＜y 0＜59.所以－516＜m ＜516．5 设x 、y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x 、y 轴正方向上的单位向量，若向量a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8.（1）求点M （x ，y ）的轨迹C 的方程.（2）过点（0，3）作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设=+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，试说明理由.（1）解：∵a =x i +（y +2）j ，b =x i +（y －2）j ，且|a |+|b |=8， ∴点M （x ，y ）到两个定点F 1（0，－2），F 2（0，2）的距离之和为8.∴轨迹C 为以F 1、F 2为焦点的椭圆，方程为122x +162y =1.（2）∵l 过y 轴上的点（0，3），若直线l 是y 轴，则A 、B 两点是椭圆的顶点.∵OP =OA +OB =0，∴P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾.∴直线l 的斜率存在.设l 方程为y =kx +3，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y =kx +3，122x +162y =1， （－21）＞0恒成立，且x 1+x 2=－23418k k +，x 1x 2=－23421k +. ∵=+，∴四边形OAPB 是平行四边形.若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA ⊥OB ，即²=0.∵=（x 1，y 1），=（x 2，y 2）， ∴OA ²OB =x 1x 2+y 1y 2=0， 即（1+k 2）x 1x 2+3k （x 1+x 2）+9=0， 即（1+k 2）²（－23421k +）+3k ²（－23418k k +）+9=0，即k 2=165，得k =±45.∴存在直线l ：y =±45x +3，使得四边形OAPB 是矩形. 6 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ²2PF的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 解：（Ⅰ）：易知2,1,a b c == 所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-由 消y 得（4+3k 2）x 2+18kx －21=0.此时，Δ=（18k 2）－4（4+3k 2）因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴12122243,44k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：k <或k > 又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅>∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<<故由①、②得2k -<<2k << 7 如图，直线y ＝kx ＋b 与椭圆2214x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S ． (I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值； （Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．(I)解：设点A 的坐标为(1(,)x b ，点B 的坐标为2(,)x b ，由2214x y +=，解得1,2x =±所以22121||2112S b x x b b =-=≤+-=当且仅当2b =时，．S 取到最大值1． （Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8440k x kbx b +++-=2216(41)k b ∆=-+ ①｜AB12|2x x -== ② 又因为O 到AB的距离21||Sd AB === 所以221b k =+ ③ ③代入②并整理，得424410k k -+=解得，2213,22k b ==，代入①式检验，△＞0 故直线AB 的方程是22y x =+或22y x =-或22y x =-+或22y x =-- 8 已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e ． 直线,l ：y＝ex ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB ．（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2； （Ⅱ）若43=λ，△MF 1F 2的周长为6；写出椭圆C 的方程；（理科无此问） （Ⅲ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形．（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c a b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由． 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）． 由).,(),(2a eaa b e a c λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得．（Ⅱ）当43=λ时，21=c ，所以.2c a = 由△MF 1F 2的周长为6，得.622=+c a所以.3,1,2222=-===c a b c a 椭圆方程为.13422=+y x （Ⅲ）因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e e e =+- 所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形． 9 如图,椭圆2222:1(0)x y Q a b a b+=>>的右焦点为(,0)F c ,过点F 的一动直线m 绕点F转动,并且交椭圆于A 、B 两点, P 为线段AB 的中点． (1) 求点P 的轨迹H 的方程;(2) 若在Q 的方程中,令221cos sin ,sin (0).2a b πθθθθ=++=≤<确定θ的值,使原点距椭圆Q 的右准线l 最远．此时设l 与x 轴交点为D ,当直线m 绕点F 转动到什么位置时,三角形ABD 的面积最大?解：如图(1)设椭圆2222:1x y Q a b+=上的点1,1()A x y 、2,2()B x y ,又设P 点坐标为(,)P x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩………………① ………………②1︒ 当AB 不垂直x 轴时，12,x x ≠由①—②得22121221221222222()2()20,,0,(*)b x x x a y y y y y b x yx x a y x cb x a y b cx -+-=-∴=-=--∴+-=2︒当 AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（*）． 故所求点P 的轨迹H 的方程为： 222220b x a y b cx +-=．(2)因为,椭圆Q 右准线l 方程是2a x c =,原点距椭圆Q 的右准线l 的距离为2a c,222222,1c o s s i n ,s i n (0).2s 2s i n ().24c a b a b a c πθθθθθπ=-=++=≤==+由于则<2πθ=当时,上式达到最大值,所以当2πθ=时,原点距椭圆Q 的右准线l 最远．此时222,1,1,(2,0),1a b c D DF ====．设椭圆 22:121x y Q +=上的点1,1()A x y 、2,2()B x y , △ABD 的面积1212111.222S y y y y =+=- 设直线m 的方程为1x ky =+,代入22121x y +=中,得22(2)210.k y ky ++-= 由韦达定理得12122221,,22k y y y y k k +=-=-++ ()()222212121222814()()4,2k S y y y y y y k+=-=+-=+令211t k =+≥,得28424tS t≤=,当1,0t k ==取等号． 因此,当直线m 绕点F 转动到垂直x 轴位置时, 三角形ABD 的面积最大．9． 已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆相交于点P 和点Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程．∴椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+22y =1．10设A 、B 分别为椭圆22221x x a b+=（,0a b >）的左、右顶点，椭圆长半轴．．．的长等于焦距，且4x =为它的右准线。
高考数学圆锥曲线综合题题库1 含详解
1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是椭圆22154x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值；（Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===设P （x ，y ），则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ，0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得依题意220(1680)0k k ∆=-><<，得 当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x.4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D| 综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P （1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C 在l 上.(1)求动圆圆心的轨迹M 的方程；.B ,A M 3,P )2(两点相交于的直线与曲线且斜率为设过点-（i ）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点C 的坐标；若不能，说明理由 （ii ）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点C 的纵坐标的取值范围.解：(1)依题意，曲线M 是以点P 为焦点，直线l 为准线的抛物线，所以曲线M 的方程为y 2=4x.:y x4y )1x (3y )1x (3y :AB ,)i )(2(2得消去由的方程为直线由题意得⎩⎨⎧=--=--=.3162x x |AB |),32,3(B ),332,31(A .3x ,31x ,03x 10x 321212=++=-===+-所以解得假设存在点C （－1，y ），使△ABC 为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即),(9314y ,)332y ()34()32y (4:)316()32y ()131(,)316()32y ()13(2222222222舍不符解得相减得-=-+=++⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+++因此，直线l 上不存在点C ，使得△ABC 是正三角形. （ii ）解法一：设C （－1，y ）使△ABC 成钝角三角形，.32y ,C ,B ,A ,32y 1x )1x (3y ≠=⎩⎨⎧-=--=故三点共线此时得由，9256)316(|AB |,y 3y 34928)332y ()311(|AC |222222==+-=-+--=又， , 392y ,9256y y 334928y y 3428,|AB ||AC ||BC |22222时即即当>++->+++>∠CAB 为钝角.9256y y 3428y y 334928,|AB ||BC ||AC |22222+++>+-+>即当.CBA 3310y 为钝角时∠-<22222y y 3428y 3y349289256,|BC ||AC ||AB |++++->+>即又0)32y (,034y 334y :22<+<++即.该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是:)32(9323310≠>-<y y y 或.解法二： 以AB 为直径的圆的方程为:38 1x :L )332,35()38()332y ()35x (222的距离为到直线圆心-=-=++-. ).332,1(G L AB ,--相切于点为直径的圆与直线以所以当直线l 上的C 点与G 重合时，∠ACB 为直角，当C 与G 点不重合，且A ， B ，C 三点不共线时， ∠ACB 为锐角，即△ABC 中∠ACB 不可能是钝角. 因此，要使△ABC 为钝角三角形，只可能是∠CAB 或∠CBA 为钝角. 932y 1x ).31x (33332y :AB A =-=-=-得令垂直的直线为且与过点.3310y 1x ),3x (3332y :AB B -=-=-=+得令垂直的直线为且与过点.,)32,1(C ,,32y x )1x (3y 时的坐标为当点所以解得又由-=⎩⎨⎧-=--= A ，B ，C 三点共 线，不构成三角形.因此，当△ABC 为钝角三角形时，点C 的纵坐标y 的取值范围是：).32(9323310≠>-<y y y 或3、(江苏省启东中学高三综合测试三)（1）在双曲线xy=1上任取不同三点A 、B 、C ，证明：⊿ABC 的垂心H 也在该双曲线上；（2）若正三角形ABC 的一个顶点为C(―1,―1)，另两个顶点A 、B 在双曲线xy=1另一支上，求顶点A 、B 的坐标。
常德市选修一第三单元《圆锥曲线的方程》测试(含答案解析)
一、填空题1．椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为________.2．已知O 为坐标原点，12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，A 为椭圆的右顶点，P 为C 上一点，且2PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段2PF 交于点M ，与y 轴交于点N ，若直线1F M 与y 轴交于点Q ，且3ON OQ =，则C 的离心率为___________.3．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率e A B =、分别是椭圆的左、右顶点，点P 是椭圆上的一点，直线PA PB 、的倾斜角分别为αβ、，满足tan tan 1αβ+=，则直线PA 的斜率为__________.4．已知1F ，2F 是椭圆222:1(1)x C y a a+=>的两个焦点，且椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，若点M ，N 分别是圆D ：22(3)3x y +-=和椭圆C 上的动点，则当椭圆C 的离心率取得最小值时，2MN NF +的最大值是___________．5．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，O 为坐标原点.过点F 的直线240x y +-=与椭圆的交点为Q (点Q 在x 轴上方)，且||||OF OQ =，则椭圆C 的离心率为_____.6．已知1F ，2F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，P 是椭圆上一点(异于左､右顶点)为半径的圆内切于12PF F △，则椭圆的离心率的取值范围是________.7．椭圆2212516x y +=的左、右焦点为F 1､F 2，点P 在椭圆上，若F 1PF 2为直角三角形，则点P 到x 轴的距离为_____.8．已知O 为坐标原点，点(1,2)P 在抛物线C ：24y x =上，过点P 作两直线分别交抛物线C 于点A ，B ，若0PA PB k k +=，则AB OP k k ⋅的值为______.9．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，F 为右焦点，点A 的坐标为，则AFP周长的最大值为_______.10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P使12PF e PF =，则该椭圆的离心率e 的取值范围是______.11．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>于A ，B 两点，过点A 分别作x 轴、AB 的垂线AP ．AQ 交椭圆C 于点P ．Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若45AM AP =，则椭圆C 的离心率是__________．12．已知直线y kx m =+与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线交于A B 、两点，与1yx k交于点N ，若N 为AB 的中点，则双曲线的离心率等于____. 13．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1） 能使抛物线方程为y 2＝10x 的条件是_____． 二、解答题14．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -，过点A 作斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点D ，交y 轴于点E .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知P 为AD 的中点，是否存在定点Q ，对于任意的(0)k k ≠都有OP EQ ⊥，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在说明理由；（III ）若过O 点作直线l 的平行线交椭圆C 于点M ，求AD AEOM+的最小值. 15．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点F 在x 轴上，且抛物线C 上横坐标为4的点P 到焦点F 的距离为92. （1）求抛物线C 的标准方程.（2）已知点()2,0P ，点Q 在抛物线C 上.①若点Q 在第一象限内，且2PQ =，求点Q 的坐标. ②求PQ 的最小值.16．已知椭圆()2222:10x y G a b a b +=>>过点33,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且它的一个焦点在直线220x y +=.（1）求椭圆G 的方程；（2）设直线y x m =+与椭圆G 相交于不同的两点,M N ，且()0,1B -，是否存在实数m ，使得BM BN =?若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由.17．已知集合(){}22|4300A x x ax a a =-+<>，集合B ={a 方程221382x y a a+=--表示圆锥曲线C }（1）若圆锥曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，求实数a 的取值范围；（2）若圆锥曲线C 表示双曲线，且A 是B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.18．已知命题:p 方程22113x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆，命题:q 关于x 的不等式22230x mx m +++>恒成立；（1）若命题q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题.求实数m 的取值范围.19．如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 上顶点为A ，过点A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1F 恰是2QF 的中点，若过A ，Q ，2F 三点的圆与直线:330l x y --=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 为椭圆C 的长轴两端点，直线m 过点()4,0P 交C 于不同两点G ，H ，证明：四边形MNHG 的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程．20．已知椭圆M ：22213x y a +=()0a >的一个焦点为()1,0F -，左右顶点分别为A ，B ．经过点F 的直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点． （Ⅰ）求椭圆M 方程；（Ⅱ）当直线l 的倾斜角为45时，求线段CD 的长；（Ⅲ）记△ABD 与△ABC 的面积分别为1S 和2S ，求12S S -的最大值．21．已知椭圆的2222:1(0)x y C a b a b+=＞＞的焦距为6(2,1)A .（1）求椭圆C 的方程；（2）若不经过点A 的直线:l y kx m =+与C 交于,P Q 两点，且直线AP 与直线AQ 的斜率之和为0，求k 的值.22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>6，且过点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若不过点()0,1A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且0AP AQ ⋅=，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标. 23．已知P 为抛物线y =14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，求|PA |+|PM |的最小值24．已知命题p ：方程22112x y m m +=-+表示双曲线；命题q ：方程22212x ym m+=表示焦点在x 轴上的椭圆.若,p q 有且只有一个为真命题，求实数m 的取值范围.25．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）焦点在x 轴上，椭圆上的点31,2A ⎛⎫⎪⎝⎭到两焦点的距离之和为4； （2）离心率为35，短轴长为8 26．如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上.由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知112BF F F ⊥，153F B =，124F F =.（1）试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在的椭圆的方程；（2）如图，若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，若1260F PF ∠=︒求12F PF △的面积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、填空题1．【分析】由题意画出图形利用等面积法可得关于的等式结合隐含条件即可求得椭圆的离心率【详解】解：如图所示过点作则由题意可得即又由可得整理可得因为所以解得因为所以故答案为：【点睛】本题考查椭圆的几何性质考51- 【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于a ，b ，c 的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率. 【详解】解：如图所示，过点O 作22OM A B ⊥，则290OMA ∠=︒，由题意可得，22221122OB OA A B OM ⋅=⋅，即22a b a b c ⋅=+，又由222a b c =+可得，()()2222222a a c a a c c -=+-，整理可得442230a c a c +-=，因为c e a =，所以42310e e -+=，解得235e -=， 因为01e <<，所以51e -=. 51-. 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.2．【分析】根据椭圆的几何性质由轴设写出的直线方程求出与轴的交点的坐标以及点的坐标根据化简得到即可求解【详解】由题意椭圆的左右焦点分别为且因为轴不妨设则直线的方程为令可得所以直线与轴的交点为又由所以化简解析：13【分析】根据椭圆的几何性质，由2PF x ⊥轴，设(,)M c t ，写出AM 的直线方程，求出AM 与y 轴的交点N 的坐标，以及Q 点的坐标，根据3ON OQ =，化简得到3a c =，即可求解. 【详解】由题意，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，且(,0)A a ，因为2PF x ⊥轴，不妨设(,)(0)M c t t ≠， 则直线AM 的方程为()ty x a c a=--，令0x =，可得aty a c=-， 所以直线AM 与y 轴的交点为1(0,),(0,)2at N Q t a c -， 又由3ON OQ =，所以132at t a c =⨯-，化简得3a c =， 所以椭圆的离心率为13c e a ==. 故答案为：13. 【点睛】求解椭圆的离心率的三种方法：定义法：通过已知条件列出方程组，求得,a c 得值，根据离心率的定义求解离心率e ； 齐次式法：由已知条件得出关于,a c 的二元齐次方程，然后转化为关于e 的一元二次方程求解；特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.3．或【分析】设出点坐标求得的表达式求得代入直线的斜率公式可得答案【详解】依题意设则即化简得由于是椭圆的左右顶点所以所以所以所以或所以当时当时所以直线的斜率为或故答案为：或【点睛】本小题主要考查椭圆的几解析：2或12- 【分析】设出P 点坐标，求得tan +tan αβ的表达式，求得00x y ，，代入直线的斜率公式可得答案. 【详解】依题意1,22c b a b a a ====.设()()000,0P x y x ≠，则2200221x y a b +=，即22002214x y a a +=，化简得222004y x a -=-. 由于,A B 是椭圆的左右顶点，所以()(),0,,0A a B a -，所以tan +tan αβ0000+y y x a x a =+-0000022200022142x y x y xx ay y ===-=--，所以002x y =-，所以0024x a y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0024x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以当0024x y a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，tanα002y x a ===+，当002x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，002y x a ===+PA或12，故答案为：2或12. 【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，直线的斜率公式，关键在于求得点P 的坐标，属于中档题.4．【分析】根据题中条件得到的最大值不小于即可由余弦定理结合基本不等式得到点为短轴的顶点时最大；不妨设点为短轴的上顶点记得出离心率的最小值连接得到根据椭圆的定义结合三角形的性质求出的最大值即可得出结果【解析：4+【分析】根据题中条件，得到12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠最大；不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，得出离心率的最小值，连接DN ，得到()()22maxmaxMN NF DN NF +=+，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出2DN NF +的最大值，即可得出结果. 【详解】若想满足椭圆上存在一点P ，使得1223F PF π∠=，只需12F PF ∠的最大值不小于23π即可，由余弦定理，可得()22222112121221221424cos 22PFPF c PF PF PF PF c F PF PF PF PF PF +--=+-∠=2222221122221112b b b PF PF PF PF a =-≥-=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，当且仅当 12PF PF =，即点P 为短轴的顶点时，12F PF ∠的余弦值最小，即12F PF ∠最大；如图，不妨设点P 为短轴的上顶点，记12F PF θ∠=，则 23πθ≥，于是离心率3sin 22c e a θ⎫==∈⎪⎪⎣⎭， 因此当椭圆C 的离心率取得最小值32时，24a =，则椭圆 22:14x C y +=；连接DN ，根据圆的性质可得:()()22maxmax3MN NF DN NF +=+，所以只需研究2DN NF +的最大值即可；连接1NF ，1DF ，21144423DN NF DN NF DF +=+-≤+=+当且仅当N ，D ，1F 三点共线（N 点在线段1DF 的延长线上）时，不等式取得等号， 所以2DN NF +的最大值为 423+ 因此2MN NF +的最大值是433+ 故答案为：433+ 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据题中条件，得到椭圆离心率，求出椭圆方程，再由椭圆的定义，以及圆的性质，将动点到两点距离的最值问题，转化为椭圆上一动点到焦点，以及到定点的距离的最值问题，即可求解.5．【分析】转化条件为设点列方程可得点结合椭圆定义可得再由离心率的公式即可得解【详解】因为点在直线上所以椭圆左焦点设点则解得或（舍去）所以点所以即所以椭圆的离心率故答案为：【点睛】关键点点睛：解决本题的 5【分析】转化条件为()2,0F ，设点(),24Q x x -+，列方程可得点68,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，结合椭圆定义可得a ，再由离心率的公式即可得解.【详解】因为点F 在直线240x y +-=上，所以()2,0F ，椭圆左焦点()12,0F -， 设点(),24Q x x -+，则2OQ OF ===，解得65x =或2x =（舍去），所以点68,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以12a QF QF =+==，即a =，所以椭圆的离心率3c e a ===.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是求出点Q 的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式即可得解.6．【分析】根据三角形等面积公式得到再转化为关于的齐次不等式求离心率的取值范围【详解】的面积关系可得：即即整理为：两边同时除以得且解得：故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围求椭圆离心解析：10,3⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据三角形等面积公式得到()11222222P a c c c y bc +⋅=⋅⋅≤，再转化为关于,a c 的齐次不等式，求离心率的取值范围. 【详解】12PF F △的面积关系可得：()11222222P a c c y bc +⋅=⋅⋅≤，即))22a c c bc a cb +≤⇒+≤， 即()()222222a c b a c+≤=-，整理为：22320c ac a +-≤ ，两边同时除以2a ， 得23210e e +-≤且01e <<， 解得：103e <≤. 故答案为：10,3⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据,,a b c 直接求，2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解，3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.7．【分析】设点P(xy)表示出点P 到x 轴的距离为由哪一个角是直角来分类讨论在第一类中直接令x=士3得结果在第二类中要列出方程组【详解】设点则到轴的距离为由于（1）若或令得即到轴的距离为（2）若则由可得 解析：165【分析】设点P (x ,y )，表示出点P 到x 轴的距离为||y ，由哪一个角是直角来分类讨论，在第一类中直接令x =士3得结果，在第二类中要列出方程组. 【详解】设点(,)P x y ，则到x 轴的距离为||y 由于5a =，4b =，3c ∴=，（1）若1290PF F ∠=︒或2190PF F ∠=︒，令3x =±得2y =291616(1)2525-=，16||5y ∴=，即P 到x 轴的距离为165． （2）若1290F PF ∠=︒，则122221210||6PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 22121||||(106)322PF PF ∴=-=，由1210PF PF +=可得此情况不存在. 综上，P 到x 轴的距离为165. 故答案为：165． 【点睛】解决本题的关键是要注意分类讨论的思想，题目中的直角三角形，要分清楚那个角是直角，是解决问题的先决条件.8．－2【分析】可先设由斜率的定义表示出结合抛物线方程进行坐标代换全部代换成关于纵坐标的表达式通过即可求解【详解】设则同理∵∴得∴又∴故答案为－2【点睛】本题考查抛物线的几何性质设而不求方法的具体应用运解析：－2 【分析】可先设()11,A x y ，()22,B x y ，由斜率的定义表示出AB k ，PA k ，PB k ，结合抛物线方程进行坐标代换，全部代换成关于纵坐标的表达式，通过0PA PB k k +=即可求解 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，则212122212112444AB y y y y k y y x x y y --===-+-.1121112241214PA y y k y x y --===-+-，同理242PB k y =+. ∵0PA PB k k +=，∴1244022y y +=++，得124y y +=-. ∴414AB k ==--. 又221OP k ==，∴122AB OP k k ⋅=-⨯=-.故答案为－2 【点睛】本题考查抛物线的几何性质，设而不求方法的具体应用，运算能力，属于中档题9．10【分析】如图所示设椭圆的左焦点为利用利用即可得到结果【详解】解：如图所示设椭圆的左焦点为由题意可知则因为的坐标为所以由椭圆的定义可得因为所以周长为当且仅当三点共线时取等号所以周长的最大值为10故解析：10 【分析】如图所示，设椭圆的左焦点为'F ，利用'AF AF =，'24PF PF a +==，利用''PA PF AF -≤，即可得到结果【详解】解：如图所示，设椭圆的左焦点为'F ，由题意可知2,1,a b c ===F ，因为A的坐标为，所以'3AF AF ==，由椭圆的定义可得'24PF PF a +==， 因为''PA PF AF -≤，所以AFP 周长为'434310AF PA PF AF PA PF ++=++-≤++=， 当且仅当',,A P F 三点共线时取等号， 所以AFP 周长的最大值为10， 故答案为：10【点睛】此题考查了椭圆的定义及其性质，三角形的三边大小关系，考查数形结合的思想，考查计算能力，属于中档题10．【分析】由椭圆的定义可得解得由椭圆的性质可得解不等式求得离心率的取值范围【详解】设点的横坐标为则由椭圆的定义可得由题意可得则该椭圆的离心率的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查椭圆的定义以及简单性质 解析：)21,1【分析】由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c +=⨯-，解得(1)c a x e e -=+，由椭圆的性质可得(1)c aaa e e --+，解不等式求得离心率e 的取值范围．【详解】设点P 的横坐标为x ，12PF e PF =，则由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c +=⨯-，(1)c a x e e -∴=+，由题意可得(1)c aaa e e --+， 111(1)e e e -∴-+，∴2211e e e e e e⎧--⎨-+⎩，∴11e <， 则该椭圆的离心率e的取值范围是1，1)，故答案为：1，1)． 【点睛】本题考查椭圆的定义，以及简单性质的应用，由椭圆的定义可得22()()a a e x e e x c c+=⨯-，是解题的关键．11．【分析】先设出两点的坐标分别为由此可得而则得再由和BMQ 三点共线可得而两点在椭圆上把其坐标代入椭圆方程中两方程作差得由此可得从而可求出离心率【详解】设）则由则再由BMQ 三点共线则故故即又因为即所以故【分析】先设出,A Q 两点的坐标分别为()()1122 ,,,A x y Q x y ，由此可得()()1111,,,B x y P x y ---，而则45AM AP =得113(,)5M x y -，再由AB AQ ⊥，和B ，M ，Q 三点共线可得222221211()5y y x x -=--，而,A Q 两点在椭圆上，把其坐标代入椭圆方程中，两方程作差得22221212220x x y y a b --+=，由此可得2215b a =，从而可求出离心率. 【详解】设()()1122 ,,,A x y Q x y ）， 则()()1111,,,B x y P x y ---，113(,)5M x y - 由AB AQ ⊥，则1211211y y y x x x -⋅=--， 再由B ，M ，Q 三点共线，则1211215y y y x x x +=+， 故2121212115y y x xx x y y +-=-⋅+-，故即 222221211()5y y x x -=--，又因为2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，即22221212220x x y y a b--+=， 所以2215b a =，故椭圆C．【点睛】此题考查椭圆的简单几何性质，求椭圆的离心率，考查运算能力，利用了数形结合的思想，属于中档题.12．【分析】由题意联立方程组可得由中点的性质可得化简后利用即可得解【详解】由题意双曲线的两条渐近线为则同理联立为的中点即整理得故答案为：【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解考查了直线交点的问题和【分析】由题意联立方程组可得A am x ka b -=+、B amx b ka=-、21N km x k =-，由中点的性质可得2A B N x x x +=，化简后利用e =即可得解. 【详解】由题意双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线为b y x a=±，则A y kx mam x b ka b y x a =+⎧-⎪⇒=⎨+=-⎪⎩，同理Bam x b ka =-， 联立211N y kx mkm x k y x k =+⎧⎪⇒=⎨-=⎪⎩，N 为AB 的中点，∴2A B N x x x +=，即221am am mkb ka b ka k -+=+--， 整理得221b a =，∴e ==. 【点睛】本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了直线交点的问题和运算能力，属于中档题.13．②⑤【分析】设抛物线方程为根据抛物线的定义焦半径公式直线相互垂直与斜率之间的关系即可判断出结论【详解】设抛物线方程为②③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6可得解得抛物线方程为舍去；②④抛物线的解析：②⑤ 【分析】设抛物线方程为22y px =．根据抛物线的定义、焦半径公式、直线相互垂直与斜率之间的关系即可判断出结论． 【详解】设抛物线方程为22y px =．②③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6，可得162p+=，解得10p =，抛物线方程为220y x =，舍去；②④抛物线的过焦点且垂直于对称轴的弦的长为5，可得25()222pp =⨯，解得52p =，可得抛物线方程为25y x =．②⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)，可得：111222p ⨯=--，解得5p =，可得抛物线方程为210y x =，因此正确．能使抛物线方程为210y x =的条件是②⑤． 故答案为：②⑤． 【点睛】本题考查了抛物线的定义、焦半径公式、直线相互垂直与斜率之间的关系、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、解答题14．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）存在，3(,0)2-；（III）【分析】（Ⅰ）根据离心率和顶点求出,a c ，再求出b 即可得出方程；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程求出点D 坐标，进而得出点P 坐标，再利用1OP EQ k k ⋅=-即可求出定点；（III ）设OM 的方程为y kx =，与椭圆联立，得出M 横坐标，利用D AE AMx x x x AD AE OM x -+-+=表示出，即可求出最值.【详解】解：（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=0a b >>（）的离心率1,2e =左顶点为(2,0)A -， 所以2a =，又12e =，所以1c =，可得2223b a c =-=， 所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=；(Ⅱ)直线l 的方程为(2)y k x =+，由22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,可得：22(2)(43)860x k x k ⎡⎤+++-=⎣⎦，所以12x =-，2228643k x k -+=+，当 228643k x k -+=+时，2228612(2)4343k ky k k k -+=+=++， 所以2228612(,)4343k kD k k -+++， 因为点P 为AD 的中点，所以P 点坐标为22286(,)4343k kk k -++，则3(0)4OP k k k-=≠， 直线l 的方程为(2)y k x =+，令0x =，得E 点坐标为(0,2)k ， 假设存在定点(,)(0)Q m n m ≠使得OP EQ ⊥，则1OP EQ k k ⋅=-，即3214n kk m-⎛⎫-⋅=- ⎪⎝⎭恒成立， 所以(46)30m k n +-=，所以46030m n +=⎧⎨-=⎩，即320m n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以定点Q 的坐标为3(,0)2-.（III ）因为//OM l ，所以OM 的方程可设为y kx =，和22143x y +=联立可得M点的横坐标为x =， 由//OM l可得：22D A E A D A M M x x x x x x AD AE OM x x -+--+===≥，即k =时取等号，所以当k =AD AE OM +的最小值为.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程； （3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式； （5）代入韦达定理求解.15．（1）22y x =；（2）①()2,2； 【分析】（1）由抛物线定义：抛物线上点到焦点距离等于点到其准线的距离有42pPF =+，即可求p ，写出抛物线方程.（2）令(,)Q x y ，利用两点距离公式得PQ =Q 的坐标，利用点在抛物线上，结合二次函数最值求PQ 的最小值. 【详解】（1）由题意，可设抛物线C ：22y px =，焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则9422p PF =+=，解得1p =，∴抛物线C 的标准方程为22y x =， （2）令(,)Q x y ，①由已知条件得2PQ ==，将22y x =代入上式，并变形得，220x x -=，解得0x =(舍去)或2x =， 当2x =时，2y =±，只有2x =，2y =满足条件， ∴点Q 的坐标为()2,2.②2PQ ==，其中22y x =，()()()22222224130PQ x x x x x x =-+=-+=-+≥，当1x =时，min PQ =【点睛】 关键点点睛：（1）由抛物线定义，由待定系数法求p ，写出抛物线方程.（2）由点在抛物线上，结合两点坐标的距离公式，求点坐标以及距离的最小值.16．（1）2213x y +=；（2）不存在，理由见解析.【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，结合点的坐标可列出关于,a b 的方程组，解之可得； （2）直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后，由判别式大于0得m 的范围，设交点坐标()()1122,,,M x y N x y ，应用韦达定理得1212,x x x x +，从而可得中点坐标，若存在，则利用等腰三角形性质，得垂直，从而由向量数量积为0求出m ，若m 满足判别式大于0，说明存在，不满足说明不存在． 【详解】（1）在20x y ++=中，令0y =得x c =-=所以224a b -=又过点22P ⎛ ⎝⎭所以2222222214a b a b ⎧⎛⎛⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨+=⎪⎪-=⎩解得2231a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆G 的方程为2213x y +=；（2）由2213x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪++⎩得()2246310x mx m ++-=所以()2223648104m m m ∆=-->⇒< 设()()1122,,,M x y N x y则()1221232314m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩设,M N 的中点为(),p p P x y 则3,44p p p m m x y x m =-=+= 若BM BN =，则MN BP ⊥，则0MN BP ⋅= 又()30,1,,144m m B BP ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭所以()3,11,1044m m ⎛⎫-+⋅= ⎪⎝⎭解得2m = 所以与24m <矛盾所以不存在实数m ，使得BM BN =． 【点睛】方法点睛：本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中的存在性问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，直线方程与椭圆方程联立方程组后消元应用韦达定理得1212,x x x x +，然后把这个结论代入题中其他条件去证明、去求参数．在在性问题一般都是假设存在，按照存在的性质求解，如果能求出相应参数值，说明存在，求不出说明不存在． 17．（1）1143a <<；（2）01a <≤或4a ≥. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程，求出a 的范围；（2）再确定集合A ，由双曲线的标准方程得集合B ，然后根据充分必要条件的定义集合包含关系，从而得出a 的不等关系，求得结论． 【详解】（1）由方程221382x y a a+=--表示的曲线是表示焦点在x 轴上的椭圆∴(3)(82)0a a ->->， ∴1143a << 解不等式22430(0)x ax a a -+<>可得3(0)a x a a <<>方程221382x y a a+=--表示的曲线是双曲线∴(3)(82)0a a --<， ∴4a >或3a <因为A 是B 的充分不必要条件所以(,3)a a 是(,3)(4,)-∞⋃+∞的真子集 所以033a <≤或4a ≥ 解得01a <≤或4a ≥所以a 的取值范围是01a <≤或4a ≥． 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含． 18．（1）13m -<<；（2）[)1,3. 【分析】（1）根据判别式小于0可解得结果；（2）根据复合命题的真假可得p ，q 为一个真命题，一个假命题，分两种情况讨论列式可解得结果. 【详解】（1）若命题q 是真命题，则关于x 的不等式22230x mx m +++>恒成立； 则判别式244(23)0m m ∆=-+<，即2230m m --<，得13m -<<（2）∵方程22113x y m m+=+-表示焦点在y 轴上的椭圆.∴013m m <+<-，解得：11m -<<，∴若命题p 为真命题，则实数m 的取值范围是11m -<<；由（1）知，若命题q 为真命题，则实数m 的取值范围是13m -<<若“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p ，q 为一个真命题，一个假命题， 若p 真q 假，则1131m m m -<<⎧⎨≥≤-⎩或，此时无解，若p 假q 真，则1311m m m -<<⎧⎨≥≤-⎩或，得13m ≤<.综上，实数m 的取值范围是[)1,3. 【点睛】关键点点睛：分别根据命题,p q 为真命题，求出m 的取值范围是解题关键.19．（1）22143x y +=；（2）证明见解析， 1x =.【分析】（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c >，由圆的定义可求得圆的半径，再由直线与圆的相切的条件可求得c ， 2a ，2b ，可求得椭圆方程．（2）设其方程为4x my =+，设()11,H x y ，()22,G x y ，直线与椭圆的方程联立整理得()223424360my my +++=，得出根与系数的关系，表示直线MH 的方程和直线GN 的方程。
高中数学圆锥曲线常考题型(含解析)
(1)当5AC =时，求cos POM ∠(2)求⋅PQ MN 的最大值．7．已知抛物线1C ：28x y =的焦点点，1C 与2C 公共弦的长为4(1)求2C 的方程；(2)过F 的直线l 与1C 交于A ，（i ）若AC BD =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与系.8．已知圆()(2:M x a y b -+-点O 且与C 的准线相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)点()0,1Q -，点P （与Q 不重合）在直线切线，切点分别为,A B ．求证：9．已知椭圆2212:12x y C b+=的左、右焦点分别为2222:12x y C b -=的左、右焦点分别为于y 轴的直线l 交曲线1C 于点Q 两点．a b (1)求椭圆的方程；(2)P 是椭圆C 上的动点，过点P 作椭圆为坐标原点）的面积为5217，求点12．过坐标原点O 作圆2:(2)C x ++参考答案：）(),0a-，(),0F c，所以AF时，在双曲线方程中令x c=，即2bBFa=，又AF BF= ()所以BFA V 为等腰直角三角形，即易知2BFA BAF ∠=∠；当BF 与AF 不垂直时，如图设()()0000,0,0B x y x y >>00tan(π)y BFA x c -∠=-即tan -又因为00tan y BAF x a∠=+，002tan 2y x aBAF +∠=4．(1)21±2(2)证明见解析.【分析】（1）求出椭圆左焦点F1 1x5．(1)21 2x y =(2)1510,33 P⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式可解；【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：三角换元法；（5）平面向量；（7．(1)2213x y -=(2)（i ）36±；（ii ）点F 在以【分析】（1）根据弦长和抛物线方程可求得交点坐标，结合同焦点建立方程组求解可得；（2）（i ）设()11,A x y ，(2,B x 物线方程和双曲线方程，利用韦达定理，结合以及点M 坐标，利用FA FM ⋅【详解】（1）1C 的焦点为(0,2F 又1C 与2C 公共弦的长为46，且所以公共点的横坐标为26±，代入所以公共点的坐标为(26,3±所以229241a b -=②联立228y kx x y =+⎧⎨=⎩，得28160x kx --=，Δ=联立22213y kx x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()2231129k x kx -++则3421231kx x k +=--，342931x x k =-，9．(1)2212x y +=，2212x y -=(2)12y x =-或12y x=(3)2【分析】（1）用b 表示12,e e ，由12e e ⋅=10．(1)2222114222x y x y +=-=，；(2)1；(3)是，=1x -【分析】（1）根据椭圆和双曲线的关系，结合椭圆和双曲线的性质，求得343+因为AB 既是过1C 焦点的弦，又是过所以2212||1()AB k x x =+⋅+-且121||()()22p p AB x x x =+++=所以212(1)k +=2240123(34)k k +,【点睛】因为//l OT ，所以可设直线l 的方程为由22x y =，得212y x =，得y '所以曲线E 在T 处的切线方程为联立22y x m y x =+⎧⎨=-⎩，得2x m y m =+⎧⎨=⎩()2,22N m m ++NT。
2024高考巴蜀圆锥曲线解答题解析
2024高考巴蜀圆锥曲线解答题解析一、解答题1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知抛物线()2:20E y px p =>，O 是坐标原点，过()4,0的直线与E 相交于A ，B 两点，满足OA OB ⊥．(1)求抛物线E 的方程；(2)若()0,2P x 在抛物线E 上，过()4,2Q -的直线交抛物线E 于M ，N 两点，直线PM ，PN 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，求12k k ⋅的值．3【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知抛物线2:4,,C x y M N =为抛物线C 上两点，,M N 处的切线交于点()00,P x y ，过点P 作抛物线C 的割线交抛物线于,A B 两点，Q 为AB 的中点.(1)若点P 在抛物线C 的准线上，（i ）求直线MN 的方程（用含0x 的式子表示）；（ii ）求PMN 面积的取值范围.(2)若直线MQ 交抛物线C 于另一点D ，试判断并证明直线ND 与AB 的位置关系.【答案】(1)（i ）012y x =【详解】（1）（i ）设点221212,,,44x x M x N x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为抛物线2:4C x y =，得12y x '=，则()21111:42MP x l y x x x -=-，整理得2111124y x x x =-①，()22221:42NP x l y x x x -=-，整理得2221124y x x x =-②，联立①②得()0120121214x x x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点P 在抛物线C 的准线上，即直线1y =-上，所以124x x =-，设直线MN 的方程为y kx b =+，斜率必存在，联立24=+⎧⎨=⎩y kx bx y ，消去y 得2440x kx b --=，所以212012Δ161604244k b x xk x x x b ⎧=+>⎪+==⎨⎪=-=-⎩，得0121k x b ⎧=⎪⎨⎪=⎩.所以直线MN 的方程为0112y xx =+；（ii ）由（i ）得21x x -=（2）直线ND 与AB 平行，证明：直线AB 斜率必存在，设消去y 得20444x kx kx -++=则()2034340161610444k kx x x k x x kx ⎧-+>⎪+=⎨⎪=+⎩，得则直线(21:4MQ x l y k x x '-=-()2122011214442x k k x x x k x ----=-整理得()(221284k x x k ---则2211112842D kx k x kx x x k x -+-=-则2101284142D kx k kx y k x ⎛-+-= -⎝【点睛】方法点睛：对于直线和圆锥曲线相交的问题，我们一般联立方程，然后用韦达定理来解决问题，特别是当一个交点知道的情况下，3．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知()()122,0,2,0C C -，动点P 满足1PC 与2PC 的斜率之积为定值14.(1)求动点P 的轨迹Γ的方程；(2)过点()4,0M 的直线l 与曲线Γ交于,A B 两点，且,A B 均在y 轴右侧，过点A 作直线:1l x '=的垂线，垂足为D .（i ）求证：直线BD 过定点；（ii ）求MBD 面积的最小值.【答案】(1)(22104x y y -=≠(2)（i ）证明见解析；（ii ）3【分析】（1）设动点P 的坐标，由题意列式并化简，即可得答案；（2）（i ）设直线方程:l x my =结合题意有(2212212240Δ644884124m m m m y y m y y m ⎧-≠⎪=-⎪⎪-⎨+=⎪-⎪⎪⋅=<-⎩解得22m -<<，且122my y =又直线BD 的方程为1y y -=令0y =，则()122111y x x y y -=--()(122121235422=y y y y y y y y ++-=-4．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知点00(,)P x y 是椭圆E :221(0)a b a b +=>>上的动点，离心率2e =设椭圆左、右焦点分别为12,F F ，且12|||4|PF PF +=(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线12,PF PF 与椭圆C 的另一个交点分别为A ，B ，问PAB 面积是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．5．（23-24高三上·重庆·期中）已知椭圆C :()2210a b a b+=>>的左、右焦点分别为()()121,01,0F F -,，椭圆C 上一动点A 在第二象限内，点A 关于x 轴的对称点为点B ，当AB 过焦点1F 时，直线2AF 过点30,4⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)点B 与焦点2F 所在直线交椭圆C 于另一点P ，直线AP 交x 轴于点T ，求TAB △面积最大时，点A 横坐标的值.【答案】(1)22143x y +=(2)13-设直线PB 的方程为1x my =+，联立得()2234690m y my ++-=，由于直线则12122269,343m y y y y m m -+=-=++直线PA 的方程为(21121y y y y x x ++=-令0y =，得(1121212y my y x y x x y y ==++即(4,0)T ；()()1114||432TABS x AB x =-⋅=-6．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆C ：()2210a b a b +=>>的上、下顶点分别为A ，B ，左顶点为D ，ABD △(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆外一点(),0M m 的直线交椭圆于P ，Q 两点，已知点P 与点P '关于x 轴对称，直线P Q '与x 轴交于点K ；若AKB ∠是钝角，求m 的取值范围．【点睛】方法点睛：求解椭圆的方程，关键是求得所以需要两个条件，如本题中，等边三角形以及等边三角形的面积，一共两个条件，用这两个条件列方程组，即可求得,a 7．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）如图3所示，点1F ，A 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点和右顶点，点F 为抛物线2:16C y x =的焦点，且124OF OA OF ==（O 为坐标原点）.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点1F 作直线l 交椭圆E 于B ，D 两点，连接AB ，AD 并延长交抛物线的准线于点M ，N ，求证：1MF N ∠为定值.8．（23-24高三上·重庆渝中·阶段练习）已知椭圆()22:10x y C a b a b +=>>的离心率为e =，且经过点()1,e .(1)求椭圆C 的方程；(2)若A ，F 分别为椭圆C 的上顶点和右焦点，直线()3:0l y kx k =->与椭圆C 交于点B ，D ，F 到直线AB ，AD 的距离分别为1d 和2d ，求证：12d d =.。
《椭圆》方程典型例题20例(含实用标准问题详解)
《椭圆》方程典型例题20例典型例题一例1 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c ∴223a c =， ∴3331-=e ． 说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求c ，再求比．二是列含a 和c 的齐次方程，再化含e 的方程，解方程即可．典型例题三 例3 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=，4112===ax y k M M OM ，∴42=a ， ∴1422=+y x 为所求． 说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法；（2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例4椭圆192522=+y x 上不同三点()11y x A ，，⎪⎭⎫⎝⎛594，B ，()22y x C ，与焦点()04，F 的距离成等差数列．（1）求证821=+x x ；（2）若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ，求直线BT 的斜率k ． 证明：（1）由椭圆方程知5=a ，3=b ，4=c ． 由圆锥曲线的统一定义知：ac x ca AF =-12， ∴ 11545x ex a AF -=-=．同理 2545x CF -=．∵ BF CF AF 2=+，且59=BF ， ∴ 51854554521=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ，即 821=+x x ．（2）因为线段AC 的中点为⎪⎭⎫⎝⎛+2421y y ，，所以它的垂直平分线方程为()42212121---=+-x y y x x y y y ． 又∵点T 在x 轴上，设其坐标为()00，x ，代入上式，得 ()212221024x x y y x --=-又∵点()11y x A ，，()22y x B ，都在椭圆上，∴ ()212125259x y -=()222225259x y -= ∴ ()()21212221259x x x x y y -+-=-．将此式代入①，并利用821=+x x 的结论得 253640-=-x ∴ 4540590=--=x k BT．典型例题五例5 已知椭圆13422=+yx ，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使M 到左准线l 的距离MN 是1MF 与2MF 的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设M 存在，设()11y x M ，，由已知条件得2=a ，3=b ，∴1=c ，21=e ． ∵左准线l 的方程是4-=x ， ∴14x MN +=． 又由焦半径公式知：111212x ex a MF -=-=， 112212x ex a MF +=+=．∵212MF MF MN ⋅=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+11212122124x x x ．整理得048325121=++x x ．解之得41-=x 或5121-=x ． ① 另一方面221≤≤-x ． ②则①与②矛盾，所以满足条件的点M 不存在． 说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程．（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条件进行推理和运算．进而根据推理得到的结果，再作判断．（3）本例也可设()θθsin 3cos 2，M 存在，推出矛盾结论（读者自己完成）．典型例题六例6 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程．分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为k ，利用条件求k ． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k kx k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．分析二：设弦两端坐标为()11y x ，、()22y x ，，列关于1x 、2x 、1y 、2y 的方程组，从而求斜率：2121x x y y --． 解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-． 所求直线方程为0342=-+y x ．说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦中点轨迹．（2）解法二是“点差法”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率．（3）有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用”及“点差法”．有关二次曲线问题也适用．典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程．（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6．分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482=a ，372=b ，在得方程13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程13714822=+x y ．解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．由已知b a 2=． ①又过点()62-，，因此有 ()1622222=-+b a 或()1262222=+-ba ． ② 由①、②，得1482=a ，372=b 或522=a ，132=b ．故所求的方程为13714822=+y x 或1135222=+x y ．（2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182=a ．故所求方程为191822=+y x ． 说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或12222=+bx a y ．典型例题八例8 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．分析：本题的关键是求出离心率21=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF eAM 1+均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，21=e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．典型例题九 例9 求椭圆1322=+y x 上的点到直线06=+-y x 的距离的最小值．分析：先写出椭圆的参数方程，由点到直线的距离建立三角函数关系式，求出距离的最小值．解：椭圆的参数方程为⎩⎨⎧==.sin cos 3θθy x ，设椭圆上的点的坐标为()θθsin cos 3，，则点到直线的距离为263sin 226sin cos 3+⎪⎭⎫⎝⎛-=+-=θπθθd ． 当13sin -=⎪⎭⎫⎝⎛-θπ时，22=最小值d ．说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程．典型例题十 例10设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率23=e ，已知点⎪⎭⎫ ⎝⎛230，P 到这个椭圆上的点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点P 的距离等于7的点的坐标．分析：本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力，在求d 的最大值时，要注意讨论b 的取值范围．此题可以用椭圆的标准方程，也可用椭圆的参数方程，要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问题，从而加强等价转换、形数结合的思想，提高逻辑推理能力．解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是12222=+b y a x ，其中0>>b a 待定．由222222221ab a b a ac e -=-==可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点P 的距离是d ，则4931232222222+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y b y a y x d 34213493342222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--=b y y y b其中b y b ≤≤-． 如果21<b ，则当b y -=时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾．因此必有21≥b 成立，于是当21-=y 时，2d （从而d ）有最大值． 由题设得()34722+=b，可得1=b ，2=a ．∴所求椭圆方程是11422=+y x ． 由21-=y 及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离是7．解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x ，其中0>>b a ，待定，πθ20≤≤，θ为参数．由22222221⎪⎭⎫⎝⎛-=-==a b a b a a c e 可得 2143112=-=-=e a b ，即b a 2=． 设椭圆上的点()y x ，到点⎪⎭⎫⎝⎛230，P 的距离为d ，则22222223sin cos 23⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=θθb a y x d49sin 3sin 34222+--=θθb b b 3421sin 3222++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b b b θ如果121>b ，即21<b ，则当1sin -=θ时，2d （从而d ）有最大值．由题设得()22237⎪⎭⎫ ⎝⎛+=b ，由此得21237>-=b ，与21<b 矛盾，因此必有121≤b成立． 于是当b21sin -=θ时2d （从而d ）有最大值． 由题设知()34722+=b，∴1=b ，2=a ．∴所求椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x ．由21sin -=θ，23cos ±=θ，可得椭圆上的是⎪⎭⎫ ⎝⎛--213，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-213，．典型例题十一例11 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．解：由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则 ()1122+=++m y x它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．典型例题十二例12 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点．（1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ．（2）如果椭圆上存在一个点Q ，使 120=∠A Q B ，求C 的离心率e 的取值范围．分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据120=∠AQB 得到32222-=-+a y x ay ，将22222y ba a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．解：（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ． ⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P b a y a x b c x 2222222， 于是()a c a b k AP+=2，()a c ab k BP -=2．∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan ca a c ab ac a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a > ∴2tan -<∠APB故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ． （2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角．∴22222221tan a y x ay a x y a x ya x y AQB -+=-++--=∠∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay整理得()023222=+-+ay a y x∵22222y ba a x -=∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a∵0≠y ， ∴2232c ab y = ∵b y ≤， ∴b c ab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ．典型例题十三例13 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ．当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．典型例题十四例14 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ．由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离，∴b ePF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32． 解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b ePF d 33222==．又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解．椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．典型例题十五例15 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．解：设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan=，即2tan =α．而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．典型例题十六例16 设),(00y x P 是离心率为e 的椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的一点，P 到左焦点1F 和右焦点2F 的距离分别为1r 和2r ，求证：01ex a r +=，02ex a r -=． 分析：本题考查椭圆的两个定义，利用椭圆第二定义，可将椭圆上点到焦点的距离转化为点到相应准线距离．解：P 点到椭圆的左准线c a x l 2-=：的距离，ca x PQ 20+=，由椭圆第二定义，e PQPF =1，∴01ex a PQ e r +==，由椭圆第一定义，0122ex a r a r -=-=．说明：本题求证的是椭圆的焦半径公式，在解决与椭圆的焦半径（或焦点弦）的有关问题时，有着广泛的应用．请写出椭圆焦点在y 轴上的焦半径公式．典型例题十七例17 已知椭圆15922=+y x 内有一点)1,1(A ，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．(1) 求1PF PA +的最大值、最小值及对应的点P 坐标；(2) 求223PF PA +的最小值及对应的点P 的坐标． 分析：本题考查椭圆中的最值问题，通常探求变量的最值有两种方法：一是目标函数当，即代数方法．二是数形结合，即几何方法．本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解．解：(1)如上图，62=a ，)0,2(2F ，22=AF ，设P 是椭圆上任一点，由6221==+a PF PF ，22AF PF PA -≥，∴26222211-=-=-+≥+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA -=时成立，此时P 、A 、2F 共线．由22AF PF PA +≤，∴26222211+=+=++≤+AF a AF PF PF PF PA ，等号仅当22AF PF PA +=时成立，此时P 、A 、2F 共线．建立A 、2F 的直线方程02=-+y x ，解方程组⎩⎨⎧=+=-+4595,0222y x y x 得两交点 )2141575,2141579(1+-P 、)2141575,2141579(2-+P ． 综上所述，P 点与1P 重合时，1PF PA +取最小值26-，P 点与2P 重合时，2PF PA +取最大值26+．(2)如下图，设P 是椭圆上任一点，作PQ 垂直椭圆右准线，Q 为垂足，由3=a ，2=c ，∴32=e ．由椭圆第二定义知322==e PQ PF ，∴223PF PQ =，∴PQ PA PF PA +=+223，要使其和最小需有A 、P 、Q 共线，即求A 到右准线距离．右准线方程为29=x ．∴A 到右准线距离为27．此时P 点纵坐标与A 点纵坐标相同为1，代入椭圆得满足条件的点P 坐标)1,556(． 说明：求21PF ePA +的最小值，就是用第二定义转化后，过A 向相应准线作垂线段．巧用焦点半径2PF 与点准距PQ 互化是解决有关问题的重要手段．典型例题十八例18 (1)写出椭圆14922=+y x 的参数方程； (2)求椭圆内接矩形的最大面积．分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用．为简化运算和减少未知数的个数，常用椭圆的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题．解：(1) ⎩⎨⎧==θθsin 2cos 3y x )(R ∈θ．(2)设椭圆内接矩形面积为S ，由对称性知，矩形的邻边分别平行于x 轴和y轴，设)sin 2,cos 3(θθ为矩形在第一象限的顶点，)20(π<θ<，则122sin 12sin 2cos 34≤=⨯⨯=θθθS 故椭圆内接矩形的最大面积为12．说明：通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题，一般地，与圆锥曲线有关的最值问题，用参数方程形式较简便．典型例题十九 例19 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ．(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关． 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为12222=+b y a x （0>>b a ），),(11y x P （01>y ）． 思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即3160tan 1212=+-=︒PF PF PF PF K K K K ，设),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，化简可得03233212121=--+c cy y x ．又1221221=+by a x ，两方程联立消去21x 得0323412212=-+b cy b y c ，由],0(1b y ∈，可以确定离心率的取值范围；解出1y 可以求出21F PF ∆的面积，但这一过程很繁．思路二：利用焦半径公式11ex a PF +=，12ex a PF -=，在21F PF ∆中运用余弦定理，求1x ，再利用],[1a a x -∈，可以确定离心率e 的取值范围，将1x 代入椭圆方程中求1y ，便可求出21F PF ∆的面积．思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合a PF PF 221=+求解．解：(法1)设椭圆方程为12222=+by a x （0>>b a ），),(11y x P ，)0,(1c F -，)0,(2c F ，0>c ，则11ex a PF +=，12ex a PF -=． 在21F PF ∆中，由余弦定理得))((24)()(2160cos 1122121ex a ex a c ex a ex a -+--++==︒， 解得2222134ea c x -=． (1)∵],0(221a x ∈，∴2222340a ea c <-≤，即0422≥-a c ． ∴21≥=a c e ． 故椭圆离心率的取范围是)1,21[∈e ．(2)将2222134ea c x -=代入12222=+b y a x 得 24213c b y =，即cb y 321=．∴22213332212121b cb c y F F S F PF =⋅⋅=⋅=∆． 即21F PF ∆的面积只与椭圆的短轴长有关．(法2)设m PF =1，n PF =2，α=∠12FPF ，β=∠21F PF ， 则︒=+120βα．(1)在21F PF ∆中，由正弦定理得︒==60sin 2sin sin cn m βα． ∴︒=++60sin 2sin sin cn m βα∵a n m 2=+， ∴︒=+60sin 2sin sin 2ca βα，∴2cos 2sin 260sin sin sin 60sin βαβαβα-+︒=+︒==a c e 212cos21≥-=βα．当且仅当βα=时等号成立．故椭圆离心率的取值范围是)1,21[∈e ．(2)在21F PF ∆中，由余弦定理得：︒-+=60cos 2)2(222mn n m cmn n m -+=22 mn n m 3)(2-+=∵a n m 2=+，∴mn a c 34422-=，即22234)(34b c a mn =-=．∴23360sin 2121b mn S F PF =︒=∆． 即21F PF ∆的面积与椭圆短轴长有关．说明：椭圆上的一点P 与两个焦点1F ，2F 构成的三角形为椭圆的焦点三角形，涉及有关焦点三角形问题，通常运用三角形的边角关系定理．解题中通过变形，使之出现21PF PF +的结构，这样就可以应用椭圆的定义，从而可得到有关a ，c 的关系式，使问题找到解决思路．典型例题二十例20 椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上总存在点P ，使AP OP ⊥(O 为坐标原点)，求其离心率e 的取值范围．分析：∵O 、A 为定点，P 为动点，可以P 点坐标作为参数，把AP OP ⊥，转化为P 点坐标的一个等量关系，再利用坐标的范围建立关于a 、b 、c 的一个不等式，转化为关于e 的不等式．为减少参数，易考虑运用椭圆参数方程．解：设椭圆的参数方程是⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x )0(>>b a ，则椭圆上的点)sin ,cos (θθb a P ，)0,(a A ， ∵AP OP ⊥，∴1cos sin cos sin -=-⋅aa b a b θθθθ，即0cos cos )(22222=+--b a b a θθ，解得1cos =θ或222cos b a b -=θ，∵1cos 1<<-θ ∴1cos =θ（舍去），11222<-<-b a b ，又222c a b -= ∴2022<<ca ，∴22>e ，又10<<e ，∴122<<e ． 说明：若已知椭圆离心率范围)1,22(，求证在椭圆上总存在点P 使AP OP ⊥．如何证明？。
圆锥曲线之椭圆题库2 含详解 高考必备
51 如图，设F 是椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，线段MN 为椭圆的长轴，已知.||2||,8||MF PM MN ==且（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点P 的直线与椭圆相交于不同两点A 、B 求证：∠AFM=∠BFN ； （3）（理科）求三角形ABF 面积的最大值。
解（1）48||=∴=a MN122)(1210132)(2||2||22222=-==∴==⇒=+--=-=c a b c e c e e c a a c a MF PM 舍去或即得又1121622=+∴y x 椭圆的标准方程为（2）当AB 的斜率为0时，显然.0=∠=∠BFN AFM 满足题意当AB 的斜率不为0时，设),(),,(2211y x B y x A ，AB 方程为,8-=my x 代入椭圆方程 整理得014448)43(22=+-+my y m则431444348),43(1444)48(22122122+=⋅+=++⨯-=∆m y y m my y m m662222112211-+-=+++=+∴my y my y x y x y k k BF AF)6)(6()(62212121=--+-=my my y y y my.,0BFN AFM k k BF AF ∠=∠=+∴从而综上可知：恒有BFN AFM ∠=∠（3）（理科）43472||||212212+-=-⋅=-=∆∆∆m m y y PF S S S PAFPBF ABF33163272416437216)4(34722222=⋅≤-+-=+--=m m m m当且仅当32841643222=-=-m m m 即（此时适合△＞0的条件）取得等号.∴三角形ABF 面积的最大值是3 352 设椭圆方程为422y x +=1，求点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足→→→+=)(21OB OA OP ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.解：设P （x ，y ）是所求轨迹上的任一点，①当斜率存在时，直线l 的方程为y =k x +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立并消元得：（4+k 2）x 2+2k x －3=0， x 1+x 2=－,422k k +y 1+y 2=248k+，由)(21→→→+=OB OA OP 得：（x ，y ）=21（x 1+x 2，y 1+y 2），即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+-=+=22122144242k y y y k k x x x消去k 得：4x 2+y 2－y =0当斜率不存在时，AB 的中点为坐标原点，也适合方程所以动点P 的轨迹方程为：4x 2+y 2－y = 0．53 已知椭圆C:2222by a x +=1(0a b >>)的离心率为36,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23， 求△AOB 面积的最大值.解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴ 1b =，∴ 所求椭圆方程为2213x y +=． （Ⅱ）设11()A x y ，，22()B x y ，．（1）当AB x ⊥轴时，AB =（2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+．=223(1)4m k =+．把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31)6330k x kmx m +++-=，122631kmx x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+．22221(1)()AB k x x ∴=+-22222223612(1)(1)(31)31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++ 2422212121233(0)34196123696k k k k k k=+=+≠≤+=++⨯+++． 当且仅当2219k k =，即k =时等号成立．当0k =时，AB = 综上所述max 2AB =．∴ 当AB 最大时，AOB △面积取最大值max 12S AB =⨯=． 54 已知向量)1,0(,)0,(21••e •••a •e ==，经过定点)0,(••a A -且方向向量为21e e λ+-的直线与经过定点)0,(•a •B 且方向向量为212e e +λ的直线交于点M ，其中∈λR ，常数a >0. （1）求点M 的轨迹方程； （2）若26=a ，过点)0,1(••F 的直线与点M 的轨迹交于C 、D 两点，求FD FC ∙的取值范围.设点),(,),(,),(•y a •x ••y a •x •••y x •M -=+=则，又∥),()(21λλ••e e a -=+-，∥)1,2()2(21••e e a λλ=+故⎩⎨⎧-=-=+a x ay ay a x λλ2)(，消去参数λ，整理得点Ｍ的轨迹方程为22222a y a x =+（除去点)0,(,)0,(•a ••B ••a •A -） （2）由26=a 得点M 轨迹方程为121)26(222=+y x （除去点)0,26(,)0,26(•••B •••A -），若设直线CD 的方程为)1(-=x k y ••k ,0(≠)点过否则A CD ，••y x C ),(11，••y x D ),(22，则由⎩⎨⎧=+-=362)1(22y x x k y 消去y 得0)12(312)13(22222=-+-+k k x k ，显然0)1(242>+=∆k ，于是)13(2)12(3,13622212221+-=+=+k k x •x •k k x x ， 设),1(,),1(,2211•y •x •••y •x •m •-=-==∙，因此)1)(1()1)(1()1)(1(212212121--+--=+--=∙=x x k x x y y x x m]1136)13(2)12(3)[1(]1)()[1(2222221212++-+-+=++-+=k k k k k x x x x k ，即,6121)016(01612)13(21222•m m •m m k k k m -<<-⇒≠+>++=⇒++-= 若直线x CD ⊥轴，则61,12121-===y •y •x x ，于是61-=m ，综上可知⎥⎦⎤ ⎝⎛--∈=∙61,21••m 55如图，已知直线)0(1:1:2222>>=++=b a by a x C my x L 过椭圆的右焦点F ，且交椭圆C 于A ，B 两点，点A ，F ，B 在直线2:a x G =上的射影依次为点D ，K ，E . （1）若抛物线y x 342=的焦点为椭圆C 的上顶点，求椭圆C 的方程；（2）对于（1）中的椭圆C ，若直线L 交y 轴于点M ，且BF MB AF MA 21,λλ==，当m 变化时，求21λλ+的值；（3）连接AE ，BD ，试探索当m 变化时，直线AE 、BD 是否相交于一定点N ？若交于定点N ，请求出N 点的坐标，并给予证明；否则说明理由. 解：（1）易知)0,1(,332F b b 又=∴=41222=+==∴c b a c13422=+∴y x C 的方程为椭圆（2）)1,0(mM y l -轴交于与设⎩⎨⎧=-++=012431),(),,(222211y x my x y x B y x A 由 0)1(144096)43(222>+=∆=-++∴m my y m(*)321121m y y =+∴又由),1()1,(111111y x my x --=+∴=λλ1111my --=∴λ同理2211my --=λ38322)11(122121-=--=+--=+∴y y m λλ3821-=+∴λλ…（3）)0,(),0,1(2a k F =先探索，当m =0时，直线L ⊥ox 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交FK中点N ，且)0,21(2+a N猜想：当m 变化时，AE 与BD 相交于定点)0,21(2+a N … 证明：设),(),,(),,(),,(12222211y a D y a E y x B y x A当m 变化时首先AE 过定点N21,21)1(0)1(40)1(2)(0122121222222222222222222a y K m y a y K a b m a b a a b y m b y m b a b a y a x b m y x ENAN --=---=>>-+=∆=-+++⎩⎨⎧=-++=又即 )21(21)(2112221212m y a a y m y y y a K K ENAN ----+-=-而)0)()1()1()2(21)(21(222222222222222221212=+-⋅-=+-⋅-+-⋅-=-+-bm a mb mb a b m a a b m b m a mb a y my y y a∴=∴ENAN K K A 、N 、E 三点共线同理可得B 、N 、D 三点共线∴AE 与BD 相交于定点)0,21(2+a N56 已知椭圆C 过点)0,2(),26,1(-F M 是椭圆的左焦点，P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，且|PF|、|MF|、|QF|成等差数列。
圆锥曲线---椭圆(含解析)
圆锥曲线---椭圆一、填空题1. 已知椭圆x24+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，若F2为线段AB的中点，则△AF1B的面积为．2. 椭圆x29+y25=1的左右焦点分别为F1，F2，过焦点F1的直线交该椭圆于A，B两点，若△ABF2的内切圆面积为π，A，B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，则▵ABF2的面积S=．二、解答题3. 设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4,1)在椭圆上，求该椭圆的方程．4.已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点(3,0)，离心率为√63.求椭圆C的方程．5.已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，短轴一个端点到右焦点的距离为3√2．(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y=x−1与椭圆C交于不同的两点A、B，求|AB|．6. 椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点(0,√3)，离心率为12，左、右焦点分别为F 1(−c,0),F 2(c,0) (1)求椭圆的方程(2)斜率为−12的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当|AB |=√552时，求直线l 的方程7.已知椭圆C ：x 26+y 2b2=1(b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)和F 2(c,0)，P 为椭圆C 上任意一点，三角形PF 1F 2面积的最大值是3． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若过点(2,0)的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且Q(94,0)，证明：QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅QB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．8. 已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点F 为圆x 2+y 2+2x =0的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离最小值为√2−1． (1)求椭圆方程；(2)已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B ，点M (−54,0)，证明：MA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值．答案和解析1.解：由x 24+y 2=1，得a =2，b =1，c =√3，又因为F 2为线段AB 的中点，则可知AB ⊥x 轴，把x =√3带入椭圆方程可得y =±12， 所以|AB |=1，2c =2√3，所以△AF 1B 面积为S =12×2c ×|AB |=√3故答案为：√3． 2.解：∵椭圆x 29+y 25=1的左右焦点分别为F 1，F 2，a =3，b =√5，c =2，过焦点F 1的直线交椭圆于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)两点， ∵△ABF 2的内切圆的面积为π，∴△ABF 2内切圆半径r =1．即△ABF 2面积S =12×1×(AB +AF 2+BF 2)=2a =6。
圆锥曲线：有关椭圆的小题总结 高考数学
m足∠ = ∘ ,则
∘
≥ = ,
【解析】由题意得： +
=
，所以当＞＞，则＜ ＜ ，所
以表示焦点在轴上的椭圆，所以对，错，当 = ＞时，曲线
+
= ，所以表示圆，半径为 ，当 = , ＞时，曲线为
= ，所以 = ± ，所以表示两条直线，故选：
为
以只要求∠ 为直角时点横坐标的值，因为 = ，所以当
∠ 为直角时，点在圆 + = 上，解方程组:
得: =
±
,
所以点 横坐标的取值范围是:
+ =
�� +
−
＜＜
.
=
试卷讲评课件
【例3】已知椭圆
x2
上任意一点,则当点Q为椭圆短轴的端点时,∠AQB最大.
试卷讲评课件
【证明】如图,设 , ≤ ＜, ＜ ≤ ,过点作
⊥ ,垂足为,则 = + , = − , = ,所以
∠ =
∠ =
+
,∠
=
−
迹E的方程为
+
=
所以动圆C的圆心轨迹E的方程为
+
=
，
+
=
试卷讲评课件
x2
练习3.已知A、B分别为椭圆E： 2
圆锥曲线经典题型(含详解答案)
1.已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B = ,则||AF =(A). 2 (B). 2 (C).3 (D). 32.（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）A ．32 B ．22 C ．13 D ．123.已知双曲线)0(12222>=-b b y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，其一条渐近线方程为x y =，点),3(0y P 在双曲线上.则1PF ·2PF ＝A. －12B. －2C. 0D. 44.已知直线1:4360l x y -+=和直线2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是A.2B.3C.115 D.37165.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p =________________6.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+b y a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.7.过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F P F ∠=，则椭圆的离心率为( ) A ． B ．33C ．D ．8（重点）.已知双曲线()222210,0x yC a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F 且斜率为3的直线交C 于A B 、两点，若4A F F B =,则C 的离心率为 ( ) A ．B. C. D.9.以知F 是双曲线221412x y -=的左焦点，(1,4),A P 是双曲线右支上的动点，则PF PA+的最小值为 。
(必考题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试题(包含答案解析)
一、选择题1．过双曲线22115y x -=的右支上一点P 分别向圆221:(4)4C x y ++=和222:(4)1C x y -+=作切线，切点分别为M N 、，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．192．已知斜率为(0)k k >的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，M 是线段AB 的中点，F 是C 的焦点，OFM ∆的面积等于3，则k =（ ）A ．14B ．13C ．12D ．33．过抛物线22y px =焦点(1,0)F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且(1)AF mFB m =>，25||4AB =，则m =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．过抛物线()2:20C y px p =>的焦点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于,A B 两点，过线段AB 的中点N 且垂直于l 的直线与C 的准线交于点M ，若AB =，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．15︒B ．30C ．45︒D ．60︒5．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，过1F 的直线交双曲线的左支于,A B 两点，若113AF FB =，23cos 5AF B ∠=，则双曲线的离心率e =（ ）A B ．52C D ．536．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，实轴长为4，点P 为其右支上一点，点Q 在以()0,4为圆心、半径为1的圆上，若1PF PQ +的最小值为8，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．12y x =±B ．y x =±C ．2y x =±D ．2y x =±7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点M 在双曲线C 的渐近线上，若212211221cos 12cos ,3MF F MF F FMF MF F ∠+=∠∠=∠，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．BC ．D ．28．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点32,32D ⎛⎫⎪⎝⎭的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为（ ） A ．2B ．52C ．3D ．729．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（ ） A ．253B ．496C ．436D ．25410．如果直线1y kx =-与双曲线224x y -=只有一个交点，则符合条件的直线有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条11．设1F 、2F 是椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线2a x c=上一点，若21F PF 是底角为30的等腰三角形，则椭圆E 的离心率为（ ） A ．12B ．22C ．34D ．4512．在抛物线型内壁光滑的容器内放一个球，其通过中心轴的纵剖面图如图所示，圆心在y 轴上，抛物线顶点在坐标原点，已知抛物线方程是24x y =，圆的半径为r ，若圆的大小变化时，圆上的点无法触及抛物线的顶点O ，则圆的半径r 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．[)2,+∞D ．[)1,+∞二、填空题13．F 是抛物线22y px =（0p >）的焦点，过点F 的直线与抛物线的一个交点为A ，交抛物线的准线于B ，若2BA AF =，且4BA =，则P =______．14．已知抛物线22y px =上三点(2,2),,A B C ，直线,AB AC 是圆22(2)1x y -+=的两条切线，则直线BC 的方程为___________.15．过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，且点A 为线段PB 的中点，则直线l 的斜率为___________.16．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与圆()22234x y +-=相交于A ，B 两点，且2AB =，则双曲线C 的离心率为___________.17．点P 为椭圆C 上一动点，过点P 作以椭圆短轴为直径的圆的两条切线，切点分别为M ，N ，若60MPN ∠=︒，则椭圆C 的离心率的取值范围是______.18．设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，点P 在C 的右支上，O 为坐标原点，若存在点P ，使PF OF =，且1cos 4OFP ∠=，则双曲线的离心率为___________．19．椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b ，()0,C b -分别为其三个顶点.直线CF 与AB 交于点D ，若椭圆的离心率13e =，则tan BDC ∠=___________.20．已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线AB 交抛物线于A ,B 两点，交准线于点C ，若|BC |=2|BF |，则|AB |=_____.三、解答题21．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点2F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ，当直线AB 的斜率为0时，||||7AB CD +=．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求||||AB CD +的取值范围．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，长轴长为222 （1）求椭圆C 的方程．（2）若过点1F 的两条弦，弦AB 、弦CD ，互相垂直，求四边形ACBD 的面积的最小值．23．已知抛物线()2:20C y px p =>，直线()0y kx k =>与C 交于点A (与坐标原点O不重合)，过OA 的中点P 作与x 轴平行的直线l ，直线l 与C 交于点,Q 与y 轴交于点.R （1）求PR QR；（2）证明:直线AR 与抛物线C 只有一个公共点.24．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y px =的准线方程为12x =-．（1）求p 的值;（2）直线:(0)l y x t t =+≠交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，且OA OB ⊥，求线段AB 的长度．25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3,22⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）经过点()0,2M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，若OAB l 的方程.26．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>(2,1),,A P Q --在椭圆C 上，且,P Q 异于点A ．（1）求椭圆C 的方程；（2）若||||,||||OP OQ AP AQ ==，求直线PQ 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值． 【详解】解：圆221:(4)4C x y ++=的圆心为(4,0)-，半径为12r =； 圆222:(4)1C x y -+=的圆心为(4,0)，半径为21r =，设双曲线22115y x -=的左右焦点为1(4,0)F -，2(4,0)F ，连接1PF ，2PF ，1F M ，2F N ，可得2222221122||||(||)(||)PM PN PF r PF r -=--- 22212(||2)(||1)PF PF =---22121212||||3(||||)(||||)3PF PF PF PF PF PF =--=-+-12122(||||)32(||||)322328313a PF PF PF PF c =+-=+-⨯-=⨯-=．当且仅当P 为右顶点时，取得等号， 即最小值13． 故选：B ．【点睛】本题考查最值的求法，注意运用双曲线的定义和圆的方程，考查三点共线的性质，以及运算能力．2．B解析：B 【分析】先求出F ,设出A 、B 、M ，用“点差法”找出121202y y k x x y -==-，利用OFM ∆的面积等于3计算出0y ，求出斜率k . 【详解】由抛物线2:4C y x =知：焦点()1,0F 设()()()112200,,,,,,A x y B x y M x y因为M 是线段AB 的中点，所以0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩将2114y x =和2224y x =两式相减可得：()2212124y y x x -=-，即121202y y k x x y -==- ∵000k y >∴> ∴00113,62OFM S y y ∆=⨯⨯=∴=, 022163k y ∴===. 故选：B 【点睛】“中点弦”问题通常用“点差法”处理.3．C解析：C 【分析】由焦点得2p =，设直线代入抛物线方程结合韦达定理以及已知条件利用弦长公式求得参数值. 【详解】∵焦点(1,0),2F p ∴=，抛物线方程式为24y x =．设直线l 的方程为1(0)x y λλ=+>，代入抛物线方程，得2440y y λ--=． 设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得124y y =-． 由AF mFB =，得12y my =-．解得21y y ==-21y y ==，121,x m x m ∴==．12125||2,44AB x x p m m m ∴=++=++=∴=． 故选：C ． 【点晴】方法点晴：解直线与圆锥曲线位置问题时，通常使用设而不求思想，结合韦达定理运算求解相关参数.4．D解析：D 【分析】设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，代入抛物线方程应用韦达定理得12x x +，12AB x x p =++， 求出AB 中点N 的坐标，写出MN的方程，由MN =MN ，然后由己知条件可求得斜率k ，得倾斜角．【详解】由题意(,0)2p F ，设直线l 的斜率为k (0k >)，直线方程为()2y k x π=-，1122(,),(,)A x y B x y ，由22()2y pxp y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得22222(2)04k p k x p k x -++=， 2122(2)p k x x k++=，2124p x x =， 221222(2)2(1)++=++=+=p k p k AB x x p p k k， 2122(2)22N x x p k x k ++==，22()22N N p p y k x k =-=，即222(2)2,22p k p N kk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 直线MN 的方程为1()N N y y x x k-=--，MN =23(12p k k +=，∵AB =，∴22232(1)(12p k p k k k++=， 整理得23k =，∵0k >，∴k =∴倾斜角为60︒． 故选：D ． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求的思想方法，设交点坐标，设直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，求得中点坐标及焦点弦长，写出直线l 垂线方程，求得MN ，然后由已知条件求得结论．5．C解析：C 【分析】设1133AF F B m ==，利用双曲线定义求出232AF m a =+，22F B m a =+，利用余弦定理写出,a m 关系，推知焦点三角形12F BF 是直角三角形，利用勾股定理求出,a c 关系式，从而求出离心率. 【详解】设1133AF F B m ==，则4AB m =，则由双曲线定义有232AF m a =+，22F B m a =+，在2AF B 中，由余弦定理有()()()()()22242232223m a m a m a m a m =+++-⋅++ 整理得22320m am a --=，解得m a = 故4AB a =，25AF a =，23F B a = 故2AF B 为直角三角形，290ABF ∠=在12Rt F BF △中，2221122F B F B F F +=，则()()22232a a c +=，故22252c e a ==故e =故选：C 【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．D解析：D 【分析】设设()0,4E ，由12224PF PF a PF =+=+，可得124P PF PQ PQ F +++=，当且仅当,P Q ，()0,4E 和2F 四点共线时取得最小值，进而可得25EF =，设()2,0F c 即可求出c 的值，进而可求出b 的值，由by x a=±可得渐近线方程. 【详解】设()0,4E ，由双曲线的定义可知：12224PF PF a PF =+=+， 所以124P PF PQ PQ F +++=，当,P Q 在圆心()0,4E 和2F 连线上时，1PF PQ +最小，()2mi 2n 1PFPQ EF =-+，所以2418EF +-=，解得25EF =，设()2,0F c ()0c >5=，解得3c =，因为2a =，所以b =，所以双曲线的渐进线为：2b y x x a =±=±， 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是由双曲线的定义可得124P PF PQ PQ F +++=，利用2,,,P Q E F 共线时()2mi 2n1PF PQEF =-+求出25EF =.7．D解析：D 【分析】根据角的关系计算出12216030MF F MF F ∠=︒∠=︒，，从而求出渐近线方程为y =，得到ba=. 【详解】因为21221cos 12cos MF F MF F ∠+=∠，故1221cos cos2MF F MF F ∠=∠，即12212MF F MF F ∠=∠，而12213FMF MF F ∠=∠，故12216030MF F MF F ∠=︒∠=︒，，则三角形1MFO 为等边三角形，故双曲线C 的渐近线方程为y =，则2e ==，故选D ．【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．8．B解析：B 【分析】利用抛物线的定义，把P 到y 轴的距离转化为1||2PF -,利用几何法求最值 【详解】抛物线22y x =的焦点1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭,准线1:2l x =-，如图示：过P 作PP 1⊥y 轴于P 1,作PP 2⊥l于P 2,则211||||2PP PP -= 所以点P 到点332D ⎛ ⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和为 1211||||||||||||22PD PP PD PP PD PF +=+-=+- 由图示，易知，当P 落在Q 时，DPF 三点共线，||||||PD PF DF +=, 其他位置，都有||||||PD PF DF +> 所以点P 到点332D ⎛⎝的距离与点P 到y 轴的距离之和的最小值为： 221111335||||||||||2022222PD PP PD PF DF ⎛⎫⎛⎫+=+-≥-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当D 、P 、F 三点共线时取最小值. 故选：B 【点睛】解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算．9．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍） 当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.10．D解析：D 【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，由方程组只有一解确定． 【详解】由2214y kx x y =-⎧⎨-=⎩，得22(1)250k x kx -+-=， 若210k -=，即1k =±，1k =时，52x =，方程组只有一解；1k =-时，52x =-，方程组只有一解； 210k -≠时，22420(1)0k k ∆=+-=，2k =±，此时方程组也只有一解． 方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点．因此这样的直线有4条． 故选：D ． 【点睛】关键点点睛：直线与曲线的交点问题，可能通过解方程组确定，直线与曲线方程组成的方程组的解的个数就是它们交点的个数．这是代数方法．也可从几何角度考虑，如本题直线与双曲线相切的有两条，与渐近线平行的有两条共4条直线与双曲线只有一个交点．11．B解析：B 【分析】设直线2a x c=交x 轴于点M ，推导出222PF F M =，可得出关于a 、c 的等式，由此可解得该椭圆的离心率. 【详解】设直线2a x c=交x 轴于点M ，21F PF △是底角为30的等腰三角形，260PF M ∠=，2122PF F F c ==，在2Rt PF M 中，290PMF ∠=，230MPF ∠=，222PF F M ∴=，P 为直线2a x c =上一点，222a c c c ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭，即222a c =，22c e a ∴==． 故选：B ． 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.12．A解析：A 【分析】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，求出2PQ ，当2PQ 的最小值在原点处取得时，圆P 过原点，可得此时圆半径的范围，半径不在这个范围内的圆不过原点． 【详解】设圆心为(0,)P a ，（0a >），半径为r ，(,)Q x y 是抛物线上任一点，22222()4()(2)44PQ x y a y y a y a a =+-=+-=-++-，若2PQ 的最小值不在(0,0)O 处取得，则圆P 不过原点，所以20a ->，即2a >，此时圆半径为44212r a a =-=->． 因此当2r >时，圆无法触及抛物线的顶点O ． 故选：A ． 【点睛】关键点点睛：本题考查圆与抛物线的位置关系，题中圆不过原点，说明抛物线上的点到圆心距离的最小值不是在原点处取得，由此得到解法，即设圆心为(0,)P a ，抛物线上点的坐标为(,)Q x y ，求出PQ ，然后确定其最小值，由最小值点不是原点可得结论．二、填空题13．3【分析】设过的直线为与抛物线交于点过两点作垂直准线于点根据抛物线的定义可得即可求出再联立直线与抛物线方程消元列出韦达定理即可得到再由焦半径公式计算可得；【详解】解：因为是抛物线的焦点所以准线为设过解析：3 【分析】设过F 的直线为2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，与抛物线交于点()11,A x y ，()22,C x y ，过A 、B 两点作AM ，CN 垂直准线于M ，N 点，根据抛物线的定义可得CN CF =，AM AF =，即可求出30ABM ∠=︒，6CN CF ==，再联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理即可得到2124p x x =，再由焦半径公式计算可得；【详解】解：因为F 是抛物线22y px =的焦点，所以,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线为2p x =-，设过F 的直线为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与抛物线交于点()11,A x y ，()22,C x y ，过A 、B 两点作AM ，CN垂直准线于M ，N 点，所以CN CF =，AM AF =，因为2BA AF =，所以2BA AF =，所以2BA AM =，所以30ABM ∠=︒，又因为4BA =，所以2AM AF ==，且2CN CB BA AF FC BA AM CN ==--=--，所以26CN CN =+，所以6CN CF ==，联立直线与抛物线222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去y 得22224p k x px px ⎛⎫ ⎪⎭=⎝-+，所以()22222204k p k x k p p x -++=，所以21222k p p x x k ++=-，2124p x x =，又因为1>0x ，20x >，且122p x AM +==，262p x CN +==，所以2212261242244p p p p x x p ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以3p =故答案为：3【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．14．【分析】先利用点求抛物线方程利用相切关系求切线再分别联立直线和抛物线求出点即求出直线方程【详解】在抛物线上故即抛物线方程为设过点与圆相切的直线的方程为：即则圆心到切线的距离解得如图直线直线联立得故由 解析：3640x y ++=【分析】先利用点(2,2)A 求抛物线方程，利用相切关系求切线,AB AC ，再分别联立直线和抛物线求出点,B C ，即求出直线BC 方程. 【详解】(2,2)A 在抛物线22y px =上，故2222p =⨯，即1p =，抛物线方程为22y x =，设过点(2,2)A 与圆22(2)1x y -+=相切的直线的方程为：()22y k x -=-，即220kx y k -+-=，则圆心()2,0到切线的距离2202211k kd k -+-==+，解得3k =±，如图，直线):232AB y x -=-，直线):232AC y x -=--.联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x ++-=，故1683A B x x -=，由2A x =得843B x -=，故236B y -=， 联立)22322y x y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，得()23431416830x x -++=，故1683A C x x +=，由2A x =得843C x +=，故236C y --=， 故236236433B C y y -+=+=-，又由,B C 在抛物线上可知， 直线BC 的斜率为22221114222B C B C BC B C B C B C y y y y k x x y y y y --=====--+--，故直线BC 的方程为2361843323y x ⎛--=-- ⎝⎭，即3640x y ++=. 故答案为：3640x y ++=15．【分析】由题意可知直线的斜率存在且为正数可设直线的方程为设点将直线的方程与抛物线的方程联立列出韦达定理可得出代入韦达定理求出的值即可得出直线的斜率为【详解】由于过点的直线与抛物线相交于两点若在第一象 解析：223【分析】由题意可知，直线l 的斜率存在且为正数，可设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立，列出韦达定理，可得出212y y =，代入韦达定理求出m 的值，即可得出直线l 的斜率为1m. 【详解】由于过点()2,0P -的直线l 与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，若A 、B 在第一象限，所以，直线l 的斜率存在且为正数，设直线l 的方程为()20x my m =->，设点()11,A x y 、()22,B x y ， 联立228x my y x=-⎧⎨=⎩，可得28160y my -+=，264640m ∆=->，0m >，解得1m . 由韦达定理可得128y y m +=，1216y y =，由于点A 为线段PB 的中点，则212y y =，12183m y y y ∴=+=，183m y ∴=， 22121816223m y y y ⎛⎫===⨯ ⎪⎝⎭，可得298m =，0m >，解得4m =，因此，直线l 的斜率为13k m ===.. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式； （5）代入韦达定理求解.16．2【分析】由双曲线圆的方程确定渐近线方程为圆心为半径为根据圆的相交弦与半径弦心距之间的几何关系有结合双曲线参数间的关系即可求其离心率【详解】由题意知：双曲线的渐近线为而圆心为半径为∴圆心到渐近线的距解析：2 【分析】由双曲线、圆的方程确定渐近线方程为by x a=±，圆心为，半径为2r ，根据圆的相交弦与半径、弦心距之间的几何关系有222||4AB r d -=，结合双曲线参数间的关系即可求其离心率. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线为by x a=±，而圆心为，半径为2r ，∴圆心到渐近线的距离d ==，而2AB =，∴221r d -=，故222123a ab =+，又222,1c a b c e a +==>， ∴2e =. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：根据双曲线、圆的标准方程确定渐近线方程、圆心、半径长，结合圆中相交弦的几何性质及双曲线参数关系，列出关于,a c 的齐次方程求离心率.17．【分析】根据题意找到abc 的关系求出离心率的范围【详解】设椭圆的中心为因为所以所以所以椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点所以即所以离心率所以故答案为：【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据解析：⎫⎪⎪⎣⎭【分析】根据题意，找到a 、b 、c 的关系，求出离心率的范围 【详解】设椭圆的中心为O ，因为60MPN ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以||2||OP OM =，所以2OP b =，椭圆上的点到原点距离最远的是长轴端点，所以2a b ≥，即12b a ≤，2222211,,44b ac a a -∴≤∴≤所以离心率2c e a ==≥=，所以⎫∈⎪⎪⎣⎭e .故答案为：,12⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．18．2【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得关系再求离心率【详解】设双曲线的左焦点为在中由余弦定理得故答案为：2【点晴】求离心率的关键是得的关系本题是由余弦定理得出解析：2 【分析】在焦点三角形中由余弦定理求得,a c 关系，再求离心率. 【详解】设双曲线的左焦点为E ，在EFP △中，2EF c =，2PF c PE a c ==+，，1cos 4EFP ∠=.由余弦定理()222421cos 224c c c a EFP c c +-+∠==⋅⋅ ，得2c e a ==. 故答案为：2 【点晴】求离心率的关键是得,,a b c 的关系，本题是由余弦定理得出.19．【分析】做出图像可知：利用两角和的正切表示有根据离心率可求出代入正切公式即可求出结果【详解】由图像可知：所以因为离心率可设那么极有代入上式得故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化解析： 【分析】做出图像可知：BDC BAO CFO ∠=∠+∠，利用两角和的正切表示tan BDC ∠，有tan ,tan b b BAO CFO a c ∠=∠=，根据离心率可求出b a =，b c=即可求出结果. 【详解】由图像可知：BDC BAO DFA BAO CFO ∠=∠+∠=∠+∠所以tan tan tan tan()1tan tan 1b bBAO CFO a c BDC BAO CFO b bBAO CFO a c+∠+∠∠=∠+∠==-∠∠-⋅ 因为离心率13c e a ==，可设3a m =，c m =，那么b =，极有b a =，b c =5=-．故答案为：【点睛】本题考查了椭圆的基本性质与平面几何的转化，考查了两角和的正切公式的应用，属于中档题型，思路点睛：（1）根据平面几何将所求角进行转化，BDC BAO CFO∠=∠+∠；（2）结合两角和的正切公式，直角三角形内求角的正切，将问题转化为,,a b c的比值问题．（3）根据离心率求出,,a b c的比值，代入可求.20．【分析】分别过作准线的垂线利用抛物线的定义将到焦点的距离转化到准线的距离利用已知和相似三角形的相似比建立关系式求解可算得弦长【详解】设可知如图作垂直于准线分别于则又解得故答案为：【点睛】1本题体现了解析：16 3【分析】分别过,A B作准线的垂线，利用抛物线的定义将,A B到焦点的距离转化到准线的距离，利用已知和相似三角形的相似比，建立关系式，求解,AF BF可算得弦长.【详解】设242y x px ==，可知2p =如图，作AM ,BN 垂直于准线分别于,M N ，则BN BF =， 又2BC BN =，23CB CF=，23BN p ∴= 43BN =，83BC =，4CF ∴= 2CF AM CA=，244CF AM CA AM ∴==+，解得4AM = 4AF ∴=416433AB AF BF ∴=+=+= 故答案为：163【点睛】1.本题体现了数形结合，解析几何问题，一定要注意对几何图形的研究，以便简化计算2. 抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．三、解答题21．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【分析】（Ⅰ）通过当直线AB 的斜率为0时可知||2AB a =，22||b CD a =，结合12c e a ==，计算即得结论；（Ⅱ）分别对两条弦的斜率进行讨论，当两条弦中一条斜率为0时、另一条弦的斜率不存在时易得结论；当两条弦斜率均存在且不为0时，通过设直线AB 、CD 的方程并分别与椭圆方程联立，利用韦达定理及两点间距离公式，可得||||AB CD +的表达式，利用换元法及二次函数的性质计算即得结论． 【详解】解：（Ⅰ）当直线AB 的斜率为0时，直线CD 垂直于x 轴，||2AB a ∴=，22||b CD a =，即22||||27b AB CD a a+=+=，12c e a ==，且222a b c =+，解得：2,a b =， 所以椭圆方程为22143x y +=；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在， 由题意可知，||||7AB CD +=；②当两条弦斜率均存在且不为0时，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 设直线AB 的方程为(1)y k x =-，则直线CD 的方程为1(1)y x k=--，将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得：2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴221212228412,3434k k x x x x k k -+==++，∴212212(1)|||34k AB x x k +=-=+，同理，2222112(1)12(1)||4343k k CD k k++==++， ∴2222222212(1)12(1)84(1)||||3434(34)(34)k k k AB CD k k k k ++++=+=++++，令21t k =+，则1t >，∴2222848484||||1149(41)(31)121()24t t AB CD t t t t t +===-++---+，1t >，∴101t<<，∴211494912()244t <--+，∴241111494912()24t <--+， ∴24884711497()24t <--+，∴48||||77AB CD +<， 综合①②可知，||||AB CD +的取值范围为：48,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．22．（1）2212x y +=；（2）169.【分析】（1）利用椭圆的长轴长以及离心率求解,a c ，得到b ，即可得到椭圆方程； （2）①当1l x ⊥，2//l x 时，求解四边形的面积；②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x my =-，2l ：11xy m=-，分别联立椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解四边形的面积，利用基本不等式求解最小值即可.【详解】（1）得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）①当1l x ⊥，2//l x 时，22122222b S a b a=⋅⋅⋅==；②当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x my =-，2l ：11x y m=-， 联立22112x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210m y my +--=， ∴12222m y y m +=+，12212y y m-=+， ∴AB==)2212m m +=+，同理)22221111122m m CD m m ⎫+⎪+⎝⎭==++， ∴()()()()()()()222222222222281414111162292212212212m m m S AB CD m m m m m m +++=⋅=⋅=≥=++++⎛⎫+++ ⎪⎝⎭．当且仅当22221m m +=+即21m =即1m =±时等号成立， 故四边形ACBD 的面积的最小值169． 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关椭圆方程的求法，直线与椭圆的综合题，解题方法如下： （1）根据题中所给的条件，建立等量关系，求得,a b 的值，得到椭圆方程；（2）对直线的斜率存在与否进行讨论，根据题意利用适当的形式写出直线的方程，分别与椭圆方程联立，求得弦长，根据四边形面积公式求得四边形的面积，利用基本不等式求得最值，与特殊情况比较，得到结果. 23．（1）2 ；（2）证明见解析. 【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与抛物线方程可得点A 坐标，由中点坐标公式可得点P 坐标，进而可得直线l 的方程与抛物线联立可得Q 点坐标，计算PQPR x QRx =即可求解； （2）利用A 和R 两点坐标求出直线AR 的方程，与抛物线方程联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，由0∆=即可求证. 【详解】（1）联立方程22,y kx y px =⎧⎨=⎩，可得：2220k x px -=，解得222p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以222,p p A k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为P 是OA 的中点，所以2,.p p P k k ⎛⎫⎪⎝⎭ 直线:p l y k =，点0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭将p y k =代入22y px =，得2,.2p p Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2222PQp PR x k p QR x k ===. ()2因为222,p p A kk ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线AR 的方程为2k py x k=+， 与22y px =联立消去x 得222440k y pky p -+=， 因为222216440p k p k ∆=-⨯⨯=， 所以直线AR 与抛物线C 只有一个公共点. 【点睛】方法点睛：判断直线与曲线的位置关系可联立直线与曲线的方程消去y 得关于x 的一元二次方程，由判别式0∆>可得直线与曲线相交，由判别式0∆=可得直线与曲线相切，判别式∆<0可得直线与曲线相离. 24．（1）1p =；（2）. 【分析】（1）由已知准线方程可得答案；（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示OA OB ⊥可得t ，然后利用弦长公式可得答案. 【详解】 （1）由已知得122p -=-，所以1p =； （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22y x =与y x t =+得2220y y t -+=，480t ∆=->，即12t <时有122y y +=，122y y t =， 因为OA OB ⊥，所以()21212121204y y OA OB x x y y y y ⋅=+=+=，可得124y y =-，因为122y y t =，所以2t =-， 则122y y +=，124y y =-， 所以||AB =====【点睛】本题考查了抛物线方程、直线与抛物线的位置关系，关键点是利用韦达定理计算弦长，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.25．（1）22132x y +=；（2）22y x =±+或2y =+.【分析】（1）由离心率公式、将点3,22⎛ ⎝⎭代入椭圆方程得出椭圆C 的方程；（2）联立椭圆和直线l 的方程，由判别式得出k 的范围，再由韦达定理结合三角形面积公式得出22317S k ==+，求出k 的值得出直线l 的方程.【详解】解：（1，所以2222133b a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭.①又因为椭圆经过点3,22⎛ ⎝⎭，所以有2291142a b +=.②联立①②可得，23a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22132x y+=.（2）由题意可知，直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为2y kx =+.由222,132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得，()22231260+++=k x kx .因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B 所以()()()22212242324320k kk∆=-+=->，即2320k ->，所以223k >. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1221223k x x k -+=+，122623x x k =+. 由题意得，OAB 的面积1212S OM x x =⨯⨯-12x x =-=，即S == 因为OAB 的面积为17=()2232k =+.化简得，42491660k k -+=，即()()2243220k k --=，解得234k =或222k =，均满足0∆>，所以k =或k = 所以直线l的方程为2y x =+或2y =+. 【点睛】关键点睛：在第二问中，关键是由韦达定理建立12,x x 的关系，结合三角形面积公式求出斜率，得出直线l 的方程.26．（1）22182x y +=；（2）20x y +=．【分析】（1）由离心率，点的坐标代入椭圆方程及222a b c =+列方程组解得,,a b c 得椭圆方程； （2）已知条件说明直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，直线OA 方程为12y x =，这样可设直线PQ 方程为2y x m =-+，代入椭圆方程，应用韦达定理得12x x +，12,x x 即为,P Q 的横坐标，求出中点横坐标1202x x x +=，由直线PA 得中点纵坐标0y ，中点坐标代入直线AO 方程可得参数m ，即直线PQ 方程． 【详解】（1）依题意，22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，，解得2282a b ⎧=⎨=⎩，，．故椭圆C 的方程为22182x y +=；（2）∵||||,||||OP OQ AP AQ ==，∴直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，则直线OA 的方程为12y x =，设直线PQ 的方程为2y x m =-+， 由221822x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得：221716480x mx m -+-=， ()22(16)417480m m =-⨯->，解得m <()()1122,,,P x y Q x y ，由韦达定理得121617mx x +=，设PQ 的中点为()00,H x y ， 所以120008,221717x x m m x y x m +===-+=；所以8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭．又8,1717m m H ⎛⎫⎪⎝⎭在直线OA 上，代入得1817217m m =⋅，解得0m =， 综上所述，直线PQ 的方程为20x y +=． 【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率和一点坐标求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题．在直线与椭圆相交问题时，解题关键是由平面几何知识由条件||||,||||OP OQ AP AQ ==得直线AO 为线段PQ 的垂直平分线，这样用设而不求思想可求得直线PQ 方程．即求出AO 方程，由垂直设出直线PQ 方程，代入椭圆方程应用韦达定理求得PQ 中点坐标，再代入直线AO 方程可得参数值．。
2023年高考备考圆锥曲线中的定值定点问题(含答案)
高考材料高考材料专题14 圆锥曲线中的定值定点问题1．〔2023·全国·高考试题〔文〕〕已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过两点．()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭(1)求E 的方程；(2)设过点的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足．证()1,2P -MT TH =明：直线HN 过定点．（答案）(1)22143y x +=(2) (0,2)-（解析） （分析）〔1〕将给定点代入设出的方程求解即可；〔2〕设出直线方程，与椭圆C 的方程联立，分情况商量斜率是否存在，即可得解.(1)解：设椭圆E 的方程为，过，221mx ny +=()30,2,,12A B ⎛--⎫⎪⎝⎭则，解得，，41914n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩13m =14n =所以椭圆E 的方程为：.22143y x +=(2)，所以，3(0,2),(,1)2A B --2:23+=AB y x ①假设过点的直线斜率不存在，直线.代入， (1,2)P -1x =22134x y +=可得，，代入AB 方程，可得(1,MN223y x =-，由得到.求得HN 方程：(3,T MT TH =(5,H -+，过点. (22y x =-(0,2)-②假设过点的直线斜率存在，设. (1,2)P -1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=联立得， 22(2)0,134kx y k x y --+=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=可得，， 1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +⎧+=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立可得 1,223y y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时，1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--将，代入整理得， (0,2)-12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=将代入，得 (*)222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-2．〔2023·全国·高考试题〕已知椭圆C 的方程为，右焦点为．22221(0)x y a b a b +=>>F 〔1〕求椭圆C 的方程；〔2〕设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线与曲线相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是MN 222(0)x y b x +=>||MN =（答案）〔1〕；〔2〕证明见解析.2213xy +=（解析） （分析）〔1〕由离心率公式可得，即可得解；a =2b 〔2充分性：设直线，由直线与圆相切得，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得():,0MN y kx b kb =+<221b k =+，即可得解.=1k =±（详解）〔1〕由题意，椭圆半焦距 c =c e a ==a =又，所以椭圆方程为；2221b a c =-=2213x y +=〔2〕由〔1〕得，曲线为，221(0)x y x +=>当直线的斜率不存在时，直线，不合题意； MN :1MN x =当直线的斜率存在时，设，MN ()()1122,,,M xy N x y 必要性：假设M ，N ，F 三点共线，可设直线即，(:MN y k x =0kxy -=由直线与曲线，解得，MN 221(0)x y x +=>11k =±联立可得，所以，(2213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩2430x -+=121234x x x x +=⋅=,高考材料高考材料所以必要性成立；充分性：设直线即， ():,0MN y kx b kb =+<0kx y b -+=由直线与曲线，所以，MN 221(0)x y x +=>1=221b k =+联立可得， 2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=所以， 2121222633,1313kb bx x x x k k-+=-⋅=++===化简得，所以，()22310k -=1k =±所以，所以直线或，1k b =⎧⎪⎨=⎪⎩1k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:MN y x =y x =-所以直线过点，M ，N ，F 三点共线，充分性成立； MN F 所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||MN =3．〔2023·青海·海东市第—中学模拟预测〔理〕〕已知椭圆M ：〔a >b >0，AB 为过椭圆右22221x y a b +=焦点的一条弦，且AB 长度的最小值为2. (1)求椭圆M 的方程；(2)假设直线l 与椭圆M 交于C ，D 两点，点，记直线PC 的斜率为，直线PD 的斜率为，当()2,0P 1k 2k 12111k k +=时，是否存在直线l 恒过肯定点？假设存在，请求出这个定点；假设不存在，请说明理由.（答案）(1)22142x y +=(2)存在， ()2,4--（解析） （分析）〔1〕由题意求出，即可求出椭圆M 的方程.,,a b c 〔2〕设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，，，联立直线l 的方程与椭圆方程()11,C x y ()22,D x y ，得，则，化简得，即可求()()222242x y x -+=--()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭12114114n k k m +=-=+14m n +=-出直线l 恒过的定点. (1)因为〔a >b >0，过椭圆右焦点的弦长的最小值为，22221x y a b +=222b a=所以a ＝2，，所以椭圆M 的方程为.c b =22142x y +=(2)设直线l 的方程为m (x －2)+ny ＝1，，， ()11,C x y ()22,D x y 由椭圆的方程，得.2224x y +=()()222242x y x -+=--联立直线l 的方程与椭圆方程，得，()()()2222422x y x m x ny ⎡⎤⎣⎦-+=---+即，， ()()()221424220m x n x y y +-+-+=()22214420x x m n y y ⎛⎫--+++= ⎪⎝⎭所以， 12121222114114x x nk k y y m--+=+=-=+化简得，代入直线l 的方程得，14m n +=-()1214m x m y ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭即，解得x ＝－2，y ＝－4，即直线l 恒过定点. ()1214m x y y ---=()2,4--4．〔2023·上海松江·二模〕已知椭圆的右顶点坐标为，左、右焦点分别为、，且2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>(2,0)A 1F 2F ，直线交椭圆于不同的两点和．122F F =l ΓM N (1)求椭圆的方程；Γ(2)假设直线的斜率为，且以为直径的圆经过点，求直线的方程； l 1MN A l (3)假设直线与椭圆相切，求证：点、到直线的距离之积为定值．l Γ1F 2F l （答案）(1)；22143x y +=(2)或； 2y x =-27y x =-(3)证明见解析. （解析） （分析）〔1〕依据焦距及椭圆的顶点求出即可得出；,a b 〔2〕设直线的方程为 ，联立方程，由根与系数的关系及求解即可；l y x b =+0AM AN ⋅=〔3〕分直线斜率存在与不存在商量，当斜率不存在时直接计算可得，当斜率存在时，设直线的方程为 ，l y kx b =+依据相切求出关系，再由点到直线的距离直接计算即可得解. ,b k (1)∵ ∴，1222F F c ==1c =∵，由 得，∴2a =222a b c =+241=+b 22=34=b a ，高考材料高考材料所以椭圆的方程：；Γ22143x y +=(2)∵直线的斜率为，故可设直线的方程为 ， l 1l y x b =+设，，，1(M x 1)y 2(N x 2)y 由 可得， 22143y x b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22784120x bx b ++-=则，，1287b x x +=-2124127b x x -=∵以为直径的圆过右顶点，∴，∴MN A 0AM AN ⋅=1212(2)(2)0x x y y --+=∴21212122211))2()4((2(2)()4b b x x x x x x x x b x x b -+++=+-+++++，整理可得，2241282(2)4077b b b b -=⋅--⋅++=271640b b ++=∴或，2b =-27b =-∵， 2226447(412)16(213)b b b ∆=-⋅⋅-=⋅-当或时，均有2b =-27b =-0∆>所以直线的方程为或． l 2y x =-27y x =-(3)椭圆左、右焦点分别为、Γ1(1,0)F -2(1,0)F ①当直线平行于轴时，∵直线与椭圆相切，∴直线的方程为， l y l Γl 2x =±此时点、到直线的到距离分别为，∴． 1F 2F l 121,3d d ==123d d ⋅=②直线不平行于轴时，设直线的方程为 ，l y l y kx b =+联立，整理得， 2234120y kx b x y =+⎧⎨+-=⎩222(34)84120k x kbx b +++-=，222222644(34)(412)16(9123)k b k b k b ∆=-+-=⋅+-∵直线与椭圆相切，∴，∴ l Γ0∆=2234b k =+∵到直线的距离为到直线的距离为，1(1,0)F -l 1=d 2(1,0)F -l 2=d ∴，123d d ⋅=∴点、到直线的距离之积为定值由．1F 2F l 35．〔2023·上海浦东新·二模〕已知分别为椭圆：的左、右焦点， 过的直线交椭圆于两12F F 、E 22143x y+=1F l E ,A B 点．(1)当直线垂直于轴时，求弦长；l x AB(2)当时，求直线的方程；2OA OB ⋅=-l (3)记椭圆的右顶点为T ，直线AT 、BT 分别交直线于C 、D 两点，求证：以CD 为直径的圆恒过定点，并求出定6x =点坐标． （答案）(1)3 (2))1y x =+(3)证明见解析；定点 ()()4080，，，（解析） （分析）〔1〕将代入椭圆方程求解即可；1x =-〔2〕由〔1〕知当直线的斜率存在，设直线的方程为：，联立直线与椭圆的方程，得出l l ()1y k x =+，设可得韦达定理，代入计算可得斜率；()22223484120k xk x k +++-=()()1122A x y B x y ，，，2OA OB ⋅=-〔3〕分析当直线的斜率不存在时，由椭圆的对称性知假设以CD 为直径的圆恒过定点则定点在轴上，再以CD 为l x 直径的圆的方程，令，代入韦达定理化简可得定点 0y =(1)由题知，将代入椭圆方程得 ()110F -，1x =-332y AB =±∴=，(2)由〔1〕知当直线的斜率不存在时，此时，不符合题意，舍去l 331122A B ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，OA ·OB =14直线的斜率存在，设直线的方程为：，∴l l ()1y k x =+联立得，设，则， ()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()22223484120k x k x k +++-=()()1122A x y B x y ，，，2122212283441234k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由OA ·OB =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+k (x 1+1)k (x 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k 2(x 1+x 2)+k 2=(1+k 2)4k2‒123+4k 2+k2‒8k 23+4k 2，解得+k 2=‒5k 2‒123+4k 2=‒222k k ==，直线的方程为．．∴l )1y x =+(3)①当直线的斜率不存在时， l ()33112022A B T ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，直线AT 的方程为，C 点坐标为， 112y x =-+()62-，直线BT 的方程为，D 点坐标为，以CD 为直径的圆方程为，由椭圆的对称性知假设以112y x =-()62，()2264x y -+=CD 为直径的圆恒过定点则定点在轴上，令，得即圆过点． x 0y =48x x ==，．()()4080，，，高考材料高考材料②当直线的斜率存在时，同〔2〕联立，直线AT 的方程为， l ()1122y y x x =--C 点坐标为，同理D 点坐标为，以CD 为直径的圆的方程为11462y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，22462y x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，()()12124466022y y x x y y x x ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭令，得，0y =()2121212161236024y y x x x x x x -++=-++由， ()()()()22222121222121212122241281611611343416441282424243434k k k k x k x k k y y k k x x x x x x x x k k ⎛⎫--++ ⎪++++⎝⎭===----++-++-+++得，解得，即圆过点． 212320x x -+=48x x ==，()()4080，，，综上可得，以CD 为直径的圆恒过定点． ()()4080，，，6．〔2023·上海长宁·二模〕已知分别为椭圆的上、下顶点，是椭圆的右焦点，是椭圆,A B 222Γ:1(1)xy a a+=>F ΓM上异于的点．Γ,A B(1)假设，求椭圆的标准方程 π3AFB ∠=Γ(2)设直线与轴交于点，与直线交于点，与直线交于点，求证：的值仅与有关 :2l y =y P MA Q MB R PQ PR ⋅a (3)如图，在四边形中，，，假设四边形面积S 的最大值为，求的值．MADB MA AD ⊥MB BD ⊥MADB 52a （答案）(1)2214x y +=(2)证明见解析 (3) 2a =（解析） （分析）〔1〕依据已知推断形状，然后可得；AFB △〔2〕设，表示出直线、的方程，然后求Q 、R 的坐标，直接表示出所求可证； ()11,M x y AM BM 〔3〕设，，依据已知列方程求解可得之间关系，表示出面积，结合已知可得. ()11,M x y ()44,D x y 14,x x (1)因为，，所以是等边三角形， AF BF =π3AFB ∠=AFB △因为，，所以，2AB =AF a =2a =得椭圆的标准方程为．2214x y +=(2)设，，， ()11,M x y ()2,2R x ()3,2Q x 因为，()0,1A()0,1B -所以直线、的方程分别为AM BM ， 111:1AM y l y x x -=+， 111:1BM y l y x x +=-所以，， 12131x x y =+1311x x y =-又221121x y a-=所以， 2211221331x PQ PR x x a y ⋅===-所以的值仅与有关． PQ PR ⋅a (3)设，， ()11,M x y ()44,D x y 因为，，MA DA ⊥MB DB ⊥所以，()()1414110x x y y +--=()()1414110x x y y +++=高考材料高考材料两式相减得，41y y =-带回原式得，214110x x y +-=因为，所以， 221121x y a+=142x x a =-1412111MAB DAB S S S x x x a a a ⎛⎫=+=+=+≤+ ⎪⎝⎭A A 因为的最大值为 ，所以 ，得．S 52152a a +=2a =7．〔2023·福建省福州格致中学模拟预测〕圆：与轴的两个交点分别为，，点为圆O 224x y +=x ()12,0A -()22,0A M 上一动点，过作轴的垂线，垂足为，点满足O M x N R 12NR NM =(1)求点的轨迹方程；R (2)设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，直线与交于点，试问：是否存在一个定点R C 1x my =+C P Q 1A P 2A Q S T ，当变化时，为等腰三角形m 2A TS （答案）(1)2214x y +=(2)存在，证明见解析 （解析） （分析）〔1〕设点在圆上，故有，设，依据题意得，，再代入圆()00,M x y 224x y +=22004x y +=(),R x y 0x x =012y y =即可求解；〔2〕先推断斜率不存在的情况；再在斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆联立224x y +=l 1x my =+得：，，，再依据题意求解推断即可. ()224230m y my ++-=12224m y y m -+=+12234y y m -=+(1)设点在圆上， ()00,M x y 224x y +=故有，设，又，可得，， 2204x y +=(),R x y 12NR NM =0x x =012y y =即，0x x =02y y =代入可得，22004x y +=()2224x y +=化简得：，故点的轨迹方程为：.2214x y +=R 2214x y +=(2)依据题意，可设直线的方程为，l 1x my =+取，可得，， 0m=P ⎛ ⎝1,Q ⎛ ⎝可得直线的方程为的方程为1APy x =+2AQ y x =-联立方程组，可得交点为；(14,S 假设，，由对称性可知交点，1,P ⎛ ⎝Q ⎛ ⎝(24,S 假设点在同一直线上，则直线只能为：上，S l 4x =以下证明：对任意的，直线与直线的交点均在直线：上. m 1A P 2A Q S l 4x =由，整理得 22114x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()224230m y my ++-=设，，则， ()11,P x y ()22,Q x y 12224m y y m -+=+12234y y m -=+设与交于点，由，可得 1A P l ()004,S y 011422y y x =++10162y y x =+设与交于点，由，可得， 2A Q l ()004,S y '022422y y x '=--20222y y x '=-因为 ()()()()122112102126123622222y my y my y y y y x x x x --+'-=-=+-+-， ()()()()()22121211121212464402222m mmy y y y m m x x x x ----+++===+-+-因为，即与重合， 00y y '=0S 0S '所以当变化时，点均在直线：上，m S l 4x =因为，，所以要使恒为等腰三角形，只需要为线段的垂直平分线即可，依据对称性()22,0A ()4,S y 2A TS 4x =2A T 知，点.()6,0T 故存在定点满足条件.()6,0T 8．〔2023·全国·模拟预测〕已知椭圆的离心率为，椭圆C 的左､右顶点分别为A ，B ，上顶点()2222:10x y C a b a b+=>>12为D ，.1AD BD ⋅=-(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为的动直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，是否存在定点P 〔直线l 不经过点P 〕，使得直线PM 与直线PN 12的倾斜角互补，假设存在这样的点P ，请求出点P 的坐标；假设不存在，请说明理由.（答案）(1)22143x y +=(2)存在，点P 的坐标为或31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭（解析） （分析）高考材料高考材料〔1〕利用数量积公式及离心率可得a ,b ,c 从而得到椭圆方程; 〔2〕设直线l 的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，由题意可得直线PM 与直线PN 的斜率之和为12y x m =+零，利用韦达定理化简可得结果. (1)设椭圆C 的焦距为2c ，由题意知，，，(),0A a -(),0B a ()0,D b 所以，，所以，解得. (),AD a b = (),BD a b =- 2221AD BD a b c ⋅=-+=-=- 1c =又椭圆C 的离心率为，所以，1222a c ==b ==故椭圆C 的方程为.22143x y +=(2)假设存在这样的点P ，设点P 的坐标为，点M ，N 的坐标分别为，，设直线l 的方程为()00,x y ()11,x y ()22,x y . 12y x m =+联立方程消去y 后整理得.221,4312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩2230x mx m ++-=，得，()222431230m m m ∆=--=->22m -<<有 12212,3.x x m x x m +=-⎧⎨=-⎩假设直线PM 与直线PN 的倾斜角互补，则直线PM 与直线PN 的斜率之和为零，所以 01020102010201021122y x m y x m y y y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+----()()()()()()()()()()010*********0102010222222222222y m x x x y m x x x y m x y m x x x x x x x x x ---+---⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=+=----()()()()()()()()()()20000012121200102010222223222222y m x m m mx y m x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+--++-+⎡⎤⎣⎦==----.()()()()()()()()0000000001020102462322323022x y y x m x y y x mx x x x x x x x -+--+-===----所以解得或0000230,230,x y y x -=⎧⎨-=⎩001,32x y =⎧⎪⎨=⎪⎩001,3.2x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩故存在点P 符合条件，点P 的坐标为或.31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭31,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭9．〔2023·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测〔文〕〕已知椭圆的两个焦点分别为和，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>1F 2F 上一点到和的距离之和为，且椭圆C 1F 2F 4C (1)求椭圆的方程；C (2)过左焦点的直线交椭圆于、两点，线段的中垂线交轴于点〔不与重合〕，是否存在实数，使1F l A B AB x D 1F λ恒成立？假设存在，求出的值；假设不存在，请说出理由.1AB DF λ=λ（答案）(1)2214x y +=(2)存在，λ=（解析） （分析）〔1〕由椭圆的定义可求得的值，依据椭圆的离心率求得的值，再求出的值，即可得出椭圆的方程； a c b C 〔2〕分析可知，直线不与轴垂直，分两种情况商量，一是直线与轴重合，二是直线的斜率存在且不为零，设l x l x l 出直线的方程，与椭圆方程联立，求出、，即可求得的值. l AB 1DF λ(1)解：由椭圆的定义可得，则，因为，则， 24a =2a=ce a ==c ∴=1b ==因此，椭圆的方程为.C 2214x y +=(2)解：假设直线与轴垂直，此时，线段的垂直平分线为轴，不符合题意； l x AB x 假设直线与轴重合，此时，线段的垂直平分线为轴，则点与坐标原点重合，lx AB y D 此时，1AB DF λ===假设直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，设点、，l l )0x my m =≠()11,Ax y ()22,B x y 联立可得， 2244xmy x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩()22410m y +--=，()()22212441610m m m ∆=++=+>由韦达定理可得， 12y y +=12214yy m =-+则()121222my y x x ++==所以，线段的中点为， AB M ⎛ ⎝高考材料高考材料所以，线段的垂直平分线所在直线的方程为，AB y m x ⎛=- ⎝在直线方程中，令可得y m x ⎛=-+ ⎝0y=x =故点，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()22414m m +=+因此，. ()221414m AB DF m λ+===+综上所述，存在，使得恒成立.λ=1AB DF λ=10．〔2023·河南安阳·模拟预测〔文〕〕已知椭圆上一个动点N 到椭圆焦点的距离的最2222:1(0)C bb x a a y +>>=(0,)Fc 小值是，且长轴的两个端点与短轴的一个端点B 构成的的面积为2．212,A A 12A A B △(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点．证明：直线与直线的交点T 在定直线4(0,)M -1A P 2A Q 上．（答案）(1)2214y x +=(2)证明见解析 （解析） （分析）〔1〕依据题意得到，再解方程组即可.22221222a c ab a b c ⎧-=⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩〔2〕首先设直线，，，与椭圆联立，利用韦达定理得到，.:4l y kx =-()11,P x y ()22,Q x y 12284k x x k +=+122124x x k =+，，依据，即可得到，从而得到直线与直线的交点1112:2PA y l y x x ++=2222:2QA y l y x x --=2123y y +=--1y =-1A P 2A Q T 在定直线上. 1y =-(1)由题知：，解得，即：椭圆22221222a c ab a b c⎧-=⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎩21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22:14+=y C x (2)设直线，，，，， :4l y kx =-()11,P x y ()22,Q x y ()10,2A -()20,2A . ()222214812044y x k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+-+=⎨⎪=-⎩，. 12284k x x k +=+122124x x k =+则，， 1112:2PA y l y x x ++=2222:2QA y l y x x --=则， ()()()()1212122212112122222266y x kx x kx x x y y y x kx x kx x x +--+===----因为， ()1212212342k kx x x x k ==++所以，解得. ()()12212121213232123293362x x x x x y y x x x x x +--+===---++-1y =-所以直线与直线的交点在定直线上.1A P 2A Q T 1y =-11．〔2023·安徽省舒城中学三模〔理〕〕已知椭圆，过原点的直线交该椭圆于，两点〔点在22:184x y Γ+=O ΓA B A x轴上方〕，点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．()4,0E AE C BE D高考材料高考材料(1)假设是短轴，求点C 坐标；AB Γ(2)是否存在定点，使得直线恒过点？假设存在，求出的坐标；假设不存在，请说明理由．T CD T T （答案）(1)；82(,)33(2)存在，.8(,0)3T （解析） （分析）〔1〕两点式写出直线，联立椭圆方程并结合韦达定理求出C 坐标； AE 〔2〕设有，联立椭圆求C 坐标，同理求坐标，商量、，推断直线恒过00(,)A x y 00:(4)4=--y AE y x x D 00x ≠00x =CD 定点即可. (1)由题设，，而，故直线为，(0,2)A ()4,0E AE 240x y +-=联立并整理得：，故，而，22:184x y Γ+=23840y y -+=83A C y y +=2A y =所以，代入直线可得，故C 坐标为.23C y =AE 284233C x =-⨯=82(,)33(2)设，则， 00(,)A x y 00:(4)4=--y AE y x x 由，故， ()00224428y y x x x y ⎧=-⎪-⎨⎪+=⎩2220202(4)8(4)+-=-y x x x 由韦达定理有， 20222222000000002220000020328(4)328(4)16(8)8(4)64242(4)22482481(4)C y x y x x x x x x x y x y x x x --------====-+--+-所以，故，同理得：，，00833C x x x -=-003C y y x =-00833D x x x +=+03D y y x -=+当时，取，则，同理， 00x ≠8(,0)3T 0000003383833TCy x yk x x x -==----003TD y k x =-故共线，此时过定点.,,T C D CD 8(,0)3T 当时，，此时过定点.00x =83C D x x ==CD 8(,0)3T 综上，过定点.CD 8(,0)3T 12．〔2023·广东茂名·二模〕已知圆O ：x 2+y 2＝4与x 轴交于点，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，(2,0)A -N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1＝4k 2．6(,0)5-（答案）(1)；2212x y +=(2)证明见解析. （解析） （分析）〔1〕运用相关点法即可求曲线C 的方程；( 2)首先对直线的斜率是否存在进行商量,再依据几何关系分别求出P 、Q 、S 三点的坐标，进而表示出直线AP ， AS l 的斜率，再依据斜率的表达式进行化简运算,得出结论. 12,k k (1)设N 〔x 0，y 0〕，则H 〔x 0，0〕， ∵N 是MH 的中点，∴M 〔x 0，2y 0〕，又∵M 在圆O 上，，2200(2)4y x +=∴即； 220014x y +=∴曲线C 的方程为：；2214x y +=(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：，65x =-假设点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则，6464(,),(,5555P Q ---直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称， ∴，64(,55S1244001551,,6642255APAS k k k k --======-++；124k k ∴=假设点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方，高考材料高考材料同理得：，646464(,(,(,555555P Q S ----，1244001551,6642255APAS k k k k ----===-∴===--++∴k 1＝4k 2；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：，6,5x my =-由与联立可得， 6,5x my =-2214x y +=221264(4)0525m m y y +--=其中，22144644(4)02525m m ∆=+⨯+⨯>设，则，则，1122(,),(,)P x y Q x y 22(,)S x y --1212221264525,44m y y y y m m -+==++∴ 112212112200,,2222AP AS k y y y y k k k x x x x ---======++-+-则121122121216()2542()5y my k y x k x y my y --=⋅=++，∴k 1＝4k 2. 121112212121112226464161616252554545444641216()4445525525454545my y y y y m m my y y y y m m y y m m m -----++====++---+⋅--+++13．〔2023·安徽·合肥市第八中学模拟预测〔文〕〕生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点射出的光线1F 经过椭圆镜面反射到上焦点，这束光线的总长度为42F 离心率e <(1)求椭圆C 的标准方程；(2)假设从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线上的M 、N 两点，假4y =设AB 连线过椭圆的上焦点，试问，直线BM 与直线AN 能交于肯定点吗？假设能，求出此定点：假设不能，请说2F 明理由.（答案）(1)22143y x +=(2)能，定点为〔0，〕85（解析） （分析）〔1〕由条件列方程求可得椭圆方程；,,a b c〔2〕联立方程组，利用设而不求法结论完成证明. (1)由已知可设椭圆方程为，22221(0)y x a b a b+=>>则，24a =122c b ⨯⨯=222ab c =+又e <所以，21a b c ===，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=(2)设AB 方程为，由，得， 1y kx =+221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22(34)690k x kx ++-=222(6)36(34)1441440k k k ∆=++=+>设，则.. ()()1122A x y B x y ，，，121222693434k x x x x k k --+==++由对称性知，假设定点存在，则直线BM 与直线AN 交于y 轴上的定点，由得，则直线BM 方程为， 114y y xx y ⎧=⎪⎨⎪=⎩1144x M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，211121444()4y xy x x y x y --=--令，则0x =122114(4)44x y y x y x -=+-()()112211414114x x kx x kx x ⎡⎤-+=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦112211234(1)4x kx x x x kx x -=+-+2121124()4x x x x kx x -=-+又， 12123()2x x kx x +=则，21212112214()4()83554()()22x x x x y x x x x x x --===-++-所以，直线BM 过定点〔0，〕，同理直线AN 也过定点.858(0,5则点〔0，〕即为所求点.8514．〔2023·全国·模拟预测〕设椭圆的右焦点为F ，左顶点为A ．M 是C 上异于A 的动点，过()222:10416x y C b b+=<<F 且与直线AM 平行的直线与C 交于P ，Q 两点〔Q 在x 轴下方〕，且当M 为椭圆的下顶点时，．2AM FQ =高考材料高考材料(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点S ，T 满足，，证明：平面上存在两个定点，使得T 到这两定点距离之和为定值． PS SQ = FS ST =（答案）(1)2116x =(2)证明见解析 （解析） （分析）〔1〕由向量的坐标运算用表示出点坐标，代入椭圆方程求得参数，得椭圆方程； ,b c Q b 〔2〕设，直线PQ 的斜率不为0，设其方程为，设．(), 0F c x m y c =+1122(,),(,)P x y Q x y 直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，利用向量相等的坐标表示求得点坐标，得出点坐标满足一个椭圆12y y +T T 方程，然后再由椭圆定义得两定点坐标． (1)当M 为椭圆的下顶点时，，则．(4,)AM b =- 12,22b FQ AM ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 设C 的焦距为2c ，则，即．2,2b Q c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭2,2b Q ⎫-⎪⎭因为Q 在C，解得．114=()22162b =-=则椭圆C 的标准方程为． 2116x =(2)设，直线PQ 的斜率不为0，设其方程为，设．(), 0F c x m y c =+1122(,),(,)P x y Q x y 联立直线PQ 和C 的方程，消x 得．()22220y ++-=，12y y +=1212()2x x m y y c +=++=由得S 为弦PQ 的中点，故． PS SQ = S由得S是线段FT 的中点，故．FS ST =T设T 的坐标为，则，，故(), xy x c =y c=，即，2211x y c c ⎛⎫⎫== ⎪⎪⎝⎭⎭221x c +=这说明T 在中心为原点，为长轴端点，为短轴端点的椭圆上运动，故T 到两焦点的(,0)c ±0,⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,0⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭距离之和为定值．代入得两焦点坐标为．(()4,0±-综上所述，平面上存在两定点，，使得T 到这两定点距离之和为定值．()4-()4-+15．〔2023·上海交大附中模拟预测〕已知椭圆是左、右焦点．设是直线上的一221214x y F F Γ+=：，，M ()2l x t t =>：个动点，连结，交椭圆于．直线与轴的交点为，且不与重合．1MF Γ()0N N y ≥l x P M P(1)假设的坐标为，求四边形的面积； M 58⎫⎪⎪⎭，2PMNF (2)假设与椭圆相切于且，求的值；PN ΓN 1214NF NF ⋅= 2tan PNF ∠(3)作关于原点的对称点，是否存在直线，使得上的任一点到N N '2F N 1F N '2F N 的方程和的坐标，假设不存在，请说明理由．2F N N（答案）(3)存在；； y x =126N ⎫⎪⎪⎭（解析） （分析）〔1〕依据点斜式方程可得，再联立椭圆方程得到，再依据求解1:MF l y x =12N ⎫⎪⎭2112PMNF PF M NF F S S S =-△△即可；〔2〕设，依据相切可知，直线与椭圆方程联立后判别式为0，得到，再依据，:()PN l y k x t =-2214k t =-1214NF NF ⋅=化简可得，再依据直角三角形中的关系求解的值即可；t =12N ⎫⎪⎭2tan PNF ∠〔3〕设，表达出，再依据列式化简可得，结合()00,N x y 2NF l 22O NF d -=2148k =k =和直线的方程N 2F N高考材料高考材料(1)由题意，，故()1F1MF k ==1:MF l y x =与椭圆方程联立 ，可得：，即，又由题意，故2214x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩213450x+-=(130xx +=N x >解得，故且x =12N ⎫⎪⎭121122NF F S =⋅=△11528PF M S ==△则 2112PMNF PF M NF F S S S =-△△(2)由于直线PN 的斜率必存在，则设:()PN l y k x t =-与椭圆方程联立，可得：2214()x y y k x t ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()22222148440k x k tx k t +-+-=由相切，，则 ()22216140k k t ∆=+-=2214k t =-同时有韦达定理，代入有，化简得，故 21228214N k t x x x k +==+2214k t =-2244414N t t x t -=+-4N x t =2222414N N x t y t -=-=而，解得 222122122134N N t NF NF x y t -⋅=+-==2t =>则，所以轴，故在直角三角形中，12N ⎫⎪⎭2NF x ⊥2PNF A 222tan PF PNF NF ∠===(3)由于N 与，与是两组关于原点的对称点，由对称性知N '1F 2F 四边形是平行四边形，则与是平行的，12F NF N '2NF 1N F '故上的任一点到的距离均为两条平行线间的距离d ．1F N '2F N 设，其中，易验证，当时，与之间的距离为()00,N xy 0(x ∈0=x 2NF 1N F 'k =则，即，2(:NF y l k x =0kx y -=发觉当时，，整理得 0≠x 22O NF d d -===221914k k =+2148k =代入，代入整理得，即由k =(220048y x =220014x y =-20013450x --=(00130x x -=于，所以，故0(x ∈0x=126N ⎫⎪⎪⎭k ==则的直线方程为 2F Nly x =16．〔2023·全国·模拟预测〔理〕〕已知椭圆：的右顶点为A ，上顶点为，直线的斜率为C ()222210x y a b a b+=>>B AB ，原点到直线O AB (1)求的方程；C (2)直线交于，两点，，证明：恒过定点.l C M N 90MBN ∠=︒l （答案）(1)22143x y +=(2)证明见解析 （解析） （分析）〔1〕题意得，依据AB 斜率，可得AB 的方程，依据点到直线距离公式，可求得a (,0),(0,)A a B b b a =值，进而可得b 值，即可得答案.〔2〕分析得直线l 的斜率存在，设，与椭圆联立，可得关于x 的一元二次方程，依据韦1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+达定理，可得表达式，进而可得、的表达式，依据，可得，依据数量1212,x x x x +12y y 12y y +90MBN ∠=︒0MB NB⋅=积公式，化简计算，可得m 值，分析即可得证 (1)由题意得，(,0),(0,)A aB b 所以直线AB 的斜率为b a =-b a =又直线AB的方程为， )y x a =-20y +=所以原点到直线的距离， O AB d 2a =所以.b =22143x y +=(2)由椭圆的对称性可得，直线l 的斜率肯定存在，设直线l 的方程为， 1122,(,),(,)y kx m M x y N x y =+联立方程，消去y 可得， 22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩222(34)84120k x kmx m +++-=所以， 21212228412,3434km m x x x x k k --+==++所以，， 22221212122312()34m k y y k x x km x x m k-=+++=+121226()234m y y k x x m k +=++=+高考材料高考材料因为，所以，90MBN ∠=︒MB BN ⊥因为，所以，B 1122(),()MB x y NB x y =-=--所以，22212121222241263123)30343434m m m k MB NB x x y y y y k k k --⋅=+++=++=+++ 整理得，解得或，2730m --=m=m =因为，所以B m 所以直线l 的方程为，得证y kx =0,⎛ ⎝17．〔2023·全国·模拟预测〔理〕〕已知椭圆的左、右焦点分别为，，，分别为左、2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F 1A 2A 右顶点，，分别为上、下顶点．假设四边形，且，，成等差数列． 1B 2B 1122B F B F 212F F 212B B 212A A (1)求椭圆的标准方程；C (2)过椭圆外一点(不在坐标轴上)连接，，分别与椭圆交于，两点，直线交轴于点．试P P 1PA 2PA C M N MN x Q 问：，两点横坐标之积是否为定值？假设为定值，求出定值；假设不是，说明理由． P Q （答案）(1)；22132x y +=(2)为定值，理由见解析. 32P Q x x =（解析） （分析）〔1〕应用菱形面积公式、等差中项的性质及椭圆参数关系求椭圆参数，写出椭圆标准方程.〔2〕由题意分析知，所在直线斜率均存在且不为0、斜率和差均不为0，设直线，联立椭圆求，1PA 2PA 1PA 2PA M 的坐标及点横坐标，应用点斜式写出直线，令求横坐标，即可得结论.N P MN 0y =Q (1)由题设知：，可得， 2222222844bc b a c a b c ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎩22321a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以椭圆标准方程为.22132x y +=(2)由题意，，所在直线斜率均存在且不为0、斜率和差均不为0，1PA 2PA 设为，联立椭圆方程整理得：， 1PA (y k x =22229(23)302k k x x +++-=所以1M A x x +=1A x =M x ==设为，联立椭圆方程整理得：，2PA (y m x =22229(23)302m m x x+-+-=所以， 2N A x x +=2Ax=N x =所以M y k=⋅=N y m =⋅=联立直线、可得：，1PA 2PA P x=直线为，令，则 MN2()[23m k y x km +=⋅-0y =Q x =所以为定值.32P Q x x ==18．〔2023·山西·太原五中二模〔文〕〕已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于和，2221x y +=1l 2l A B △C D △记得到的平行四边形的面积为．ACBD S (1)设，用的坐标表示点到直线的距离，并证明； ()()1122,,,A x y C x y A C △C 1l 12212S x y x y =-(2)请从①②两个问题中任选一个作答 ①设与的斜率之积，求面积的值．1l 2l 12-S ②设与的斜率之积为．求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变．1l 2l m m 1l 2l S （答案）(1)(2)见解析 （解析） （分析）〔1〕商量和，分别写出直线的方程，由距离公式即可求得点到直线的距离，由面积公式即可证明10x ≠10x =1l C 1l ；12212S x y x y =-〔2〕假设选①，设出直线和的方程，联立椭圆求出的坐标，结合〔1〕中面积公式求解即可；假设选②，设1l 2l A C △出直线和的方程，联立椭圆求出的坐标，结合〔1〕中面积公式得到的表达式，平方整理，由含的项1l 2l A C △S 42,k k 系数为0即可求解. (1)高考材料高考材料当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为10x ≠1l 11y y x x =C 1l d当时，直线的方程为：，则点到直线的距离为，也满足10x =1l 0x =C 1l 2d x =d 则点到直线；因为C 1l2AB AO ==则；21211222S AB d x x x y y y =⋅=--=(2)假设选①，设，设，直线与椭圆联立可得1122121:,:,2l y k x l y k x k k ===-()()1122,,,A x y C x y 1l 12221y k x x y =⎧⎨+=⎩，()221121k x+=同理直线与椭圆联立可得，不妨令，则2l ()222121k x +=120,0x x >>11x y =，22x y====则122S x y x =-假设选②，设，设，直线与椭圆联立可得，则12:,:m l y kx l y x k ==()()1122,,,A x y C x y 1l 2221y kx x y =⎧⎨+=⎩()22121k x +=，212112x k =+同理可得，则2222221212k x k m m k ==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭1221121221222m m x x x kx k x k S y x x k x y =-=-=-⋅⋅⋅，两边平方整理得1222m m k x x k k ==-⋅，()24222222224(48)240Sk S S m m k m S m -++++-=由面积与无关，可得，解得，故时，无论与如何变动，面积保持不S k 2222240480S S S m m ⎧-=⎨++=⎩12S m ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12m =-1l 2l S 变．19．〔2023·福建·厦门一中模拟预测〕已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，，A B 2222:1(0)x y C a b a b+=>>||AB =直线的斜率为.AB 12-(1)求椭圆的方程；(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，．证明： //l AB x y M N C D 〔i 〕的面积等于的面积；OCM A ODN △〔ii 〕为定值．22||||CM MD +（答案）(1)2214x y +=(2)〔i 〕证明见解析；〔ii 〕证明见解析 （解析） （分析）〔1〕依据，，由，直线的斜率为求解；(,0)A a (0,)B b ||AB =AB 12-〔2〕设直线的方程为，得到，，与椭圆方程联立，依据，l 12y x m =-+(2,0)M m (0,)N m 11|2|||2=A OCM S m y ，利用韦达定理求解. 21||||2=A ODN S m x 2222221122||||(2)(2)CM MD x m y x m y ∴+=-++-+(1)解：、是椭圆的两个顶点，A B 22221(0)x y a b a b+=>>且，直线的斜率为，||AB =AB 12-由，，得 (,0)A a (0,)B b ||AB ==又，解得，， 0102b b k a a -==-=--2a =1b =椭圆的方程为； ∴2214x y +=(2)设直线的方程为，则，，l 12y x m =-+(2,0)M m (0,)N m 联立方程消去，整理得．221214y x m x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 222220x mx m -+-=， 得22248(4)3240m m m ∆=--=->28m <设，，，．1(C x 1)y 2(D x 2)y高考材料高考材料，．122x x m ∴+=21222x x m =-所以， 11|2|||2=A OCM S m y 21||||2=A ODN S m x 则有 112222|2||2|||1||||||-====A A OCMODNS y m x x Sx x x 的面积等于的面积；OCM ∴A ODN A ，，2222221122||||(2)(2)CM MD x m y x m y ∴+=-++-+2222221112221144()44()22x mx m x m x mx m x m =-++-++-++-+， ()()221212125551042x x x x m x x m =+--++ . ()2222552210102m m m m =---+5=20．〔2023·北京市第十二中学三模〕已知椭圆过点2222:1(0)x y M a b a b +=>>(2,0)A (1)求椭圆M 的方程；(2)已知直线在x 轴上方交椭圆M 于B ，C 〔异于点A 〕两个不同的点，直线AB ，AC 分别与y 轴交于点P ､(3)y k x =+Q ，O 为坐标原点，求的值.()k OP OQ +（答案）(1)22142x y +=(2) 45（解析） （分析）〔1〕直接由点坐标及离心率求得椭圆方程即可；A 〔2〕联立直线与椭圆求得，再表示出直线AB ，AC 的方程，求得P ､Q 坐标，再计算2212122212184,2121k k x x x x k k --+==++即可.()k OP OQ +(1)由题意知：，则椭圆M 的方程为；2,c a a ==c =2222b a c =-=22142x y +=(2)联立直线与椭圆，整理得，22(3)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222221121840k x k x k +++-=，()()422214442118440160k k kk ∆=-+-=-+>即在x 轴上方交椭圆M 于B ，C〔异于点A 〕两点，则 k <<(3)y k x =+0k <<设，则，，， 1122(,),(,)B x y C x y 1222,22x x -<<-<<2212122212184,2121k k x x x x k k --+==++1122(3),(3)y k x y k x =+=+易得直线AB ，AC 斜率必定存在，则，令，得，则，同理可得11:(2)2y AB y x x =--0x =11202y y x =>-112(0,)2y P x -，且， 222(0,2y Q x -22202y x >-则()()()()()112121212223222222()(32)22k x x y y x x x k x k x OP x OQ k k -++⎛⎫+==⋅⎪⎝⎭+-+----. 222212122212122218412422442()242121184122()4242121k k k k k kx x k x x k k k k k k k x x x x k k ---⋅-⋅+--++++=⋅=⋅---++-⋅+++45=高考材料高考材料。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．32C ．12D ．12．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =3．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ） A ．3B 3C ．13-D ．134．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,23M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ．25B ．45C ．15D ．235．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．2)C ．(3,)+∞D ．3)6．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．9167．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（ ）A 3B ．23C 23D 438．设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．2121B ．22121C ．42121D 219．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||3||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（ ） A ．61⎛- ⎝⎦B ．62]C ．231⎤⎥⎝⎦D ．31]10．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 11．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．25[B ．5[C ．2[31] D ．[31,1)12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B ．32C ．13D ．233二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.15．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.16．如图，直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为________.17．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b 取最大值时，双曲线C 的方程为________.18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有一点22(,)22M ，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，且2BFO BFMS S∆=，则椭圆C 的离心率为________20．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,9)M m 到其焦点的距离为10． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，①设()11,A x y ，求点P 的横坐标； ②求||||AP BQ ⋅的取值范围．22．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．（Ⅰ）证明：00ny t +=； （Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）23．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.24．在平面直角坐标系中，动点M 到点(2,0)F 的距离和它到直线52x =的距离的比是常25（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若过点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交动点M 的轨迹于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知双曲线C 过点(3，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.26．如图，过抛物线24y x =的焦点F 任作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，AB 与x 轴不垂直，且点A 位于x 轴上方.AB 的垂直平分线与x 轴交于D 点.（1）若2,AF FB =求AB 所在的直线方程； （2）求证：||||AB DF 为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】解：由3c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程． 【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =， 则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =， 所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===， 因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．3．C解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-, 11()123m m +-=⇒=-， 故选C.4．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则334y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭， 过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=， 所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B.【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=， 点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=， 即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=， 所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034122x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.7．D解析：D 【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论． 【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440yky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以3||3k =， 又||1OF =，所以OPQ △的面积S =121143||||18||223OF y y k ⋅-=⨯⨯=． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．8．C解析：C 【分析】如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=23m n -，平方得：22212m n mn +-=，在12F PF △中利用余弦定理可得：2228m n mn ++=，即可得到163mn =，再利用等面积法即可求得PD 【详解】由题意，双曲线22134x y -=中，2223,4,7a b c === 如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=223m n a -= 两边平方得：22212m n mn +-=在12F PF △中，由余弦定理可得：2222cos120428m n mn c +-==，即2228m n mn ++=两式相减得：316mn =，即163mn = 利用等面积法可知：11sin120222mn c PD =⨯⨯，即1632732PD ⨯=⨯ 解得42121PD = 故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左，右焦点，点P 为椭圆上的一点，且12F PF θ∠=，则椭圆焦点三角形面积122tan2F PF Sb θ=（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点，且12F PF θ∠=，则双曲线焦点三角形面积122tan2F PF b Sθ=9．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m =+的取值范围， 进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==， 所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由11QF PF ≥，可得13mn≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦， 即()2224232c a c <≤-，所以，()22222a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e -<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率， 即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解 属于中档题10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为11225O l d -==，圆C 面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．A解析：A 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==. 【详解】 如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形， 又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥， 所以平行四边形'AFBF 为矩形， 所以'2AB FF c ==， 设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=， 又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈， 所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2225123c b e a a ==-⎣⎦，所以离心率的取值范围是25⎣⎦， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b --+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--， 所以22212b a =，即2a b =，所以c e a ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB方程为3)34y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析：3π或23π 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】 由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k =， 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π．故答案为：3π或23π． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．15．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为：【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ， 因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以e =故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.16．【分析】设点将直线的方程与抛物线的方程联立求得点的坐标进而可得出的坐标由此可计算得出梯形的面积【详解】设点并设点在第一象限由图象可知联立消去得解得或所以点因此梯形的面积为故答案为：【点睛】本题考查抛 解析：48【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求得点A 、B 的坐标，进而可得出P 、Q 的坐标，由此可计算得出梯形APQB 的面积. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点A 在第一象限，由图象可知12x x >，联立234y x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，得21090x x -+=，解得19x =，21x =，1196x y =⎧∴⎨=⎩或2212x y =⎧⎨=-⎩， 所以点()9,6A 、()1,2B -、()1,6P -、()1,2Q --，10AP ∴=，2BQ =，8PQ =，因此，梯形APQB 的面积为()()10284822AP BQ PQ S +⋅+⨯===.故答案为：48. 【点睛】本题考查抛物线中梯形面积的计算，解题的关键就是求出直线与抛物线的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得a 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M处的切线与直线y =垂直，则(012x ⨯=-，解得0x =，则200143x y ==，所以，点M的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭， 抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<， 当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==， 因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=， 则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =， 由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=， 则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.19．【分析】由题意可得直线的方程求出到直线的距离且求出的值求出的面积及的面积再由题意可得的关系进而求出椭圆的离心率【详解】由题意可得直线的方程为：即所以到直线的距离因为所以而因为所以整理可得：整理可得解解析：22【分析】由题意可得直线BF 的方程，求出M 到直线BF 的距离，且求出|BF |的值，求出BFM 的面积及BFO 的面积，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】由题意可得直线BF 的方程为：1x yc b+=，即0bx cy cb +-=， 所以M 到直线BF 的距离2222||12|(21)|222ab bc bc b a c d ab c +---==+，因为22||BF b c a =+=， 所以12||[(21)]24BFMS BF d b a c ==--， 而12BFOSbc =， 因为2BFOBFMSS=，所以122[(21)]24bc b a c =--， 整理可得：[(21)]c a c =--， 整理可得2a c =，解得22e =， 故答案为：22【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===， 故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.三、解答题21．（1）24x y =；（2）①112x ；②[2，)+∞． 【分析】（1）可得抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，即可得抛物线的方程； （2）①设:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，可得21111:()42x PA y x x x -=-，令0y =即得解；②||AP =||BQ =||||AP BQ ⋅的取值范围．【详解】（1）已知(9,)M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到其准线的距离为10． 抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=， 解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =．（2）①由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为(0,1)F ，则:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得，2440x kx --=， 124x x k ∴+=，124x x =-．由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且12y x '=，则21111:()42x PA y x x x -=-．令0y =，解得112x x =，11(,0)2P x ∴，②||AP．同理可得，||BQ∴||||AP BQ ⋅=20k ，||||AP BQ ∴⋅的取值范围为[2，)+∞．【点睛】方法点睛：解析几何里的最值范围问题常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅21n n =--，1n ≤-或1n ≥.【分析】（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00x nt y -=消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立， 若00y ≠，因为直线:l x ty n =+1=，整理得到：221n t =+，又00x ty n =+，故()222022121x n nx n n y y --+=+=， 整理得到2200120nx n x -+=即01nx =，而2000000000011x x x n x x y t ny y y y x ---====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ．联立2x ty ny x=+⎧⎨=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-．由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，而240t n ∆=+>，故2410n n +->即2n <-2n >- 故1n ≤-或1n ≥.而1020||||PA PB y y ⋅=--()()221201201t y y y y y y =+-++()22222220021t t t t t n ty y n n t n n n n n n--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭222211n n n n n n--=-++21n n =--，其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.23．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2. 【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k +，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可. 【详解】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x = 所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=， 所以212236k x x k ++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k +同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-，当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时2222333636122MNkk k k k k k k +-==++--所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=--即29()12k y x k -=--， 所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.24．（1）2215x y +=；（2）存在定点5,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得,,P B Q 三点共线．【分析】（1）设(,)M x y=化简可得结果；（2）联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理得1212,x x x x +，椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上，设(,0)Q t ，根据//PB PQ 列式，结合1212,x x x x +可求出52t =. 【详解】（1）设(,)M x y=，化简得2215x y +=故动点M 的轨迹方程为2215x y +=．（2）由题知(2,0)F 且直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为(2)y k x =- 由22(2)15y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(51)202050k x k x k +-+-=设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++， 由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上故假设存在定点(,0)Q t ，使得,,P B Q 三点共线，则//PB PQ 且11(,)P x y - 又212111(,),(,).PB x x y y PQ t x y =-+=-211211()()()x x y y y t x ∴-=+-，即211121()(2)(4)()x x k x k x x t x --=+-- 化简得12122(2)()40x x t x x t -+++=将2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++式代入上式得2222205202(2)405151k k t t k k -⨯-+⨯+=++ 化简得52t =故存在定点5(,0)2Q ，使得,,P B Q 三点共线． 【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上是解题关键.25．（1）2214x y -=；（2）存在；23(,0)8Q ；27364QM QN ⋅=. 【分析】（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入双曲线方程得应用韦达定理得12y y +，12y y ，计算QM QN ⋅，并代入12y y +，12y y ，利用此式与m 无关可得t （如果得不出t 值，说明不存在）．【详解】（1）∵双曲线C过点，且渐近线方程为12y x =±， ∴22163112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得221,4b a ==， ∴双曲线的方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t联立方程组22141x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得()224230m y my -+-=，∴240m -≠，且()2241240m m ∆=+->，解得23m >且24m ≠， 设()11,M x y ，()22,N x y ， ∴12122223,44m y y y y m m +=-=---， ∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()22221212121222232441111444m m m x x my my m y y m y y m m m +=++=+++=--+=---- 22044m =--- ∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=--=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+⋅-+=-++----为常数，与m 无关. ∴8230t -=， 解得238t =．即23(,0)8Q ，此时27364QM QN ⋅=．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线民双曲线相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法：即设直线方程，设交点坐标，直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理，然后计算QM QN ⋅（要求定值的量），利用它是关于参数m 的恒等式，求出定点坐标．26．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由于直线l 斜率不为0，(1,0)F ，所以设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意可得120,0y y ><，然后直线方程和抛物线方程联立，消去x ，再利用韦达定理结合2,AF FB =可求出t 的值，从而可得AB 所在的直线方程；（2）设AB 中点为(),N N N x y ，则由（1）可得2122,212N N y y y t x t +===+，从而可得AB 中垂线()2:221l y t t x t -=---'，求出点()223,0D t +，进而可求出DF 的长，再利用两点间的距离公式可求出AB 的长，从而可求得||||AB DF 的值【详解】解：（1）直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+， 设()()1122,,,A x y B x y ，因为A 点在x 轴上方，所以120,0y y ><由214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --= 12124,4y y t y y ∴+==-()()11221221,21,2AF FB x y x y y y =⇒-=-∴-=由1211224824y y t y ty y y t ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎪⎩⎩代入124y y =-因10y >，所以0t >，解得t =所以AB所在直线方程为0y --= （2）设AB 中点为(),N N N x y()22122,2121,22N N y y y t x t N t t +∴===+∴+ 所以AB 中垂线()()22:22123,0l y t t x t D t -=---+'∴22||23122DF t t ∴=+-=+(||AB ====244t =+22||442||22AB t DF t +∴==+(定值) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，解题的关键是利用设而不求的方法，设出直线方程和交点坐标，然后将直线方程和抛物线的方程联立，消元，再利用韦达定理，然后结已知条件求解即可，考查计算能力，属于中档题。
高考数学压轴题突破训练——圆锥曲线(含详解)
（Ⅰ）若当点P的坐标为 时, ,求双曲线的方程；
（Ⅱ）若 ,求双曲线离心率 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
15. 若F 、F 为双曲线 的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线的左支上，点M在右准线上，且满足； .
（1）求该双曲线的离心率；
（Ⅱ）若直线 与（Ⅰ）中所求点Q
的轨迹交于不同两点F，H，O是坐标原点，
且 ，求△FOH的面积的取值范围。
18. 如图所示，O是线段AB的中点，|AB|＝2c，以点A为圆心，2a为半径作一圆，其中 。
（1）若圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离，建立适当坐标系，求动点P的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线；
（2）D分有向线段 的比为 ，A、D同在以B、C为焦点的椭圆上，
当 ―5≤ ≤ 时，求椭圆的离心率e的取值范围．
29.在直角坐标平面中， 的两个顶点 的坐标分别为 ， ，平面内两点 同时满足下列条件：
① ；② ；③ ∥
（1）求 的顶点 的轨迹方程；
（2）过点 的直线 与（1）中轨迹交于 两点，求 的取值范围
由 消去 得： ①
，
而
由方程①知 ＞ ＜
， ＜ ＜ ， .
7.解：解：令
则 即
即
又∵ ∴
所求轨迹方程为
（Ⅱ）解：由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为
则
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB
∴ 得
所求直线方程为 …
8.解：（I）由题意，抛物线顶点为（－n，0），又∵焦点为原点∴m＞0
高考数学压轴题突破训练：圆锥曲线
1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A，点B、D在直线l1上(B、D 位于点A右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M是该平面上的一个动点，M在l1上的射影点是N，且|BN|=2|DM|.
圆锥曲线专练-动点在定直线上-含答案
动点在定直线上10题
1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，若点()12,2P ，()20,2P ，(3P -，(4P 中恰有三点在椭圆C 上．
(1)求C 的方程；
(2)点F 是C 的左焦点，过点()4,0M -且与x 轴不重合的直线l 与C 交于不同的两点A ，B ，求证：ABF △内切圆的圆心在定直线上．
2．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222
:
=1(0) x y C a b a b +>>的长轴长为4，且经过点()b ，其中e
为椭圆C 的离心率．(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设椭圆C 的左、右顶点分别为,A B ，直线l 过C 的右焦点F ，且交C 于,M N 两点，若直线AM 与BN 交于点T ，求证：点T 在定直线上．
3．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左､右顶点分别为1A ，2A ，离心率为2，点
2P ⎛ ⎝⎭
在椭圆C 上.
(1)求椭圆C 的方程.
(2)若过点()2,0B 且斜率不为0的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，试判断点G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由.
4．已知()()1,0,1,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为6.
(1)求点P 的轨迹T 的方程.
(2)已知点()()()3,0,2,0,2,0N E F --，直线PN 与曲线T 的另一个公共点为Q ，直线EP 与FQ 交于点M ，试问：当点P 变化时，点M 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.。
(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试(含答案解析)
一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线0x y -+=与椭圆C 相交于不同的两点A B 、，若P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为12-，则椭圆C 的方程为（ ） A ．22132x y +=B ．22143x y +=C ．22152x y +=D ．22163x y +=2．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于C ，D 两点，记椭圆E 的离心率为e ，直线l 的斜率为k ，若C ，D 恰好是线段AB 的两个三等分点，则（ ） A ．221k e -=B ．221k e +=C ．2211e k-= D ．2211e k+= 3．已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左､右焦点分别为1F ，2F ，过2F 直线与椭圆C 交于M ，N 两点，设线段1NF 的中点D ，若10MD NF ⋅=，且12//MF DF ，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．13B C ．12D ．24．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2223x y -+=截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．3B ．2C D5．过抛物线22y px =焦点(1,0)F 的直线l 与抛物线交于,A B 两点，且(1)AF mFB m =>，25||4AB =，则m =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．56．设抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过F 的直线与C 于,A B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则AOB 的面积为（ ）A ．22B 2C ．322D ．327．已知椭圆C 的焦点为()12,0F -，()22,0F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点，若222AF F B =，1AB BF =，则C 的方程为（ ） A ．221124x y +=B ．2211612x y +=C ．221128x y +=D ．2212016x y +=8．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ） A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(1,23C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[2,23]9．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，()1221,2i i M F M F a i -==，且1M ，2F ，2M 三点共线，点D 在线段21M F 上，且1121F M D M M D ∠=∠1112122M F M F M D +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．22y x =±B ．2y x =C ．3y x =D ．3y x =10．己知直线l 过抛物线y 2=4x 的焦点F ，并与抛物线交于A ，B 两点，若点A 的纵坐标为4，则线段AB 的长为（ ） A ．253B ．496C ．436D ．25411．已知过双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左焦点F 作圆222x y a +=的切线FT ，交双曲线右支于点P ，点P 到x 轴的距离恰好为34b ，则双曲线离心率为（ ）A ．2273+ B ．273+ C ．53D ．212．已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点F 在y 轴正半轴上．若点F 到双曲线222:126x y C -=的一条渐近线的距离为2，则1C 的标准方程是（ ）A ．2833y x =B ．21633y x =C ．28x y =D ．216x y =二、填空题13．若A ､B ､C 是三个雷达观察哨，A 在B 的正东，两地相距6km ，C 在A 的北偏东30°，两地相距4km ，在某一时刻，B 观察哨发现某种信号，测得该信号的传播速度为1km /s ，4s 后A ､C 两个观察哨同时发现该信号，在如图所示的平面直角坐标系中，指出发出了这种信号的点P 的坐标___________.14．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0a >，0b >)的两条渐近线与直线1x =-所围成的三角形的面积为4，则双曲线C 的离心率为________.15．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>，直线x b =与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，过A 作圆222:(2)M x b y b ++=的切线，D 为其中一个切点若||||AD AB =，则C 的离心率为__________．16．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 且与x 轴垂直的直线与双曲线C 和双曲线C 的一条渐近线分别相交于P ，Q 两点（P ，Q 在同一象限内），若P 为线段QF 的中点，且3||PF =，则双曲线C 的标准方程为_________． 17．已知椭圆222:1(06)6x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．18．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与抛物线交于两点11(,)P x y ，22(,)Q x y .①抛物线24y x =焦点到准线的距离为2； ②若126x x +=，则8PQ =；③2124y y p =-；④过点P 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线为点A ，则直线AQ 平行于 抛物线的对称轴；⑤绕点(2,1)-旋转且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线至多有2条. 以上结论中正确的序号为__________.19．如图所示，已知M ，N 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上关于原点对称的两点，点M与点Q 关于x 轴对称，2516ME MQ =，直线NE 交双曲线右支于点P ，若2NMP π∠=，则e =_____________．20．直线AB 过抛物线24y x =的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点，且线段AB 的中点的横坐标是3，则直线AB 的斜率是_____________.三、解答题21．已知点M ⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上，且点M 到C 的左，右焦点的距离之和为4． （1）求C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若C 的弦AB 的中点在线段OM （不含端点,O M ）上，求OA OB ⋅的取值范围．22．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 分别作直线MA 、MB 交椭圆于A B 、两点，设两直线MA 、MB 的斜率分别为12k k 、，且128k k +=，探究：直线AB 是否过定点，并说明理由．23．已知直线:1l y kx =+过抛物线()2:20E x py p =>的焦点，且与抛物线E 交于A 、B 两点，点M 为AB 中点.（1）求抛物线E 的方程；（2）以AB 为直径的圆与x 轴交于C 、D 两点，求MCD △面积取得最小值时直线l 的方程.24．已知抛物线()2:20C y px p =>，直线()0y kx k =>与C 交于点A (与坐标原点O不重合)，过OA 的中点P 作与x 轴平行的直线l ，直线l 与C 交于点,Q 与y 轴交于点.R （1）求PR QR；（2）证明:直线AR 与抛物线C 只有一个公共点. 25．过平面上点P 作直线11:2l y x =，21:2l y x =-的平行线分别交y 轴于点M ，N 且228OM ON +=.（1）求点P 的轨迹C 方程；（2）若过点()0,1Q 的直线l 与轨迹C 交于A ，B 两点，若AOB S △l 的方程.26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，A ，B 为椭圆的左、右顶点，点()0,2N -，连接BN 交椭圆C 于点Q ，ABN 为直角三角形，且:3:2NQ QB = （1）求椭圆的方程；（2）过A 点的直线l 与椭圆相交于另一点M ，线段AM 的垂直平分线与y 轴的交点P 满足154PA PM ⋅=，求点P 的坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】设出,A B 两点的坐标，代入椭圆方程，作差变形，利用斜率公式和中点坐标可求得结果. 【详解】设(,0)F c -，因为直线0x y -+=过(,0)F c -，所以00c --+=，得c =所以2223a b c -==， 设1122(,),(,)A x y B x y ，由22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得2222121222x x y y a b --=-，得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+， 因为P 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，所以1212(,)22x x y y P ++，1212121212202OP y y y y k x x x x +-+===-++-，所以221222122(2)ABy y b b k x x a a-==-⋅-=-， 又,A B在直线0x y -+=上，所以1AB k =，所以2221b a =，即222a b =，将其代入223a b -=，得23b =，26a =，所以椭圆C 的方程为22163x y +=.故选：D 【点睛】方法点睛：本题使用点差法求解，一般涉及到弦的中点和斜率问题的题目可以使用点差法，步骤如下：①设出弦的两个端点的坐标；②将弦的两个端点的坐标代入曲线方程； ③作差变形并利用斜率公式和中点坐标公式求解.2．B解析：B【分析】首先利用点,C D分别是线段AB的两个三等分点，则211222x xyy=-⎧⎪⎨=⎪⎩，得1112ykx=⋅，再利用点差法化简得2212214y bx a=，两式化简得到选项.【详解】设()11,A x y，()22,B x y，,C D分别是线段AB的两个三等分点，()1,0C x∴-，10,2yD⎛⎫⎪⎝⎭，则112,2yB x⎛⎫-⎪⎝⎭，得211222x xyy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，1121121131232yy y ykx x x x-===⋅-，利用点差法22112222222211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()1212121222x x x x y y y ya b+-+-+=，整理得到2212214y bx a=，即222222244b a ck ka a-=⇒=，即221k e+=故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键利用三等分点得到211222x xyy=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，再将斜率和离心率表示成坐标的关系，联立判断选项.3．B解析：B【分析】由10MD NF ⋅=得1MD NF ⊥，结合D 是中点，得等腰三角形，由平行线可得2F 是MN 中点，从而MN x ⊥轴，利用勾股定理可得,a c 的关系得离心率． 【详解】因为10MD NF ⋅=，所以1MD NF ⊥，又D 是1NF 中点，所以1MF MN =， 因为12//MF DF ，所以2F 是MN 中点，则22MF NF =，因此MN x ⊥轴， 设2MF m =，则12MF m =，1232MF MF m a +==，23am =， 在12MF F △中，由勾股定理得22242()()(2)33m m c +=，变形可得c e a ==． 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是确定,,a b c 的等式．解题方法是由向量的数量积得出垂直后，根据三角形的性质得1MF N 的性质（实质上它是等边三角形），特别是MN x ⊥轴，然后结合椭圆定义利用勾股定理可得．4．D解析：D 【分析】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中bk a=±，利用圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理可求得k的值，再利用e =可求得双曲线C 的离心率e 的值. 【详解】设双曲线C 的渐近线方程为y kx =，其中b k a=±， 圆()2223x y -+=的圆心坐标为()2,0，半径为r =圆心到直线y kx =的距离为d =另一方面，由于圆的半径、渐近线截圆所得弦长的一半、弦心距三者满足勾股定理，可得d ===，解得1k =±，1ba∴=， 因此，双曲线C的离心率为c e a ===== 故选：D. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a 、c 的值，根据离心率的定义求解离心率e 的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.5．C解析：C 【分析】由焦点得2p =，设直线代入抛物线方程结合韦达定理以及已知条件利用弦长公式求得参数值. 【详解】∵焦点(1,0),2F p ∴=，抛物线方程式为24y x =．设直线l 的方程为1(0)x y λλ=+>，代入抛物线方程，得2440y y λ--=．设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得124y y =-．由AF mFB =，得12y my =-．解得21y y ==-21y y ==121,x m x m ∴==．12125||2,44AB x x p m m m ∴=++=++=∴=． 故选：C ． 【点晴】方法点晴：解直线与圆锥曲线位置问题时，通常使用设而不求思想，结合韦达定理运算求解相关参数.6．C解析：C 【分析】根据抛物线的定义和性质，可以求出A 的坐标，再求出直线AB 的方程，可求出点B 的坐标，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到AOB 的面积． 【详解】抛物线24y x =的焦点为(1,0)F ，准线方程为1x =-， 不妨设A 在第一象限，设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，||3AF =，所以A 到准线1x =-的距离为3，113x ∴+=，解得12x =，1y ∴=，∴直线AB 的斜率为21=-∴直线AB 的方程为1)y x =-，由2422(1) y xy x⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理可得22520x x-+=，解得12x=，212x=当212x=时，22y=-，因此AOB的面积为：1211113||||||||12122222222 AOB AOF BOFS S S OF y OF y=+=+=⨯⨯+⨯⨯=．故选：C.【点睛】方法点睛：与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 7．C解析：C【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理，结合221cos cos0AF O BF F∠+∠=列方程可解得a，b，即可得到椭圆的方程．【详解】22||2||AF BF=，2||3||AB BF∴=，又1||||AB BF=，12||3||BF BF∴=，又12||||2BF BF a+=，2||2aBF∴=，2||AF a∴=，13||2BF a=，12||||2AF AF a+=，1||AF a∴=，12||||AF AF∴=，A∴在y轴上．在Rt2AF O 中，22cos AF O a∠=，在12BF F △中，由余弦定理可得22221316()()822cos 2242a a a BF F a a +--∠==⨯⨯． 221cos cos 0AF O BF F ∠+∠=，可得22802a a a -+=，解得212a =．2221248b a c =-=-=．椭圆C 的方程为：221128x y +=．故选：C ． 【点睛】方法点睛：用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.8．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．9．B解析：B 【分析】先取11M F 的中点E ，由题意分析12M F DE 为菱形，得到()()222442c a a =-，从而求出渐近线方程. 【详解】由()1221,2i i M F M F a i -==知：M 1、M 2在双曲线上. 取11M F 的中点E ，连接DE ，2DF ，由111211111222,22,M F M F M D M F M D M F +=∴=-，即112122,M F F D F DE M =∴=,可知四边形12MF DE 为平行四边形；又1M D 为112F M F 的角平分线，故四边形12M F DE 为菱形，1212M E F M F D DE ===又21//DE M M 故D 为线段21M F 的中点； 因为211//DF M F ，故2F 为线段12M M 的中点， 故1222M F F M =； 所以21112M F M F =由双曲线的定义：11122M F M F a -=，所以21114,2M F a M F a == 而12M M x ⊥轴，故222121112F F M F M F =-， 故()()222442c a a =-，故==ce a， 故双曲线C的渐近线方程为y = 故选B ． 【点睛】求双曲线的渐近线的方法:（1）直接令标准方程22221x y a b-=中的1变成0,得到22220x y a b -=,利用平方差公式得到渐近线方程: bxy a=±； （2）根据题意，找到找到a 、b 、c 的关系，消去c ，从而求出渐近线方程.10．D解析：D 【分析】首先利用,,A F B 三点共线，求点B 的坐标，再利用焦点弦长公式求AB . 【详解】4y =时，1644x x =⇒=，即()4,4A ，()1,0F ，设2,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，利用,,A F B 三点共线可知24314y y =-，化简得2340y y --=，解得：1y =-或4y =（舍）当1y =-时，14x =，即()4,4A ，1,14B ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 所以121254244AB x x p =++=++=. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交，焦点弦问题，重点是求点B 的坐标.11．A解析：A 【分析】由P 点到x 轴距离（即纵坐标）求出其横坐标，写出直线FP 的方程，然后由原点到切线的距离等于半径可得,,a b c 的等式，变形后可得离心率． 【详解】如图P 在第一象限，因为点P 到x 轴的距离恰好为34b ，即34P y b =，代入双曲线方程得229116P x a -=，解得54Px a =，所以53,44P a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (,0)F c -，直线FP 方程为34()54by x c a c =++，化简得3(54)30bx a c y bc -++=，又直线FP 与圆222x y a +=相切，a =，345bc a a c=+人，变形为4293440160e e e ---=，22(342)(348)0e e e e ++--=，因为1e >，所以23420e e ++>，所以23480e e --=，e =去）． 故选：A ． 【点睛】思路点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的齐次等式，本题中由点P 到x 轴的距离恰好为34b ，得出P 点坐标，从而可得直线FP 方程，由圆心到切线的距离等于半径可得所要关系式，从而转化为离心率e 的方程，解之可得．12．D解析：D 【分析】先根据双曲线的方程求解出双曲线的渐近线方程，再根据点到直线的距离公式求解出抛物线方程中的p ，则抛物线方程可求. 【详解】双曲线2C 的渐近线方程是22026x y -=，即y =.因为抛物线的焦点()0,02p F p ⎛⎫> ⎪⎝⎭0y -=的距离为2，2=，即8p =，所以1C 的标准方程是216x y =，故选：D ． 【点睛】方法点睛：求解双曲线方程的渐近线方程的技巧：已知双曲线方程22221x y a b-=或22221y x a b -=，求解其渐近线方程只需要将方程中的“1”变为“0”，由此得到的y 关于x 的一次方程即为渐近线方程. 二、填空题13．【分析】转化条件为点在线段的垂直平分线上再结合双曲线的定义可得点在以､为焦点的双曲线的左支上联立方程即可得解【详解】由题意点即则线段的中点为直线的斜率所以线段的垂直平分线的斜率所以线段的垂直平分线的解析：(-【分析】转化条件为点P 在线段AC 的垂直平分线上，再结合双曲线的定义可得点P 在以A ､B 为焦点的双曲线的左支上，联立方程即可得解. 【详解】由题意，点()3,0A ，()3,0B -，()34cos60,4sin 60C +即(5,C ， 则线段AC的中点为(，直线AC的斜率AC k ==， 所以线段AC的垂直平分线的斜率3k =-， 所以线段AC的垂直平分线的方程为)43y x =--即33y x =-+， 设(),P x y ，由PA PC =可得点P 在线段AC 的垂直平分线上，又46PA PB AB -=<=，所以点P 在以A ､B 为焦点的双曲线的左支上，该双曲线的方程为()221245x y x -=≤-，所以22145233x y x y x ⎧-=⎪⎪⎪≤-⎨⎪⎪=-+⎪⎩，解得8x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩. 所以点P的坐标为(-.故答案为：(-. 【点睛】 关键点点睛：解决本题的关键是对条件的转化，转化条件为点P 为线段AC 的垂直平分线与双曲线左支的交点，运算即可得解.14．【分析】求出双曲线的渐近线方程求解时的值然后求解三角形的面积推出离心率即可【详解】双曲线的渐近线方程为将代入中解得故故故双曲线的离心率故答案为：【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1【分析】求出双曲线的渐近线方程，求解1x =-时，y 的值，然后求解三角形的面积，推出离心率即可． 【详解】双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a=±，将1x =-代入b y x a =±中，解得by a=±， 故12142ba =，故4b a=，故双曲线C 的离心率c e a ===．【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出,a c 的值再代离心率的公式求解）；（2）方程法（根据已知找到关于离心率的方程再解方程得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.15．【分析】将代入C 的渐近线方程可得点坐标利用两点间的距离根式可求导根据勾股定理可得再由可得代入即可【详解】将代入C 的渐近线方程得则不妨假设半径为因为是圆的切线所以即则因为所以即故故答案为：【点睛】本题解析：4【分析】将x b =代入C 的渐近线方程可得A 点坐标，利用两点间的距离根式可求导||AM ．根据勾股定理可得||AD ，再由||||AD AB =可得2238b a =，代入e =即可． 【详解】将x b =代入C 的渐近线方程ay x b=±，得y a =±，则||2AB a =． 不妨假设(),A b a ， (2,0)M b -，半径为b DM =， 222||(2)AM b b a =++，因为AD 是圆的切线，所以222||AD DMAM +=，即则22222||(2)8AD b b a b b a =++-=+．因为||||AD AB =，所以2282b a a +=，即2238b a =，故22221b e a =+=． 故答案为：224.【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查直线与圆的位置关系，关键点是用,,b a c 表示||||AD AB =，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.16．【分析】根据题意结合双曲线性质可知结合整理求得结果【详解】根据题意可知因为P 为线段QF 的中点所以又因为联立解得所以双曲线C 的标准方程为：故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问解析：2213x y -=【分析】根据题意，结合双曲线性质，可知22bc b a a =，233b a =，结合222c a b =+，整理求得结果. 【详解】根据题意，可知233b PF a ==， 因为P 为线段QF 的中点，所以2QF PF =，又因为bcQF a =，联立2222232b abc b a a c a b ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ==， 所以双曲线C 的标准方程为：2213x y -=.故答案为：2213x y -=.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关双曲线方程的求解问题，解题思路如下： （1）根据题意，明确量之间的关系；（2）利用题中条件，建立关于,,a b c 之间的关系，结合222c a b =+，求得,a b 的值，得到结果.17．①③【分析】运用椭圆的定义可得也在椭圆上分别画出两个椭圆的图形即可判断①正确；通过的变化可得②不正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时的值取得最小即可判断③【详解】解：椭圆的两个焦点分别为解析：①③ 【分析】运用椭圆的定义可得P 也在椭圆222166y x b+=-上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；通过b 的变化，可得②不正确；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，||OP 的值取得最小，即可判断③．【详解】解：椭圆222:1(06x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F ，0)和2(F 0)，短轴的两个端点分别为1(0,)B b -和2(0,)B b ，设(,)P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212||||||||PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，12||||22PB PB a b +==>，即有P 在椭圆222166y x b+=-上． 对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称，故①正确；对于②，由图象可得轨迹关于x ，y 轴对称，且06b <<，则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，故②不正确；对于③，点P 靠近坐标轴时(0b →或6)b →，||OP 越大，点P 远离坐标轴时，||OP 越小，所以226b b -=，即23b =时，取得最小值，此时22:163x yG +=，与22163y x += 两方程相加得22222222x y x y +=⇒+=，即||OP 的最小值为 2，故③正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断．18．①②④【分析】焦点到准线的距离为即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线方程与抛物线方程联立利用韦达定理可判断③；求出两点坐标计算斜率即可判断④；时与抛物线只有一个交点设过点的直线为与抛解析：①②④ 【分析】焦点到准线的距离为p 即可判断①；利用焦点弦的弦长公式即可判断②；设出直线PQ 方程与抛物线方程联立，利用韦达定理可判断③；求出,A Q 两点坐标，计算AQ 斜率即可判断④；1y =时与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--，与抛物线方程联立，利用0∆=求出k 的值，即可得出有一个公共点的直线条数，可判断⑤，进而可得正确答案. 【详解】抛物线2:4C y x =可得2p =，()1,0F对于①：抛物线24y x =焦点为()1,0F ，准线l 为1x =-，所以焦点到准线的距离为2，故①正确；对于②：根据抛物线的对义可得：121286222p px x x P p Q x +++=++=+==， 对于③：设直线PQ 方程为：1x ky =+与2:4C y x =联立可得2440yky --=，可得124y y =-，因为2p =，所以2124y y p ≠-，故③不正确；对于④：11(,)P x y ，所以OP ：11y y x x = ，由111y y x x x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩可得11y y x =-， 所以111,y A x ⎛⎫--⎪⎝⎭，因为22(,)Q x y ，124y y =- 解得：214y y -=，所以214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为11(,)P x y 在抛物线2:4C y x =上，所以2114y x =，所以21114x y =，1114y x y -=-所以141,A y ⎛⎫--⎪⎝⎭，因为214,Q x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0AQ k =，所以//AQ x 轴，即直线AQ 平行于抛物线的对称轴，故④正确；对于⑤：1y =时，显然与抛物线只有一个交点，设过点(2,1)-的直线为2x ky k =--， 由224x ky k y x=--⎧⎨=⎩可得：24480y ky k -++=，令()2164480k k ∆=-+= 可得2k =或1k =-，故过点(2,1)-且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线有3条.，故⑤不正确， 故答案为：①②④ 【点睛】结论点睛：抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线22y px =()0p >的焦点F 的弦，若()11,A x y ，()22,B x y ，则：（1）2124p x x =，212y y p =-；（2）若点A 在第一象限，点B 在第四象限，则1cos p AF α=-，1cos pBF α=+，弦长1222sin pAB x x p α=++=，（α为直线AB 的倾斜角）； （3）112||||FA FB p+=； （4）以AB 为直径的圆与准线相切； （5）以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切.19．【分析】设利用点差法得到即可求出离心率；【详解】解：设则由得从而有又所以又由从而得到所以所以故答案为：【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)常见有两种方解析：54【分析】设()()1122,,,M x y P x y 利用点差法得到22PM PN b k k a⋅=，即可求出离心率； 【详解】解：设()()1122,,,M x y P x y ，则()()1111,,,N x y Q x y ---．由2516ME MQ =，得1117,8E x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而有11119,16MN PN ENy y k k k x x ===-，又1190,MN yNMP k x ∠==，所以11MP x k y =-， 又由()()()()22112212121212222222221111x y a bx x x x y y y y ab x y a b ⎧-=⎪⎪⇒+-=+-⎨⎪-=⎪⎩， 从而得到22PM PNb k k a⋅=所以211211991616PM PN x y b k k y x a ⎛⎫⋅=-⋅-== ⎪⎝⎭，所以54e ==．故答案为：54【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．20．1或【分析】根据抛物线方程得到设直线方程为与抛物线方程联立得：再根据线段的中点的横坐标为3求得即可得到直线斜率【详解】因为直线AB 过抛物线的焦点F 且与抛物线交于AB 两点所以斜率不为0设直线AB 方程为解析：1或1- 【分析】根据抛物线方程，得到()1,0F ，设直线方程为1x my =+，与抛物线方程联立得：2440y my --=，再根据线段AB 的中点的横坐标为3，126x x +=，求得m ，即可得到直线斜率. 【详解】因为直线AB 过抛物线24y x =的焦点F (1,0)且与抛物线交于A 、B 两点， 所以斜率不为0，设直线AB 方程为1x my =+，与抛物线方程联立得：2440y my --=， 由韦达定理得：12124,4y y m y y +=⋅=-， 所以()21212424223x x m y y m +=++=+=⨯，解得1m =±所以直线的方程为1x y =±+， 所以1AB k =±. 故答案为：1或1-三、解答题21．（1）2214x y +=；（2）861,540⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）本小题根据已知条件直接求出2a =，1b =，再求出椭圆方程即可.（2）本小题先设A 、B 两点，再将OA OB ⋅转化为只含m 的表达式，最后根据m 的范围确定OA OB ⋅的范围，即可解题. 【详解】解：（1）∵点M ⎭在椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）上，∴222112a b +=，又∵24a =， ∴ 2a =，1b =.∴椭圆C 的方程：2214x y +=；（2）设点A 、B 的坐标为11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在线段OM 上，且12OM k =，则12122()x x y y +=+，又221112x y +=，222212x y +=，两式相减得()()()()1212121202x x x x y y y y -++-+=， 易知120x x -≠，120y y +≠，所以()1212121212y y x xx x y y -+=-=--+，则1AB k =-. 设AB 方程为y x m =-+，代入2214xy +=并整理得2258440x mx m -+-=.由216(5)0m ∆=->解得25m <，又由(12425x x m +=∈，则0m <<. 由韦达定理得1285m x x +=，2124(1)5m x x -⋅=，故OA OB ⋅1212x x y y =+()()1212x x x m x m =+-+-+ ()212122x x m x x m =-++ ()22281855m m m -=-+285m =-又∵. 04m <<∴OA OB ⋅的取值范围是861,540⎛⎫- ⎪⎝⎭． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．（1）22184x y +=；（2）直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，理由见解析【分析】（1）通过点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，12F MF △是等腰直角三角形，可求得,a b ，从而可求椭圆方程；（2）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程代入椭圆方程，利用韦达定理及128k k +=，可得直线AB 的方程，从而可得直线AB 过定点；若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，求出直线AB 的方程，即可得到结论.【详解】（1）由点(0,2)M 是椭圆的一个顶点，可知2b =， 又12F MF △是等腰直角三角形，可得a =，即a =28a =，24b =所以椭圆的标准方程为22184x y +=；（2）若直线AB 的斜率存在，设AB 方程为y kx m =+，依题意2m ≠±，联立22184y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4280k x kmx m +++-=由已知0∆>，设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得：2121222428,1212km m x x x x k k --+==++， 128k k +=12221211212222y y kx m k k k x m x x x x -+-+-=+=+-∴+ 12212121142(2)()2(2)2(2)828x x km k m k m k m x x x x m +-=+-+=+-=+-=- 42kmk m ∴-=+，整理得122m k =- 故直线AB 方程为122y kx k =+-，即122y k x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；若直线AB 的斜率不存在，设AB 方程为0x x =，设0000(,),(,)A x y B x y -， 由已知得0000228y y x x ---+=，解得012x =-， 此时直线AB 方程为12x =-，显然过点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭；综上，直线AB 过定点1,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】方法及易错点睛：对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和椭圆方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系对题目条件进行化简计算，从而可得出结论，另外设直线方程时常常不要忽略斜率是否存在的问题．23．（1）24x y =；（2）1y =. 【分析】（1）求出抛物线E 的焦点坐标，将焦点坐标代入直线l 的方程，求出p 的值，即可求得抛物线E 的方程；（2）设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立直线l 与抛物线E 的方程，求出点M 的坐标，求出点M 到CD 的距离以及CD ，可得出MCD △的面积的表达式，利用函数的单调性可求得MCD △面积的最小值，进而可求得对应的直线l 的方程. 【详解】（1）抛物线2:2E x py =的焦点为0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭在:1l y kx =+上，12p ∴=，2p ∴=，所以，抛物线E 的方程为24x y =； （2）设()11,A x y 、()22,B x y ，由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩得2440x kx --=，所以，212121616044k x x k x x ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩， 则AB 中点()22,21Mk k +，()21241AB x k =-==+，所以，以AB 为直径的圆M 的半径()221r k=+，M 到CD 的距离221d k=+，CD ==((221221212MCD S k k ∴=⨯⨯+=+△，令()20k t t =≥，则(21MCDSt =+[)0,+∞单调递增.当0t =时，即0k =时，MCD Sl 的方程为1y =.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 24．（1）2 ；（2）证明见解析. 【分析】（1）联立直线()0y kx k =>与抛物线方程可得点A 坐标，由中点坐标公式可得点P 坐标，进而可得直线l 的方程与抛物线联立可得Q 点坐标，计算PQPR x QR x =即可求解； （2）利用A 和R 两点坐标求出直线AR 的方程，与抛物线方程联立消去x 得到关于y 的一元二次方程，由0∆=即可求证. 【详解】（1）联立方程22,y kx y px =⎧⎨=⎩，可得：2220k x px -=，解得222p x k p y k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以222,p p A k k ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为P 是OA 的中点，所以2,.p p P k k ⎛⎫⎪⎝⎭ 直线:p l y k =，点0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭将p y k =代入22y px =，得2,.2p p Q k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以2222PQpPR x k p QR x k ===. ()2因为222,p p A k k ⎛⎫⎪⎝⎭，0,R p k ⎛⎫⎪⎝⎭所以直线AR 的方程为2k py x k=+， 与22y px =联立消去x 得222440k y pky p -+=， 因为222216440p k p k ∆=-⨯⨯=， 所以直线AR 与抛物线C 只有一个公共点. 【点睛】方法点睛：判断直线与曲线的位置关系可联立直线与曲线的方程消去y 得关于x 的一元二次方程，由判别式0∆>可得直线与曲线相交，由判别式0∆=可得直线与曲线相切，判别式∆<0可得直线与曲线相离.25．（1）221164x y +=；（2）112y x =±+.【分析】（1）首先设点()00,P x y ，利用平行线的性质求点,M N 的坐标，代入228OM ON +=，求点P 的轨迹方程；（2）由（1）可知，轨迹C 方程221164x y +=，直线:1l y kx =+与椭圆方程联立，利用公式1212AOBS OQ x x =⋅-△表示面积，求直线的斜率.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
椭圆小题1．已知12F F ,为椭圆C ：22198x y +=的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，12EF EF ⋅的最大值、最小值分别为（ ）A ．9,7B ．8,7C ．9,8D ．17,82．若椭圆的短轴为AB ,一个焦点为1F ,且1ABF △为等边三角形的椭圆的离心率是( )A ．14B C ．2D ．123．已知12,F F 分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，若过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（）A 1B ．2-C ．2D ．24．椭圆192522=+y x 的焦点1F 2F ，P 为椭圆上的一点，已知21PF PF ⊥，则△21PF F 的面积为（ ）A ． 12B ．10C ．9D ．85．已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于B A ,两点，若△2ABF 是正三角形，则这个椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．32 C ．33D ．23 6．若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），直线y=3x+7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为（ ）A ．2211220x y += B ．221412x y += C ．221128x y += D ．221812x y += 7．设椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为（ ）． A ．63 B ．31 C ．21D ．33 8．△ABC 的两个顶点为A(-4,0)，B(4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹为 ( ) （A ）192522=+y x (y ≠0) （B ）192522=+x y (y ≠0)（C ）191622=+y x (y ≠0)（D ）191622=+x y (y ≠0)9．已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点， ,M N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k )0(21≠k k ，若椭圆的离心率为23,则||||21k k +的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3 D ．210．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y += 11．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为A ．34 B ．23C ．12D ．4512．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ） 的焦点相同且12a a >．给出如下四个结论： ①圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点；②1122a b a b >； ③22212221b b a a -=-； ④1212a ab b -<-．其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③13．如图，从椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1,又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP ，则椭圆的离心率为（ ）A ．12B 5C 2D 3 14．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 126||F F ，则椭圆C 的离心率e = A 2 B 3 C 2 D 315．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F 3O 且倾斜角为π3的直线l 与椭圆E 相交于A 、B 两点，若△AFB 的周长为813413+，则椭圆方程为．16．椭圆()012222＞＞b a by a x =+的左、右焦点分别为21,F F ，若椭圆上存在点P 使线段1PF与以椭圆短轴为直径的圆相切，切点恰为线段1PF 的中点，则该椭圆的离心率为17．圆222(0)x y r r +=>经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点12,F F ，且与该椭圆有四个不同交点，设P 是其中的一个交点，若12PF F ∆的面积为26，椭圆的长轴长为15，则a b c ++=（c 为半焦距）.18．如图所示，已知椭圆C ：24x ＋y 2＝1，在椭圆C 上任取不同两点A ，B ，点A 关于x轴的对称点为A ′，当A ，B 变化时，如果直线AB 经过x 轴上的定点T(1，0)，则直线A ′B 经过x 轴上的定点为________．19．在平面直角坐标系xOy 中，以椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)上的一点A 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的一个焦点，与y 轴相交于B 、C 两点，若△ABC 是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值围是________．20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆2222x y a b+＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一个交点为D ，若cos ∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为________．21．已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A ,两点，且线段AB 的中点在直线02=-y x 上，则此椭圆的离心率为_______22．设椭圆2212516x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2OM OP DF =+，则||OM =．参考答案1．B 【解析】试题分析：由题意可知椭圆的左右焦点坐标为)0,1(),0,1(21F F -，设),(y x E ，则),1(),,1(21y x EF y x EF --=---=，所以791988112222221+=-+-=+-=⋅x x x y x EF EF )33(≤≤-x ， 所以当0=x 时，21EF EF⋅有最小值7，当3±=x 时，21EF EF ⋅有最大值8，故选B ． 考点：1．椭圆的定义及几何性质；2．向量的坐标运算．2．B 【解析】试题分析：因为椭圆的短轴长为2b ，11AF BF a ==，所以2232,3,.2c a b c a b b e a ==-=∴== 考点：1．椭圆的性质；2．离心率．3．A 【解析】试题分析：如图，易知2MF c=，122F F c=，12MF MF ⊥，故13MF c =，所以有1232MF MF c c a +=+=，可解得离心率．∵12F F ，分别是椭圆的左，右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M N ， ，过1F 的直线1MF 是圆2F 的切线，∴2MF c =，122F F c = ，12MF MF ⊥，∴13MF c =，∴()2331a c c c =+=+，∴椭圆的离心率3311c e a ===-+．故选：A ．考点：椭圆的离心率．4．C 【解析】试题分析：21PF PF ⊥所以2P π∠=，由焦点三角形面积公式得2tan9tan 4592S b θ==⨯=考点：椭圆焦点三角形 5．C 【解析】试题分析：设2ABF ∆的边长为2x ，则2ABF ∆的高线长为3x ，由椭圆的定义可知223a x x x =+=，且23c x =，所以离心率33c e a ==．故C 正确． 考点：椭圆的简单几何性质． 6．D 【解析】试题分析：椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，2），所以椭圆的焦点在y 轴上，且422=-b a ，故能排除A ，B ，C 答案为D.考点：求椭圆的方程. 7．D ． 【解析】试题分析：根据题意，作出示意图（如图所示）在21F PF Rt ∆中，02130=∠F PF ；设m PF 21=，则m F F m PF 3,212==；由椭圆的定义，得m F F c m PF PF a 32,322121===+=，则椭圆的离心率为3322==a c e ．考点：椭圆的定义、直角三角形．8．A 【解析】试题分析：由题意可知8,18AB AB CA CB =++=,可得10CA CB AB +=>.由椭圆的定义可知点C 的轨迹是以()()4,0,4,0A B -为焦点的椭圆但去掉长轴两个端点.此时210,4a c ==,所以2225,9a b a c ==-=.所以点C 的轨迹方程为()221,0259x y y +=≠.故选A.考点：1椭圆的定义;2定义法求轨迹方程. 9．A 【解析】试题分析：设)(),,(),,(a x a y x N y x M <<--，则a x y k +=1，ax y k --=2，因椭圆的离心率为23，所以2112=-=e a b =-++=+x a y a x y k k ||||2112)1(2222222222==--=-≥a b x a a x b x a y 考点：椭圆及最值10．D 【解析】试题分析：由焦点(3,0)F 可知2239c a b =∴-=，设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程后两式相减得222a b =2218,9a b ∴==，所以方程为221189x y += 考点：1．椭圆方程；2．直线与椭圆相交的中点弦问题 11．A 【解析】试题分析：由题意可知122333222224c F F F P c a c c a e a ⎛⎫=∴=-∴=∴== ⎪⎝⎭考点：椭圆离心率 12．B 【解析】试题分析：因为椭圆1C 和椭圆2C 的焦点相同且12a a >．，所以22221122a b a b -=-，1212a a b b >∴>，，∴①③正确；又22221212a a b b -=-，112200a b a b >>>>，，∴④正确，故选B ．考点：椭圆的简单性质． 13．C 【解析】试题分析：根据题意可知，2(,)b P c a ，因AB ∥OP ，可知ABOP k k ,可得2b baca，整理得b c ，所以选C ． 考点：椭圆的离心率． 14．A 【解析】试题分析：设椭圆C 的的焦距为2()c c a <，由于直线AB 的方程为0ax by ab +-=，所以=，因222b a c =-，所以42243720a a c c -+=，解得222a c =或223a c =（舍），所以2e =，故答案为A. 考点：椭圆的简单几何性质.15．2214x y += 【解析】试题分析：由离心率为2可得2a b =，椭圆方程可化为：2224x y a +=，将:l y =代入得||13A x a =，由椭圆对称性，△AFB 的周长=2||24||A a AB a x +=+，可得2a =．故椭圆方程为2214x y +=． 考点：直线与椭圆． 16．试题分析：设线段1PF 的的中点为M ，则OM b =，由OM 是12F PF 的中位线，22122OM PF PF b ∴=⇒=，再由椭圆的定义可得111122,2PF a b MF PF a b =-==- 在1Rt OMF 中，()()222222222223499a b b c a b c a b a b a c -+==+⇒=⇒==-可得3e =考点：椭圆的离心率17．13【解析】试题分析：依题意作图，易求a=152；利用椭圆的定义与直径三角形△F1PF2即可求得c=112，从而可求得b，继而可得a+b+c的值．考点：椭圆的定义与性质.18．(4，0)【解析】设直线AB的方程为x＝my＋1，由22141xyx my⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得(my＋1)2＋4y2＝4，即(m2＋4)y2＋2my－3＝0.记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，且y1＋y2＝－224mm+，y1y2＝－234m+，当m≠0时，经过点A′(x1，－y1)，B(x2，y2)的直线方程为121y yy y++＝121x xx x--.令y＝0，得x＝2121x xy y-+y1＋x1＝2121my myy y-+y1＋my1＋1＝2212112121my y my my y myy y－＋＋＋＋1＝12212my yy y＋＋1＝2232424mmmm⋅+-+－＋1＝4，所以y＝0时，x＝4.当m＝0时，直线AB的方程为x＝1，此时A′，B重合，经过A′，B的直线有无数条，当然可以有一条经过点(4，0)的直线．当直线AB为x轴时，直线A′B就是直线AB，即x轴，这条直线也经过点(4，0)．综上所述，当点A，B变化时，直线A′B经过x轴上的定点(4，0)．19．2⎛⎝⎭【解析】由题意得，圆半径r ＝2b a ，因为△ABC 是锐角三角形，所以cos 0＞cos 2A ＝cr＞cos4π，即＜c r ＜1，所以＜22ac a c －＜1，即＜1ee-＜1，解得e∈2⎛⎝⎭.20．1225【解析】由cos ∠F 1BF 2＝725得cos ∠OBF 2＝45＝b a ，进一步求得直线BD 的斜率为－43，由2222431y x b x y a b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝－＋，+＝⇒222229()16y b b y a b －－＝⇒925y b y b ＋＝－－，∴直线CD 的斜率为9412325325()4y b y b x y b ⎛⎫⎛⎫⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＋＋＝－＝－－＝－. 21．22 【解析】试题分析：直线1+-=x y 与02=-y x 的交点为)31,32(M ，点)31,32(M 即为,A B 中点，设1+-=x y 与12222=+by a x 的交点分别为),(),,(2211y x B y x A ，所以121242,33x x y y +=+=。