有关动点的线段和的最小值问题

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1　概述

由动点产生的线段和最小值问题，是中学数学中常见的问题之一，这类问题在现实生活中具有实际意义，形式变化多样，做法灵活。针对此类问题，具体方法大致分为两种：一是几何的方法，通过化归思想，将复杂变化的问题转化为我们熟悉的已知的简单问题，也即通过一系列几何变换将各条线段转化到同一条直线上，运用两点之间线段最短或垂线段最短求解，主要手段是化折为直；二是代数的方法，根据已知题意，建立坐标系或者引入变量将各条线段表示出来再将其相加就得到一个一元函数，通过求函数的最小值就求解问题，主要手段是建立函数模型。这两种方法各有优点，可配合使用，第一种方法简单易行，但技巧性强，特别是化折为直的方法要求具有一定的几何思维能力。第二种方法略显繁琐，特别是当所求线段为多条时，确定的函数模型形式复杂，导致函数最值不易求得，然而其不需要太强的技巧能力，对某些毫无思路的问题使用较多。介于篇幅，本文只对该问题用几何方法加以研究。

2　类型一：两点在直线异侧

如图1，点C和点D是直线AB异侧的两点，求AB 上一点P，使得PC+PD的和最小。因为连结两点的所有曲线，折线和线段中只有直线段是最短的，所以

直接连结CD，与直线AB的交点即为所求的点P。此类型中可以不止AB一条直线，只要C，D在各条直线异侧即可，那么此时连结CD与各条直线的交点就是

满足要求的各个动点。

图1

3　类型二：两点在直线同侧

图2

如图2，点C和点D是直线AB同侧的两点，求AB 上一点P，使得PC+PD的和最小。

类型一是我们熟悉的已知的简单问题了，因此这道题我们只需将其转化为上面的类型一即可。作C点关于直线AB的对称点C＇，连结C＇D与直线AB的交点即为所求的点P。这是一道典型的化折为直的题目，把线段PC转化到与PD在同一条直线上，运用两点之间线段最短即可确定P的位置。类型二是类型一

有关动点的线段和的最小值问题

陈　刚

（兰州交通大学附属中学，甘肃 兰州 730070）

摘要：

文章先从初中数学中常见的两种基本类型入手，然后引申变形出各种不同的形式，针对每种形式通过对称变换将与动点有关的折线段化折为直，最后回归到两种常见的基本类型上去求解问题。 关键词：

动点；对称点；化折为直；垂线段中图分类号：

G634 文献标识码：A 文章编号：1009-2374（2012）30-0135-042012年第30期（总第237期）NO.30.2012

（CumulativetyNO.237）

的简单引申，类型一才是此类问题的最基本原型。

我们将类型二做简单的引申就得到了以下几种有关动点线段和的最小值问题。

3.1　单动点问题

例1：如图3所示，圆O的半径为a，点A，B，C 都在圆O上，OA垂直于OB，∠AOC=60°，P是OB上一

动点，求PA+PC的最小值。

图3 图4

解析：P为OB上一动点，点A和点C在直线OB同侧，因此本题可看成是类型二的简单变形。因此只需做点C关于直线OB的对称点C＇，连结AC＇与直线OB的交点即为满足要求的P点，如图4所示，所以PA+PC=AC＇，连结OC＇，在△AOC＇中，由于∠COB=90°—∠AOC=30°，所以∠AOC＇=120°，

可以计算出AC＇=。单动点问题较简单，我们着重研究两动点问题。

3.2　两动点问题

例2：如图5，在△A B C中，A B=

4，

∠BAC=45°，其角平分线交BC与点D，M，N分别为

AD和AB上的动点，求BM+MN的最小值。

图5 图6

解析：为化折为直，将此题转化为类型二的情形，假定点N为不动点，作点N关于AD的对称点N＇，连结BN＇与AD的交点即为满足要求的点M，也即BM+MN的最小值为BN＇，即BM+MN的最小值可以转化为B到线段AC上一点的距离，因为点到直线垂线段最短，以过B作BN＂⊥AC于N＂，与AD的交点即为满足要求的M，再做N＂关于AD的对称点就是满足要求的点N，如图6，此时BM+MN的最小值即为AC上的

高BN＂的长度。因为AB=4，∠BAC=45°，所以

BM+MN的最小值为4。

图7 图8

图9

例3：如图7，边长为a的正方形ABCD中，E，F 为AD，AB的中点，P，Q分别为FD和BD上的动点，求PE+PQ的最小值。

解析：此题有很大的陷阱，大多数粗心的学生容易犯以下错误：要使PE+PQ最小，只要PE最小，再使PQ最小，自然它们的和也最小，根据垂线段最短，所以先过点E作FD的垂线垂足为P，再过点P作BD的垂线垂足为Q，这样分别求出PE和PQ的长度再相加即可，如图8所示。这是大部分学生易犯的错误，这是因为忽略了PE和PQ的相关性，并不能用它们的最短长度的简单叠加，只有它们相互独立的时候才能叠加求最小和，正如高等数学里所说的无穷多个无穷小量的和并不一定是无穷小量。针对此题，因为点P所在的线段FD夹在E所在线段AD和Q所在线段BD之间，所以点E与BD上任一点（D除外）连线必与FD相交，因此很明显过点E作BD的垂线垂足即为满足要求的Q，与FD的交点即为所求的P。

现证明如下：不妨在图8中作E Q＇垂直B D于Q＇，连结EQ，如图9所示，在△EPQ中，根据两边之和大于第三边，EP+PQ＞EQ，在RT△EQQ＇中，EQ为斜边，所以有EQ＞EQ＇，即EP+ PQ＞EQ＇，即点E到BD的垂线段的长即为PE+PQ的最小值，垂足即为所求的点Q，与FD的交点即为所求的点P。所以

PE+PQ的最小值为。

例4：如图10，矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E为CD的中点，P，Q是BC上的动点，且PQ=3，求四

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边形APQE的最小周长。

图10 图11

解析：很明显要求四边形APQE的最小周长，因为点E为CD的中点，所以AE和PQ是确定的，所以只需使得AP+QE最小即可，很自然的方法是用代数的方法设QC或者BP为未知量，建立函数模型，然后求最小值即可，然本文介于篇幅只对几何方法作探讨，代数方法暂且不做论述。此题和例3有所不同，此题中的P，Q两点虽都是在线段BC上运动的动点，但是AP和QE是不连接的线段，且PQ为定长，这是与前面所讨论的情况所不一样的。

我们做此类题的手段主要是化折为直，往类型一或者类型二上转化，因此我们作E点关于C的对称点E＇，将同侧的点化为异侧，为化直做准备，假定Q为定点，连结E＇Q，再过E＇作E＇F//PQ且E＇F=PQ，则四边形PFE＇Q为平行四边形，此时PF=QE＇=QE，因此只需调整Q的位置，使PF和AP在同一条直线上即可，此时就达到了化折为直的效果，此时的AF的长度即为AP+QE的最小值。

图11就是按上述分析做出的满足要求的图，此时A，P，F共线，PFE＇Q为平行四边形那么有∠CQE＇=∠APB，所以RT△E＇CQ≈RT△ABP，所

以有

设CP=X，则，解得X=3，所

以AP=10，QE=5，所以四边形APQE的最小周长为

（18+4）。

例5：如图12，∠AOB=45°，P为∠AOB内一定点，且OP=10，Q，R是OA，OB上的动点，求△PQR的

最小值。

图12 图13

解析此题是求三条折线段PQ+QR+RP的和的最小

值，与前面所述均不一样，但处理方法仍然一样，

目的都是化折为直，把三条折线统一到一条线上，

因此我们分别作P关于OA和OB的对称点C，D，此时

就把该题化成了类型一中的多条直线的形式，根据

两点之间线段最短，连结CD与OA，OB的交点即为所

求的Q，R。此时△PQR的最小值即为CD的长度。

下面我们来求解周长的最小值，图13是上述

方法所做出的，因为点C点D分别为点P关于OA，

OB的对称点，所以OC=OD=OP=10，∠COA=∠AOP，

∠POB=∠DOB，又∠AOB=∠AOP+∠POB=45°，所以

∠COD=90°，CD=10

，即△PQR的最小值为10。

此题中定点P的位置没有特殊要求，只要在角

的内部且OP为定长即可，因为求解中没有涉及P的

位置问题，故此题也可以把P改为角的内部动点，

结果不受影响。将例5进一步引申我们得到例6。

图14 图15

例6：如图14，∠AOB=60°，M，N为∠AOB内部

两定点，且满足OM=ON=6，∠MON=30°，P，Q分别

为OA，OB上两动点，求四边形MPQN的最小周长。

解析：此题中的M，N可以看成是例5中单点P的

引申，因为M，N为定点，OM=ON，∠MON=30°，所

以在等腰三角形中，MN=2OM×sin15°，故四边形

MPQN的最小周长也就是求三条折线段PM，PQ，QN的

和的最小值，由例5得到启发，可以通过相似的方

法化折为直，最后转化为类型一的形式，因此可以

分别作点M关于OA的对称点M＇，点N关于OB的对称

点N＇，然后连接M＇N＇，与OA的交点即为P，与OB

的交点即为Q，此时PM+PQ+QN的最小值即为M＇N＇

的长度。

按照上述做法得到图15，因为∠AOB=60°，

∠MON=30°，M＇和M关于OA对称，N和N＇关于OB

对称，所以∠AOM＇=∠AOM，∠BON＇=∠BON，

O M＇=O M=O N=O N＇=6，所以∠A O M＇+∠B O N＇

=∠AOM+∠BON=∠AOB－∠MON=60°－30°=30°，

所以∠M＇O N＇=90°，所以在R T△M＇O N＇

中，M＇N＇=6，即四边形MPQN的最小周长为

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