1.5.3定积分的概念公开课【优质课件】

上行驶的路： 程分别记作
S 1 , S 2 ,, S i,, S n .
（2） 以直代曲
S iv(i n1) x[ (i n1)22]n 1
（3）作和
n
SS1 S2 Sn Si i1 n i-1 1 v( ) i1 n n
（4）逼近
问题：结合求曲边梯形面积的过程，你认为
汽车行驶的路程S与由直线t＝0，t＝1，v＝0和
v
S
O
t
V
A1A2A3 An
O
t
分析：与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方
法，把求匀变速直线运动的路程问题，化归为匀速直线运
动间的上路，程由问于v题 t．的把变区化间很 0小, ，1 分可成以n近个似小的区看间作，汽在车每作个匀小速区
直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似 值，再求和得S（单位：km）的近似值，最后让n趋向于 无穷大就得到S（单位：km）的精确值．
定积分 1 (x2 1)dx能 1
表示曲边梯形的面积吗？
右图阴影部分的面积 和这个定积分有什么关系呢？
小结
1、求曲边梯形面积 分割-----近似代替-----求和-----取极限
2、定积分的定义 3、定积分的几何意义 4、定积分的运算性质
(1)分割、(2)近似代替、(3)求和、(4)取极限
并且都可以归结为求 一个特定形式和的极限
y
y x2
S
o
1x
事实上，许多问题都可归结为这种特定形式和的极限。
一般地,设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点 a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b
将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi] 上任取一点 (i=1,2,…,n),作和式
当△x0即n∞ 时,上述和式无限趋近于某个常数.
这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分
定积分的定义： 即 abf(x)dxlni m i n1b naf(i)
相关名称：
(1)a叫积分下限, b叫积分上限 (2)区间[a, b] 叫做积分区间 (3)函数f(x)被积函数 (4)x叫做积分变量 (5)f(x)dx叫做被积表达式
yf (x)
你能用定积分表示右图中阴
影部分的面积S吗?
y g(x)
b
S2
g(x)dx
a
Oa
bx
b
b
y
SS1S2af(x)dxag(x)dx
b
b
S 2af(x)d xag(x)d x
yf (x)
b
S1 a f (x)dx
Oa
bx
定积分的运算性质
性质1.
b
b
kf(x)dx k f(x)dx
曲线：v t t2 2所围成的曲边梯形的面积
有什么关系？
小结：一般地，如果物体做
变速直线运动，速度函数 v(t)，那么我们可以采用分 割、近似代替、求和、取极 限的方法求出它在任意时段
所作的位移S。
V
A1A2A3 An
O
t
从求曲边梯形面积及求变速 直线运动路程的过程可以发现，
它们都可以通过“四步曲”得到解决
a
a
b
b
b
性质2. [f(x)g(x)]dx f(x)dx g(x)dx
a
a
a
性质3.
b
c
b
f(x)d xf(x)d xf(x)dx
a
a
c
(acb)
思考:你能从定积分的几何意义解释性质3吗?
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
b
c
b
af(x)d x af(xx)
(acb)
Oa
c1 Ｃc2 b x
bf(x ) d x c 1f(x ) d x c 2f(x ) d x bf(x ) dx
a
a
c 1
c 2
定积分运算性质的应用
例题：计算定1(积 2x分 x2)dx 0
S
分析：方法
S S2 S1
画出定积分1 (1 x2)dx 1
所表示的曲边梯形的积面
复习： 计算曲边图形面积过程 是什么？用到那些数学思想？
分割 以直代曲 作和 逼近
分割思想、以直代曲、极限思想
练习：1、把区间〔1，3〕n等分，所得n个小区间的长度 应为（ ）
A、1/ｎ B、2/n
C、1/2n D、3/n
2、关于近似替代下列说法正确的是（ ） A、在分割后的每个小区间上，只能用左端点的函数值近 似替代； B、在分割后的每个小区间上，只能用右端点的函数值近 似替代； C、在分割后的每个小区间上，只能用中间端点的函数 值近似替代； D、在分割后的每个小区间上，可以用区间内任意一点 的函数值近似替代。
3、在区间〔0，8〕上插入9个等分点，则所分的
小区间长度为 4/5
；第5个小区间是
[16/5,4]
问题：汽车以速度v作匀速直线运动时，经
过时间t所行驶的路程为S＝vt．如果汽车 作变速直线运动，在t时刻的速度为：
v t t2 2（单位：km/h），那么它
在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路 程（单位：km）是多少？
y y x2
o
1x
即 abf(x)dxlni m i n1b naf(i)
思考：定积分的几何意义是什么?
从几何上看，如果在[a,b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0
,则定积分
表示由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(x)
所围成的曲边梯形(下图中的阴影部分)的面积。
探究
根据定积分的几何意义, y
思想方法：
分割 以直代曲 求和 逼近
解：1．分割 在时间区间[0,1]上等间隔地插入n-1
个分点，将区间等分成n个小区间：
[0 ,1 ][,1,2 ],,[i 1 ,i],,[n 1 ,n ], n nn nn n n
每个区间的x长 i度 i1为 1 nn n
把汽车在 [0,1时 ][,1,间 2],段 ,[i1,i],,[n1,n] n nn n n n n