间接平差

V T PV V T P V V T PB 0
xˆ
xˆ
BT PV 0
V B xˆ l l L (BX 0 d )
n1 nt t1 n1
以上两式称为间接平差的基础方程,根据基础方程可得：
BT PB xˆ BT P l 0
令 NBB
tt
BT PB，W t1
BT Pl
则： NBB xˆ W 0
第七章 间接平差
重点：间接平差原理、数学模型、基础方程及其解，以 及精度评定等内容。
难点：水准网、测角网、导线网、GPS网间接平差时误 差方程的列立及线性化，求参数的非线性函数的中误差。
要求：通过本章的学习，牢固掌握间接平差的平差原理 并能推导全部的公式；能熟练地列出水准网平差误差方程， 以及参数的非线性函数的权函数式；并求出参数平差值、单 位权中误差和参数函数中误差。
－－间接平差的法方程
xˆ
N
W 1
BB
(BT PB)1 BT Pl
Lˆ L V，Xˆ X 0 xˆ
当P为对角阵时，则有纯量形式：
a1 b1 B a2 b3
an bn
t1
t2
tn
[ paa]xˆ1 [ pab]xˆ2 [ pat]xˆt [ pal]
[ pab]xˆ1 [ pbb]xˆ2
S4=1km,HD= 3.768m ，
试按间接平差法求P点的高差平差值。
A
1
P
2
4
C
3
B
D
解： t＝1，选取P点的高程平差值为参数 Xˆ
（1）列误差方程
h1 h2 h3
v1 v2 v3
Xˆ Xˆ Xˆ
HA HB HC
v1 v2 v3
Xˆ Xˆ Xˆ
HA HB HC
h1 h2 h3
[ pbt]xˆt
[ pbl]
[ pat]xˆ1 [ pbt]xˆ2 [ ptt]xˆt [ ptl]
例由高程已知的水准点A，B，C和D向待定点P作水准测 量，得观测值及线路长度如下：
h1=+3.476m,S1=1km,HA=3.520m,h2=+1.328m,S2=2km,
HB=5.671m，h3=+2.198m,S3=2km,HC=4.818m,h4=+3.234m,
第二节 误差方程
要确定平差问题中未知数的个数； 选择哪些量作为未知数； 要考虑怎样列出平差值方程； 如何选取未知救的近似值； 如何写出误差方程。
一、确定未知数的个数 未知数的个数等于必要观测数 二、参数的选择
参数选择的原则：足数 独立 最简
采用间接平差，应该选定刚好足数而又独立的一组量 作为未知数。至于应选择其中哪些量为未知数，则可根据 实际需要或是否便于计算而定。
间接平差函数模型： n1
t1
Lˆ B Xˆ d
n1 nt t1 n1
Xˆ X 0 xˆ
L V B(X 0 xˆ) d
l L (BX 0 d ) L L0
V B xˆ l
n1 nt t1 n1
间接平差随机模型：
D
nn
2 0
Q
nn
P2 1
0
按最小二乘原理，xˆ必须满足V T PV min的要求，则有：
(6) 代入(1)变化后得：
Lˆ4 Lˆ1 HA HB Xˆ1 HA HB
(6)、(7)代入(2)变化后得：
Lˆ3 Lˆ1 Lˆ2 Xˆ1 Xˆ 2
(8)、(9)代入(3)变化后得：
Lˆ5 Lˆ3 Lˆ4 2Xˆ1 Xˆ 2 2HA HB
（8） （9） （10）
Lˆ F ( Xˆ )
v1 1 0
v2
1
xˆ
3
vv43
1 1
20
6
（2）组成法方程： 取1km的观测高差为单位权观测，则可得：
1
1
1
P
0.5 0.5
Nbb
BT PB 1
1
1
1
1
0.5
1
3
0.5 1
1 1
1
0
W BT Pl 1 1 1 1
0.5
3
17.5
0.5 20
1
6
法方程 3xˆ 17.5 0
（3）解法方程：
xˆ 5.83(mm)
（4）计算改正数
V B xˆ l
v1 5.8mm，v2 2.8mm，v3 14.2mm，v4 0.2mm （5）计算平差值
Lˆ L V，Xˆ X 0 xˆ
Lˆ1 3.526m，Lˆ2 5.674m，Lˆ3 4.804m，Lˆ4 3.768m
如果选取的t个参数中有下列函数关系
(Xˆ1, Xˆ 2 Xˆ t ) 0
则在这t个参数中，必有一个可以表达成其余的函数，因而 就不是互为独立的自由变量，此时，应该从中剔除一个参数， 另选取一个独立的参数代替。
例如 教材例7-1中必要观测为3，可以选择以下几组量 作为未知数。
Xˆ 1 Xˆ 2
Xˆ 6.996 5.8 /1000 7.002m
二、按间接平差法求平差值的步骤
1. 根据平差问题选取t个独立量作为参数；
2. 将每一个观测值的平差值分别表达成参数的函数，对于 非线性函数线性化，列出误差方程； 3. 组成法方程；
4. 解算法方程，求出参数 xˆ ；
5. 计算参数的平差值，求出观测量的平差值。
Lˆ1 Lˆ2
Xˆ 3
Lˆ4
Xˆ 1 Xˆ 2
Lˆ1 Lˆ2
Xˆ 3
Lˆ5
Xˆ 1 Xˆ 2
Lˆ1 Lˆ4
Xˆ 3
Lˆ5
Xˆ 1 Xˆ 2
Lˆ2 Lˆ4
L
L
Xˆ 3
Lˆ5
B
但是不能选择以下的任一组未知数：
1
2
Xˆ 1 Xˆ 2
Lˆ1 Lˆ2
Xˆ 3
Lˆ3
Xˆ 1 Xˆ 2
A
h4 v4 Xˆ H D v4 Xˆ H D h4
1 P
C 3
取参数的近似值
2
4
B
D
X 0 H A h1 6.996m
Xˆ X 0 xˆ H A h1 xˆ 6.996 xˆ
得误差方程为：
v1 xˆ
v2 xˆ 3 v3 xˆ 20
v4 xˆ 6
第一节 间接平差原理
一、基础方程及其解
以P1、P2点平差后的高程为参数: Xˆ1, Xˆ 2
Lˆ1 Lˆ4 HA HB 0 （1）
P1
1 4
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 ຫໍສະໝຸດ Baidu （2） A
3
B
5
Lˆ3 Lˆ4 Lˆ5 0 （3）
2
P2
Lˆ1 HA Xˆ1 0 （4） Lˆ1 Xˆ1 HA （6） Lˆ2 HA Xˆ 2 0 （5） Lˆ2 Xˆ 2 HA （7）