间接平差
间接平差
x 2 ( X 1 x1 )
0 2
0
v4 ( X
0
x2) H
A
B
x 1 ( h1 X 1 H
)
0 2 0 2
x1 x 2 (h2 X
X1 ) X1 )
B 0
0
x1 x 2 (h2 X
x 2 (h4 X
0
A 0
x 2 ( X 1 x1)
x2 H
C
v4 X 1 x1 H
0
B
B
x 1 ( h1 X 1 H
A
)
0 2
x1 x 2 (h2 X
X1 ) ) )
0
x 2 ( h3 X
0 2 0
H
C
x1 (h4 X 1 H
B
v3 X
2
H
2
A
v4 X
H
B
v5 X 1 X
2
v6 X 1 X
2
v 1 v2 v3 v 4 v 5 v6
X 1 H
A
h1
B
X 1 H
h2
X
2
0
X 1 H
h1
B
140 x 1
X
2
X
0 2
x2
X 1 H
h2
第04章 间接平差
zqz99@
由式(4-8)或式(4-9)可解算出未知数，称该方程组为
间接平差的法方程。解之得
t 1
ˆ N 1 W X BB
或
t 1
-1 T ˆ X （BT PB） B Pl
ˆ 代入误差方程可得改正数V 将X ˆ l V BX
n1 n t t 1 n1
观测值的平差值为 ˆ L V L 当权阵P为对角阵，即观测值之间相互独立时，将误
● 能用间接平差进行水准网平差
● 能用间接平差进行平面控制网平差
zqz99@
两点之间最短的距离不一定是直线
在人与人的相处以及做事情的过程中，我们有时很 难直截了当就把事情做好。我们有时需要等待，有时需
要合作，有时需要技巧。当我们遇到困难时，我们先要
学会分析自己有没有这个能力去克服，如果暂时还没有， 那我们不一定要硬挺、硬冲，我们可以选择绕过困难， 绕过障碍，这并不是逃避，更不是轻意放弃，而是换一 条路继续前行，或许这样，一切会变得更顺利。“通往
值，同时又是符合最小二乘法原理的最优估值，故称式 (4-6)和式(4-7)为间接平差的基础方程。 解算这组基础方程，通常是将式(4-6)代入式(4-7)， 以便先消去V，得 ˆ BT Pl 0 BT PBX (4-8)
令NBB=BTPB，W=BTPl，并代入式 (4-8)，得： ˆ W 0 (4-9) N X
(2) 将每一个观测量的平差值分别表达成所选未知
参数的函数，即平差值方程，并列出误差方程； (3) 由误差方程的系数 B 与自由项 l 组成法方程，
法方程个数等于未知数的个数 t ；
ˆ ，计算未知参数 (4) 解算法方程，求解未知参数 X
的平差值；
ˆ 代入误差方程，求解改正数， (5) 将未知参数 X
测量程序设计_条件平差和间接平差
程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程： 将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作： 由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为
误差理论与测量平差基础第七章 间接平差
第七章——间接平差
c、标准曲线拟合
对于标准曲线，由于其方程已知，其拟合方法有所不同。如图
所示，测得m个点的坐标，要求拟合圆曲线。由于圆曲线的参数方程
为：
X?i ? X?0 ? R?cos??i
Y?i ? Y?0 ? R?sin??i
式中：(x0 , y0 )为圆心坐标，R为半径，
这三个参数是圆的基本参数，? i 为第i
第七章——间接平差
例：水准网如右图所示，已知 H A =5.000m，H B =3.953m， HC =7.650m。各点的近似高程为：
H0 p1
?
HB ?
h2
? 5.053m
H0 p2
?
H A ? h7
? 8.452m
H0 p3
?
HC
? h4
? 7.450m
观测值见下表，试列出误差方程。
1234567 (m)
第七章——间接平差
例如在下图，我们选 X?1 ? X?C , X?2 ? Y?C , X?3 ? X? D , X?4 ? Y?D
第七章——间接平差
于是，误差方程为：
v1 ? ( X A ? X?3 ) 2 ? (YA ? X?4 )2 ? L1 v2 ? ( XB ? X?3 ) 2 ? (YB ? X?4 ) 2 ? L2 v3 ? ( X?1 ? X?3 )2 ? ( X?2 ? X? 4 ) 2 ? L3 v4 ? ( XA ? X?1 )2 ? (YA ? X?2 ) 2 ? L4 v5 ? ( XB ? X?1 )2 ? (YB ? X?2 ) 2 ? L5
? l?
基础方程的个数与未知数的个数相等，故有唯一解。
为解此基础方程，将第二式代入第一式，消去V，得
c+间接平差法
间接平差法是一种测量平差方法，通常用于解决线性系统中的超定方程问题，即有多余观测的情况。
这种方法通过解最小二乘问题来找到最佳的参数估计值。
在间接平差法中，待估参数和已知参数是通过最小二乘目标函数（通常是误差项的平方和）进行连接的。
具体步骤如下：
1. 列出误差方程：误差方程是观测值与计算出的观测值初值之间的差值。
2. 计算出V后与观测值求和，得到最终的平差值。
此外，间接平差法还可以用于解决GNSS SPP、摄影测量解算、光束法平差、控制网平差等测绘问题。
在解决这些问题时，通常会使用非线性最小二乘解法中的其他方法，如梯度下降法（最速下降法）来获得最佳的参数估计值。
总之，间接平差法是一种广泛应用的测量平差方法，通过最小化目标函数来求解线性系统中的超定方程问题。
它被广泛应用于各种测绘解算问题，为参数估计提供了有效的解决方案。
间接平差
§4-1 间接平差原理2学时间接平差法（参数平差法）是通过选定t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t 个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。
例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L 1、L 2和L 3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数 1ˆX 、 2ˆX ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫--=+=+=+2133222111ˆˆ180ˆˆX X v L Xv L X v L（4-1-1）可得⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫---=-=-=3213222111ˆˆ180ˆˆL X X v L Xv L Xv （4-1-2）为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令 x X X ˆˆ0+=，则（4-1-2）式可写成如下形式：⎪⎭⎪⎬⎫-++---=--=--=)180(ˆˆ)(ˆ)(ˆ020132130222201111X X L x x v X L x v X L xv （4-1-3）式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。
单纯为消除矛盾， 1v 、 2v 、 3v 可有多组解，为此引入最小二乘原则： min =PV V T可求得唯一解。
因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。
对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：min =PV V T ，设观测值为等精度独立观测，则有：[]min )180ˆˆ()ˆ()ˆ(2321222211=-+--+-+-=L X X L X L X vv按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得60313132ˆ60313231ˆ02180ˆ3)1(2)2()2()1(0180ˆ2ˆ0180ˆˆ20)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][0)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][32113212321232213121321222321111+--+=⇒+-+-=⇒=+-+-⇒-⨯⎭⎬⎫=+--+=+--+⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=-----=∂∂=-----=∂∂L L L X L L L X L L L X L L X X L L X X L X X L X X vv L X X L X X vv代入误差方程式，得到观测值的最或然值603231316031323160313132321332123211++--=+-+-=+--+=∧∧∧L L L L L L L L L L L L此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。
第七章 间接平差
其中:
0 l1 L1 F1 X 10 , X 2 , , X t0 0 l 2 L2 F2 X 10 , X 2 , , X t0 0 l n Ln Fn X 10 , X 2 , , X t0
令:
3、计算误差方程常数项 l
l1 h1 X 10 H A 0 0 23 l2 h2 X 10 X 2 0 l3 h3 X 2 H A 0 0 0 14 l4 h4 X 2 X3 0 l5 h5 X 3 H A 0
第七章 间接平差 6、求观测值改正数 、观测值平差值和高程平差值。
v1 1 v 1 2 v3 0 v4 0 0 v5 0 1 1 1 0 0 0 12 ˆ1 23 9 x 0 ˆ 2 0 2 m m 0 x ˆ x 1 14 3 9 1 0 7
第七章 间接平差
4、列误差方程，确定观测值的权：
ˆ1 v1 x ˆ1 x ˆ2 v2 x v3 v4 v5
p1 0 P0 0 0
ˆ2 x ˆ2 x ˆ3 x ˆ3 x
0 p2 0 0 0 0
令c=10，则由定权公式
0 0 0 p4 0 0 p3 0 0
间接平差
由误差传播律得：
xx
Q ( B T PB ) 1 B T PQPB ( B T PB ) 1 ( B T PB ) 1 ( B T PB ) 1 B T PB ( B T PB ) 1 ( B T PB ) 1
QLL Q(已知）
按协因数传播律得出：
1 1 1 Q XX N bb B T PQPBN bb N bb ˆˆ 1 1 T Q XL N bb B T PQ N bb B T QLX ˆ ˆ 1 T QVL BQ XL Q BN bb B T Q QLV ˆ 1 1 QVX BQ XX QLX BN bb BN bb 0 Q XV ˆ ˆ ˆ ˆˆ
0 j 0 i
当i点已知时： Vij x j (hij ( X X i ))
0 j
当j点已知时： Vij xi (hij ( X j X ))
0 i
2、方向的误差方程
设j、k的坐标为未知参数：
( X jY j ),( X k ,Yk ) ,
N
Zj
零方 向
Z j ——零方向的方位角
~ 0 ~ 0 2 (X k X j ) ~ ~0 0 2 (Yk Y j )
S jk
当j点已知时：
V jk cos 0 xk sin 0 yk jk jk
~ 0 ~ 0 ( X k X j )2 ~ ~0 (Yk0 Y j ) 2
S jk
当k点已知时：
差值；
5．由误差方程计算V，并计算出观测量的平差值。
6. 验算.
§5-2 误差方程
平差的关键：函数模型的建立。
一、参数的确定： 间接平差中，待定参数X的个数必须等于必 要观测的个数t，而且要求这t个参数必须是 函数独立的。 1、参数个数的确定： 2、参数的选择：
间接平差的精度评定
式中： 所以
fi
Xˆ i
Qˆˆ FQXˆXˆ FT＝FNbb1FT
于是
D＝ˆ 02Qˆ
误差理论与测量平差
误差理论与测量平差
间接平差的精度评定
1.单位权方差估值计算 的计V算T PV：
ˆ
0
2＝V
T
PV r
1. V T PV＝P1V12 P2V22 PnVn2 权阵为对角阵时
2. V T PV Bxˆ l T PV xˆT BT PV l T PV
lT PBxˆ l 顾及BT PV＝0
Q XˆXˆ
N 1 bb
Q Xˆ 1 Xˆ
2
QXˆ1Xˆ t
QXˆ1Xˆ 2 QXˆ 2 Xˆ 2
QXˆ 2 Xˆ t
QXˆ1Xˆ t
QXˆ 2 Xˆ t
QXˆ t Xˆ t
3.待定点i的点位中误差
ˆ ˆ Q Xˆ i 的中误差：
Xˆ i
0
Xˆ 2i 1Xˆ 2i 1
Yˆi 的中误差：
E E
L0
由协因数传播律得：
QLL QLXˆ QLV QLLˆ
QZZ
QLXˆ
QLV
Q XˆXˆ Q XˆV
Q XˆV QVV
Q XˆLˆ QVLˆ
QLLˆ QXˆLˆ QVLˆ QLˆLˆ
E
E
N
1 bb
B
T
P
BNbb1BT P
Bbb1 PBNbb1BT
P B Nbb1 B T
E
展开得：
QLL
QZZ
N
1 bb
B
T
B
N 1 bb
B
T
QLL
间接平差的基本原理
5.组成法方程，求参数改正数
2.9
1 0 0
1 NBB BT PB 0
0
1 1 0
0 1 0
0 1 1
100
3.7 2.5 3.3
1 1
0
0 1 0
0
1 1
4.0 0 0 1
6.6 3.7 0 3.7 9.5 3.3
0 3.3 7.3
2.9
0
1 W BT Pl 0
14
l5 h5
X
0 3
H
A
0
4.列误差方程，确定观测值的权：
v1 xˆ1 v2 xˆ1 xˆ2
v3
xˆ2
v4
xˆ2 xˆ3
v5
xˆ3
0
203
14
或
v1 1 0
v2
1 1
vv43
0 0
1 1
0
0
0
0
1
xˆ1 xˆ2 xˆ3
23
0
14
0
23
0
14
9
2mm
9
v5 0 0 1
0 7
hhˆˆ12
h1 v1
h2
v2
5.847 3.791
hhˆˆ43
hh43
v3 v4
9.638m 7.375
hˆ5 h5 v5 2.263
Hˆ
Hˆ Hˆ
B C
Xˆ Xˆ
1 2
X X
h1 5.835m, s1 3.5km; h2 3.782m, s2 2.7km; h3 9.640m, s3 4.0km; h4 7.384m, s4 3.0km, h5 2.270m, s4 2.5km
间接平差原理
§ 4-1 间接平差原理2学时间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。
例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L i、L2和L3。
求此三角形各内角的最或然值。
若能选取两个内角的最或然值作为参数:则可以建立参数与观测值之间的函数关系式(4-1-1)可得叶二£ -厶= £ - 厶v}= 180-^-^a-£(4-1-2)为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是非常重要的，令，则（4-1-2 ）式可写成如下形式：气二务_厲_萃）乃=岛-込—离）v3二-爲_（厶+启+ 兄-180）(4-1-3)式（4-1-2 ）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数二观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。
单纯为消除矛盾，门、「、二可有多组解，为此引入最小二乘原则「-1-可求得唯一解。
因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。
对上述三角形，引入最小二乘原则，要求:▼丄…，设观测值为等精度独立观测，则有：[vv]= （£-厶）□（£ -厶）2 +（-禺-禺+180-厶）2 = min按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得鱼理二遮-伫丿-玄⑻-名-乙■。
二0今2名+% —⑶―厶+厶=ol(l)X x亠痣-1E0 二■!■厶=oj (2)(2) x2-(5 =＞隔-180 + 珀 _费切 + & 二Q代入误差方程式，得到观测值的最或然值此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。
《间接平差精度评定》课件
Hale Waihona Puke 精度表示测量结果的一致性和可靠性， 通常用误差、标准差、中误差等参 数来衡量。
误差
测量结果与真实值之间的差异，分 为系统误差和偶然误差两类。
精度评定的常用方法
最小二乘法
通过最小化观测数据与数学模 型之间的残差平方和，求解最
佳参数估值的方法。
贝塞尔公式
用于计算测量网中各点位误差 的公式，基于观测值之间的相 互关系和误差传播规律。
间接平差方法在实际应用中需要注意数据预处理和参数选择的合理性，以提高数据 处理精度和可靠性。
研究展望
进一步研究间接平差方法的数学 原理和理论基础，深入挖掘其潜 力，提高数据处理精度和可靠性
。
探索间接平差方法与其他数据处 理方法的结合与应用，形成更加
完善和高效的数据处理体系。
加强间接平差方法在实际应用中 的实践和探索，不断完善和优化
间接平差适用于平面控制网和 大地控制网的测量数据处理。
间接平差的数学模型
间接平差采用最小二乘法原理， 通过构建误差方程式和法方程式
，求解未知点坐标的最优解。
误差方程式描述了观测值与计算 值之间的差异，法方程式则描述
了误差方程式之间的关系。
通过解法方程式，可以得到未知 点坐标的最小二乘解。
间接平差的计算方法
预处理
在数据使用前，进行了必要的预 处理工作，包括数据格式统一、 异常值剔除、数据平滑等，以确 保数据的准确性和可靠性。
实例的间接平差计算
01
02
03
模型建立
根据实际测量需求，建立 了相应的测量模型，并确 定了必要的参数。
平差计算
利用间接平差方法，对模 型进行了平差计算，得到 了各参数的优化结果。
第三章-间接平差2009
(3.1.12)
其中 F = ( f1
T
f2 L
f t ) ，那么
1 T −1 = FTQ X ˆX ˆ F = F N bb F pz
为进一步理解间接平差的概念，现说明几点：
(3.1.13)
（1）任何平差，都是在有多余观测的基础上进行的。如没有多余观测，则无平差问题。 （2）按间接平差法平差某一具体问题时，未知参数的数目是固定的，它等于该问题的必要观 测量的个数。未知参数的选择，依据实际问题而定。可选取观测量，也可以选取非观测量。未知参 数选择方式不同，误差方程的形式不同。
则
T
d (V T PV ) = V T ( P T + P ) dV d (V T PV ) = 2V T PdV = 2V T P dV dx
59
当 P 为对称方阵时， P = P ，那么有 因而有
d (V T PV ) dx
表述完毕。
ˆ + l) V T P V = V T P ( Bx
ˆ +l 【 V = Bx
(3.1.11)
我们将在下一节将从另一个角度来证明上式。 （三）协因素阵
ˆ ，即 ˆ 、V 和 L 在间接平差中，基本随机向量是 L 、 x
L=L −1 −1 T −1 T ˆ = −N bb x W = −N bb B Pl = N bb B PL + L
−1 T ˆ + l = (BN bb V = Bx B P − I) L + L
ˆ1 + x ˆ2 + x ˆ 3 − 180 o ＝0 x
ˆ1、x ˆ2 及 x ˆ3 ，这属于附有条件的间接平差。 若将以上四式一起平差求 x
（4）在确定了未知参数之后，要建立这些未知参数与所有观测值之间的数学关系式，即观测 方程。这些观测方程可以是线形的，也可以是非线性的。为使平差简便，在平差中总是将非线性方 程线性化。 （5）有了误差方程，即按 V PV = min ，解出各未知参数。
《间接平差》课件
高斯-马尔可夫模型
利用统计方法建立误差模型，进行最优化参数估计， 以达到最小化测量误差的目的。
应用
土地测量
在土地界址、权属调查等方 面有着广泛应用，保证土地 交易和协作的公正性和准确 性。
工程测量
在大型工程建设中，可以保 证测量数据的准确性，为后 期工程施工提供可靠的基础 数据。
道路建设
道路建设中的道路平整度和 坡度要求严格，间接平差能 够提供精确的测量结果，有 助于路况的改善。
结论
结果分析
间接平差能够使测量结果更加准确，但需要注意误 差的来源和扩散，以及测量数据的合法性。
研究意义
了解间接平差的原理和算法，有助于掌握先进的测 量技术，提高工作的准确性和效率。
参考文献
相关学术论文
谢维福等.《测量与定位》.2011年.6月.
经典著作
李仁海, 顾妍妍.《测量与坐标》. 2008年.
优缺点
优点
可适用于各种形状和大小的基准桩和点，能够处理 各种观测数据，并提供高精度和高效率的测量数据 处理。
缺点
需要较高的计算机水平和专业技能，使用前需要进 行科学的测量规划，有一定的局限性和不确定性。
经验总结
1 应用前必须考虑的因素
需结合实际应用情况，进行仔细求证和预处 理。
2 操作流程
需要进行全面细致的测量规划和技术指导， 确定测量系统，提取观测数据。
《间接平差》PPT课件
学习现代测量技术中的重要概念：间接平差，它是一种测量数据处理方法， 可以帮助我们对测量误差进行分析和处理。
什么是间接平差
1 定义
间接平差是对测量数据进行误差分析和处理的一种方法，以获得精准的测量结果。
2 背景
历史上，传统的测量方法常常难以应对多元化和复杂化的测量需求，间接平差因此逐渐 成为主流的测量技术。
间接平差的计算步骤
间接平差的计算步骤
嘿，朋友们！今天咱来聊聊间接平差的计算步骤呀。
这间接平差就像是搭积木，一块一块地往上堆，最后搭出个漂亮的“建筑”来。
先得有个“底”呀，这就是选择参数。
你得选好合适的参数，就像选对了积木的形状，不然可搭不好哟。
然后呢，根据观测值列出误差方程，这就好比是把积木按照一定的规则摆上去。
接下来，组成法方程。
这法方程就像是搭积木的“核心结构”，得稳稳当当的。
解这个法方程，就像是给这个“核心结构”加固，让它更牢固。
算出参数的估值后，可别以为就大功告成啦。
还得计算观测值的改正数呢，这就像给搭好的积木做最后的修整，让它更完美。
然后计算单位权中误差，这就像是给整个“建筑”做个质量检测，看看够不够结实。
再计算参数的协因数阵，这就像是给“建筑”做个详细的分析报告，让你清楚每个部分的情况。
你说这间接平差是不是挺有意思的？就像我们做一件事情，一步一步来，每一步都不能马虎。
不然最后搭出来的“积木”可能就歪歪扭扭的啦。
想想看，如果参数选错了，那不就像盖房子根基没打好，后面怎么能盖得稳呢？如果误差方程列得不对，那整个结构不就乱套啦？所以啊，每个步骤都得认真对待，就像对待我们生活中的每一件重要的事情一样。
间接平差虽然有点复杂，但只要我们耐心去学，去理解，就一定能掌握它。
就像我们学习骑自行车，一开始可能会摔倒，但多练几次，不就会了嘛。
总之啊，间接平差是测量学里很重要的一部分，我们可得好好对待它，让它为我们的测量工作出一份力呀！。
第七章间接平差详解
Y
0 jk
(S
0 jk
)
2
(
ˆ jk
Yˆj
)0
X
(
S
0 jk
0 jk
)2
(
ˆ
Xˆ
jk K
)0
Y
0 jk
(
S
0 jk
)
2
(
ˆ jk
Yˆj
)0
X
(S
0 jk
0 jk
)2
" jk
"Y
0 jk
(S
0 jk
)
2
xˆ j
"X
0 jk
(S
0 jk
)2
yˆ j
"Y
0 jk
(S
0 jk
)2
xˆk
c ot
xB cot ( yB cot cot
yA)
yP
yA
c ot
yB cot (xB cot cot
x
A
)
A、B、P（待定点）顺时针编号
2、计算近似坐标方位角、计算近似边长 3、计算坐标方位角改正数系数
DA
"YD0A
(S
0 DA
)2
10
xˆD
"X
(SD0 A)2
0 DA
即V Bxˆ (L BX 0 d ) 令l L BX 0 d 则V Bxˆ l
V T PV min
得：BT PBxˆ BT Pl 0
令：BT PBxˆ NBB BT Pl W
得：NBB xˆ W 0
所以：xˆ
N
W 1
BB
(BT PB)1 BT Pl
12第十二章间接平差
第十二章第十二章、、间接平差间接平差12.0概述概述间接平差又称参数平差。
水平控制网按间接平差时，通常选取待定点的坐标平差值作为未知数(按方向平差时，还增加测站定向角未知数)，平差后直接求得各待定点的坐标平差值，故这种以待定点坐标作为未知数的间接平差法也称为坐标平差法坐标平差法坐标平差法。
参加平差的量可以是网中的直接观测量，例如方向、边长等；也可以是直接观测量的函数，例如角度等。
由于三角网的水平角一般是采用方向观测法观测，并由相邻方向相减而得，故它们是相关观测值。
此时，若不顾及函数间的相关性，平差结果将受到一定的曲解。
因此，坐标平差法都按方向平坐标平差法都按方向平坐标平差法都按方向平差差。
间接平差的函数模型是误差方程，它是表达观测量与未知数之间关系的方程式。
一般工程测量平面控制网的观测对象主要是方向(或角度)和相邻点间的距离(即边长)因此坐标平差时主要列立各观测方向及观测边长的误差方程式，再按照间接平差法的原理和步骤，由误差方程和观测值的权组成未知数法方程去解算待定点坐标平差值，并进行精度评定。
本章主要研究（测）方向网、测边网以及测边测角网的严密坐标平差。
水平控制网按坐标平差法进行平差时，为降低法方程的阶数以便于解算，定向角未定向角未知数可采用一定的法则予以消掉知数可采用一定的法则予以消掉。
由于误差方程式的组成简单且有规律，便于由程序实现全部计算，因此，在近代测量平差实践中，控制网按间接平差法得到了广泛的应用。
平面控制网按坐标平差时，网中每一观测值都应列立一个误差方程式。
为便于计算，通常总是将观测值改正数表示为对应待定点坐标近似值改正数的线性式。
坐标平差的第一步是列组误差方程式。
对于方向网而言,参与平差的观测值是未定向的方向，选定的未知数是待定点的纵、横坐标值。
误差方程式就是方向观测值改正数表达为待定点纵横坐标值的函数式，可以通过坐标方位角来建立方向值与未知数之间的联系。
§12.1三角网坐标平差三角网坐标平差12.1.1方向误差方程式的建立和组成方向误差方程式的建立和组成在测站k 上观测了n i k k k ,,,0L等方向 其方向观测值为kn ki k N N N ,,,0L 它们的改正数为kn ki k V V V ,,,0L0k 为测站的零方向（起始方向），则任意方向ik 的坐标方位角平差值方程为ki ki k k ki k ki V N Z N Z +++=+=ςα （12-1）式中：ki N 为ki 方向的平差值，k Z 为0k 方向的坐标方位角，通常称测站定向角，k Z 为定向角k Z 的近似值，k ς为定向角k Z 的改正数，是个未知参数，k k k Z Z ς+=，ki ki ki V N N +=如果令i k ,两点的近似坐标分别为00,k k y x 和00,i i y x ，其相应的改正数分别为kky x δδ,和i i y x δδ,，则有关系：ii i i i i y y y x x x δδ+=+=00 ki ki ki δααα+=0（12-4）ki ki ki x x y y arctg−−=α （12-3）kkk k kk y y y x x x δδ+=+=0()()()()kk i i kk i i kikix x x xy y y yarctgδδδδδαα+−++−+=+00000将上式按台劳级数展开，()()k k ki i i ki k k ki i i ki k iki kikiy y y y x x x x x xy y arctgδαδαδαδαδαα000000 ∂∂+ ∂∂+ ∂∂+ ∂∂+−−=+k k ki i i ki k k ki ii ki ki y y y y x x x x δαδαδαδαδα0∂∂+ ∂∂+ ∂∂+ ∂∂= ()()()()200200200020000200000sin 1kiki kiki kikiki kik i k ik i k ki S S y yyxxy y x x y y xxy y x αα=∆=−+−−=−−+−−= ∂∂坐标方位角改正数方程：()()()()i kikii kikik kikik kikiki y S y x S y y S x x S y δδδδδα200200200200∆+∆−∆−∆=（12-5）将（12-5）代入（12-4）然后再代入（12-1）得：()()()()ki i kikii kiki k kikik kikik ki l y S y x S y y S x x S y V +∆+∆−∆−∆+−=δδδδς200200200200（12-6）式中，k ki ki ki Z N l −−=0α （12-7）计算中，ki S 以㎏为单位，k k y x δδ,和i i y x δδ,以dm 为单位，且换以ηδξδ==y x 1010（12-6）变为，ki i ki i ki k ki k ki k ki l b a b a V +−−++−=ηξηξς （12-8）式中，404010cos 10sin kiki ki ki ki ki S b S a αραρ′′−=′′=（10-9）（12-6）和（12-8）式为方向误差方程式，考虑到边长误差方程式（12-35）式以便于编程常用（12-8）式。
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(Xˆ1, Xˆ 2 Xˆ t ) 0
则在这t个参数中，必有一个可以表达成其余的函数，因而 就不是互为独立的自由变量，此时，应该从中剔除一个参数， 另选取一个独立的参数代替。
例如 教材例7-1中必要观测为3，可以选择以下几组量 作为未知数。
Xˆ 1 Xˆ 2
Lˆ1 Lˆ2
Xˆ 3
Lˆ4
Xˆ 1 Xˆ 2
Lˆ1 Lˆ2
Xˆ 3
Lˆ5
Xˆ 1 Xˆ 2
Lˆ1 Lˆ4
Xˆ 3
Lˆ5
Xˆ 1 Xˆ 2
Lˆ2 Lˆ4
L
L
Xˆ 3
Lˆ5
B
但是不能选择以下的任一组未知数：
1
2
Xˆ 1 Xˆ 2
Lˆ1 Lˆ2
Xˆ 3
Lˆ3
Xˆ 1 Xˆ 2
－－间接平差的法方程
xˆ
N
W 1
BB
(BT PB)1 BT Pl
Lˆ L V，Xˆ X 0 xˆ
当P为对角阵时，则有纯量形式：
a1 b1 B a2 b3
an bn
t1
t2
tn
[ paa]xˆ1 [ pab]xˆ2 [ pat]xˆt [ pal]
[ pab]xˆ1 [ pbb]xˆ2
Xˆ 6.996 5.8 /1000 7.002m
二、按间接平差法求平差值的步骤
1. 根据平差问题选取t个独立量作为参数；
2. 将每一个观测值的平差值分别表达成参数的函数，对于 非线性函数线性化，列出误差方程； 3. 组成法方程；
4. 解算法方程，求出参数 xˆ ；
5. 计算参数的平差值，求出观测量的平差值。
A
h4 v4 Xˆ H D v4 Xˆ H D h4
1 P
C 3
取参数的近似值
2
4
B
D
X 0 H A h1 6.996m
Xˆ X 0 xˆ H A h1 xˆ 6.996 xˆ
得误差方程为：
v1 xˆ
v2 xˆ 3 v3 xˆ 20
v4 xˆ 6
[ pbt]xˆt
[ pbl]
[ pat]xˆ1 [ pbt]xˆ2 [ ptt]xˆt [ ptl]
例由高程已知的水准点A，B，C和D向待定点P作水准测 量，得观测值及线路长度如下：
h1=+3.476m,S1=1km,HA=3.520m,h2=+1.328m,S2=2km,
HB=5.671m，h3=+2.198m,S3=2km,HC=4.818m,h4=+3.234m,
间接平差函数模型： n1
t1
Lˆ B Xˆ d
n1 nt t1 n1
Xˆ X 0 xˆ
L V B(X 0 xˆ) d
l L (BX 0 d ) L L0
V B xˆ l
n1 nt t1 n1
间接平差随机模型：
D
nn
2 0
Q
nn
P2 1
0
按最小二乘原理，xˆ必须满足V T PV min的要求，则有：
(6) 代入(1)变化后得：
Lˆ4 Lˆ1 HA HB Xˆ1 HA HB
(6)、(7)代入(2)变化后得：
Lˆ3 Lˆ1 Lˆ2 Xˆ1 Xˆ 2
(8)、(9)代入(3)变化后得：
Lˆ5 Lˆ3 Lˆ4 2Xˆ1 Xˆ 2 2HA HB
（8） （9） （10）
Lˆ F ( Xˆ )
第七章 间接平差
重点：间接平差原理、数学模型、基础方程及其解，以 及精度评定等内容。
难点：水准网、测角网、导线网、GPS网间接平差时误 差方程的列立及线性化，求参数的非线性函数的中误差。
要求：通过本章的学习，牢固掌握间接平差的平差原理 并能推导全部的公式；能熟练地列出水准网平差误差方程， 以及参数的非线性函数的权函数式；并求出参数平差值、单 位权中误差和参数函数中误差。
V T PV V T P V V T PB 0
xˆ
xˆ
BT PV 0
V B xˆ l l L (BX 0 d )
n1 nt t1 n1
以上两式称为间接平差的基础方程,根据基础方程可得：
BT PB xˆ BT P l 0
令 NBB
tt
BT PB，W t1
BT Pl
则： NBB xˆ W 0
第二节 误差方程
要确定平差问题中未知数的个数； 选择哪些量作为未知数； 要考虑怎样列出平差值方程； 如何选取未知救的近似值； 如何写出误差方程。
一、确定未知数的个数 未知数的个数等于必要观测数 二、参数的选择
参数选择的原则：足数 独立 最简
采用间接平差，应该选定刚好足数而又独立的一组量 作为未知数。至于应选择其中哪些量为未知数，则可根据 实际需7.5 0
（3）解法方程：
xˆ 5.83(mm)
（4）计算改正数
V B xˆ l
v1 5.8mm，v2 2.8mm，v3 14.2mm，v4 0.2mm （5）计算平差值
Lˆ L V，Xˆ X 0 xˆ
Lˆ1 3.526m，Lˆ2 5.674m，Lˆ3 4.804m，Lˆ4 3.768m
第一节 间接平差原理
一、基础方程及其解
以P1、P2点平差后的高程为参数: Xˆ1, Xˆ 2
Lˆ1 Lˆ4 HA HB 0 （1）
P1
1 4
Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 0 （2） A
3
B
5
Lˆ3 Lˆ4 Lˆ5 0 （3）
2
P2
Lˆ1 HA Xˆ1 0 （4） Lˆ1 Xˆ1 HA （6） Lˆ2 HA Xˆ 2 0 （5） Lˆ2 Xˆ 2 HA （7）
S4=1km,HD= 3.768m ，
试按间接平差法求P点的高差平差值。
A
1
P
2
4
C
3
B
D
解： t＝1，选取P点的高程平差值为参数 Xˆ
（1）列误差方程
h1 h2 h3
v1 v2 v3
Xˆ Xˆ Xˆ
HA HB HC
v1 v2 v3
Xˆ Xˆ Xˆ
HA HB HC
h1 h2 h3
v1 1 0
v2
1
xˆ
3
vv43
1 1
20
6
（2）组成法方程： 取1km的观测高差为单位权观测，则可得：
1
1
1
P
0.5 0.5
Nbb
BT PB 1
1
1
1
1
0.5
1
3
0.5 1
1 1
1
0
W BT Pl 1 1 1 1
0.5
3
17.5
0.5 20