华师大版-数学-八年级上册-八年级数学 乘法公式 课后拓展训练
八年级数学上册 乘法公式专题训练 (新版)华东师大版
12.3乘法公式专题一与乘法公式有关的规律探究题1. 观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1（x-1）（x4+x3+x2+x+1）=x5-1（1）你能否由此归纳出一般性规律：（x-1）（x n-1+x n-2+x n-3+…+x2+x+1）=____；（2）根据（1）求出：1+2+22+…+262+263的结果.2.观察下面各式规律：12+（1×2）2+22=（1×2+1）2；22+（2×3）2+32=（2×3+1）2；32+（3×4）2+42=（3×4+1）2…写出第n个的式子，并证明你的结论．专题二与平方差公式有关的图形问题3. 如下图，把正方形的方块，按不同的方式划分，计算其面积，便可得到不同的数学公式．按图1所示划分，计算面积，便得到一个公式：（x+y）2=x2+2xy+y2．若按图2那样划分，大正方形则被划分成一个小正方形和两个梯形，通过计算图中的面积，请你完成下面的填空．（1）图2中大正方形的面积为__________；（2）图2中两个梯形的面积分别为__________；（3）根据（1）和（2），你得到的一个数学公式为______________________．4. 图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的面积为_______；（2）观察图2，三个代数式（m+n)2，（m-n)2，mn之间的等量关系是_______若x+y=-6，xy=2.75，则x-y=___________(4）观察图3，你能得到怎样的代数恒等式呢?（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2.专题三平方差公式的逆运用5.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：4=22-02，12=42-22，20=62-42，因此4，12，20都是“神秘数”（1）28和2 012这两个数是“神秘数”吗？为什么？（2）设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？（3）两个连续奇数的平方差（k取正数）是神秘数吗？为什么？状元笔记【知识要点】1. 平方差公式：(a+b)（a-b）=a2-b2．用语言叙述为：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．1.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2 -2ab+b2.语言叙述为：两数和（或差）的平方，【方法技巧】平方差公式常用的几种变化形式：(1)位置变化：(b+a)(-b+a）=(a+b)(a-b）=a2 -b2；(2)符号变化：（-a-b）（a-b）=-（a+b）（a-b）=-(a2-b2)；(3)系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=4a2-9b2；（4）指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4（5）增项变化：（a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2,…完全平方公式常有以下几种变化形式：(l)a2+b2=(a+b)2-2ab;(2)a2+b2=(a-b)2+2ab；(3)2ab=(a+b)2-(a2+b2);(4)2ab=(a2+b2)-(a-b)2；(5)(a+b)2=(a-b)2+4ab；（6）(a-b)2-(a+b)2=4ab.。
2024年华师大版八年级数学上册全套精品课件
2024年华师大版八年级数学上册全套精品课件一、教学内容本节课我们将学习2024年华师大版八年级数学上册教材第3章《整式的乘除》以及第4章《因式分解》。
详细内容包括整式的乘法法则、整式的除法法则、多项式乘以多项式、因式分解的定义及方法。
二、教学目标1. 理解并掌握整式的乘除法则，能够熟练地进行整式乘除运算。
2. 学会多项式乘以多项式的运算方法，并能应用于解决实际问题。
3. 掌握因式分解的定义及常用方法，能够对简单的多项式进行因式分解。
三、教学难点与重点教学难点：整式的除法法则、因式分解的方法。
教学重点：整式的乘法法则、多项式乘以多项式、因式分解的应用。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔、计算器。
五、教学过程1. 导入：通过一个实际情景引入整式的乘除，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2. 新课：讲解整式的乘法法则，通过例题进行讲解，然后让学生进行随堂练习。
3. 练习：针对整式的除法法则，设计一些练习题，让学生独立完成，然后进行讲解。
5. 新课：引入多项式乘以多项式，通过例题讲解，让学生学会运算方法。
6. 练习：设计一些多项式乘以多项式的练习题，让学生巩固所学知识。
7. 新课：讲解因式分解的定义及方法，通过例题进行讲解，让学生理解并掌握。
8. 练习：设计一些因式分解的练习题，让学生独立完成，然后进行讲解。
10. 互动：鼓励学生提问，解答学生在学习过程中遇到的问题。
六、板书设计1. 整式的乘法法则2. 整式的除法法则3. 多项式乘以多项式4. 因式分解的定义及方法七、作业设计1. 作业题目：（1）计算：3x(x+2) 2(x1)(x+2)（2）计算：(x+3)(x3) ÷ (x2)（3）因式分解：x^2 5x + 6（4）因式分解：2x^2 8x2. 答案：（1）3x^2 + 4x 2（2）x + 5（3）(x2)(x3)（4）2x(x4)八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对整式的乘除及因式分解掌握程度如何，有哪些需要改进的地方。
华师大版数学八年级上册12.3《乘法公式》说课稿
华师大版数学八年级上册12.3《乘法公式》说课稿一. 教材分析华师大版数学八年级上册12.3《乘法公式》这一节内容，是在学生已经掌握了有理数的乘法、平方差公式和完全平方公式的基础上进行讲解的。
本节课的主要内容是平方差公式和完全平方公式的推导以及应用。
这两个公式在数学中有着广泛的应用，对于学生解决实际问题具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法，具备了一定的数学基础。
但是，对于平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及如何运用这两个公式解决实际问题，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行讲解和辅导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平方差公式和完全平方公式的推导过程，理解其含义，并能熟练运用这两个公式解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，培养学生发现规律、归纳总结的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使其在解决实际问题的过程中，体验到数学的价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及如何运用这两个公式解决实际问题。
2.教学难点：平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及如何灵活运用这两个公式解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、发现规律。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件和网络资源，为学生提供丰富的学习资源。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习有理数的乘法，引出平方差公式和完全平方公式，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生通过观察、分析、推理等方法，发现平方差公式和完全平方公式的规律。
3.讲解与辅导：对学生的自主探究进行讲解和辅导，揭示平方差公式和完全平方公式的推导过程。
4.应用练习：布置一些实际问题，让学生运用平方差公式和完全平方公式进行解决，巩固所学知识。
华师大版-数学-八年级上册--华师大版八上13.3 乘法公式 两数和乘以这两数的差 教案--.
八年级上§13.3 乘法公式两数和乘以这两数的差教案三维教学目标知识与技能：1、学生掌握两数和乘以它们的差公式，会推导两数和乘以它们的差公式，并能运用公式进行简单的计算。
2、了解两数和乘以它们的差公式的几何背景。
过程与方法：经历探究两数和乘以及两数的差的过程，让学生明确这一公式来源于整式乘法，又可以用于整式的乘法辩证思想，掌握两数和乘以这两数的差的公式结构特征，并能正确应用.情感态度与价值观：形成自主、探究意识，树立良好的学风，体验知识的严密性，体会数形结合的思想.教学重点：掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。
教学难点：理解公式中字母的广泛含义。
课堂导入有一个狡猾的庄园主,把一边长为x米的正方形土地租给王大爷种植.有一年他对王大爷说:“我把这块地的一边增加5米,另一边减少5米,继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”王大爷一听觉得没有吃亏,就答应了.回到家中,就把这件事对邻居讲了,邻居一听,说:“王大爷您吃亏了!”王大爷非常吃惊,同学们,你能告诉王大爷这是为什么吗?教学过程一、复习回顾1、多项式乘以多项式的法则是什么？2、计算：（1）、(x+1)(x-1) (2) (m+3)(m-3) (3) (2x+1) (2x-1)二、探索归纳思考并回答以下问题：1、等式左边的三个多项式有什么特点？2、等式右边的多项式有什么规律？3、你能用上面的规律直接计算下列各式吗？（1）(a＋2)(a－2) （2）(3a＋1)(3a－1)4、你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？5、你能用图形解释两数和乘以它们的差的公式吗？概括：（a＋b）（a－b）＝a2－b2．这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差．三、举例应用例1计算：（1）（a＋3）（a－3）；（2）（2a＋3b）（2a－3b）；（3）（1＋2c）（1－2c）；（4）（－2x－y）（2x－y）．解（1）（a＋3）（a－3）＝ a2－32＝ a2－9．（2）（2a＋3b）（2a－3b）＝（2a）2－（3b）2＝ 4a2－9b2．（3）（1＋2c ）（1－2c ）＝ 12－（2c ）2＝ 1－4c 2．（4）（－2x －y ）（2x －y ）＝ （－y －2x ）（－y ＋2x ）＝ （－y ）2－（2x ）2＝ y 2－4x 2． 例2计算： 1998×２００２．解 1998×２００２＝ （2000－2）×（2000＋2）＝ 200０2－22＝ 4000000－4＝ 3999996． 例3街心花园有一块边长为a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少?解（a ＋2）（a －2）＝a 2－4（平方米）．答： 改造后的长方形草坪的面积是（a 2－4）平方米．四、课堂练习1. 计算：（1） （2x ＋1/2）（2x －1/2）；（2） （－x ＋2）（－x －2）；（3） （－2x ＋y ）（2x ＋y ）；（4） （y －x ）（－x －y ）．2. 计算：（1） 498×502；（2） 999×1001．3. 用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域时面积最大，而小亮认为不一定．你认为如何?答案：1、222222)4(,4)3(,4)2(,414)1(y x x y x x ---- 2、（1）249996 （2）9999993、围成一个正方形区域时面积最大五、课堂小结两数的和与这两个数的积等于这两个数的平方差。
最新华师版八上数学 12.3 乘法公式【上课课件】
课堂小结
(a+b)(a-b)=a2-b2 两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差. 这个公式叫做两数和与这两数差的乘法公式，有 时也简称为平方差公式.
2.两数和（差）的平方
华东师大版 八年级数学上册
新课导入 做一做
用多项式乘法法则计算：(a+b)2. (a+b)2=( a + b ) ( a + b )
当x=-2，y=3. 原式=10×(-2)2-10×32=40-90=-50
随堂练习
1.计算：
（1）(2x+
1 2
)(2x-
1
2)
解 (2x+ 1 )(2x- 1)
2
2
= 4x2- 1
4
（2）(-x+2)(-x-2) 解 (-x+2)(-x-2)
=-(-x+2)(x+2) =-(4-x2) =x2-4
=a2 +ab +ab +b2 (a+b)2=a2+2ab+b2
利用这个公式， 可以直接计算 两数和的平方.
这就是说，两数和的平方，等于这两数的平方 和加上它们的积的2倍.
这个公式叫做两数和的平方公式.
(a+b)2=a2+2ab+b2
探究新知
试一试
观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算：
a
b
a
b
a
= a2 +
ab + b2 a
b
ab
b
(a+b)2
= a2
+ 2ab + b2
例4 计算：
把2x和3y分 别看成a和b
华师大版数学八年级上册12.3《乘法公式》教学设计
华师大版数学八年级上册12.3《乘法公式》教学设计一. 教材分析“乘法公式”是华师大版数学八年级上册12.3节的内容，主要包括平方差公式和完全平方公式的引入、推导、应用和巩固。
本节内容在学生已掌握有理数的乘法、完全平方根等知识的基础上进行，为后续学习函数、不等式等知识打下基础。
平方差公式和完全平方公式是初中数学中的重要公式，掌握它们对于解决实际问题和进一步学习高中数学具有重要意义。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，对于新知识有一定的接受能力。
但部分学生在学习过程中可能会觉得乘法公式较为抽象，难以理解和记忆。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习困难，引导学生通过自主学习、合作交流等方式理解和掌握乘法公式。
三. 教学目标1.理解平方差公式和完全平方公式的含义，掌握其推导过程。
2.能够灵活运用平方差公式和完全平方公式进行计算和解决问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.教学重点：平方差公式和完全平方公式的推导过程，以及它们的运用。
2.教学难点：平方差公式和完全平方公式的理解和记忆，以及在实际问题中的运用。
五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生自主探究、发现乘法公式的规律，培养学生的独立思考能力。
2.案例分析法：通过分析实际问题，让学生学会将乘法公式应用于解决实际问题。
3.合作交流法：鼓励学生之间相互讨论、交流，提高学生的合作意识和沟通能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作乘法公式的课件，包括平方差公式和完全平方公式的推导过程、应用实例等。
2.练习题：准备一些有关乘法公式的练习题，用于课堂巩固和课后作业。
3.教学素材：收集一些实际问题，用于引导学生运用乘法公式解决问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用数学故事引入平方差公式和完全平方公式的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）展示平方差公式和完全平方公式的推导过程，让学生理解和掌握公式的来源。
华东师大八年级数学上册乘法公式及其应用导学案
乘法公式综合应用一、新知探索1.乘法公式的变形运用：①22()()4a b a b ab +=-+②22()()4a b a b ab -=+- ③2222()()2a b a b a b ++-+= ④22()()4a b a b ab +--= ⑤2222()2()2a b a b ab a b ab +=+-=-+ ⑥222222()()()()22a b a b a b a b ab +-+--+==- ⑦2222111()2()2a a a a a a+=+-=-+ 2.完全平方公式的非负性：①非负性:2222()0a ab b a b ±+=±≥②最值定理:a 、b 同号，则：222()a b a b +≤+，当且仅当时a b =时，取等。
二、典例剖析专题一：平方差公式的应用：考点一：例1. 1232－124×122【变式1】22()()x y z x y z -+-+-；【变式2】计算22004200420052003-⨯的值为多少？【变式3】2244()()()()y x x y x y x y ---+++【变式4】22222210099989721-+-++-…专题二：完全平方公式的应用：考点二：整体代换例3．已知：5,3x y xy +==，求：①22x y +； ②44x y +； ③2()x y -【变式 】（1）222212, 2.()=________()a b ab a b a b +==+-已知则；=______.（2）2224, 2.=()a b ab a b a b +==+-已知则________；=_______.（3）2224,12.______()a b a b ab a b +=+==-已知则；=_______.（4）2224, 2.________;()a b ab a b a b -==+=+已知则=_______.（5）2224,12.______;()=______a b a b ab a b -=+==+已知则.（6）224, 2.=_______;_________a b a b a b ab +=-=+=已知则.例4．已知：()()200920062a a --=，求：()()2220092006a a -+-的值考点三：形如221x x +的完全平方公式的变形运用 例5．2242411310,;x x x x x x -+=++已知求（1）（2）【变式】（08成都中考改）已知a 是方程x 2-5x+1= 0的解，则221a a +的值为多少？考点四：配方法问题例6．(09成都期末改)已知2226100x x y y ++-+=,求x,y 的值【变式】016822=+-++y y x ，则3x-2y 的值为多少？考点四：最值问题例7．多项式2(1)5x +-的最小值为____________【变式】已知n 是有理数，则二次三项式n 2-4n+7的最小值为___________。
八年级数学上册 第13章 整式的乘除 13.3 乘法公式拓展练习 华东师大版
乘法公式运用“八字诀”在八年级数学13.3《乘法公式》中，有两个重要的公式——平方差公式和完全平方公式，这两个公式的应用十分广泛．解题时，若能根据题目特点灵活运用，则能达到迅速解题的目的．如何运用上述公式呢？１．套：分清题中哪些数或式可以看作公式中的a 、b ，对号入座，直接套用公式． 例１．计算：)421)(214(22x x +-．分析：此题是两个二项式相乘，且这两个二项式中各有一完全相同的项24x ，另外一项－21与21互为相反数，符合平方差公式的结构特点，因此，可直接套用平方差公式． 解：)421)(214(22x x +-=4116)21()4(4222-=-x x ． ２．连：连续应用乘法公式．例２．计算：))()()()((884422b a b a b a b a b a ++++-分析：本题可以连续应用平方差公式来计算．解：原式＝))()(())()()((88444488442222b a b a b a b a b a b a b a ++-=+++- ＝16168888))((b a b a b a -=+-．３.逆：有些题目正向思考解题较为麻烦，若抓住题目的特征，逆用公式解题，往往显得简单． 例４．计算：22)43()32(a b b a --+ 分析：若直接运用完全平方公式展开再相减，运算量大，若把式中的“32b a +”与 “a b 43-”分别视为平方差公式中的a 、b ，逆用平方差公式，则运算简便． ４．选：有的题目能用几个公式计算，应选用哪个公式计算，这就要仔细观察全盘考虑，合理选用公式，才能使运算简便．例４．计算：222222)1()1()1()1(+++-+-a a a a a a分析：此题若将四个因式都按完全平方公式展开再相乘，则运算相当繁琐，若先应用乘法的交换律和结合律再逆用积的乘方法则，然后利用立方和（差）公式来解，便可化繁为简． 解：原式=23232222)1()1()]1)(1[()]1)(1[(+-=+-+++-a a a a a a a a = 12)1()]1)(1[(61226233+-=-=+-a a a a a ．５．凑：有些题目乍一看不符合公式的结构特征，但经过适当地拼凑，可以变成公式的形式．例５．计算：)52)(52(++-+-+z y x z y x分析：利用加法交换律和结合律，将上面的式子拼凑成符合公式的形式．解：原式＝22)()52()]()52)][(()52[(z y x z y x z y x --+=--+-++＝ 222225204z xy y x x -+-++．６．拆：将题目中的某些项有目的地进行分拆，使其符合公式的形式．例６．计算：)532)(132(+----y x y x分析：本题中的两个因式不符合乘法公式的特点，因而不能应用平方差公式来解．但若将本题两个因式中的项分别进行拆项完形：将前一因式的“－1”拆成“－3+2”，将后一因式的“5”拆成“3+2”，便可用平方差公式来计算．解：原式=)532)(132(+----y x y x =)]32()32)][(32()32[(----+-x y x y = 22)32()32(---x y =512412922-+--x x y y ．７．添：就是在不改变原式的值的前提下，将原式添上一个因式，使得它能运用乘法公式计算．例７．计算；1)12)(12)(12)(12(842+++++．分析：本题若添上一个因式“２－１”后，则可以连续四次运用平方差公式计算． 解：原式＝=+++++-1)12)(12)(12)(12)(12(842 1)12)(12)(12)(12(8422++++-＝1)12)(12)(12(844+++-＝16168821121)12)(12(=+-=++-．８．活：将公式巧妙变形，活用公式解题．乘法公式的变形有：ab b a b a 2)(222-+=+；ab b a b a 2)(222+-=+ ； 2)()(2222b a b a b a -++=+；22)(41)(41b a b a ab --+=，同学们在运用公式时，不应拘泥于公式的形式而要深刻理解、灵活运用．例３．已知a ，b 为自然数且a+b=40，①求22b a +的最小值；②求ab 的最大值．解：①∵2)()(2222b a b a b a -++=+=])(40[2122b a -+，∵2)(b a -≥0，∴当a=b 时，22b a +的有最小值，最小值为80040212=⨯；∵22)(41)(41b a b a ab --+== 22)(41)2(b a b a ab --+==222)(41400)(414041b a b a --=--⨯，∵2)(b a -≥0，∴当a=b 时，ab 有最大值，最大值为400．。
新华师大版八年级数学上册12.3《乘法公式》导学案
新华师大版八年级数学上册12.3《乘法公式》导学案第一课时 两数和乘以这两数的差学习目标1、从已有的整式乘法的知识中提练出两数和乘以这两个数的差这一乘法公式；2、经历探究两数和乘以这两数的差的过程，明确这一公式来源于整式乘法，又可用于整式乘法的辩证思想，掌握两数和乘以这两数差的公式的结构，并能正确应用。
学习重点：掌握两数和乘以它们的差的结构特征。
学习难点：正确理解两数和乘以它们的差的公式的意义。
学习关键：抓住本节公式的结构特征，判断哪些算式符合公式特征，哪些不符合公式的特征。
学习过程一、知识回顾1、口述多项式乘以多项式法则。
2、计算：（1）()()y x y x 322--；（2）()()y x y x +-44；（3）()()()()512314+--+--x x x x x二、计算观察，探索规律1、计算：()()b a b a -+=____________________________________________________________________。
2、平方差公式：两数和与这两数差的积，等于这两数的______________，即___________________________。
3、公式的结构特征：（1）公式的左边是__________________________，并且这两个二项式中有一项_______________，另一项_______________；（2）公式的右边是二项式中的两项的____________，即_____________的平方减去___________的平方；（3）公式中的a 、b 可以是具体的数，也可以是____________或________________。
4、公式的变形（1）位置变化：()()a b a b +-+=__________；（2）符号变化：()()b a b a ---=_______________________；（3）系数变化：()b a b a 35.0321-⎪⎭⎫ ⎝⎛+_________________________________________________________； （4）指数变化：()()2222b a b a -+=____________________________________________________________；（5）增项变化：()()c b a c b a +---=__________________；()()c b a c b a +--+=____________________；（6）增因式变化：()()()()b a b a b a b a +----+_________________________________________________；（7）连用公式变化：()()()()4422b a b a b a b a +++-=_____________________________________________；（8）逆用公式变化：22n m -=____________________________。
2021年秋华师大版八年级上册 12.3乘法公式(复习)课件ppt
课件在线
9
试一试
1、已知x+y=3,x2+y2=5,则xy的 值等于多少？
2、已知x-y=4,xy=21,则x2+y2的 值等于多少？
作业： 补充练习
课件在线
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结构特征: 左边是 二项式(即两数和 (差) )的平方; 右边是 两数的平方和加上(减去)这两数
乘积的两倍.
练一练
计算：
（1）（x＋2）（x－2） （2）（－m－n）（－m＋n） （3）（x＋y）2 （4）（－m－n）（m＋n）
课件在线
5
改一改
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (3) （3a+2）（3b-2）=9ab-4 (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (4) （0.5+a)(-a+0.5)=a2 -0.25
学校公开课 教育教学样板
讲课人：教育者
年
班
城南中学 蒲元军
回顾
(a+b)(a−b)=a2 − b2;
公式的结构特征: 左边是 两个二项式的乘积, 即两数和与这两数差的积.
右边是 这两数的平方差.
回顾
两数和的平方: (a+b)2= a2+ 2 ab + b2 两数差的平方: (a-b)2= a2 - 2 ab + b2
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想一想
.若x2 y2 12，x y 6，则x=
,
y
.
解：( x y) 12
x y 6
x y 2
x 4, y 2
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想一想
已知x+y=3，xy=-12，求下列各式 的值。
华师大版八年级数学上册第12章 整式的乘除 整合【新版】
专训一：整体思想在整式乘除运算中的应用名师点金：解决某些数学问题时，把一组数或一个式子看作一个整体进行处理，不仅可以简化解题过程，而且还能拓宽思路，培养创新意识，体现了数学中的一种重要思想——整体思想．这一思想在整式的乘法运算中体现明显，在解题中应用较多，要引起重视．幂的运算中的整体思想1．已知2x ＋5y －3＝0，求4x ·32y 的值．乘法公式运算中的整体思想类型1 化繁为简整体代入2．已知a ＝38x －20，b ＝38x －18，c ＝38x －16，求式子a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值．类型2 变形后整体代入3．已知x ＋y ＝4，xy ＝1，求式子(x 2＋1)(y 2＋1)的值．4．已知a －b ＝b －c ＝35，a 2＋b 2＋c 2＝1，求ab ＋bc ＋ca 的值．5．已知a2＋a－1＝0，求a3＋2a2＋2 016的值．6．已知(2 016－a)(2 014－a)＝2 015，求(2 016－a)2＋(2 014－a)2的值．多项式乘法运算中的整体思想类型1大数中的换元7．若M＝123 456 789×123 456 786，N＝123 456 788×123 456 787，试比较M与N的大小．类型2多项式中的换元8．计算：(a1＋a2＋…＋a n－1)(a2＋a3＋…＋a n－1＋a n)－(a2＋a3＋…＋a n－1)(a1＋a2＋…＋a n)(n≥3，且n为正整数)．专训二：因式分解的七种常见用途名师点金：因式分解是整式恒等变形中的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．用于简便计算1．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.2．计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132⎝ ⎛⎭⎪⎫1－142·…·(1－1102)·(1－1112)．用于化简求值3．已知2x －3＝0，求式子x(x 2－x)＋x 2(5－x)－9的值．用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大的两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状．用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，比较A与B的大小．用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长大96 cm，大正方形的面积比小正方形的面积大960 cm2，请你分别求出这两个正方形的边长．用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，….你发现了什么规律？请用含有n(n为正整数)的等式表示出来，并说明理由．专训三：整式的乘除中的几种热门考点名师点金：本章的主要内容有幂的运算，整式的乘除法，乘法公式，以及利用提公因式法和公式法分解因式等，在考试中，常常与数的运算、式子的化简求值、几何等知识综合在一起考查．中考中一般以基础题为主．幂的运算1．(2015·临沂)下列计算正确的是()A．a2＋a2＝2a4B．(－a2b)3＝－a6b3C．a2·a3＝a6D．a8÷a2＝a42．计算：(1)(－a2b)2＝________；(2)42 016×(－0.25)2 017＝________．3．已知：3x＋5y＝8，求8x·32y的值．整式的乘除运算4．下列计算结果是x2－6x＋5的是()A．(x－2)(x－3) B．(x－6)(x＋1)C．(x－1)(x－5) D．(x＋6)(x－1)5．若(－2x2)(3x2－ax－6)－3x3＋x2的结果中不含x的三次项，则a＝________．6．小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘(x－2y)错抄成除以(x －2y)，结果得到3x，则第一个多项式是什么？正确的结果应该是什么？7．先化简，再求值：2(2x－1)(2x＋1)－5x(－x＋3y)＋4x(－4x－52y)，其中x＝－1，y＝2.乘法公式的运用8．下列计算正确的是()A．(－x－y)(x＋y)＝x2－y2B．(x－y)2＝x2－y2C．(x＋3y)(x－3y)＝x2－3y2D．(－x＋y)2＝x2－2xy＋y29．运用乘法公式计算：(1)(m－2n＋3)(m＋2n－3)；(2)(a－3b＋2)2.10．(2014·绍兴)先化简，再求值：a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)，其中a ＝1，b ＝－12.11．已知x ＋y ＝3，xy ＝－7，求下列各式的值：(1)x 2＋y 2； (2)x 2－xy ＋y 2； (3)(x －y)2.利用提公因式法和公式法分解因式12．将下列各式分解因式：(1)2a 3b 2c ＋4ab 3c －abc ；(2)x 2＋4x ＋4；(3)(2a ＋b)(2a －b)＋b(4a ＋2b)；(4)x2(x－y)＋(y－x)；(5)3ax2－6axy＋3ay2.整式乘除的应用13．已知(x＋y)2＝5，(x－y)2＝3，求3xy－1的值．14．已知n是整数，试说明(2n＋1)2－1能被8整除．(第15题)15．(2014·青海)如图，长和宽分别为a ，b 的长方形，它的周长为15，面积为10，则a 2b ＋ab 2的值为________．16．△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且a ＋2ab ＝c ＋2bc ，请判断△ABC 是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．17．一天，小明在纸上写了一个算式：4x 2＋8x ＋11，并对小刚说：“无论x 取何值，这个式子的值都是正值，不信你试一试！”小刚动笔演算许多次，结果正如小明所说．小刚很困惑，你能运用所学的知识说明一下其中的道理吗？数学思想方法的应用a ．转化思想18．若2x ＝3，4y ＝5，则2x －2y 的值是( )A .35B ．－2C .355D .65b ．整体思想19．若m ＋n ＝3，则2m 2＋4mn ＋2n 2－6的值为( )A ．12B ．6C ．3D ．0c ．换元思想20．计算：2 0153－2 014×2 015×2 016.答案专训一1．解：4x ·32y ＝(22)x ·(25)y ＝22x ·25y ＝22x ＋5y .因为2x ＋5y －3＝0，所以2x ＋5y ＝3，所以原式＝23＝8.点拨：本题运用了整体思想和转化思想．2．解：由a ＝38x －20，b ＝38x －18，c ＝38x －16，可得a －b ＝－2，b －c ＝－2，c －a ＝4.从而a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝12[(a －b)2＋(b －c)2＋(c －a)2]＝12×[(－2)2＋(－2)2＋42]＝12×24＝12.3．解：(x 2＋1)(y 2＋1)＝x 2y 2＋x 2＋y 2＋1＝(xy)2＋(x ＋y)2－2xy ＋1.把x ＋y ＝4，xy ＝1整体代入，原式＝12＋42－2×1＋1＝16.4．解：由a －b ＝b －c ＝35，可以得到a －c ＝65.由(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝2(a 2＋b 2＋c 2)－2(ab ＋bc ＋ca)，得到ab ＋bc ＋ca ＝(a 2＋b 2＋c 2)－12[(a －b)2＋(b－c)2＋(a －c)2]．将a 2＋b 2＋c 2，a －b ，b －c 及a －c 的值整体代入，可得ab ＋bc＋ca ＝1－12×[(35)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫652]＝1－12×5425＝－225. 5．解：因为a 2＋a －1＝0①，所以将等式两边都乘a ，可得a 3＋a 2－a ＝0②.将①②相加，得a 3＋2a 2－1＝0，即a 3＋2a 2＝1.所以a 3＋2a 2＋2 016＝1＋2 016＝2 017.6．解：(2 016－a)2＋(2 014－a)2＝[(2 016－a)－(2 014－a)]2＋2(2 016－a)(2 014－a)＝22＋2×2 015＝4＋4 030＝4 034.点拨：本题运用乘法公式的变形x 2＋y 2＝(x －y)2＋2xy ，结合整体思想求解，使计算简便．7．解：设123 456 788＝a ，则123 456 789＝a ＋1，123 456 786＝a －2，123 456 787＝a －1.从而M ＝(a ＋1)(a －2)＝a 2－a －2，N ＝a(a －1)＝a 2－a.所以M －N ＝(a 2－a －2)－(a 2－a)＝－2＜0，所以M ＜N.8．解：设a 2＋a 3＋…＋a n －1＝M ，则原式＝(a 1＋M)(M ＋a n )－M(a 1＋M ＋a n )＝a 1M ＋a 1a n ＋M 2＋a n M －a 1M －M 2－a n M ＝a 1a n .点拨：本题如果按正常展开的方式来运算显然是很复杂的．这一类带“…”的题中，往往蕴藏着重要的技巧，而发现技巧的关键是观察．因此，在解决这类问题时，不要忙于解答，而要冷静观察，寻找解决问题的突破口．比如此题，在观察时能发现a 2＋a 3＋…＋a n －1这个式子在每一个因式中都存在．因此，可以考虑将这个式子作为一个整体，设为M ，问题就简化了，体现了整体思想的运用．专训二1．解：2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.2．解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12(1＋13)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13(1＋14)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14·…·(1＋110)(1－110)(1＋111)(1－111)＝32×12×43×23×54×34×…×1110×910×1211×1011＝12×1211＝611.3．解：原式＝x 3－x 2＋5x 2－x 3－9＝4x 2－9＝(2x ＋3)(2x －3)．当2x －3＝0时，(2x ＋3)(2x －3)＝0.4．解：所得的差一定能被9整除．理由：设该两位数个位上的数字是b ，十位上的数字是a ，且a ≠b ，则这个两位数是10a ＋b.将十位数字与个位数字对调后的数是10b ＋a ，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是|10a ＋b －(10b ＋a)|＝9|a －b|，所以所得的差一定能被9整除．5．解：∵a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac ＝0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ＝0.即a 2－2ab ＋b 2＋b 2－2bc ＋c 2＋a 2－2ac ＋c 2＝0.∴(a －b)2＋(b －c)2＋(a －c)2＝0.又∵(a －b)2≥0，(b －c)2≥0，(a －c)2≥0，∴a －b ＝0，b －c ＝0，a －c ＝0，即a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形．6．解：B －A ＝a 2＋a －7－a －2＝a 2－9＝(a ＋3)(a －3)．因为a ＞2，所以a ＋3＞0，从而当2＜a ＜3时，a －3＜0，所以A ＞B ；当a ＝3时，a －3＝0，所以A ＝B ；当a ＞3时，a －3＞0，所以A ＜B.7．解：设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎨⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960.②由①得x －y ＝24，③由②得(x ＋y)(x －y)＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40.⑤由③⑤得方程组⎩⎨⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，解得⎩⎨⎧x ＝32，y ＝8.答：大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm .点拨：根据目前我们所学的知识，还无法解方程组⎩⎨⎧4x －4y ＝96，x 2－y 2＝960，但是我们可以利用因式分解，把这个问题转化为解关于x ，y 的二元一次方程组的问题．8．解：规律：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝(n 2＋n ＋1)2.理由如下：n 2＋[n(n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n(n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n(n ＋1)]2＋2n(n ＋1)＋1＝[n(n ＋1)＋1]2＝(n 2＋n ＋1)2.专训三1．B2．(1)a 4b 2 (2)－0.253．解：8x ·32y ＝23x ·25y ＝23x ＋5y ＝28＝256.4．C 5.326．解：第一个多项式是3x(x －2y)＝3x 2－6xy.正确的结果是(3x 2－6xy)(x －2y)＝3x 3－12x 2y ＋12xy 2.7．解：原式＝2(4x 2－1)＋5x 2－15xy －16x 2－10xy＝8x 2－2＋5x 2－15xy －16x 2－10xy＝－3x 2－25xy －2.当x ＝－1，y ＝2时，原式＝－3×(－1)2－25×(－1)×2－2＝45.8．D9．解：(1)原式＝[m －(2n －3)][m ＋(2n －3)]＝m 2－(2n －3)2＝m 2－(4n 2－12n ＋9)＝m 2－4n 2＋12n －9.(2)原式＝[(a －3b)＋2]2＝(a －3b)2＋4(a －3b)＋4＝a 2－6ab ＋9b 2＋4a －12b ＋4.10．解：原式＝a 2－3ab ＋a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋ab ＝a 2＋b 2.当a＝1，b＝－12时，原式＝12＋⎝⎛⎭⎪⎫－122＝54.11．解：(1)x2＋y2＝x2＋2xy＋y2－2xy＝(x＋y)2－2xy＝32－2×(－7)＝23.(2)x2－xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－3xy＝(x＋y)2－3xy＝32－3×(－7)＝30.(3)(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝x2＋2xy＋y2－4xy＝(x＋y)2－4xy＝32－4×(－7)＝37.12．解：(1)原式＝abc(2a2b＋4b2－1)．(2)原式＝(x＋2)2.(3)原式＝(2a＋b)(2a－b)＋2b(2a＋b)＝(2a＋b)(2a－b＋2b)＝(2a＋b)2.(4)原式＝x2(x－y)－(x－y)＝(x－y)(x2－1)＝(x－y)(x＋1)(x－1)．(5)原式＝3a(x2－2xy＋y2)＝3a(x－y)2.13．解：由(x＋y)2＝5，(x－y)2＝3，可得x2＋2xy＋y2＝5①，x2－2xy＋y2＝3②.①－②得4xy＝2，∴xy＝1 2.∴3xy－1＝3×12－1＝12.14．解：(2n＋1)2－1＝[(2n＋1)＋1][(2n＋1)－1]＝2(n＋1)·2n＝4n·(n＋1)．因为n是整数，所以n与n＋1是两个连续的整数，而两个连续的整数中必有一个偶数，所以n·(n＋1)能被2整除，所以4n·(n＋1)能被8整除．故(2n＋1)2－1能被8整除．点拨：要说明(2n＋1)2－1能被8整除，只要将此式因式分解，说明各因式的积能被8整除即可．15．7516．解：△ABC是等腰三角形．理由如下：∵a＋2ab＝c＋2bc，∴(a－c)＋2b(a－c)＝0，∴(a－c)(1＋2b)＝0.∵1＋2b＞0，∴a＝c.∴△ABC为等腰三角形．17．解：∵4x2＋8x＋11＝4(x2＋2x＋1)＋7＝4(x＋1)2＋7，且(x＋1)2≥0，∴4(x ＋1)2＋7≥7.即无论x取何值，4x2＋8x＋11的值都是正值．18．A19.A20．解：设2 015＝a，则原式＝a3－(a－1)·a·(a＋1) ＝a3－a(a2－1)＝a3－a3＋a＝a＝2 015.。
华东师大版数学八年级上册 第12章 乘法公式中的几何问题练习题(无答案)
乘法公式中的几何问题一．选择题（共5小题）1．小翠利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（）A．2 B．=a2﹣b2C．2=a2﹣2ab+b22．如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（）A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b3．若a+b=3，a2+b2=7，则ab等于（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣14．计算（2x﹣1）（1﹣2x）结果正确的是（）A．4x2﹣1 B．1﹣4x2C．﹣4x2+4x﹣1 D．4x2﹣4x+15．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a＞2），将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）A．a2+4 B．2a2+4a C．3a2﹣4a﹣4 D．4a2﹣a﹣2二．填空题（共6小题）6．如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是．7．如图，一个正方形被分成两个正方形和两个一模一样的矩形，请根据图形，写出一个含有a，b的正确的等式．8．如图，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的等式为．9．若x2﹣ax+9是一个完全平方式，则a=．10．若x2+（m﹣1）x+16是一个完全平方式，则m=．11．已知4x2﹣mxy+9y2是关于x，y的完全平方式，则m=．三．解答题（共17小题）12．图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．方法1：方法2：（2）观察图②请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系．；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：a﹣b=5，ab=﹣6，求：（a+b）2的值；②已知：，求：的值．13．一天，王明和李玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2．（1）图③可以解释为等式：（2）要拼出一个长为a+3b，宽为2a+b的长方形，需要如图①所示的块，块，块．（3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案，指出以下关系式：（1）xy=（2）x+y=m（3）x2﹣y2=mn（4）x2+y2=其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个．14．如图1，是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线剪成四个完全一样的小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中阴影部分的面积为；（2）用两种不同的方法计算图2中阴影部分的面积，可以得到的等式是（只填序号）；①（m+n）2=m2+2mn+n2 ②（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2 ③（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn（3）若x﹣y=﹣4，xy=，则x+y=．成一个大正方形．（1）图b中的小正方形的边长等于；（2）图a中四个长方形的面积和为；图b中四个小长方形的面积和还可以表示为．（3）由（2）写出代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系：；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：若x+y=8，xy=7，则（2x﹣2y）2=．16．如图，有多个长方形和正方形的卡片，图甲是选取了2块不同的卡片，拼成的一个图形，借助图中阴影部分面积的不同表示可以用来验证恒等式a（a+b）=a2+ab成立．（1）根据图乙，利用面积的不同表示方法，写出一个代数恒等式；（2）试将等式（a+b）2=补充完整，并用上述拼图的方法说明它的正确性．17．探索题：图a是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图b 的形状拼成一个正方形．（1）请用两种不同的方法，求图b中阴影部分的面积：方法1：；方法2：；（2）观察图b，写出代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系，并通过计算验证；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若2a+b=5，ab=2，求（2a﹣b）2的值．方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．（1）图2中阴影部分的面积为；（2）观察图2，请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（3）根据（2）中的结论，若x+y=5，xy=4，求x﹣y的值．19．若我们规定三角“”表示为：abc；方框“”表示为：（x m+y n）．例如：=1×19×3÷（24+31）=3．请根据这个规定解答下列问题：（1）计算：=；（2）代数式为完全平方式，则k=；（3）解方程：=6x2+7．20．如图：边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．（1）图（1）中阴影部分的面积为，图（2）阴影部分面积为．（2）通过观察比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式为．计算：102×98（不用公式计算不得分）21．阅读与观察：我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他所著的《详解九章算法》艺术中，揖录了如图1所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，经观察研究发现，在两腰上的数位1的前提下，杨辉三角有许多重要的特点，例如：每个数都等于它上方两数之和等等．如图2，某同学发现杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．（1）通过观察，请你写出杨辉三角具有的任意两个特点；（阅读材料中的特点除外）（2）计算：993+3×992+3×99+1；（3）请你直接写出（a+b）4的展开式．22．大家一定熟知杨辉三角（Ⅰ），观察下列等式（Ⅱ）根据前面各式规律，则（a+b）5=。
最新华东师大版2021 2021学年八年级上册数学《乘法公式》教案(
最新华东师大版2021 2021学年八年级上册数学《乘法公式》教案（最新华东师大版2021-2021学年八年级上册数学《乘法公式》教案（新课程标准《乘法公式》教案教学目标1、经历探究两数和乘以这两数的差的过程来推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征，并能有意识地用平方差公式进行简单的运算；了解平方差公式的几何背景；2.在探索平方差公式的过程中，培养学生的符号意识和推理概括能力；理解平方差公式的几何背景，实现代数与几何的内在统一；3、学生通过推导两数和的平方公式，了解公式的几何背景，理解并掌握公式的结构特征，并能进行简单的计算，能用文字、字母表达两数和的平方公式；4.通过推导两个数之差的平方公式，学生可以了解公式的几何背景，理解和掌握公式的结构特点，进行简单的计算，并用文字和字母教学重点表达两个数之差的平方公式平方差公式的应用；两个数之和与两个数之差平方的公式教学难点（1）平方差公式的结构特征及其有效地应用；学而不思则罔，思而不学则殆尽。
新--课--标（2）平方差公式的几何意义；（3）对公式中字母a、b的广泛含义的理解与正确应用.教学过程【一】活动1竞赛激智，建立模型，揭示公式问题1：看谁能快速准确地回答以下四个问题的计算结果（5＋3）（5－3）（0.5＋0.3）（0.5－0.3）（5＋0.3）（5－0.3）（0.5＋3）（0.5－3）（全部结果出来后）追问：你是如何计算的？设计意图：以竞赛为载体，以自主参与为教学形式，让学生对计算速度产生怀疑：那些计算速度总是很快的人，我怎么能像他们一样？激发了学生的求知热情问题2：请计算下列多项式的积：(1)(x＋1)(x－1)(2)(m＋2)(m－2)(3)(2x＋1)(2x－1)问题1：计算结果的规则是什么学而不思则罔，思而不学则殆。
华师大版数学八年级上册乘法公式牛老师
第12章整式的乘除12.3 乘法公式同步测试题投我以桃，报之以李。
《诗经·大雅·抑》翰辰学校李道友组长1．下列算式能用平方差公式计算的是( )A．(2a＋b)(2b－a) B．(12＋x)(－12－x) C．(3x－y)(－3x＋y) D．(－m－n)(－m＋n)2．若(ax＋3y)2＝4x2＋12xy＋by2，则a，b的值分别为( )A．a＝4，b＝3 B．a＝2，b＝3 C．a＝4，b＝9 D．a＝2，b＝93．已知x2＋2mx＋9是完全平方式，则m的值为( )A．1 B．3 C．－3 D．±34．为了运用平方差公式计算(x＋3y－z)(x－3y＋z)，下列变形正确的是( ) A．[x－(3y＋z)]2 B．[(x－3y)＋z][(x－3y)－z]C．[x－(3y－z)][x＋(3y－z)] D．[(x＋3y)－z][(x－3y)＋z]5．计算(x＋3y)2－(x－3y)2的结果是( )A．12xy B．－12xy C．6xy D．－6xy6．计算(a＋b－c)(a－b－c)的结果是( )A．a2－2ac＋c2－b2 B．a2－b2＋c2 C．a2－2ab＋b2－c2 D．a2＋b2－c2 7．化简(m2＋1)(m＋1)(m－1)－(m4＋1)的结果是( )A．－2m2 B．0 C．－2 D．－2m48．对于任意正整数n，能整除(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的整数是( ) A．3 B．6 C．9 D．109．如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为(a＋2)的小正方形(a＞2)，将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( )A．a2＋4 B．2a2＋4ª C．3a2－4a－4 D．4a2－a－210．若a2－b2＝6，a－b＝3，则a＋b的值为________．11．若m＋n＝2，mn＝1，则m2＋n2＝________.12．若a2＋b2＝7，ab＝2，则(a－b)2的结果是________．14．用乘法公式计算：(2923)2＝________.15．计算：(a－b＋3)(a＋b－3)＝_________________16．已知x－y＝2，则12x2－xy＋12y2＝_______.17．观察下列各式：1×3＝22－1，3×5＝42－1，5×7＝62－1，7×9＝82－1，……，请你把发现的规律用含字母n(n为正整数)的等式表示为_________________________．18．运用适当的公式计算：(1)(3a－2b)(－3a－2b)(2)(3x－5)2－(2x＋7)2；(3)(x＋y＋1)(x＋y－1)；(4)(2x－y－3)2.9．已知a＋b＝3，ab＝－12，求下列各式的值．(1)a2＋b2；(2)(a－b)2.20．先化简，求值：(a＋b)(a－b)＋b(a＋2b)－(a＋b)2，其中a＝1，b＝－2.21．已知实数a，b满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝25，求a2＋b2＋ab的值．22．已知：a2＋2a＋b2－6b＋10＝0，求ab的值．23．我们知某些代数恒等式可用一卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A可以用来解释a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．(1)图B可以解释的代数恒等式是_________(2)现有足够多的正方形和矩形卡片，如图C：①若要拼出一个面积为(a＋2b)(a＋b)的矩形，则需要1号卡片_______张，2号卡片______张，号卡片_______张；②试画出一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形，使该矩形的面积为2a2＋5ab＋2b2.答案：1----5 DDDCA 6----9 ACDC10. 2 11. 2 12. 3 13. 0 14. 8801915. a2－b2＋6b －9 16. 217. (2n －1)(2n ＋1)＝(2n)2－118. (1)原式＝－9a2＋4b2(2)原式＝[(3x －5)＋(2x ＋7)][(3x －5)－(2x ＋7)]＝(3x －5＋2x ＋7)(3x －5－2x －7)＝(5x ＋2)(x －12)＝5x2－58x －24(3)原式＝[(x ＋y)＋1][(x ＋y)－1]＝(x ＋y)2－1＝x2＋2xy ＋y2－1(4)原式＝[(2x －y)－3]2＝(2x －y)2－6(2x －y)＋9＝4x2－4xy ＋y2－12x ＋6y ＋919. (1)a2＋b2＝(a2＋2ab ＋b2)[JP2]－2ab ＝(a ＋b)2－2ab ＝33(2)(a －b)2＝a2－2ab ＋b2＝(a2＋2ab ＋b2)－4ab ＝(a ＋b)2－4ab ＝5720. 原式＝a2－b2＋ab ＋2b2－a2－2ab －b2＝－ab ，当a ＝1，b ＝－2时，原式＝221. ∵(a ＋b)2＝1，(a －b)2＝25，∴a2＋b2＋2ab ＝1，a2＋b2－2ab ＝25.∴4ab ＝－24，ab ＝－6，∴a2＋b2＋ab ＝ (a ＋b)2－ab ＝1－(－6)＝722. ∵a2＋2a ＋[JP]b2－6b ＋10＝0，∴a2＋2a ＋1＋b2－6b ＋9＝0，∴(a ＋1)2＋(b －3)2＝0，∴a＋1＝0，b－3＝0，∴a＝－1，b＝3，∴ab＝(－1)3＝－123. (2n)2＝4n2(2) ①(a＋2b)(a＋b)＝a2＋ab＋2ab＋2b2＝a2＋3ab＋2b2，即需要1号卡片1张，2号卡片2张，3号卡片3张，故答案为：1，2，3.②如图：2a2＋5ab＋2b2＝(2a＋b)(a＋2b)【素材积累】辛弃疾忧国忧民辛弃疾曾写《美芹十论》献给宋孝宗。
华师大版-数学-八年级上册--高效课堂-华师大八上数学乘法公式导学案
13.3乘法公式学习目标、重点、难点【学习目标】1、掌握平方差公式；2、掌握完全平方公式；【重点难点】平方差公式和完全平方公式的应用；知识概览图平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2 (a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2新课导引“加强环境管理，共创美好家园”已逐渐成为各个社区的工作重点，欧风花园有一块边长为a m 的正方形草坪，现经统一规划后，南北方向要加长2 m ，而东西方向要缩短2 m ，你能算出改造后草坪的面积吗?【问题探究】 根据面积公式及多项式的乘法法则，可得 (a ＋2)(a －2)＝x 2－4，你能观察出结果有什么特点吗?【解析】 结果是这两个数的平方差．教材精华知识点1两数和乘它们的差(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2．即：两数和与它们的差的积，等于这两数的平方差．拓展 公式的结构特征：(1)公式左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．(2)公式右边是二项式中的两项的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方．(3)公式中的a 和b 可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．(4)平方差公式(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2常有如下几种变化形式．①位置变化：(b ＋a )(－b ＋a )＝a 2－b 2；②符号变化：(－a －b )(a －b )＝b 2－a 2；③系数变化：(12a ＋3b )(0.5a －3b )＝(12a )2－(3b )2＝14a 2－9b 2； ④指数变化：(a 2＋b 2)(a 2－b 2)＝(a 2)2－(b 2)2＝a 4－b 4；⑤增项变化：(a －b －c )(a －b ＋c )＝(a －b )2－c 2；(a ＋b －c )(a －b ＋c )＝a 2－(b －c )2；⑥增因式变化：(a ＋b )(a －b )(－a －b )(－a ＋b )＝(a 2－b 2)(a 2－b 2)；⑦连用公式变化：(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)(a 4＋b 4)＝a 8－b 8；完全平方公式 乘法公式⑧逆用公式变化：m2－n2＝(m＋n)(m－n)．知识点2平方差公式的验证根据“生活链接”中相应的几何图形，启发同学们自行验证平方差公式．如图所示，可见图中阴影部分的面积为(a＋b)(a－b)．图中阴影部分的面积还等于两个边长分别为a与b的正方形的面积之差，即a2－b2，从而验证了公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2的正确性．拓展这种验证是有局限性的．因为图形中的a，b只能是正数，且有a＞b，而公式中的a，b并无此限制．知识点3平方差公式的应用在应用平方差公式写出两个多项式的乘积之前，必须先判断是否具备使用这个公式的条件．这就要看相乘的两个多项式是否可以写成(a＋b)(a－b)的形式．因为公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的a和b分布在两个括号里，所以判断时要把两个括号里的项进行比较，如果有一项相同，而另一项互为相反数(注意这里并没说第一项相同，第二项互为相反数)，那么就可以利用平方差公式进行计算了．拓展不仅可以利用平方差公式计算(x＋2)(x－2)，(2x＋12y)(2x－12y)这类比较简单的题目，还可以运用这个公式计算(a＋b－c)(a－b＋c)，98×102这样的题目，虽然它们表面上不符合公式，但可以转化为符合公式的形式．(a＋b－c)(a－b＋c)＝；98×102＝(100－2)(100＋2)．要真正掌握一个公式，除了理解公式的本质、掌握公式的特征之外，还要进行一定的练习，才能达到灵活掌握、应用自如的水平．知识点4 两数和的平方(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．即：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们乘积的2倍．如图所示的图形既可以看做是一个大正方形，又可以看做是由两个正方形和两个长方形拼成的图形．把它看做是一个大正方形，则其边长为a＋b，所以这个大正方形的面积为(a＋b)2．若把这个图形看做是由四个比较小的图形拼接而成的，则其面积应该等于四个组成部分的面积之和．图中标注了“I”“Ⅱ”“Ⅲ”“Ⅳ”的各部分的面积依次为a2，ab，ab，b2，它们的和与(a＋b)2一样，也是整个图形的面积，从而有(a＋b)2＝a2＋ab＋ab＋b2，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2．①把a－b看做是a＋(－b)，又得到：(a－b)2＝2＝a2＋2a·(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2，即(a－b)2＝a2－2ab＋b2．②拓展公式的结构特征：(1)公式的左边是两数和的平方；(2)公式的右边是二次三项式，它是左边两数的平方和加上左边两数积的两倍；(3)该公式可简单记为：首平方，尾平方，乘积2倍放中央．知识点5 完全平方公式的应用抓住公式的特征是正确应用公式的前提，完全平方公式的特征也可以叙述为：一个二项式的完全平方，其结果有三项，其中两项是这个二项式各项的平方，还有一项是这个二项式中各项乘积的两倍．应用完全平方公式的步骤是：先确定两数，即确定谁相当于公式中的a，谁相当于公式中的b，再看好是两数的和或差，最后按照公式写出两数和或差的平方的结果．例如：在(2a＋b)2中，2a相当于公式中的a，正确的计算是(2a＋b)2＝(2a)2＋2·(2a)·b ＋b2＝4a2＋4ab＋b2．拓展(1)一些本来不是二项式的式子的平方也可以利用完全平方公式来计算，关键是使其转化为二项式的平方．如计算(a＋b＋c)2，可以把这个代数式转化为2或2，把b＋c或a＋b看做是一个整体(一个字母)，当然，也可以把这个式子转化为2．实际操作时要看怎样做最有利于计算．(2)运用完全平方公式还应注意以下几点：①切勿把完全平方公式与公式(ab)2＝a2b2相混淆，或随意写成(a＋b)2＝a2＋b2；②切勿把“乘积项”2ab中的2丢掉；③计算时，要先观察题目特点，看是否符合公式的条件，若不符合，应先变形为符合公式的形式，再利用公式进行计算，若不能变为符合公式的形式，则应运用乘法法则进行计算．探究交流观察下面的运算是否正确，如果不正确，请说明理由，并改正．(2a＋3b)2＝(2a)2＋(3b)2＝4a2＋9b2．解析不正确．对于一个两数和的平方的算式，其运算结果一定是三项．(2a＋3b)2＝(2a)2＋2·2a·3b＋(3b)2＝4a2＋12ab＋9b2．|小结| 换元思想：渗透换元思想，提高通过式子的变形应用公式的能力是本节课的关键．公式中的字母可以表示一个数，也可以表示一个代数式，因此，比较复杂的代数式，常常可用化繁为简(换元)的方法，转化成一个符合公式形式的式子后应用公式计算．课堂检测基础知识应用题1、计算．(1)(3m＋2n)(3m－2n)；(2)(b＋2a)(2a－b)．综合应用题2、先化简，再求值．(a＋b)(a－b)＋(a＋b)2－2a2，其中a＝3，b＝－13．探索创新题3、观察下列式子：1×2×3×4＋12×3×4×5＋13×4×5×6＋14×5×6×7＋1……请回答下列问题．(1)概括上面四个式子的特点，并用语言叙述出来；(2)你能猜想出一个怎样普遍性的结论？(3)请说明你的猜想．体验中考1、下列运算正确的是( )A．(a－b)2＝a2－b2B．(－a2)3＝－a6C．x2＋x2＝x4D．3a3·2a2＝6a62、先化简，再求值．2a(a＋b)－(a＋b)2，其中a b.学后反思附：课堂检测及体验中考答案课堂检测1、分析本题考查平方差公式的应用．(2)题不是标准的(a＋b)(a－b)的形式，需要变形．解：(1)(3m＋2n)(3m－2n)＝(3m)2－(2n)2＝9m2－4n2．(2)(b＋2a)(2a－b)＝(2a＋b)(2a－b)＝(2a)2－b2＝4a2－b2.【解题策略】运用平方差公式计算这两个数的平方差时，不能忽略系数的部分，即不能出现(3m＋2n)(3m－2n)＝3m2－2n2的错误．2、分析本题考查平方差公式与完全平方公式的综合应用．先化简，再将a，b的值代入即可求值．解：原式＝(a2－b2)＋(a2＋2ab＋b2)－2a2＝a2－b2＋a2＋2ab＋b2－2a2＝2ab．当a＝3，b＝－13时，原式＝2×3×(－13)＝－2．【解题策略】解本题要注意：(1)公式运用要准确；(2)去括号时符号问题；(3)计算结果必须化简成不含同类项的代数式．3、解：(1)四个连续正整数的积与1的和．(2)1×2×3×4＋1＝24＋1＝25＝52，2×3×4×5＋1＝112，3×4×5×6＋1＝192，4×5×6×7＋1＝292，猜想一个普遍性的结论是：四个连续正整数的积与1的和一定等于某个整数的平方．(3)设四个连续整数为n，n＋1，n＋2，n＋3，则有n(n＋1)(n十2)(n＋3)＋1＝＋1＝(n2＋3n)2＋2(n2＋3n)＋1＝(n2＋3n＋1)2．由于n是整数，故n2是整数，所以n2＋3n＋1一定是整数．所以(n2＋3n＋1)2是一个平方数，所以(2)中的结论具有普遍性．【解题策略】由特殊到一般的方法是探究规律的重要方法，在猜想验证过程中，由于验证的数据总是有限的，故必须找到规律，结论成立的理论依据，如本题的依据是和的完全平方式．体验中考1、B 分析A选项考查完全平方公式，(a－b)2＝a2－2ab＋b2，故A选项错误；B选项考查幂的乘方，(－a2)3＝－(a2)3＝－a6；C选项考查合并同类项，x2＋x2＝2x2，故C选项错误；D选项考查单项式乘以单项式，3a3·2a2＝(3×2)(a3·a2)＝6a5，故D选项错误．故选B．2、分析本题主要考查完全平方公式与化简求值，是道基础题．解：原式＝(2a2＋2ab)－(a2＋2ab＋b2)＝2a2＋2ab－a2－2ab－b2＝a2－b2．当a b时，原式＝2－)2＝3－5＝－2．。
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乘法公式
1．下列计算错误的是 ( )
A ．(x －2)(x ＋2)＝x 2－4
B ．(3a －1)(3a ＋1)＝9a 2－1
C ．(－m －n )(－m ＋n )＝m 2－n 2
D ．22111224x y x y y x ⎛⎫⎛⎫-+--=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
2．下列各式错误的是 ( )
A ．(3a －b )2＝9a 2－6ab ＋b 2
B ．(－12x －y )2＝14
x 2＋xy ＋y 2 C ．(a ＋b －c )2＝(c －a －b )2 D ．(x ＋y )(x －y )(x 2－y 2)＝x 4－y 4
3．如图13—6(1)所示，在边长为d 的正方形中挖掉一个边长为b 的正方形(a ＞b )，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图13—6(2)所示)，通过计算两个图形阴影部分的面积验证了一个等式，则这个等式是 ( )
A ．a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )
B ．(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2
C ．(a ＋2b )(a －b )＝a 2＋ab －2b 2
D ．(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2
4．下列可以写成完全平方形式的多项式有 ( )
①x 2＋xy ＋y 2；②a 2－ab ＋14
b 2；③m 2＋2mn ＋4n 2；④1/9－a ＋a 2． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
5．不论x ，y 为何实数，x 2＋y 2－2x －4y ＋5的值总是 ( )
A ．负数
B ．零
C ．非负数
D ．正数
6．已知1a ＋a ＝3，那么21a
＋a 2的值是 ( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11
7．若x －y ＝2，x 2－y 2＝10，则x ＋y ＝ ．
8．多项式9x 2＋1加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是 ．(填上一个你认为正确的即可)
9．计算20042－2003×2005的结果是 ．
10．计算．
(1)103×97； (2)734×814
； (3)(－2m －3n 2)2； (4)1012－992．
11．化简：(a ＋2)(a －2)－a (a －1)．
12．当x＝－1
5
，y＝1时，求(3x＋2y)(3x－2y)＋(x－2y)2的值．
13．先化简，再求值．
(2a＋1)2－2(2a＋1)＋3，其中a.
参考答案
1．D
2．D
3．A
4．A
5．C
6．B
7．5
8．6x或－6x
9. 1
10．(1)解：103×97＝(100＋3)(100－3)＝1002－9＝10000－9＝9991．(2)解：73
4
×8
1
4
＝(8－1
4
)(8＋
1
4
)＝82－(
1
4
)2＝64－
1
16
＝63
15
16
. (3)解：(－2m－3n2)2＝2＝(2m＋3n2)2＝4m2
＋12mn2＋9n4．(4)解法1：1012－992＝(101＋99)(101－99)＝200×2＝400．解法2：1012－992＝(100＋1)2－(100－1)2＝1002＋200＋1－1002＋200－1＝200＋200＝400．11．解：原式＝(a2－4)－(a2－a)＝a2－4－a2＋a＝a－4．
12. 解：(3x＋2y)·(3x－2y)＋(x－2y)2＝9x2－4y2＋x2－4xy＋4y2＝10x2－4xy．当x＝－1
5
，
y＝1时，原式＝10×1
25
－4×(－
1
5
)×1＝
6
5
.
13．解：原式＝4a2＋4a＋1－4a－2＋3＝4a2＋2．当a时，原式＝4×)2＋2＝8＋2＝10．。