材力第八章

第八章 应力应变状态分析

8.1 何为单向应力状态?何为二向应力状态? 圆轴受扭时，轴表面各点处于何种应力状态?梁受横力弯曲时，梁顶、梁底及其他各点处于何种应力状态?

答：只有一个主应力不为零的应力状态为单向应力状态，只有两个主应力不为零的应力状态为二向应力状态。圆轴受扭时，轴表面各点处于二向应力状态，梁受横力弯曲时，梁顶、梁底及其他各点分别处于单向、单向和二向应力状态。

8.2构件如图所示。（1）确定危险点的位置。（2）用单元体表示危险点的应力状态。

答：（a ）体内任意点都是危险点，

（b ）右段内外表面上任意点都是危险点， （c ）固定端上顶点是危险点， （d ）构件内外表面上任意点都是危险点，

(a) )/(42d F π)/(323d M e π(b) )/(163d M e π(c) )

/(323d Fl π)/(163

d M

e π(d) )

/(2d π

8.3 对图示构件，求A 、B 两点的应力分量，并用单元体表示。 答：A 点：所在横截面的内力

kN

Fs kNmm M A 12060000500120==⋅=

MPa

h

y bh F MPa I y M A s xy y z A

A x 6.5)41(23,

0,5.372

2

=-==-=-=τσσ

B 点：所在横截面的内力

kN

F kNmm M s B 402000050040-==⋅=

MPa h

y

bh F MPa I y

M B s xy y z

B B x 87.1)41(23,

0,5.122

2

=-=

===τσσ

8.4在图示各单元体中，试用解析法和图解法求斜截面ab 上的应力.应力的单位MPa 。

解：

（a ）35

)2cos()2sin(2

35)2sin()2cos(2

2

,70,70,303030=+-=

=--+

+=

=-===ατασστατασσσσ

στσσαxy y

x xy y

x

y

x xy y x

（b ）

,70

0,70,70,303030======

τστσσαxy y x 20

,50,30,60)d (0,50,100,210)d (0,50,100,60)c (-======-======xy y x xy y x xy y x τσσατσσατσσα (a)

(c) (d) (e) 5．6MPa

5MPa

1．87MPa

8.5 对图示单元体(应力单位为MPa)，试用解析法求解： (1) 主应力与主方向； (2) 在单元体上示出主应力。(σ 1 = 11.2MPa ，σ 2 =0,，σ 3 = -71.2MPa ，α0= -38°(σ1) ) 解： MPa,

2.71,0MPa,2.112

.11)2

(

22.11)2

(2

52,3876

2,42)2tan(40

,20,403212

2max 2

2max 020100-===∴=---+=

=--++==-=-=-=--=

-=-=-=σσστσσσσστσσσσσααασστατσσxy y

x y x xy y

x y

x y

x xy

xy y x

8.6 二向应力状态如图所示(应力单位为MPa), 试求主应力。[(a)σ 1 = 80MPa , σ 2

=

40MPa, σ 3 = 0;(b)σ 1 = 25MPa , σ 2 =0, σ 3 = -25MPa,α0= -45°]

解：（a ） （b ）

,40,80MPa,

32.17)2sin(2

40

)

2cos(2

20,50,80321===∴=-=

=⇒-+

+=

===σσσασστσασσσσστσσαααy

x y y

x y

x xy x

0,25231==-=σσσ

(b)

8.7．锅炉直径D =1m,壁厚t =10mm,内受蒸汽压力 p = 3MPa.是求： (1) 壁内主应力及一点的最大剪应力；(2) 斜截面ab 上的正应力及剪应力。

[(1) σ 1 = 150 MPa , σ 2 = 75MPa , σ 3 =0 ,τmax = 75 Mpa; (2) σα = 131MPa , τα= -32.5 Mpa ]

解：（1）MPa 5.3720MPa,754MPa

15010

21000

3221max 321=-=≈===⋅⋅==σστσσσt pD t pD （2）MPa 32)2sin(2

MPa 131)

2cos(22,,6012-=-==-++====ασστασσσσσσσσσαααy

x y x y x y x 8.8边长为a = 10mm 的正方体钢块恰好置入刚性模孔中，上面受合力F = 9kN 的均布力

作用.钢块中各点的应力状态相同， 钢块的弹性模量E = 200GPa ，泊松比μ = 0.3， 求钢块中各点的主应力、主应变和最大剪应力。

(σ 1 =σ 2 = -38.57MPa ,σ 3 = -90MPa ,ε1= ε2= 0 , ε3 = -3.3410-4

,τmax

= 25.72 MPa)

解：（1）MPa

90MPa

6.381)]

([1

,0MPa 90100

9000

33

2131221

2223-=-=-==⇒+-=∴=====-=

σμ

μσσσσσμσεσσεεσE

A F （2）4

2133213

1max 103.3)

(0

MPa

7.252

-⨯=--=

==⊕=-=

⊕E

σσμσεεεσστ

(d)

1