二次函数抛物线

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二次函数抛物线顶点式顶点坐标顶点式y=a(x-h)^2+k

二次函数抛物线顶点式顶点坐标顶点式：y=a(x-h)^2+k 顶点坐标：(-b/2a,(4ac-b^2)/4a) 在二次函数的图像上顶点式：y=a(x-h)^2+k 抛物线的顶点P（h,k）顶点坐标：对于二次函数 y=ax^2+bx+c 其顶点坐标为 (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)考点扫描 1．会用描点法画出二次函数的图象． 2．能利用图象或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置． 3．会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式． 4. 将一般式化为顶点式。

讲解 1．二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 顶点坐标 (0，0) (h，0) (h，k) () 对称轴 x=0 x=h x=h x= 当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；因此，研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便． 2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=，顶点坐标是()． 3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x≤时，y随x的增大而减小；当x≥时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤时，y随x的增大而增大；当x≥时，y随x的增大而减小． 4．抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当△=b2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x2-x1|=．当△=0．图象与x轴只有一个交点；当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0． 5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=时，y最小(大)值=．顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值． 6．用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax2+bx+c(a≠0)． (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h) 2+k(a≠0)． (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)． 7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。

抛物线的基本公式

抛物线的基本公式
抛物线是一种二次函数，它有一种特殊的外形，既不是直线也不是圆弧。

这种形状的函数有助于我们更好地理解数学概念，也有助于我们解决实际中的问题。

本文将讨论抛物线的基本公式，并分析抛物线的特点及应用。

首先，我们来看一下抛物线的基本公式为什么是这样的：y=ax^2 + bx + c。

其中，a是一个常数，可以用来控制抛物线的开口方向，b和c是常数，用来控制抛物线的位置。

此外，在抛物线中，将变量x称为“平方项”，而其它变量（包括a、b和c）称为“非平方项”。

当a>0时，抛物线的开口方向是逆时针的；当a<0时，抛物线的开口方向是顺时针的。

由此可见，只要适当改变a的值，就可以使抛物线围绕某一定点移动。

此外，抛物线的非平方项对开口方向也有影响。

如果b值大于0，抛物线的开口方向是逆时针的；如果b值小于0，抛物线的开口方向是顺时针的。

c的符号决定抛物线的位置，当c>0时，抛物线朝上，当c<0时，抛物线朝下。

由于它的特殊形状，抛物线可以应用于许多领域，如物理、地质、天文、统计学等。

抛物线可以用来描述物体的加速度，物体运动的轨迹也可以用抛物线函数来表示。

在统计学中，抛物线常用来模拟数据变化趋势。

最后，抛物线在经济学、金融学等领域也有着广泛的应用。

比如，可以用抛物线来模拟不同行业的供求关系，或者用来探讨物价的上涨
之后带来的供求关系。

总之，抛物线的基本公式：y=ax^2 + bx + c，它可以用来控制抛物线的形状、位置和开口方向，还可以用于物理、地质、天文、统计学、经济学、金融学等多个领域，已经成为多种研究和应用中不可缺少的重要工具。

二次函数的应用抛物线的实际应用

二次函数的应用抛物线的实际应用二次函数的应用：抛物线的实际应用引言：二次函数是数学中重要的一种函数形式，它的图像为一个抛物线。

抛物线在现实生活中有着广泛的应用，无论是物理学、经济学还是工程学，都离不开对二次函数的应用。

本文将重点介绍抛物线的实际应用，并探讨二次函数在这些应用中的角色。

一、抛物线在物理学中的应用1. 自由落体运动自由落体运动是我们熟知的物理现象，物体在重力作用下自由下落。

这一过程可以用二次函数来描述。

假设物体从高度 h0 自由下落，高度随时间的变化可以用二次函数 h(t) = -gt^2 + h0 来表示，其中 g 是重力加速度，t 是时间。

抛物线的开口向下，表达了物体的下降趋势，通过解析二次函数，我们可以计算物体的下落时间、最大高度等重要物理量。

2. 抛物线弹道在射击或投掷物体时，抛物线弹道也是常见的现象。

例如，运动员射击目标、棒球手投掷棒球等。

这些抛物线弹道可以利用二次函数进行建模。

通过观察抛物线的顶点和开口方向，我们可以分析射击或投掷的角度、速度等因素，帮助运动员准确命中目标。

二、抛物线在经济学中的应用1. 成本与收益在经济学中，成本与收益是决策的重要因素。

当生产或经营某种产品时，成本和收益之间往往存在着二次函数关系。

成本一般随着产量的增加而呈抛物线增长，而收益则随着产量的增加而呈抛物线增长，二者的交点即为盈亏平衡点。

通过分析二次函数的图像，我们可以找到最大化收益、最小化成本的最优产量或定价策略。

2. 市场供需市场供需关系也可以用二次函数进行建模。

供需的交点是市场均衡点，也就是商品的实际价格。

市场需求一般随着价格的下降而增加，而市场供应一般随着价格的上升而增加，二者的交点即为市场均衡。

通过分析二次函数的图像，我们可以预测市场的价格波动和供需的变化趋势。

三、抛物线在工程学中的应用1. 科学研究在科学研究中，抛物线的应用非常广泛。

例如，在天体力学中，通过二次函数可以描述天体的轨迹；在工程力学中，通过二次函数可以建立材料的变形模型，以便研究材料的受力行为。

高中抛物线知识点总结

高中抛物线知识点总结高中抛物线知识点总结抛物线是一条二次函数，它的图像呈现出一个弧形，常见于物理、数学和工工科中。

在高中学习中，抛物线是一个重要的数学概念之一，在数学、物理和工程学中都有广泛的应用。

在此本文将为您介绍抛物线的基本概念、性质以及解题方法等知识点。

1. 抛物线的基本概念抛物线的定义是由一个不在同一平面的点P和一条确定的直线l，绕P旋转一周所形成的曲线叫做抛物线。

其中点P叫做焦点，直线l叫做准线。

抛物线的标准方程是 y = ax^2 + bx +c ，其中a,b,c是常数，a 不等于0。

当 a > 0 时，抛物线开口向上，当a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 抛物线的性质（1）对称性抛物线的图像具有对称性，也就是有轴对称线。

这条对称线称为抛物线的轴线，它通过焦点和准线的垂线交点。

（2）焦点、准线和顶点的关系对于对称轴y = k，横坐标为h的点P(x,y), 有以下关系式成立：（i）焦点坐标为 F(h,k+p)，其中p=1/(4a)（ii）准线的方程为 y = k-p（iii）顶点坐标为 V(h,k)（3）焦距的意义焦距是从焦点到准线的距离，它的值等于 1/(4a)。

焦距的意义在物理学中有广泛应用，例如椭圆轨道和双曲线轨道等。

（4）最值和拐点抛物线最值和拐点是求解抛物线的重要问题：（i）当抛物线开口向上时，最小值就是它的顶点V(h,k)，最大值不存在。

（ii）当抛物线咕咕向下时，最大值就是它的顶点V(h,k)，最小值不存在。

（iii）抛物线拐点存在的条件为 a 不等于 0。

求抛物线的拐点（x,y)，只需要将一阶导数为0的得到解析式，然后代入求y坐标值。

3. 抛物线的应用抛物线在日常生活和工程学中有着广泛的应用，其中的一个典型实例是进行投掷运动的物理解析。

在投射问题中，抛物线成为空气中物体运动的轨迹，其中重力在垂直方向上作用，空气阻力在垂直方向上不作用。

抛物线还有一些其他的应用，包括：（1）建筑物的设计，例如拱形门廊和地理石的建筑设计。

二次函数与抛物线

二次函数与抛物线二次函数与抛物线在数学中是两个非常重要的概念。

它们都属于二次曲线的一种，具有许多相似的性质和特点。

本文将从定义、图像、性质和应用等方面来介绍二次函数与抛物线。

一、二次函数的定义与图像二次函数是指一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不等于零。

二次函数的图像是一条平滑的曲线，形状可以是开口向上或开口向下。

开口向上的二次函数在顶点处取得最小值，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值。

二、抛物线的定义与图像抛物线是指平面上一类特殊的曲线，具有横轴对称性。

它的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a不等于零。

抛物线的图像可以是开口向上或开口向下，具体形状取决于a的正负。

开口向上的抛物线在顶点处取得最小值，开口向下的抛物线在顶点处取得最大值。

三、二次函数与抛物线的性质1. 顶点：对于二次函数和抛物线而言，顶点是最重要的点之一。

它代表了函数的最值所在位置。

顶点的横坐标可以通过x = -b/2a来求得，纵坐标可以将横坐标代入函数表达式中求得。

2. 对称轴：二次函数和抛物线都具有关于对称轴对称的性质。

对称轴是垂直于横轴并通过顶点的一条直线，方程为x = -b/2a。

3. 开口方向：二次函数和抛物线的开口方向由二次项系数a的正负来决定。

当a大于零时，开口向上；当a小于零时，开口向下。

4. 零点：对于一般的二次函数和抛物线来说，求解零点对应于函数的解或者交点的横坐标值。

可以通过将函数表达式置零然后求解得到。

5. 判别式：二次函数和抛物线的判别式D是指b^2-4ac的值，它可以用来判断函数的图像和性质。

当D大于零时，函数有两个不同的实根，图像与横轴有两个交点；当D等于零时，函数有一个重根，图像与横轴有一个交点；当D小于零时，函数无实根，图像与横轴无交点。

四、二次函数与抛物线的应用1. 物理学：二次函数和抛物线可以描述物体的运动轨迹、抛物线的飞行轨迹等。

抛物线的全部知识点

抛物线的全部知识点
抛物线，是二次函数的一种特殊形式，具有许多重要的性质和
应用。

以下是抛物线的全部知识点：
一、基本概念：
1. 抛物线的定义：抛物线是一个平面曲线，其形状类似于拱形，由平面上与一条直线相交的点满足等距离性质而得。

2. 抛物线的方程形式：一般式、顶点式和焦点式三种形式。

3. 抛物线的基本特征：抛物线具有对称轴、顶点、焦点、直线
方程等基本特征。

二、性质和应用：
1. 对称性：抛物线是对称的，对称轴是垂直于开口的轴线。

2. 焦点性质：抛物线上的每个点与其焦点的距离都相等。

3. 直线方程：可以利用抛物线定义的等距离性质和焦点性质推导出抛物线的直线方程。

4. 最值点：抛物线的顶点是最值点，即最高点或最低点。

5. 角度性质：抛物线上任何一点处的切线与该点到焦点的直线夹角相等。

6. 物理应用：抛物线在物理中有着广泛应用，如投掷运动、抛射运动等。

7. 工程应用：在建筑、桥梁、船舶、汽车等工程领域中，抛物线也有重要应用。

三、综合练习：
1. 抛物线的一般式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c都是常数，通过调整它们的值可以控制抛物线的开口、大小、位置等特性。

2. 已知抛物线上的顶点和一个点的坐标，可以求出该抛物线的方程。

3. 抛物线的焦距和半轴长度的比值称为离心率，是描述抛物线形状的指标。

4. 抛物线在平面内的射线与抛物线的交点分布在一条直线上，称为准线。

5. 通过抛物线的焦点和准线可以得到抛物线的方程。

总之，抛物线是数学中的重要概念之一，其具有许多重要的性质和应用，需要我们在学习中加以掌握和应用。

《二次函数抛物线的性质》知识点整理

《二次函数抛物线的性质》知识点整理1抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是轴（即直线x=0）2抛物线有一个顶点P，坐标为P/4a)当-b/2a=0时，P在轴上；当Δ=b^2-4a=0时，P在x轴上。

3二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a 要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a 要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率的值。

可通过对二次函数求导得到。

常数项决定抛物线与轴交点。

抛物线与轴交于（0，）6抛物线与x轴交点个数Δ=b^2;-4a＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b^2;-4a=0时，抛物线与x轴有1个交点。

_______Δ=b^2-4a＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4a的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f=4a-b?/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{|≥4a-b^2/4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为=ax^2+7特殊值的形式①当x=１时=a+b+②当x=-1时=a-b+③当x=2时=4a+2b+④当x=-2时=4a-2b+8定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①=ax^2+bx+[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，/4a）；⑷Δ=b^2-4a,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②=a^2+[顶点式]此时，对应极值点为（h，），其中h=-b/2a，=/4a；③=a[交点式（双根式）]（a≠0）对称轴X=/2当a>0且X≧/2时，随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。

二次函数抛物线开口大小与a的关系

一、概述二次函数是高中数学中重要的内容之一，而其中的抛物线开口大小与参数a之间的关系也是一个常见的研究课题。

通过对二次函数的数学表达形式以及图像特点的分析，可以清晰地展现抛物线的开口大小和参数a之间的关系。

本文将对此进行深入探讨。

二、二次函数的一般形式和抛物线的开口方向二次函数一般形式为：y = ax^2 + bx + c其中a、b、c为常数，且a不等于0。

这里我们主要关注参数a对抛物线的开口大小所造成的影响。

首先我们需要了解二次函数图像的一般形态。

当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。

这是由于a的正负决定了二次函数中x^2的正负，进而影响了整个函数的凹凸性质。

三、参数a与抛物线开口大小的关系1. 当a大于0时当a大于0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的抛物线开口朝上。

这是因为a大于0时，二次项正，即把x^2项看作一个整体，整体是正的。

这样的话，整个二次函数图像就是开口朝上的。

实际表现为抛物线在y轴上方向上开口。

如图1所示。

2. 当a小于0时当a小于0时，二次函数y = ax^2 + bx + c的抛物线开口朝下。

这是因为a小于0时，二次项负，即把x^2项看作一个整体，整体是负的。

这样的话，整个二次函数图像就是开口朝下的。

实际表现为抛物线在y轴下方向上开口。

如图2所示。

四、参数a绝对值的大小与抛物线的开口大小的关系1. 当|a|大于1时当|a|大于1时，二次函数y = ax^2 + bx + c的高低曲线会变得更为陡峭。

当|a|越大时，抛物线的开口越小，抛物线越尖锐。

如图3所示。

2. 当0小于|a|小于1时当0小于|a|小于1时，二次函数y = ax^2 + bx + c的高低曲线会变得更为平缓。

当|a|越小时，抛物线的开口越大，抛物线越平缓。

如图4所示。

五、结论通过以上分析可得出结论：参数a对二次函数抛物线的开口大小有着直接的影响。

当a的绝对值越大时，抛物线的开口越小；而当a的绝对值越小时，抛物线的开口越大。

抛物线的四种参数方程

抛物线的四种参数方程1. 什么是抛物线？抛物线是一种二次函数图形，其形状类似于开口向上或向下的弯曲曲线。

它是二维平面上的一个几何图形，由定义其形状的方程描述。

2. 抛物线的一般方程抛物线的一般方程是：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是常数，x和y是坐标。

a决定了抛物线的开口方向和弯曲程度，b 决定了抛物线在x方向上的平移，c决定了抛物线在y轴上的平移。

3. 抛物线的四种参数方程除了一般方程之外，抛物线还可以用四种参数方程来描述。

这些参数方程分别是：方程一：x = ty = at^2 + bt + c方程二：x = -ty = at^2 - bt + c方程三：x = 2aty = at^2 + c方程四：x = -2aty = at^2 + c这四种参数方程可以从一般方程中导出，通过对x和y进行参数化处理得到。

4. 参数方程的优势为什么要用参数方程来描述抛物线呢？参数方程在一些情况下更加直观且便于理解和计算。

它们可以帮助我们更好地理解抛物线的性质和图形特点。

例如，在物理学中，质点在矢量形式的加速度的作用下运动时，常常采用参数方程来描述其运动轨迹，而抛物线正是质点在重力加速度下的典型运动轨迹之一。

5. 参数方程的推导和使用这里以方程一为例来介绍参数方程的推导和使用。

给定一般方程：y = ax^2 + bx + c令 t = x，则可以得到参数方程：x = ty = at^2 + bt + c在这个参数方程中，t相当于参数，可以取任意实数值。

通过取不同的t值，就可以得到抛物线上的不同点。

例如，当t=0时，x=0，y=c，即抛物线的顶点坐标为(0, c)；当t=1时，x=1，y=a+b+c，即抛物线上的另一个点为(1, a+b+c)。

参数方程可以方便地描述抛物线上的每个点。

当我们需要计算抛物线上某一点的坐标时，只需要给定对应的t值，代入参数方程即可得到结果。

6. 参数方程的应用参数方程在物理学、工程学和计算机图形学等领域中具有广泛的应用。

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质总结二次函数（Quadratic Function）是高中数学中重要的一个部分，是指一种形式为y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。

二次函数的图像是一条抛物线，其性质包括：开口方向、顶点、对称轴、最值、零点、增减性等。

下面将对二次函数的图像和性质进行详细总结。

一、图像特征：1.开口方向：-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

2.顶点：-对于抛物线开口向上的情况，顶点是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，顶点是抛物线的最高点。

3.对称轴（y轴）：- 对于一般的二次函数y=ax²+bx+c，其对称轴的方程为x=-b/2a；-对于抛物线开口向上的情况，对称轴是抛物线的最低点；-对于抛物线开口向下的情况，对称轴是抛物线的最高点。

4.最值：-对于抛物线开口向上的情况，最小值为顶点的纵坐标；-对于抛物线开口向下的情况，最大值为顶点的纵坐标。

5.零点：- 零点是指二次函数y=ax²+bx+c与x轴的交点；-二次函数可能有0个、1个或2个零点；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

6.增减性：-当a>0时，抛物线开口向上，函数在对称轴两侧递增；-当a<0时，抛物线开口向下，函数在对称轴两侧递减。

二、性质总结：1.函数的解析式：- 二次函数的解析式一般形式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0；-通过解析式可以得到函数的图像特征。

2.零点：-零点是指函数与x轴的交点；- 零点可以通过解二次方程ax²+bx+c=0来求解；- 当判别式D=b²-4ac>0时，有两个不相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根；- 当判别式D=b²-4ac<0时，无实数根。

高二数学抛物线知识点

高二数学抛物线知识点一、抛物线的定义抛物线是一个二次函数的图像，其一般形式为 $y = ax^2 + bx +c$，其中 $a$, $b$, $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。

当$a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。

二、抛物线的图形特征1. 对称性：抛物线关于其对称轴对称，对称轴的方程为 $x = -\frac{b}{2a}$。

2. 顶点：抛物线的最高点或最低点称为顶点，其坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。

3. 焦点和准线：对于开口向上或向下的抛物线，可以定义焦点和准线。

焦点位于距离顶点 $\frac{1}{4a}$ 处，准线则是与抛物线对称且平行于对称轴的直线，距离顶点 $\frac{1}{4a}$。

三、标准抛物线方程1. 顶点在原点的抛物线方程为 $y = ax^2$。

2. 经过原点的抛物线方程为 $x^2 = 4py$（开口向下）或 $x^2 = -4py$（开口向上），其中 $p$ 是焦点到准线的距离。

四、抛物线的性质1. 焦点性质：从任意一点 $(x, y)$ 到焦点的距离等于该点到准线的距离。

2. 切线性质：抛物线上任意一点的切线与该点到顶点的连线垂直。

3. 弦性质：抛物线上任意两点连线的中点到顶点的距离等于该中点到对称轴的距离。

五、抛物线的应用1. 物理运动：抛物线常用于描述物体在重力作用下的自由落体运动和斜抛运动。

2. 工程学：在建筑设计中，拱桥和某些屋顶结构的形状可以近似为抛物线。

3. 优化问题：在寻找最大或最小值的问题中，抛物线的性质可以用于确定最优解。

六、抛物线的图像绘制1. 确定顶点和对称轴。

2. 选择几个 $x$ 值，计算对应的 $y$ 值。

3. 在坐标系中标出这些点，并平滑连接以形成抛物线。

二次函数抛物线的性质.doc

二次函数抛物线的性质七年级数学是初中数学的基础，因此必须学习好七年级数学知识，大家在数学课上学习了很多知识点，在课下要及时的进行复习回顾，为此下面为大家带来2017七年级数学下册知识点：二次函数抛物线的性质，希望对大家提高七年级数学水平有所帮助。

初一年级二次函数抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b )/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当= b -4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数= b ;-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

= b ;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

_______= b -4ac0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数(x= -bb -4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a)当a0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b?/4a;在{x|x-b/2a}上是减函数，在{x|x-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y4ac-b /4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax +c(a0)7.特殊值的形式①当x=1时y=a+b+c②当x=-1时y=a-b+c③当x=2时y=4a+2b+c④当x=-2时y=4a-2b+c8.定义域：R值域：(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b )/4a，正无穷);②[t，正无穷)奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax +bx+c[一般式]⑴a0⑵a0，则抛物线开口朝上;a0，则抛物线开口朝下;⑶极值点：(-b/2a，(4ac-b )/4a);⑷=b -4ac,0，图象与x轴交于两点：([-b-]/2a，0)和([-b+]/2a，0);=0，图象与x轴交于一点：(-b/2a，0);0，图象与x轴无交点;②y=a(x-h) +k[顶点式]此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b )/4a;③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a0)对称轴X=(X1-X2)/2 当a0 且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a0且X≦(X1+X2)/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)。

抛物线最值问题

抛物线最值问题抛物线是二次函数的一种，其一般形式为f(x)=ax²+bx+c (a ≠0)。

在解决实际问题时，我们经常会遇到与抛物线最值相关的问题。

这类问题通常涉及到求函数的最大值或最小值，以及确定使函数取得最值的自变量的值。

下面我们来探讨一下抛物线最值问题的解决方法。

我们需要了解抛物线的开口方向和对称轴。

开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。

对称轴是抛物线上的一条水平直线，使得抛物线上的点关于这条直线对称。

对称轴的方程为x=-b/2a。

我们可以根据抛物线的开口方向和对称轴来确定函数的最值。

1. 当a>0时，抛物线向上开口，函数在对称轴处取得最小值。

最小值为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。

此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最小值。

2. 当a<0时，抛物线向下开口，函数在对称轴处取得最大值。

最大值为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。

此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最大值。

3. 当a=0时，抛物线变为一次函数y=ax²+bx+c。

此时，函数在顶点处取得最大值或最小值。

顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。

此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最大值或最小值。

通过以上分析，我们可以总结出求解抛物线最值问题的一般步骤：1. 确定抛物线的开口方向和对称轴。

2. 根据开口方向和对称轴确定函数的最值及其对应的自变量的值。

3. 将最值代入实际问题中进行求解。

二次函数和抛物线的关系

二次函数和抛物线的关系好呀，今天咱们聊聊二次函数和抛物线的关系，嘿嘿，听起来有点复杂，但其实就是一件非常有趣的事情。

想象一下，你在公园里看见小朋友们在玩，他们在追逐嬉戏，偶尔还会摔倒，哈哈，真是让人忍俊不禁。

二次函数就像是这些小朋友们的运动轨迹，时而高高在上，时而低低在下。

你瞧，这样的轨迹，正是抛物线的魅力所在。

抛物线呢，就是二次函数的“化身”，它们俩的关系就像一对好朋友，形影不离，随时随地都在一起。

你知道吗，二次函数的标准形式是这样的：( y = ax^2 + bx + c )。

其中的 (a)、(b)、(c) 就像是调味料，各自为这个函数增添了不同的风味。

想想吧，(a) 的正负会影响抛物线的开口方向，像个调皮的小孩，开口向上就像他在欢呼，开口向下则像他在垂头丧气。

再说说 (b) 和 (c)，它们决定了抛物线的平移和位置，让这个轨迹有了自己的“个性”，嘿嘿，真是太有意思了。

咱们再聊聊抛物线的顶点，这可是个重要的角色。

顶点就像是明星，所有的目光都聚焦在它身上。

你看，顶点的位置由公式 ( (frac{b{2a, f(frac{b{2a)) ) 来决定。

听起来像是魔法公式一样，对吧？其实就是在告诉我们，抛物线最高或最低的点在哪儿。

说不定你还会用到这玩意儿去寻找生活中的最佳时机，哈哈，顶点的智慧无处不在。

说到这，咱们也不能忘了抛物线的对称性。

抛物线的对称轴就像是一个神秘的分界线，左右两边一模一样，简直就是数学界的双胞胎。

只要你知道了顶点的位置，对称轴的方程就能轻松得出。

这就像是生活中的平衡，咱们要学会寻找生活中的对称和和谐，才能让日子过得更顺心。

二次函数的图像还有很多有趣的性质，比如与x轴的交点。

交点的个数可真是影响深远，有可能是两个、一个，甚至没有。

你能想象吗？生活中也常常会有这样的选择，某些时候会有很多选择，有些时候却只有一条路可走。

而这些交点就像是我们人生的节点，关键时刻选择正确的方向，才能走得更顺畅。

二次函数对称称轴求抛物线

二次函数对称称轴求抛物线
抛物线是一种二次函数，它的图像是一条弯曲的线，它的形状可以用一个二次函数来描述。

抛物线的对称轴是一条垂直于抛物线的直线，它是抛物线的中心线，也是抛物线的对称轴。

抛物线的对称轴可以用一个二次函数来描述，这个函数的形式y=ax^2+bx+c，其中a是抛物线的开口方向，b是抛物线的对称轴，c是抛物线的顶点。

抛物线的对称轴可以用一个简单的方法来求解，首先，我们可以求出抛物线的顶点，然后，我们可以用顶点的坐标来求出抛物线的对称轴。

抛物线的对称轴可以用来求解抛物线的一些特性，比如抛物线的最大值和最小值，抛物线的极值点，抛物线的拐点，抛物线的极大值点和极小值点等。

抛物线的对称轴是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解抛物线的特性，并且可以帮助我们更好地求解抛物线的一些特性。

因此，抛物线的对称轴是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解抛物线的特性，并且可以帮助我们更好地求解抛物线的一些特性。

抛物线的最大值最小值公式

抛物线的最大值最小值公式
抛物线是二次函数的图像，在代数学中，我们经常需要求解抛物线的最大值和
最小值，这可以通过一些简单的数学方法来实现。

二次函数的一般形式
一个一般的二次函数的形式可以表示为：
f(x)=ax2+bx+c
其中a、b和c分别是二次项系数、一次项系数和常数项。

抛物线的顶点
对于一个二次函数f(x)=ax2+bx+c，它的顶点坐标可以通过以下公式求得：$$ x_v = -\\frac{b}{2a} $$
$$ y_v = f(x_v) = -\\frac{b^2 - 4ac}{4a} $$
顶点坐标(x v,y v)就代表了抛物线的最大值或最小值，具体是最大还是最小则
取决于二次函数的开口方向。

最大值和最小值判断
1.当a>0时，抛物线开口朝上，y v为最小值；
2.当a<0时，抛物线开口朝下，y v为最大值。

这些规律可以帮助我们判断二次函数的最大值和最小值，从而更好地理解抛物
线的性质。

实例
为了更好地理解，我们举一个简单的例子：
f(x)=2x2−4x+1
首先，我们计算顶点坐标：
$$ x_v = -\\frac{-4}{2 \\times 2} = 1 $$
y v=2−4+1=−1
所以，该二次函数的顶点坐标为(1,−1)，也就是最小值点。

综上所述，通过二次函数的顶点公式和最大值最小值的判断规律，我们可以轻松地求解并理解抛物线的性质。

中考数学知识点：二次函数抛物线的性质

中考数学知识点：二次函数抛物线的性质（学习版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制学校：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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抛物线的方程都是二次函数

我们要判断“抛物线的方程都是二次函数”这个陈述是否正确。

首先，我们需要理解什么是抛物线和二次函数。

抛物线是一种二次曲线，它的方程可以表示为 y = ax^2 + bx + c，其中 a, b, c 是常数，且a ≠ 0。

二次函数则是指形式为 y = ax^2 + bx + c 的函数，其中 a, b, c 是常数，且a ≠ 0。

现在，我们要判断所有的抛物线方程是否都是二次函数。

根据定义，所有的抛物线方程都可以表示为 y = ax^2 + bx + c 的形式，其中 a, b, c 是常数，且a ≠ 0。

因此，所有的抛物线方程都是二次函数。

所以，“抛物线的方程都是二次函数”这个陈述是正确的。

抛物线二级结论大全及证明过程

抛物线二级结论大全及证明过程抛物线二次函数的结论与其定义是密切相关的。

可以用如下方式表示：y = ax² + bx + c。

这里，a, b和c分别表示抛物线二级方程中常量项的值。

二级抛物线结论大全包括：1、抛物线的颠倒是具有相同的性质的，这意味着它的定义相同。

因此，当a>0时，抛物线的极值点将在抛物线的两端，当a<0时，抛物线的极小值点将在抛物线的两端。

2、抛物线两端拐点的坐标可以通过抛物线方程中常量项的值来求出：x=-b/2a y=ax²+bx+c。

3、抛物线的最大值或最小值（根据a的符号而定）可以通过计算出来：y=ax²+bx+c。

4、抛物线的斜率在拐点处为零，在拐点附近都是正斜率，表达式为：m=-b/2a。

5、抛物线的离心率（eccentricity）可以通过a的绝对值计算得到：e²=1-(b²/4ac)。

6、抛物线的偏心率可以通过它的离心率求出：e=|a|/c。

证明过程：1、由于抛物线的定义是y = ax² + bx + c，因此当a>0时，抛物线的极值点将在抛物线的两端，而当a<0时，抛物线的极小值点将在抛物线的两端。

可以这样证明：抛物线定义式中，如果a>0，那么此抛物线函数图像上升，即图像呈正偏态，抛物线的极值点将在两端；如果a<0，则反之，此抛物线函数图像下降，即图像呈负偏态，抛物线的极小值点将在两端。

2、抛物线两端拐点的坐标可以通过抛物线方程中常量项的值来求出，即：x=-b/2a y=ax²+bx+c。

可以这样证明：由抛物线方程可知，抛物线在x = -b/2a处可以得到拐点，将x代入抛物线方程即可得到拐点的坐标。

3、抛物线的最大值或最小值（根据a的符号而定）可以通过计算出来：y=ax²+bx+c。

可以这样证明：由抛物线方程可知，当a>0时，抛物线的最大值位于抛物线的两端，此时可以求出抛物线的最大值；当a<0时，抛物线的最小值位于抛物线的两端，此时可以求出抛物线的最小值。

《二次函数抛物线的性质》知识点整理

《二次函数抛物线的性质》知识点整理《二次函数抛物线的性质》知识点整理1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a 要小于0，所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

事实上，b有其自身的几何意义：抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。

可通过对二次函数求导得到。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ=b^2;-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b^2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

_______Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b?/4a；在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不变当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax^2+c(a≠0)7.特殊值的形式①当x=１时y=a+b+c②当x=-1时y=a-b+c③当x=2时y=4a+2b+c④当x=-2时y=4a-2b+c8.定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（-b-√Δ]/2a，0）和（-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+k顶点式]此时，对应极值点为（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a；③y=a(x-x1)(x-x2)交点式（双根式）]（a≠0）对称轴X=(X1-X2)/2当a>0且X≧(X1+X2)/2时，Y随X的增大而增大，当a>0且X≦（X1+X2）/2时Y随X的增大而减小此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。

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