函数周期性分类解析以及模拟题练习

4、 y=f(x)满足 f(x+a)=

1

6、 f ( x + a ) = 1 - f ( x ) ，则 f x 是以 T = 2 a 为周期的周期函数.

( )

函数周期性分类解析

一．定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x ，使 f ( x + T ) =

f ( x ) 恒成立

则 f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。

二．重要结论

1、 f (x ) = f (x + a )，则 y = f (x ) 是以 T = a 为周期的周期函数；

2、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)=-f(x)(a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。

3、 若函数 f (x + a ) = f (x - a )，则 f (x )是以 T = 2 a 为周期的周期函数

f (x )

(a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。

5、若函数 y=f(x)满足 f(x+a)= -

1

f (x )

(a>0),则 f(x)为周期函数且 2a 是它的一个周期。

( ) 1 + f ( x )

7、 f ( x + a ) = -

1 - f ( x ) 1 + f ( x )

，则 f x 是以 T = 4 a 为周期的周期函数.

8、 若函数 y=f(x)满足 f(x+a)= 1 + f ( x ) 1 - f ( x )

(x ∈R ，a>0),则 f(x)为周期函数且 4a 是它的一个周期。

9、 若函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a,x=b(b>a)都对称,则 f(x)为周期函数且 2（b-a ）是它的

一个周期。

10、函数 y = f ( x ) (x ∈ R ) 的图象关于两点 A (a , y

f ( x ) 是以 2 (b - a )为周期的周期函数；

)、 B (b , y ) (a < b )都对称，则函数

11、函数 y = f ( x ) (x ∈ R ) 的图象关于 A (a , y

)和直线 x = b (a < b )都对称，则函数 f ( x )

是以 4 (b - a )为周期的周期函数；

12、若偶函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称，则 f(x)为周期函数且 2 a 是它的一个周期。

13、若奇函数 y=f(x)的图像关于直线 x=a 对称，则 f(x)为周期函数且 4 a 是它的一个周期。

14、若函数 y=f(x)满足 f(x)=f(x-a)+f(x+a)(a>0),则 f(x)为周期函数,6a 是它的一个周期。

15、若奇函数 y=f(x)满足 f(x+T)=f(x)(x ∈R ，T ≠0),则 f( 三、典例讲解

T

2

)=0.

[ ] y = 1 f (log 10) 的值为 A . 3 2 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，对于任意的 x ∈ R ，都有 f ( x + 1) = ，

4.（ 05 朝阳模拟）已知函数 f ( x ) 的图象关于点 - ,0 ⎪ 对称，且满足 f ( x ) = - f ( x + ) ，

) 2

例 1（05.福建 12） f ( x ) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且 f (2) = 0 在区间（0，6）

内解的个数的最小值是 （ ）

A ．6

B ．7

C ．4

D ．5

例 2. 设函数 f ( x ) 的定义域为 R ，且对任意的 x ， 有 f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2 f ( x ) ⋅ f ( y ) ，

c

并存在正实数 c ，使 f ( ) = 0 。试问 f ( x ) 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若

2

不是，请说明理由。

例 3. 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的函数，且满足： f ( x + 2)[1 - f ( x )] = 1 + f ( x ) ，

f (1) = 1997 ，求 f (2001) 的值。

例 4. （ 2009 江西卷文）已知函数

f ( x ) 是 (-∞, +∞) 上的偶函数，若对于 x ≥ 0 ，都有

f ( x + 2） f ( x ) ，且当 x ∈ [0, 2) 时， f ( x ) = lo

g (x + ），则 f (-2008) + f (2009) 的值

2

为

（

）

A ． -2

B ． -1

C ．1

D ． 2

例 5. （天津卷 05）设 f (x )是定义在 R 上的奇函数，且 y=f (x )的图象关于直线 x = 1 对称，

2

则 f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)= _____

例 6（07 安徽）定义在 R 上的函数 f ( x ) 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.

若将方程 f ( x ) = 0 在闭区间 - T ,T 上的根的个数记为 n ，则 n 可能为

（ ）

A.0

B.1

C.3

D.5

四、巩固练习

1. 已知偶函数 f ( x ) 是以 2 为周期的周期函数，且当 x ∈ (0,1)时， f ( x ) = 2x -1 ，则

2 5 B . 8 5 C . -

3 8 D . 5

3

1 - f ( x ) 1 + f ( x )

当 0 < x ≤1 时， f ( x ) = 2 x ，则 f (11.5) =

3 知 f ( x ) 是 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 ， 满 足 f ( x + 2) = - f ( x ，

且 x ∈ [ 0, 2]时 ， f ( x ) = 2 x - x . (1) 求 x ∈ [-2,0] 时， f ( x ) 的表达式； (2)证明 f ( x ) 是 R 上的奇函数．

⎛ 3 ⎫ 3

⎝ 4 ⎭

2 又 f (-1) = 1 ， f (0) = -2 ，求 f (1)+ f (2) + f (3) + … + f (2006) 的值

高三数学恒成立问题的类型及求解策略

恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、