量子力学周世勋习题解答第五章
周世勋量子力学-教案5
§5.1 非简并定态微扰理论如何分？假设本征值及本征函数较容易解出或已有现成解，是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微扰的影响逐级考虑进去。
代入方程同次幂相等（（1）(2)(3)①求能量的一级修正(2)式左乘并对整个空间积分能量的一级修正等于在态中的平均值。
②求对波函数一级修正将仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含将上时代入式 (2)以左乘上式，对整个空间积分令上式化简为：③求能量二级修正把代入(3)式，左乘方程（3）式，对整个空间积分左边为零讨论：（1）微扰论成立的条件：(a)可分成，是问题主要部分，精确解已知或易求(b) <<1（2）可以证明例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。
【解】是的偶函数利用递推公式波函数的一级修正利用能级移动可以直接准确求出令：§5.2 简并情况下的微扰理论假设是简并的k 度简并已正交归一化代入上式以左乘上式两边，对整个空间积分左边右边不全为零解的条件是由久期方程可得到能量一级修正的k个根由于具有某种对称性，因此不考虑时，能级是k度简并的,考虑后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。
要确定，需求出，将代入上式，可求出。
§5.3 氢原子的一级斯塔克效应斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。
( 是均匀的，沿z轴)下面研究n=2时的能级分裂现象：n=2,有4个简并度求只有两个态角量子数差, 时, 矩阵元才不为零和不为零为实的厄密算符带入久期方程没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除①当时②当时③当时，和为不同时为零的常数。
§5.4 变分法应用微扰论应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。
对任意一个归一波函数能量平均值即用任意波函数算出的平均值总是大于体系基态能量，而只有当恰好是体系的基态波函数时，的平均值才等于。
量子力学教程(周世勋)课后习题详细解答
量子力学课后习题详细解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dvλλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
周世勋量子力学习题答案(七章全)
−
h2 2μ
d2 ψ dx2
(x)
+ U (x)ψ
(x)
=
Eψ
6.62559 ×10−34 × 2.997925 ×108 1.380546 ×10−23
= 2.898 ×10−3 m ⋅ k
[注]
ρν
根据
=
8πhν 3 c3
1
hν
e kT − 1
可求能量密度最大值的频率：
x = hν
令
kT
ρν
=
Ax3
1 ex −1
（
A
=
8πk 3T c3h2
3
）
dρν dν
球面波。
2.3 一粒子在一维势场
⎧∞ U (x) = ⎪⎨0
⎪⎩∞
x<0 0≤ x≤a x>a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
[解]：由于势函数U (x) 不随时间变化
体系的状态波函数满足定态 Schrödinger 方程
0
a
− h2 ∇2ψ (x) + U (x)ψ (x) = Eψ (x) 2m
vj = ih [ψ (rv)∇ψ *(rv) −ψ *(rv)∇ψ (rv)] 则有： 2μ 即 vj 仅是空间坐标 (x, y, z) 的函数，与时间无关。
2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度。
（1）
ψ1
=
1 r
eikr
ψ
（2）
2
=
1 e−ikr r
从所得结果说明ψ1 表示向外传播的球面波，ψ 2 表示向内（即向原点）传播的球面波。
m
= 2.43 ×10−12 m = 2.43 ×10−2 A°
量子力学教程高等教育出版社周世勋课后答案详解
量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+--⋅=-kThc kThc e kT hc ehcλλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程(第三版)周世勋课后答案详解
1量子力学课后习题详解第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv ec hvd kThv vv 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hcv v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：201151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kThc kThce kT hc ehc λλλλλπρ⇒115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λ3nmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
(10) (11) (12) (13)
ek1a B sin k 2aC cosk 2aD 0 0
k1ek1a B k 2 cosk 2aC k 2 sin k 2a D 0 0
0 sin k 2aC cosk 2aD ek1a F 0
(x) c (x)
⑤
④乘 ⑤，得 (x) (x) c2 (x) (x) ， 可见，c 2 1 ，所以 c 1
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有偶宇称，
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有奇宇称，
18
当势场满足 U (x) U (x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
3
第一章 绪论
1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： mT b, b 2.9 10 3 m0C 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：
d
8h c33Βιβλιοθήκη 1hd ，
ekT 1
及 c 、 d c d 得
2
8hc 5
1，
hc
ekT 1
令 x hc ，再由 d 0 ，得 .所满足的超越方程为
kT
d
2
(x)
E
2
(x)
②
12
Ⅲ： x a
2 2m
d2 dx2
3
(x)
U
(x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ，要等式成立，必须
1(x) 0 2 (x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
d
2 2 ( dx2
周世勋量子力学习题及解答
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程习题答案周世勋
习题解答
1
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《量子力学教程》 习题(xítí)解答说明
• 为了满足量子力学(liànɡ zǐ lìxué)教学和学生 自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了 周世勋先生编写的《量子力学(liànɡ zǐ lìxué) 教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其 中第六章为选学内容。
2.3 一粒子在一维势场
，x 0 U (x) 0， 0 x a
，x a
中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：U (x)与t 无关，是定态问题。其定态 S—方程
2
d 2 (x) U (x) (x) E (x)
2m dx2
在各区域的具体形式为
Ⅰ： x 0
2 2m
d2 dx2
1
(
x)
E A2 2 nh nh ， n 0,1,2, 2T
6
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（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB v2 ，得 R v
R
eB
再由量子化条件 pdq nh,n 1,2,3,，以, p Rv R2 eBR 2分别表示广义坐标和相应的
广义动量，所以相积分为
0
0.024A （电子的康普顿波长）。
8
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第二章 波函数和薛定谔方程
2.1.证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令
(r，t)
( r )f
(t)
( r )e
i
Et
J
i
( * * )
2m
i
[
( r )e
i
Et
（
( r )e
i
量子力学周世勋第二版课后习题解答第5章
5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出，⎰∞-=rE d rer U )( ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr er U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H+∇-=<<'μ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r r d ra e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = 5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
量子力学(周世勋)课后答案-第五章
量子力学课后习题详解 第五章 微扰理论5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：类氢原子如果核是点电荷，核外电子运动的哈密顿量为00ˆˆ()H T U r =+ 其中，)(0r U 为点电荷库伦势的势能，即2004ze U r rπε=-（）在小球核电荷分布情况下，核外电子运动的哈密顿量为ˆˆ()HT U r =+ 球对称核电荷分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响，即在0r r ≥区域， 200()()4Ze U r U r r πε=-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出，⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,4344102003003303420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ 将哈密顿算符形式改写为 0ˆˆˆHH H '=+得 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε 由于通常0r 相对于电子的典型（平均）运动半径（玻尔半径）很小，所以，可以认为(0)ˆˆHH '<<，视为一种微扰。
对于基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ，2422(0)1222e s s m Z e Z e E a =-=-由ˆH '引起的一级修正为 ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ 由于 00r r a ≤<<，故102≈-r a Ze 。
量子力学习题解答-周世勋
周世勋《量子力学教程》习题解答第一章 习题解答1．由黑体辐射公式导出维恩位移律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即b T m =λ（常数）。
并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。
解：由能量密度的公式：185-⋅=λλλλπλρkT hc ed hcd则由0=λρλd d 解得m λ： 2256181185⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅--⋅⋅-=λλλλλλπλπλρkT hc kT hckT hc e e kT hc hce hc d d 0511186=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅=λλλλλπkT hc kT hckT hc e ekT hc e hc 即 051=--λλλkT hckT hce e kT hc 令x kT hcm=λ，则 051=--x xe xe 解得 97.4=x所以 )(29.097.41038.110999.210626.6161027K cm kx hc T m ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 2．在K 0附近，钠的价电子能量约为eV 3，求其德布罗意波长。
解：01019303409.7)(1009.7106.131091.0210626.62A m mE h P h K=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===----λ3．氦原子的动能是kT E 23=（k 为玻尔兹曼常数），求K T 1=时，氦原子的德布罗意波长。
解：氦原子的动能)(1007.211038.1232323J E --⨯=⨯⨯⨯=，氦原子的质量kg kg M 27271068.61067.14--⨯=⨯⨯=，所以102327346.12)(106.121007.21068.6210626.62A m mEh =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==----λ4．利用玻尔——索末菲量子化条件，求 （1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场T H 10=，玻尔磁子T J M B /10924-⨯=，试计算动能的量子化间隔E ∆，并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较。
量子力学标准答案完整版周世勋第三版
找了好久才找到的,希望能给大家带来帮助量子力学习题及解答第一章 量子理论基础１．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即m λ T=b （常量）;并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ, （1） 以及 c v =λ， (2)λρρd dv v v -=, (3)有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ＋d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。
但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ﻩ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5第一章绪论这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x ＝4.９７,经过验证,此解正是所要求的,这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此,我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1.2 在０K 附近,钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。
量子力学教程习题答案周世勋
2 n a
a
A2a
∴归一化常数 A 1 a
16
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2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解： (x)
1 2x2
2xe 2
2
1(x) 1(x) 2
4 2
2
x 2e 2x2
2 3 x e2 2x2
d1 (x) 2 3 [2x 2 2 x3 ]e 2x2
dx
• 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
2
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目录(mùlù)
• 第一章 绪论 • 第二章 波函数和薛定谔方程(fāngchéng) • 第三章 力学量的算符表示 • 第四章 态和力学量的表象 • 第五章 微扰理论 • 第六章 弹性散射 • 第七章 自旋和全同粒子
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《量子力学教程 (jiàochéng)》
习题解答
1
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《量子力学教程》 习题(xítí)解答说明
• 为了满足量子力学(liànɡ zǐ lìxué)教学和学生 自学的需要，完善精品课程建设，我们编写了 周世勋先生编写的《量子力学(liànɡ zǐ lìxué) 教程》的课后习题解答。本解答共分七章，其 中第六章为选学内容。
r0
k mr3
r
J1与
r
同向。表示向外传播的球面波。
10
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(2)
J2
i 2m
(
2
* 2
2*
)
i 2m
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr
)
1 r
eikr
r
(1 r
eikr
)]r0
量子力学导论第5章答案
量子力学导论第5章答案第五章力学量随时间的变化与对称性5.1）设力学量不显含，为本体系的Hamilton量，证明证.若力学量不显含，则有,令则,5.2）设力学量不显含，证明束缚定态，证：束缚定态为:：。
在束缚定态，有。
其复共轭为。
5.3）表示沿方向平移距离算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）,是的本征态，相应的本征值为证：,证毕。
5.4）设表示的本征态（本征值为），证明是角动量沿空间方向的分量的本征态。
证：算符相当于将体系绕轴转角，算符相当于将体系绕轴转角，原为的本征态，本征值为，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的轴（开始时和实验室轴重合）已转到实验室坐标系的方向，即方向，变成了，即变成了的本征态。
本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为。
（还有解法二，参钱..《剖析》.P327）5.5）设Hamilton量。
证明下列求和规则。
是的一个分量，是对一切定态求和，是相应于态的能量本征值。
证：（）又。
不难得出，对于分量，亦有同样的结论，证毕。
5.6）设为厄米算符，证明能量表象中求和规则为（1）证：式（1）左端（2）计算中用到了公式。
由于是厄米算符，有下列算符关系：（3）式（2）取共轭，得到（4）结合式（2）和（4），得证毕。
5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系的速度相对于惯性参照系运动（沿轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系：。
（1）势能在两个参照系中的表示式有下列关系（2）证明schrödinger方程在参照系中表为在参照系中表为其中证：由波函数的统计解释，和的意义完全相同。
，是时刻在点找到粒子的几率密度；，是时刻在点找到粒子的几率密度。
但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即（6）从（1）式有（6’）由此可以得出，和两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以（7）（7）由（1）式，，（3）式变为：（8）将（7’）代入（8）式，可得（9）选择适当的，使得（9）（4）。
量子力学答案完整版周世勋第三版
量子力学答案完整版周世勋第三版找了好久才找到的，希望能给大家带来帮助量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-?=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v -=，（3）有,118)()(5-?=?=??-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=?-?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+--kT hce kThc λλ ? kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5第一章绪论这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ??=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
周世勋量子力学课件第五章
( x , t ) an ( t )un ( x ) aq ( t )uq ( x )dq
n
a n ( t ) aq ( t )
un * ( x ) ( x , t )dx uq * ( x ) ( x , t )dx
归一化条件则变为：
n
an * ( t )an ( t ) aq * ( t )aq ( t )dq 1
b1 ( t ) F11 b2 ( t ) F21 bn ( t ) Fn1
第五章 态和力学量表象
本 章 要 求
1 掌握表象的概念和量子态在不同表象下的表示。
2 掌握算符用矩阵表示的概念和量子力学公式的矩阵 表述。 3 掌握不同表象之间通过幺正变换联系起来的概念。
4 掌握狄喇克符号。 5 了解一维线性谐振子问题的代数解法。 6 掌握Hellmann – Feynman 定理及应用
m m n m n
m n
n
( x)dx
am * ( t )an ( t ) um * ( x )un ( x )dx
am * ( t )an ( t ) um * ( x )un ( x )dx
am * (t )an ( t ) mn
m n
an * (t )an (t ) 1
求坐标表象中只是该矩阵的行列不是可数的而是用连续下标表示的矩阵元dx要计算此积分需要知道返回一平均值公式二本征方程三schrdinger方程的矩阵形式返回坐标表象平均值公式dx222112112221121122211211mnmnmnmn方程组有不完全为零解的条件是系数行列式等于零22211211久期方程求解此久期方程得到一组值
周世勋量子力学习题及解答（ＰＤＦ）
量子力学习题及解答第一章量子理论基础1．1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λT=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833−⋅=πρ，（1）以及c v =λ，（2）λρρd dv v v −=，（3）有,118)()(5−⋅=⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−=kT hc v v e hc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⋅+−−⋅=−kT hc kThc e kT hc ehc λλλλλπρ⇒0115=−⋅+−−kThc ekThc λλ⇒kThc ekThc λλ=−−)1(5如果令x=kThcλ，则上述方程为xe x =−−)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知Km T m ⋅×=−3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e µ<<动），那么ep E µ22=如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0×，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph =λnmm mE c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=×=××××===−−µµ在这里，利用了meV hc ⋅×=−61024.1以及eVc e 621051.0×=µ最后，对Ec hc e 22µλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学教程习题答案周世勋共125页文档
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢
量子力学第5章 周世勋
,
(0)
(0) k
Ek Ek
(0)
k k
(0)
2. 一级近似 ( H 0 E
0
( 0)
)
(1)
(E
(1)
W )
(0)
为求 E n1 ，以 n 左乘上式两边，并对空间积分：
n
( 0 )*
ˆ (H
0
n
( 0)
E n ) d E n
5.1 非简并定态微扰理论
问题：求解非简并的能量本征值和能量本征态 方法：用微扰的近似方法求解定态薛定谔方程
设体系的哈密顿算符 H不显含时间
其能量本征值方程为 : H E
系统满足以下条件：
1.假定体系的哈密顿算符 H 可以分成两部分：
H H 0 H H 0 W
1
ˆ H
(0)
n
(0)
En
(0)
(0) n
(3)
ˆ 而 H 相对很小，可视为加在 Hˆ ( 0 ) 上的微扰。现在的 ˆ 和 0 ，求出相应的修正项以得到 任务是通过 H n E 和 的近似解，为此，引入一个很小的实数 ， ˆ 并将 H 表示为
(4) ˆ H W 相应地,将 E n 和 n 表为实参数 的级数形式：
Transition Probability
5.6与时间有关的微扰理论
Perturbation theory with time
5.7 跃迁几率
Transition Probability
5.8光的发射和吸收
Light emission and absorption
5.9选择定则
Selection rule
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第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
解：取ε的正方向为Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为θεεcos ˆ212ˆˆ22D L ID I L H -=⋅-= 取θεcos ˆ ,ˆ21ˆ2)0(D H L I H-='=，则 H H H'+=ˆˆˆ)0( 由于电场较小，又把H'ˆ视为微扰，用微扰法求得此问题。
)0(ˆH 的本征值为2(()))1(21+=IE 本征函数为 ),()0(ϕθψm Y =)0(ˆH的基态能量为000=）（E ，为非简并情况。
根据定态非简并微扰论可知 ∑-''= )0()0(02)2(0H E E E ⎰⎰-='='ϕθθθετψψd d Y D Y d H H m sin )cos (ˆ00*)0(0)0*(0 ⎰-=ϕθθθεd d Y Y D m sin ) (cos 00* ⎰-=ϕθθππεd d Y Y D m sin 413410*⎰-=ϕθθd d Y Y sin 310*013δεD -=I D ID E E E 22221222')0()0(02')2(031)1(32 Hεδε-=+⋅-=-'=∑∑ #5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H'ˆ的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112，；b a 、都是实数。
用微扰公式求能量至二级修正值。
解：由微扰公式得nnn H E '=)1( ∑-'=mmn mnnE E H E )0()0(2')2(得 b H E b H E ='=='=22)1(0211)1(01 0201200121')2(01E E a E E H Emmm -=-'=∑0102200221')2(02E E a E E H Emmm-=-'=∑∴ 能量的二级修正值为02012011E E a b E E -++=01022022E E a b E E -++=#5.4设在0=t 时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。
设单色光的电场可以近似地表示为t sin ωε，ε及 ω均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。
求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁到电离态的几率。
解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为241min min 2s e E E hv μω=-==∞he v s 24min 2 μ=34191062.6106.16.13--⨯⨯⨯=Hz 15103.3⨯=②0=t 时，氢原子处于基态，其波函数为0/301a r k e a -=πφ 在t 时刻， rp i m e⋅=2/3)21(πφ 微扰 )(2sin )(ˆ t i ti e e ir e t r e t Hωωεωε--⋅=⋅=')(ˆ t i t i e e Fωω--= 其中ir e F 2ˆ ⋅=ε 在t 时刻跃迁到电离态的几率为2)(t a W m m k =→⎰''='tt i mk m t d e H i t a mk 01)(ω ⎰'-='-'+t t i t i mk t d e e i F mk mk 0)()()(ωωωω]11[)()(ωωωωωωωω---+--=-+mk t i mk t i mk mk mk e e F对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项，ωωωω--=-mk t i mk m mk e F t a 1)()(2)()(222)()1)(1()(ωωωωωω---==--→mk t i t i mk m m k mk mk e e F t a W 222122)()(sin 4ωωωω--=mk mk mk tF其中⎰⎰-==ππτφφead F F i k mmk 32/3*1)21(ˆ取电子电离后的动量方向为Z 方向，取ε 、p所在平面为xoz 面，则有 z y x r z y x εεεε++=⋅cos )(cos ()cos sin )(sin (αεϕθαεr r += θαεϕθαεcos cos cos sin sin r r +=⎰--+=τθαεϕθαεππθd e r r e i e a F a r r p imk 0/cos 302/3)cos cos cos sin sin (21)21(⎰⎰⎰∞--+=0202/cos 302/3 sin )cos cos cos sin sin ( 21)21(0ππθϕθθθαεϕθαεππd drd r e r r ei e a F a r r p imk⎰⎰⎰∞--=0020/3cos 302/3 )sin cos cos (21)21(0ππθϕθθθαεππd drd e r e i e a a r r p i⎰⎰-∞-=πθθθθπαεππ0cos 0/3302/3 sin cos [22cos 1)21(d e dr e r i e a r p ia r⎰∞----++-=222/33)]()([22cos 0dr e e rp e e ipr er a i e r p ir p i r p i r p i a rπαε 32220030)1(11622cos p a ia p a i e +=παε322202/70)(8)(cos 16 +-=p a a pe παε∴ 222122)()(sin 4ωωωω--=→mk mk mk m k tF W22126222025702222)()(sin )(cos 128ωωωωπαε--+=mk mk t p a a e p #5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即⎩⎨⎧≥≤=-)(0,0,0/0为大于零的参数当当τεετt e t t求经过长时间后氢原子处在2p 态的几率。
解：对于2p 态，1= ，m 可取1 ,0±三值，其相应的状态为 121211210 -ψψψ氢原子处在2p 态的几率也就是从100ψ跃迁到121211210 -ψψψ、、的几率之和。
由 ⎰''='tt i mkm t d e H i t a mk 01)(ω⎰'='τψψd H H 100*210100,210ˆ )cos )(ˆ(θεr t e H =' ⎰=τθεd Y R r t e Y R 0010*1021 cos )( (取ε 方向为Z 轴方向)⎰∞=ππϕθθθε200*10010321 sin cos )(d d Y Y dr R r R t eft e d d Y Y f t e )(31 sin 31)(2010*10εϕθθεππ==⎰⎰00310*21681256)()(a dr r r R r R f ==⎰∞⎰∞-⋅=02342/3002/300)1(32)21(dr e r a a a r a0505540681256324161a a a =⨯⋅=！ f t e d H H )(31ˆ100*210100,210ετψψ='='⎰ 00)(24321286812563)(a t e a t e εε==⎰∞='0100*211100,211cos )(τθψψεd r t e H⎰⎰⎰∞=ππϕθθθε20000*11010321 sin cos )(d d Y Y dr R r R t e ⎰⎰⎰∞=ππϕθθε20010*11010321 sin 31)(d d Y Y dr R r R t e= 0⎰'='--τψψd H H 100*121100,121ˆ ⎰⎰⎰-∞=ππϕθθθε02000*11010321 sin cos )(d d Y Y dr R r R t e⎰⎰⎰-∞=ππϕθθε02010*11010321 sin 31)(d d Y Y dr R r R t e= 0由上述结果可知，0211100=→W ， 0121100=-→W ∴ 12110021110021010021-→→→→++=W W W W p s 2100,2102210100211⎰''=='→tt i t d eH W ω2/2002221)()243128(2⎰'='-'tt t i t d eeea τωε22212202022211)243128(221τωετω+-=-tt i ea e当∞→t 时，222120202222111)243128(2τωεω+=→a e p s其中02343412218 38 3)411(2 )(1a e e e E E s s s==-=-=μμω #5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。