专题十一《概率与统计》

专题十一概率与统计

概率统计抛开了数学中的“确定性”，以“不确定”的视角做出量化的、不确定性的推测，是不同与其它数学知识的重要特征.未来的众多社会规律，也都需要利用概率统计的方法去探究，所以概率统计对社会的良性和稳定发展必将起到至关重要的作用.高考以更加贴近学生日常生活的概率统计背景加强对概率统计知识的考查，也说明了高考改革的方向将更加生活化和理性化，更加贴合学生的日常.这也是提醒我们要自觉养成用“不确定性”眼光去研究生活、看待世界的习惯.

一、真题再现

（一）统计部分

1．（2019年新课标Ⅱ理科）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（）

A．中位数B．平均数C．方差D．极差

【分析】根据题意，由数据的数字特征的定义，分析可得答案．

【解答】解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，

7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变，

故选：A．

【点评】本题考查数据的数字特征，关键是掌握数据的平均数、中位数、方差、极差的定义以及计算方法，属于基础题．

2．（2019年新课标Ⅰ文科）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（）

A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生

【分析】根据系统抽样的特征，从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，抽样的分段间隔为10，结合从第4组抽取的号码为46，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码．【解答】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，

∴系统抽样的分段间隔为＝10，

∵46号学生被抽到，

则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，所有号码数是以6为首项，以10为公差的等差数列，

设其数列为{a n}，则a n＝6+10（n﹣1）＝10n﹣4，

当n＝62时，a62＝616，即在第62组抽到616．

故选：C．

【点评】本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．

3．（2019年江苏）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：

＝（6+7+8+8+9+10）＝8，

∴该组数据的方差为：

S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．

故答案为：．

【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4．（2019年新课标Ⅲ文理科）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（）

A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8

【分析】作出维恩图，得到该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，由此能求出该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值．

【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，

阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，

作出维恩图，得：

∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，

则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：＝0.7．故选：C．

【点评】本题考查该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值的求法，考查维恩图的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．5．（2019年新课标Ⅱ文科）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．

y的分组[﹣0.20，0）[0，0.20）[0.20，0.40）[0.40，0.60）[0.60，0.80）企业数22453147（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；

（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.01）

附：≈8.602．

【分析】（1）根据频数分布表计算即可；

（2）根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可．

【解答】解：（1）根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业为：

＝0.21＝21%，

产值负增长的企业频率为：＝0.02＝2%，

用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，

产值负增长的企业比例为2%；

（2）企业产值增长率的平均数（﹣0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7）＝

0.3＝30%，

产值增长率的方差s2＝

＝[（﹣0.4）2×2+（﹣0.2）2×24+02×53+0.22×14+0.42×7]

＝0.0296，

∴产值增长率的标准差s＝≈0.17，

∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17．

【点评】本题考查了样本数据的平均值和方差的求法，考查运算求解能力，属基础题．6．（2019年新课标Ⅲ文理科）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．

（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

【分析】（1）由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出乙离子残留百分比直方图中a，b．

（2）利用频率分布直方图能估计甲离子残留百分比的平均值和乙离子残留百分比的平均