实变函数测试题_参考答案

实变函数测试题1

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1、设 212(0,1/),(0,),0,1,2...,n n A n A n n -===n 求出集列{A }的上限集和下限集合。 解：()∞=∞

→,0lim n n A ；设()∞∈,0x .则存在N.使x N <.因此n N >时.

0x n <<.即

n A x 2∈.所以x 属于下标比N 大的一切偶指标集.从而x 属于无限多n A .得n n A x ∞

→∈lim 又显

然()∞⊂∞

→,0lim n n A .所以()∞=∞

→,0lim n n A 。

φ=∞

→n n A lim ；若有n n A x ∞

→∈lim .则存在 A.使任意n N >,有n A x ∈。因此若21n N

->时.12-∈n A x .即1

0x n <<

.令∞→n 得00x <≤.此不可能.所以φ=∞

→n n A lim 。 2、证明：()f x 为[,]a b 上连续函数的充分必要条件是对任意实数c .集{}

()E x f x c =≥和

{}1()E x f x c =≤都是闭集。

证明：必要性：若()f x 是[],a b 上连续函数.由第二章习题8可知1E 和E 是闭集。 充分性：若1E 和E 都是闭集。若有[]0,x a b ∈.()f x 在0x 点不连续。则存在

()()00000,,n n x x f x f x εε>→≥+.或()()00ε-≤x f x f n .不妨设出现第一种情况。令

()00ε+=x f c .则(){}c x f x E x n ≥=∈.而E x ∉0（因为c x f x f =+<000)()(ε）.此

与E 是闭集相矛盾。所以()f x 在[],a b 上是连续的。证毕。 3、设n

R E ⊂是任意可测集.则一定存在可测集

δ

G 型集

G

.使得

E

G ⊃,且

()0=-E G m

3．由外侧度定义.对任意正整数n .存在开集E G n ⊃,使n E G m n 1

)(<-.令 ∞

==1

n n G G .

则G 为δG 型集.E G ⊃且 2,1,1

)()(=<

-≤-n n

E G m E G m n 故0)(=-E G m 。证毕。

4、设,n

A B R ⊂.A B ⋃可测.且()m A B ⋃<+∞.若()**m

A B m A m B ⋃=+.则,A B

皆可测。

4．证明：先证A 可测：存在δG 型集B G ⊃使得B m mG *

=。令A G B A Q ⊂-⋃=。

G G B A B A ⋃-⋃=⋃])[(.()mG mQ mG G B A m B A m +=+-⋃≤⋃])[(。因为*(),()m A B m G m B m A B ⋃<∞=≤⋃<+∞

,

A m mG -

B m A m mG -B)(A ***=+=⋃≥m mQ ,即A m mQ *≥,又A Q ⊂,所以

A m mQ *≤,所以A m mQ *=.*A (A B)m m ≤⋃<+∞.所以.0)(*=-Q A m

Q Q A A ⋃-=)(,因为Q 可测.A Q -可测.所以A 可测。同理可证B 可测。证毕。

5、写出鲁津定理及其逆定理。并证明鲁津定理的逆定理。

5．鲁津定理：设()f x 是E 上a.e.有限的可测函数.则对任意0δ>.存在闭子集E F ⊂δ.使()f x 在δF 上是连续函数.且(\)m E F δδ<.

逆定理：设()f x 是E 上的函数.对0δ∀>.总存在闭子集E E ⊂δ.使得()f x 在δE 上是连续函数.且()m E E δδ-<.则.()f x 是E 上a.e.有限的可测函数。 证明：对任意

1n .存在闭子集E E n ⊂,使()f x 在n E 上连续且n

E E m n 1

)(<-,令 ∞

=-=1

0n n E E E .则对任意n .有()011

n n n mE m E E m E E n ∞

=⎛⎫=-≤-< ⎪⎝⎭。令∞→n .

得

∞

=∞==⋃=⋃-==0

01

000)()(.0n n

n n E E E E E E E mE 。对任意实数 a.

[][][]01n n E f a E f a E f a ∞=⎛⎫

>=>⋃> ⎪⎝⎭.由()f x 在n E 上连续.可知[]n E f a >可测.而

[]()**000m E f a m E >≤=.所以[]a f E >0也可测.从而[]a f E >是可测的。因此()

f x 是可测的。因为()f x 在n E 上有限.故在

∞

=1

n n E 上有限.所以()f x a.e.有限。证毕。

6、设)(x f 是E 上的可测函数.G 为开集.F 为闭集.试问])(|[G x f x E ∈与

])(|[F x f x E ∈是否是可测集.为什么？

6.由已知 则开集G 可写成直线上可列个开集的并集.即

i

i i b a G )

,(=.

()()()i i i

i

i

i

E x f x G E x a f x b E x f a E x f b ⎡⎤⎡∈⎤=

<<=

⎡>⎤⋂⎡<⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦.则可知

[]G x f x E ∈)(是可测集。

由()[

]()[]C C F x f x E F x f x E ∈=∈)

(.则可知()[]F x f x E ∈也是可测集。证毕。

7、设在Cantor 集0P 上定义函数()f x =0.而在0P 的余集中长为1

3n

的构成区间上定义为n （1,2,3,

=n ）,试证()f x 可积分.并求出积分值。

7．f(x)是非负可测函数.因而积分确定.只要证明积分有限即可。设n E 是0P 的余集中长为

n

31的构

成区间

之并.则

n

n n mE 3

21

-=.因此

()

[

]

10

,

1

1

1

1

2(

)33n

n n

n E n n n f x d x f

x

d x n m E n -∞

∞

∞

======⋅=∑∑∑⎰⎰

.所以()f x 可积.且积分值为3。证毕。

8、设{}n f 为E 上非负可积函数列.若lim ()0,n E

n f x dx →∞=⎰

则()0n f x ⇒。

8．对任意0>σ.由于n f 非负可知：

[][]⎰

⎰≥≤≤≥σσσn f E E

n n n dx f dx x f f mE .)(1 ().n n E mE f f x dx σσ⎡≥⎤≤⎣⎦⎰因此

1

lim lim ()0n n E

n n mE f f x dx σσ→∞

→∞⎡≥⎤==⎣⎦⎰

.即.0)(⇒x f n 证毕。

9、设)(x f 是E 上a.e. 有限的可测函数.+∞∀ε.存在E 上a.e. 有

界的可测函数)(x g .使得 ε<>-]0|[|g f mE 。

9．因为()f x 是E 上的 a.e.有限的可测函数.设[]

∞==f E D .0mD =.令

[]k E E f k =>故有 ⊃⊃⊃321E E E ∞

=∞

→==1

lim k k k k E E D

所以

0lim lim ===∞

→∞

→mD E m mE k k k k .故0,0k ∃>∀ε.使得ε<0K mE

令g(x)=⎪⎩⎪⎨

⎧∈-∈=0

00

)()(K K E x E E x x f x g 故00K mE f g mE ε⎡->⎤=<⎣⎦。证毕。

10、求证