六年级第4讲：等差数列

练习三：〈5分钟〉
在等差数列 、 、 、…中, 是第几项？
分析：
本题与例题相似,也是给出前面几项,要求一个数是第几项；那么也是先通过前面几项算出公差,再用 减去首项 ,用它们的差除以公差最后加上1就是项数。
板书：
－ = － = 〈 － 〉÷ ＋1=20〈项〉
答： 是第20项。
〈PPT出示〉
〈先学生自行解答,老师巡视；后一起分析解答〉
项和；但同学们首项是知道,可末项呢？我们知道吗？
生：……
师：诶！对了,通过第3项－首项再除以〈项数－1〉也就是〈 － 〉÷〈3
－1〉算出公差,然后乘以项数－1,加上首项,得出的就是末项。所以知
道首项和末项后,项数和是不是出来了？
生: ……
师：不错,看来你们都学会了,那一起去练练手吧！
板书：
〈 － 〉÷〈3－1〉 ＋ ×〈21－1〉 〈 ＋ 〉×21÷2
= ÷2 = ＋ = ×21÷2
= = =190÷2
=95
答：等差数列各项和是95。
〈PPT出示〉
〈教师配用PPT一步步讲解演示,引导学生整理思路,从而能自行解答题目〉
练习二：〈5分钟〉
在一个等差数列里,第1项是 ,第9项是 ,共有10项。这个等差数列各项之和是多少？
〈PPT出示〉
分析：
本题和例题类似,要求的也是各项之和,那么同样通过给出的条件算出公差,再由公差算出末项；最后利用公式〈首相+末项〉×项数÷2=各项之和。
生：……
师：我们可以知道这等差数列的公差是0.25,那第n项是多少？
生：0+0.25×〈n-1〉=0.25〈n-1〉
师：看来同学都熟练地掌握了等差数列公式,那各项的和是多少？我们一起来
重复一下公式。前项+末项……
生：……
师：那它肯定比哪个数大？
生：27。
师：我们来凑下n等于多少比较接近27？
生：n=16。
〈一〉例题三：〈10分钟〉
在等差数列 、 、 ,…中, 是第几项？
师：这就是老师刚刚讲的题型,你们仔细观察一下,给出了哪些条件？
生：……
师：是的,题中给出了一组等差数列的前几项；要我们求的是 是第几项,
同学们,通过上一节课的学习,我们知道在等差数列中每一项都是首项＋
公差×〈项数－1〉,那有告诉公差是多少吗？
答：漏加的数字是20。
5.有这么两个数,在它们之间插入 、 、 三个数后,就变成了等差数列,
求这两个数分别是多少？
- = , - =
公差是 ,
a1= - = ,a5= + =
答：这两个数分别是 , 。
家庭作业
线上作业：第4讲
〈 － 〉÷〈9－1〉 ＋ ×〈10－1〉 〈 ＋ 〉×10÷2
= ÷8 = ＋ = ×10÷2
= = =7.5
答：这个等差数列各项之和是7.5。
〈PPT出示〉
〈先学生自行解答,老师巡视；后一起分析解答〉
三、小结：〈5分钟〉
1. 分数等差数列和整数等差数列运算方法一样。
2. 计算出来的答案要最简分数。
76年才出现一次,那么下一次出现的时间就应该是：1986＋76=2062年。
师：像刚刚这种情况的数列我们叫做等差数列,相信大家都已经知道了,今天
我们就来学有关分数的等差数列。
板书：
等差数列
〈PPT出示〉
二、探索发现授课〈40分钟〉
〈一〉例题一：〈10分钟〉
已知一组等差数列的第1项是 ,末项是 ,公差是 。这组等差数列有多少项？
师:现在已经知道了公差,那第5项就应该是……〈大家一起说说〉。
师：你们都学会了吗？
生：……
板书：
〈 － 〉÷〈6－1〉 ＋〈5－1〉×
=4÷5 = ＋4×
= = ＋
=
答：第5项是 。
〈PPT出示〉
〈教师配用PPT一步步讲解演示,引导学生整理思路,从而能自行解答题目〉
练习五：〈选做〉
有 、 这么两个数,在这两个数之间插入5个数后,就变成了等差数列,求第3项是多少？
式是〈首项+末项〉×项数÷2；看来你们都已经牢牢把握这个运算公式。那
如果现在变一下,要你求一个数在等差数列中是第几项时,又该怎么办呢？
生：……
师：看了我们班的同学都很不错哦,提前去预习,所以就能回答出老师的问题。
好,不管有没有预习都让我们带着一颗好学的心进入今天的课堂吧！
生：……
二、探索发现授课〈40分钟〉
〈PPT出示〉
师：同学们,在题目中你得出了什么信息呢？
生：……
师：对的,题中首先告诉我们这是一组等差数列,而且还告诉了首项是 ,公
差是 ,最后一项是 ；那告诉了这么多,要求的是什么呢？有哪位同
学可以告诉老师？
生：要求的是这组等差数列一共有多少项。
师：是的,要求的是项数,那告诉这些条件对我们解题有什么帮助吗？想一想,
生：……
师：对的,是没有告诉,但可以通过前面几项的数可以算出来；那一起算算吧：
－ = 、 － = 。
师：现在知道了公差,那你们知道怎么算 是第几项了吗？
生：……
师：是的,就是用 减去首项 的差再除以公差 就可以知道项数。咦？是
不是还忘了什么呀？
生：项数忘了加1。
师：哦,对的,项数忘了加1。其实老师是故意的,老师发现有几位同学在上
3. 等差数列求项数的公式是：〈末项－首项〉÷公差＋1=项数
各项之和的公式是：〈首相+末项〉×项数÷2=各项之和
第二课时〈50分钟〉
一、导入〈5分钟〉
师：同学们,上节课我们学会了求等差数列的项数与各项之和,你们都还记得
这两个公式吗？
生：……
师：是的,求项数的公式是〈末项－首项〉÷公差＋1=项数,求各项之和的公
n=16,这个数是 ×〈16-1〉×16-27=3
3÷0.25+1=13〈项〉,符合题意
n=17,不符合题意。
答：漏加的数是3。
〈PPT出示〉
〈教师配用PPT一步步讲解演示,引导学生整理思路,从而能自行解答题目〉
练习四：〈5分钟〉
一组等差数列0、⒈⒉3、⒋5……,擦掉一个数字后,求得的平均数是10.4,求擦掉的数是第几项？
师：那现在我们可以知道漏加的数字是几了吗？只要用各项和减……
生：……
师：那它是第几项,请一位同学来算下。
生：……
师：如果n=17,也符合题意吗,同学们自己算下,告诉老师结果。
生：……
板书：
an=0+0.25×〈n-1〉=0.25×〈n-1〉
Sn=[0+0.25×〈n-1〉]×n÷2
= ×〈n-1〉×n＞27
师：是的,算出来的答案再加上1就是这个等差数列的项数。这就是这题的解
法,你们都学会了吗？
生：……
师：刚刚同学说了可以套公式,是的,之前我们已经学过,老师也教过你们公
式,公式是：〈末项－首项〉÷公差＋1=项数。下面一起去巩固巩固吧。
板书：
〈 － 〉÷ ＋1
= ÷ ＋1
=7＋1
=8〈项〉
答：这组等差数列一共有8项。
〈PPT出示〉
师：同学们,题中最后要求的是什么呢？
生：……
师：是的,要求的是所有项的数加起来的和,那有告诉每项的数是多少吗？生：……
师：是的,没有告诉我们,但是可以通过第1项和第3项求出来,可是需要一
个个的算出来,有没有简便的方法呢？
生：……
师：是的,刚刚就有同学想到了,当首项加上末项乘以项数再除以2时就是各
五、教学过程：
第一课时〈50分钟〉
一、导入〈5分钟〉
师：同学们,老师前两天看了一篇关于哈雷彗星的文章,你们猜猜这篇文章里
讲了什么内容？
〈PPT出示〉
生：……
师：好了,同学们就开始瞎猜了,老师给一个范围,与它每次出现的时间有关？
生：……
师：刚刚有一位同学说对了一半,这篇文章告诉了哈雷彗星下次出现的时间,
〈PPT出示〉
〈先学生自行解答,老师巡视；后一起分析解答〉
〈二〉例题五：〈选讲〉
有 、 这么两个数,在这两个数之间插入4个数后,就变成了等差数列,求这个等差数列的第5项。
师：同学们,在 、 这两个数中间插入4个数后就成了等差数列,这说明了
什么呢？
生：……
师：是的,这说明 是这个等差数列的首项, 是这个等差数列的末项,那要
但为什么老师讲只说对了一半呢？看了下面这组数据你们就会明白了。
1682年 1758年 1834年 1910年 1986年
同学们,这是在过去三百多年里,人们看到哈雷彗星的时间；看了之后你能说出哈雷彗星下次出现的时间吗？
生：……
师：有同学知道吗？其实当你们用后面一个数减去前面一个数时就会发现：1758
－1682=76、1834－1758=76、1910－1834=76、1986－1910=76；哈雷彗星每
师：同学们,你们喜不喜欢做24点游戏吧！今天我们来做个难点24点游戏,数字不能移动哦。
3 10 2 4
〈PPT出示〉
〈二〉例题四：〈10分钟〉
一组等差数列0、0.25、0.5、0.75、1……,欧拉直接用计算器相加,结果不小心漏加了一个数,求得的和是27,求漏加的数字是几？
师：一起来看看这题,谁可以告诉老师,你从题中知道了哪些信息？
求第5项是多少,是不是要先知道公差？题目中有告诉公差是几吗？
生：……
师：是的,题中没有直接告诉公差,但通过末项－首项再除以〈项数－1〉就可以
算出公差是多少,可是项数是几项啊？
生：……
师：嗯,一下就被你们发现了,因为在两个数中插入4个数成等差数列所以一
共是6项,这时就可以算出公差是：〈 － 〉÷〈6－1〉=
等差数列的特征是什么？
生：……
师：是的,两项之间始终相差同一个数也就是公差,所以说首项加上一定的公
差就会等于末项；你们知道怎么做了吗,有哪位同学可以说说你的想法？
生：……
师：对的,很棒,因为首项加上一定的公差就会等于末项也就说末项减去首项
再除以公差就会得到项数,但算出来的就是这个数列的所有项数吗？
生：……
－ = － = ＋ ×〈8－1〉=
答：第8项是 。
4.一组等差数列⒉⒋6、8、10……,欧拉直接用计算器相加,结果不小心
漏加了一个数,求得的和是400,求漏加的数字是几？
a1=2 an=2n
Sn=〈2+2n〉×n÷2
=n×〈n+1〉＞400
n=20,20×21-400=20
n=21,21×22-400=62,62是第31项,不符合题意。
2. 求第几项的公式是：首项＋公差×〈项数－1〉。
四、随堂练习：
1. 在等差数列 、 、 、…中,一共有8项,末项是多少？
－ = － = ＋ ×〈8－1〉=
答：末项是 。
2. 一个等差数列各项和是 ,其中末项第九项是 ,首项是多少？
×2÷9= － =
答：首项是 。
3. 在等差数列 、 、 、…中,第8项是多少？
=37〈项〉
答：一共有37项。
〈PPT出示〉
〈先学生自行解答,老师巡视；后一起分析解答过程〉
师：同学们,今天老师给你们带来了一个数学谜题,我们一起来猜猜看,第一
猜到的奖励2个大拇指哦。
老人拄拐杖〈猜数学名词一〉 垂直
〈PPT出示〉
〈二〉例题二：〈10分Leabharlann Baidu〉
在一个等差数列中,第1项是 ,第3项是 ,共有21项,求这个等差数列各项和是多少？
分析：
本题和例题有点相似,也是在两个数中插入几个数成等差数列；那么也是要先算出公差,算出公差后再套入公式算出第三项是多少。
板书：
〈 － 〉÷〈7－1〉=2
＋〈3－1〉×2=
答：第3项是 。
〈PPT出示〉
〈先学生自行解答,老师巡视；后一起分析解答〉
三、总结：〈5分钟〉
1. 求项数的公式是：〈末项－首项〉÷公差＋1=项数
一节课的作业里总是忘了加1,现在老师提出来了,希望下次不会能再有
这种失误了！〈根据班级实际情况选择〉
师：看来同学们都跃跃欲试了,那就进入下个环节吧：实战演练！
生：……
板书：
－ = － = 〈 － 〉÷ ＋1
= ÷ ＋1
=9＋1
=10〈项〉
答： 是第10项。
〈PPT出示〉
〈教师配用PPT一步步讲解演示,引导学生整理思路,从而能自行解答题目〉
〈PPT出示〉
〈教师配用PPT一步步讲解演示,引导学生整理思路,从而能自行解答题目〉
练习一：〈5分钟〉
在一个等差数列里第1项是 ,末项是 ,公差是 ,这个等差数列一共有多少项？
〈PPT出示〉
分析:
本题与例题相似,都是要求项数；因为有对应公式,所以直接运用公式〈末项－首项〉÷公差＋1=项数就可以了。
〈 － 〉÷ ＋1
六年级 备课教员：×××
第4讲 等差数列
一、教学目标：
1. 暑智能版六年级第4讲：等差数列
2. 在原有基础上加深对于等差数列的认知。
3. 能够熟练运用等差公式准确计算。
二、教学重点：
明白分数等差数列的意义并能够熟练运算。
三、教学难点：
对于等差数列各种变式求法及分数乘除法的熟练运算。
四、教学准备：
PPT
分析：
掌握平均数的概念,理解平均数与总数的关系,运用求和公式进行分析排除,选出最佳答案。
an= 0+1×〈n-1〉= n-1
Sn=〈0+n-1〉×n÷2
=〈n-1〉×n÷2＞10.4〈n-1〉
n=21,擦掉的数是20×21÷2-10.4×20=2
2÷1+1=3〈项〉,擦掉的数是第3项。
答：擦掉的数是第3项。