圆的渐开线

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人教版高中数学选修4-4课件：第二讲四渐开线与摆线

解：由摆线的参数方程易知半径为 2 的圆的参数方程
x＝2（φ－sin φ），
为：
(φ 为参数)．
y＝2（1－cos φ）
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归纳升华 1．圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹． 2．根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母 r 是指定圆的半径，参数 φ 是指圆上定点相对于某一定点运动所张开的角度大小．
于渐开线和坐标轴的交点要看坐标系的选取．
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
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2．当 φ＝2π 时，圆的渐开线
x＝6（cos y＝6（sin
φ＋φsin φ－φcos
φ）， φ） (φ
为参数)上的点是(
)
A．(6，0)
B．(6，6π)
C．(6，－12π) D．(－π，12π)
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由于 r 表示圆的半径，故 r>0，所以 r＝2k1π(k∈N*)，
故所求摆线的参数方程为
x＝2k1π（φ－sin y＝2k1π（1－cos
φ）， (φ
φ）
为参数，其中
k∈N*)．
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[迁移探究] (变换条件)把典例 2 中的条件“摆线过一定点(1，0)”改为“半径为 2”，请写出该摆线的参数方程．
A．2π，2 B．2π，4
C．4π，2 D．4π，4
解析：因为半径 r＝2，所以拱宽为 2πr＝4π，拱高为
2r＝4.
答案：D
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4．写出半径为 2 的圆的渐开线参数方程：_________．

圆的渐开线方程

圆的渐开线方程圆的渐开线方程是数学上重要的概念，它是用于描述圆形的函数。

它可以用来精确计算圆的几何参数，为实体几何图形的制作提供便捷性。

下面就将介绍圆的渐开线方程的定义、解析圆的渐开线方程以及渐开线方程的应用。

一、定义圆的渐开线方程是表示圆的参数方程，可以用来描述二维的圆形的函数。

它使用参数表示方式，可以在直观上更容易处理圆形的相关重要参数：半径、圆心位置，以及圆心到圆周交点的距离。

当将多个圆叠加在一起时，它也可以表示各种复杂的圆形，帮助人们快速处理多个圆形的几何结构。

二、解析圆的渐开线方程圆的渐开线方程的简单形式可以表示为：(x-a)*(x-a) + (y-b)*(y-b) = r*r，其中a、b、r分别代表圆心的横纵坐标以及圆的半径，而x、y分别代表待求点的横纵坐标。

通过推导可以知道，任何一个点都符合这个方程，因此方程可以用于求出圆形上的任意一点，从而分析出这个圆形的几何参数。

同时，根据这个方程可以知道圆形上任意点到圆心的距离都是半径r，即r = sqrt((x-a)*(x-a) + (y-b)*(y-b)) 。

三、应用圆的渐开线方程有可以被广泛的用于各种几何结构的构造，如：- 可以用来描写圆形对象，定义圆形对象的几何参数，诸如半径、圆心位置、弧度等；- 可以用来求出圆相关参数，比如求取任意两点之间的圆弧长度、圆弧面积等；- 可以用来判断一点是否在一个圆范围内，也可以求得圆的内切线、外切线的几何参数。

显而易见，圆的渐开线方程对于对几何结构的构造和分析带来了很大的方便性，是实体几何结构制作的不可或缺的一部分。

因此，圆的渐开线方程与数学、几何和工程领域有着广泛的应用。

高中数学《参数方程-平摆线和渐开线》课件

5.求摆线
= 2(-sin),
(0≤t<2π)与直线 y=2 的交点的直角坐标.
= 2(1-cos)
π
2
3
2
解:当 y=2 时,2=2(1-cos t),∴cos t=0.∵0≤t<2π,∴t= 或 π,
∴x1=2
2
π
π
;2.
∴交点的直角坐标为(π-2,2),(3π+2,2).
首页
一
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
二
自主思考 2 圆的渐开线和摆线的参数方程不宜化为普
通方程吗?
提示:用参数方程描述运动规律时,常常比用普通方程更为直接、简便.
有些重要但较复杂的曲线(例如圆的渐开线),建立它们的普通方程比较困
UITANG LIANXI
探究三
探究一求平摆线的参数方程
求平摆线的参数方程,只需由题意求出圆的半径 r 即可.
【典型例题 1】平面直角坐标系中,若圆的摆线过点(1,0),求这条摆线
的参数方程.
= (-sin),
思路分析:根据圆的摆线的参数方程的表达式
(φ 为参
= (1-cos)
数),可知只需求出其中的 r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径唯一确定,
因此只需把点(1,0)代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
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探究一
探究二
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
探究三
解:令 r(1-cos φ)=0,可得 cos φ=1.所以 φ=2kπ(k∈Z),代入可得

渐开线的原理和应用

渐开线的原理和应用渐开线（Epicycloid）是数学中的一种曲线，它是一个圆在另一个圆上滚动生成的轨迹。

渐开线的原理可以通过具体的几何构造来解释，它的应用广泛涉及到数学、物理、工程等领域。

一、渐开线的原理1.取一个半径为R的大圆和一个半径为r的小圆，置于同一平面内，且小圆位于大圆的内部。

2.现在，小圆从大圆的最高点开始，以一个恒定的速率顺时针滚动，画出来的轨迹就是渐开线。

二、渐开线的数学表示渐开线的参数方程可以用以下公式表示：x = (R+r) * cosθ - r * cos((R+r)/r * θ)y = (R+r) * sinθ - r * sin((R+r)/r * θ)其中，(x,y)是渐开线上的点坐标，θ是小圆相对于大圆滚动的角度。

三、渐开线的应用渐开线的应用非常广泛，下面介绍其中两个重要的应用领域。

1.物体运动学模拟渐开线的几何特性使得它在物体运动学模拟中得到广泛应用。

通过绘制渐开线的轨迹，可以模拟物体的运动路径，例如行星轨道、自行车前轮轨迹等。

这对于研究物体的运动规律和预测物体的位置非常有用。

2.齿轮系统设计渐开线在齿轮系统设计中起着重要的作用。

由于渐开线的特性使得齿轮的运动更平滑、噪音更小，因此广泛应用于传动装置中。

渐开线齿轮可以减少齿轮的接触应力和摩擦，提高传动效率，并且对于高速或高负载的应用非常理想。

3.曲线绘制渐开线作为一种美学曲线，在艺术和设计领域也有广泛应用。

渐开线可以被用于设计家具、灯具、建筑装饰等物品的曲线形状，增加其美观性和独特性。

4.动画效果渐开线的特点使得它在动画和特效设计中得到广泛应用。

通过控制渐开线参数方程的系数，可以生成复杂的运动路径，用于实现各种有趣的动画效果。

总结：渐开线是数学中的一种曲线，通过一个圆在另一个圆上的滚动生成。

它具有一些独特的几何特性，因此在物体运动学模拟、齿轮系统设计、曲线绘制和动画效果等领域有广泛的应用。

渐开线的研究和应用，既有理论基础，又有实际应用的价值。

第2章4 平摆线和渐开线

§4平摆线和渐开线1.平摆线定义一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作平摆线(或旋轮线).当圆滚动半周时，过定点M 的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(πr ，2r )，再滚动半周，点M 到达(2πr ，0)，这时圆周和x 轴又相切于点M ，得到平摆线的一拱.圆滚动一周时，平摆线出现一个周期.平摆线上点的纵坐标最大值是2r ，最小值是0，即平摆线的拱高为2r . 2.平摆线轨迹的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （α－sin α），y ＝r （1－cos α）(－∞＜α＜＋∞，α为参数) 3.渐开线定义把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上，将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线，这条曲线叫圆的渐开线，这个圆叫作渐开线的基圆. 4.圆的渐开线的参数方程⎩⎨⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(其中φ为参数). 【思维导图】【知能要点】1.平摆线，平摆线的参数方程.2.圆的渐开线，渐开线的参数方程.题型一平摆线在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解“一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假设圆周上定点M 的起始位置是圆与定直线的切点O ，圆保持与定直线相切向右滚动，点M 就绕圆心B 作圆周运动.如果点M 绕圆心B 转过φ弧度后，圆与直线相切于A ，那么线段OA 的长等于AM ︵的弧长，即OA ＝rφ；点M 绕圆心B 运动一周回到切点的位置E ，那么OE 的长恰等于圆周长.这就是所谓“无滑动地滚动”的意思.从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过程中，圆周上定点M 的位置可以有圆心角φ惟一确定，因此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.【例1】已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的参数方程. 解根据圆的摆线的参数方程的表达式⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)可知，只需求出其中的r ，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出r 值再代入参数方程的表达式.令r (1－cos φ)＝0可得cos φ＝1，所以φ＝2k π (k ∈Z )代入可得x ＝r (2k π－sin 2k π)＝1. 所以r ＝12k π.又根据实际情况可知r 是圆的半径，故r >0.所以，应有k >0且k ∈Z ，即k ∈N ＋.所以，所求摆线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12k π（φ－sin φ），y ＝12k π（1－cos φ）(φ为参数) (其中k ∈N＋).【反思感悟】本题易错点是误把点(1，0)中的1或0当成φ的值，代入参数方程中求出x 和y 的值，再计算r 的值；或者在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0，从而导致答案不全面.1.圆的半径为r ，沿x 轴正向滚动，圆与x 轴相切于原点O ，圆上点M 起始处沿顺时针已偏转φ角.试求点M 的轨迹方程. 解 x M ＝r ·θ－r ·cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（φ＋θ）－π2＝r [θ－sin(φ＋θ)]， y M ＝r ＋r ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋θ－π2 ＝r [1－cos(φ＋θ)].题型二圆的渐开线渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是将“切线BM 的长就是AB ︵的长”用坐标表示出来. 渐开线的参数方程不能化为普通方程.【例2】求半径为4的圆的渐开线的参数方程.解以圆心为原点O ，绳端点的初始位置为M 0，向量OM 0→的方向为x 轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M (x ，y )，绳拉直时和圆的切点为A ，故OA ⊥AM ，按渐开线定义，弧AM 0︵的长和线段AM 的长相等，记OA →和x 轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM |＝AM 0︵＝4θ.作AB 垂直于x 轴，过M 点作AB 的垂线，由三角和向量知识，得OA→＝(4cos θ，4sin θ). 由几何知识知∠MAB ＝θ，AM →＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM →＝OA →＋AM → ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).又OM →＝(x ，y )，因此有⎩⎨⎧x ＝4（cos θ＋θsin θ），y ＝4（sin θ－θcos θ）这就是所求圆的渐开线的参数方程.【反思感悟】关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系.用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M (x ，y ). (2)取定运动中产生的某一角度为参数.(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.(4)用向量运算得到OM→的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程.解直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方程为：⎩⎨⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ），y ＝2（sin φ－φcos φ） (φ是参数).【例3】已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π2，求A 、B 两点的距离.分析首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的标准参数方程，再根据A 、B 对应的参数代入参数方程可得对应的A 、B 两点的坐标，然后使用两点之间的距离计算公式可得A 、B 之间的距离.解根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φ sin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1. 那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为 |AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12 ＝16（13－63）π2－6π－363＋72.即点A 、B 之间的距离为 16（13－63）π2－6π－363＋72.【反思感悟】对于参数方程给出的曲线上点，可以求出点的坐标，转化为两点间的距离问题.3.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数φ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________.解析圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.求当φ＝π4时对应的坐标只需把φ＝π4代入曲线的参数方程，x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8. 答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋28π，22－28π1.若某圆的渐开线方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ＋2φsin φ，y ＝2sin φ－2φcos φ (φ为参数)，则此圆的方程是____________，对应的φ＝0的点的坐标是__________，对应的φ＝π2的点的坐标是________.答案 x 2＋y 2＝4 (2，0) (π，2)2.曲线⎩⎨⎧x ＝－a cos φ＋a sin φy ＝a sin φ－a cos φ(φ是参数)的形状为( )A.第一、三象限的平分线B.以原点为圆心，2|a |为半径的圆C.以(－a ，－a )，(a ，a )为端点的线段D.以(－2a ，－2a )，(2a ，2a )为端点的线段解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a cos φ＋a sin φ＝a （－cos φ＋sin φ），y ＝a sin φ－a cos φ＝a （sin φ－cos φ），∴x －y ＝0，y ＝x . 但是x ＝a (－cos φ＋sin φ)＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin φ－22cos φ＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－φ，－2|a |≤x ≤2|a |，∴对应的曲线为y ＝x (－2|a |≤x ≤2|a |)，亦即是以第一、三象限角平分线上的点(－2a ，－2a )，(2a ，2a )为端点的一段线段. 答案 D3.当φ＝π2·π时，求出渐开线⎩⎨⎧x ＝cos φ＋φsin φyy ＝sin φ－φcos φ上对应的点A 、B ，并求出A 、B间的距离.解 φ＝π2代入渐开线方程，x ＝cos π2＋π2sin π2＝π2，y ＝sin π2－π2cos π2＝1， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1.同理x ＝cos π＋πsin π＝－1，y ＝sin π－πcos π＝π，点B 的坐标为(－1，π).即|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋12＋（π－1）2 ＝π24＋π＋1＋π2－2π＋1＝54π2－π＋2.一、选择题1.关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同解析本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆、正方形也有渐开线，渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处，但是它们的实质是完全不一样的，因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系，画出的图形的大小和形状都是一样的，只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案 C2.已知一个圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝3sin φ (φ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1B. 2C.10D.3π2－1解析根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ） (φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎨⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，3， ∴|AB |＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1－3π22＋（3－2）2＝10.答案 C3.如图所示，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE 、EF 、FG 、GH …的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 长是( ) A.3π B.4π C.5πD.6π解析根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C 二、填空题4.渐开线⎩⎨⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ） (φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为__________. 解析根据圆的渐开线方程可知基圆的半径r ＝6，其方程为x 2＋y 2＝36，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋y 2＝36，整理可得x 2144＋y 236＝1，这是一个焦点在x 轴上的椭圆.c ＝a 2－b 2＝144－36＝63，故焦点坐标为(63，0)和(－63，0). 答案 (63，0)和(－63，0)5.我们知道关于直线y ＝x 对称的两个函数互为反函数，则圆的摆线⎩⎨⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)关于直线y ＝x 对称的曲线的参数方程为________.解析关于直线y ＝x 对称的函数互为反函数，而求反函数的过程主要体现了x 与y 的互换.所以要写出摆线方程关于直线y ＝x 的对称曲线方程，只需把其中的x 与y 互换.答案 ⎩⎨⎧x ＝r （1－cos φ），y ＝r （φ－sin φ） (φ为参数)三、解答题6.有一个半径是2a 的轮子沿着直线轨道滚动，在轮辐上有一点M ，与轮子中心的距离是a ，求点M 的轨迹方程.解如图：B 点坐标为(2aφ，2a )，MB→＝(a sin φ，a cos φ)，设OM→＝(x ，y )，OM →＝OB →＋BM →＝(2aφ，2a )＋(－a sin φ，－a cos φ)＝(2aφ－a sin φ，2a －a cos φ)， ∴⎩⎨⎧x ＝a （2φ－sin φ），y ＝a （2－cos φ）. 7.已知圆C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋6cos α，y ＝2＋6sin α (α为参数)和直线l 对应的普通方程是x －y －62＝0.(1)如果把圆心平移到原点O ，请问平移后圆和直线有什么关系？ (2)写出平移后圆的摆线方程； (3)求摆线和x 轴的交点.解 (1)圆C 平移后圆心为O (0，0)，它到直线x －y －62＝0的距离为d ＝622＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是⎩⎨⎧x ＝6φ－6sin φ，y ＝6－6cos φ(φ为参数).(3)令y ＝0，得6－6cos φ＝0⇒cos φ＝1，所以φ＝2k π(k ∈Z ). 代入x ＝6φ－6sin φ，得x ＝12k π(k ∈Z )，即圆的摆线和x 轴的交点为(12k π，0) (k ∈Z ).8.设圆的半径为8，沿x 轴正向滚动，开始时圆与x 轴相切于原点O ，记圆上动点为M ，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M 点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y 的最大值，说明该曲线的对称轴. 解轨迹曲线的参数方程为 ⎩⎨⎧x ＝8（t －sin t ），y ＝8（1－cos t ）(0≤t ≤2π). 即t ＝π时，即x ＝8π时，y 有最大值16. 第一拱(0≤t ≤2π)的对称轴为x ＝8π.。

渐开线与摆线

(x－rcosφ, y－ sin φ)= （rφ）（ sin φ, －cosφ)
∴x=r(cosφ + φ sin φ)
y =r(sinφ －φ cosφ)
（φ为参数）
注意：
1.发生线BM沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的圆弧长度。
2.渐开线上任意点的法线恒与基圆相切。
3.渐开线的形状取决于基圆的大小 4.基圆内无渐开线
2、平摆线的参数方程
y
P O D

A C B E x
x r ( sin ), 平摆线的参数方程为： (为参数)
思考1：在平摆线的参数方程中，参数的取值范围是什么？一个拱的宽度与高度各是什么？
y r (1 cos ).
思考2：若点Q在半径AP上，且AQ=r/2，当圆滚动时，点Q的轨迹是什么？
渐开线与摆线
AB
设开始时绳子外端位于点A，当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角φ（单位是弧度）的一段弧， AB 展开后成为切线 BM，所以切线BM的长就是的长，我们把笔尖画出的 AB 曲线叫圆的渐开线，相应的定圆叫渐开线的基圆。
15
以基圆圆心O 原点，直线OA 为x轴建立平面直角坐标系设基圆的半径为r，点M的坐标（x,y)由φ 惟一决定。
10
5
M
B
0 -10 -5 0
A
5
10
15
20
-5
-10
-15
-20
取φ为参数，则点B的坐标为 (rcosφ,rsin φ),设e1是与 OB 同向的单位向量，从而向量e1= (cosφ,sin φ),设e2是与同向的单位向量，所以 =BM （rφ）e2，同 BM 时 = (x －rcosφ, y－ sin φ),由图可知，e2 BM =（ sin φ, －cosφ)

平摆线和渐开线

自主预习讲练互动课堂达标
︵
从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过
程中，圆周上定点M的位置可以有圆心角φ惟一确定，因
此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.
自主预习
讲练互动
课堂达标
【例1】已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的
参数方程.
解根据圆的摆线的参数方程的表达式 (φ 为参数)可知，只需求
x＝r（φ－sin φ）， y＝r（1－cos φ）
出其中的 r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
自主预习
讲练互动
课堂达标
令 r(1－cos φ)＝0 可得 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ (k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1. 1 所以 r＝ .又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r>0. 2kπ 所以，应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N＋. 1 x＝2kπ（φ－sin φ），所以，所求摆线的参数方程是 y＝ 1 （1－cos φ） 2kπ (φ 为参数) (其中 k∈N＋).
解
π xM＝r· θ－r· cos（φ＋θ）－2＝r[θ－sin(φ＋θ)]，
π yM＝r＋r· sinφ＋θ－2＝r[1－cos(φ＋θ)].
自主预习
讲练互动
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题型二
圆的渐开线
渐开线要从其生成过程理解其简单性质，体会渐开线上动点所满足的几何条件，建立渐开线参数方程的关键是将“切线 BM 的长就是AB的长”用坐标表示出来. 渐开线的参数方程不能化为普通方程.
自主预习

渐开线的形成和基本特性

啮合线与两齿轮连心线的交点C称为节点。以O1、O2为圆心，以O1C、 O2C为半径作相切于C点的两个圆称为节圆，其半径用r1＇、r2＇表示。啮合线与两节圆的公切线t-t所夹的锐角称为啮合角，用α＇表示。显然，啮合角在数值上等于渐开线齿廓在节圆处的压力角，由于啮合线为一固定直线，啮合角为常数。
因此，渐开线齿廓满足定传动
比要求。
图1-6 渐开线齿廓的啮合
渐开线的形成和基本特性
• 1.2 渐开线齿廓的啮合特性
2.渐开线齿轮具有中心距可分性渐开线齿轮制成后，其基圆半径已经确定。即使两轮
中心距稍有变化，其传动比仍保持不变。这一渐开线齿轮传动的性质称为中心距可分性。
中心距可分性具有很大的实用意义。生产实际中，由于制造、安装误差以及轴承的磨损等，都会导致两齿轮中心距产生偏差，但却不会影响齿轮的传动比，这就大轮的一大优点。
图1-2 渐开线的形成
图1-3 渐开线齿廓
渐开线的形成和基本特性
• 1.1 渐开线的形成及其性质
2.渐开线的性质（1）发生线沿基圆滚过的长度等于基圆上被滚过的弧长，即NK=NA。（2）渐开线上任一点的法线均与基圆相切。发生线NK沿基圆作纯滚动，它与基圆始终保持相切，NK与基圆的切点N即为渐开线上点K的曲率中心。NK是K点的曲率半径。（3）渐开线上任一点K处的正压力方向与该点速度vK方向所夹的锐角称为渐开线齿廓在K点的压力角。
图1-4 不同基圆的渐开线
渐开线的形成和基本特性
• 1.2 渐开线齿廓的啮合特性
1.渐开线齿廓可保证定传动比传动如图所示为一对互相啮合的齿轮，主动轮齿廓C1与从动轮齿廓C2在K 点接触。若两轮的角速度分别为ω1 和ω2，则两齿廓在K点的线速度分别为vK1、vK2。

高考数学平摆线和渐开线

§4 平摆线和渐开线
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1.平摆线定义
一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作_平__摆__线__ (或旋轮线). 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M 到达最高点(_π_r_，__2_r_) ，再滚动半周，点M到达(_2_π_r_，__0_) ，这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚动一周时，平摆线出现一个周期. 平摆线上点的纵坐标最大值是_2_r_，最小值是_0_，即平摆线的拱高为_2_r _.
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又O→M＝(x，y)，因此有xy＝＝44（（csions
θ＋θsin θ－θcos
θ）， θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. (4)用向量运算得到O→M的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.
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题型一平摆线在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O，圆保持与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段
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07-3第三十五讲渐开线的形成及其特性(精)

y K(x,y) A rb D u u O u C B x
θk ＝invαk ＝tgαk-αk
直角坐标方程：
x = OC-DB = rb sinu - rbucosu y =BC+DK = rb cosu + rbusinu
式中u称为滚动角: u=θk+αk
JM
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C
C’ C”
A2
A1 A
B1 N1 N 2
B O rb
E1
B2 E2 E
AB = AN2 + N2B
∴ A1B1 = A2B2
= A2N2 + N2B2 = A2B2
两条同向渐开线：
A1E1 = A2E2
B1E1 = A1E1－A1B1 B2E2 = A2E2－A2B2
B1E1 = B2E2
JM
返回
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3、渐开线方程式
压力角：啮合时K点正压力方向与速度方向所夹锐角为渐开线上该点之压力角αk。
αk
vk A
k rk
αk =∠BOK 极坐标方程：
rb＝rk cosαk
)
θk
O
αk
rb
B
tgαk= BK/rb =AB/rb = rb(θk+αk)/rb
θk = tgαk-αk
上式称为渐开线函数，用invαk 表示：
③B点为曲率中心，BK为曲率半径。渐开线起始点A处曲率半径为0。 ④渐开线形状取决于基圆当rb→∞，变成直线。 ⑤基圆内无渐开线。 ⑥同一基圆上任意两条渐开线公法线处处相等。
A2
θk
o1
o2
o3
JM
返回
⑥同一基圆上任意两条渐开线的公法线处处相等。

人教A版高中数学选修4-4渐近线与摆线课件

探究：P40
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？
设开始时绳子外端（笔尖）位于点 A ，
当外端展开到点 M 时，因为绳子对圆心角的一段弧 A B ，
直角坐标系。
M
设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。
显然，点M由角唯一确定。
B
取为参数，则点 B 的坐标为（ r c o s , r s i n ） , 从而
B M ( x r c o s , y r s i n ) , |B M | r .
O
的两个相邻交点之间上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一的条部定分直叫线做无一滑个动拱地滚。动时，圆周
上一个定点的轨迹是什么？
M
B
OA
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
线段 O A 的长等于 M A 的长，即 O A r。
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
解得 x y r r((c so in s c so in s ))(是参数 )。
这就是圆的渐开线的参数方程。
人教A版高中数学选修4-4渐近线与摆线
4
2、渐开线的参数方程
y
x y rr((cso ins cso ins ))(是参数 )。
B
M
O
A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。

渐开线和渐屈线资料

自肾形的尖点, 和方程的参数是由圆外旋轮线方程
(1)
与 ,
(2)
在哪里
(3)
这可以写
(4)
的参数方程是
(5)
(6)
(7)
笛卡儿方程
(8)
肾形的有区域和弧长,
(9)
(10)
的弧长,曲率,切向角作为参数的函数是
(11)
(12)
(13)
的表达式和是有效的 .
肾脏可以生成的信封的圆圈围绕给定的圆和圆的切线直径(威尔斯1991)。
肾形的是回光线的为原始的射线尖端的心形并反映在它。此外,惠更斯显示1678年,肾形的回光线的的圆当光源在无穷远处,一个观察,他在1690年发表在他的行程de la luminere(MacTutor存档)。(Trott 2004,p。17日误州的回光线的平行光落在任何凹镜肾形的。)“平遮阳板的形状曲线”由一个弹出卡被称为“骑士的面罩”是半肾形的(Jakus和O’rourke 2012)。
(1)
(2)
的弧长从是
(3)
在哪里
(4)
(5)
参见:
抛物线渐开线
的渐开线的抛物线
(1)
(2)
是由
(3)
(4)
定义 ,这可以写的稍微简单的形式
(5)
(6)
参见:
��物线渐屈线
给定一个抛物线用参数方程
(1)
(2)
渐屈线是由
(3)
(4)
消除和给出了隐式方程
(5)
与 ,可以帮助解决这个问题给
(6)
(7)
(8)
的采查罗方程然后由
(9)
表面上的球模拟是一个恒向线.
对数螺线渐屈线