工程上常用的曲面立体一般为回转体回转体由回转面或回...
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曲面立体曲面立体及表面上点的三视图解析课件
可见，则点A必在后半个圆柱面
上；A点在左半个圆柱面上，故a”
可见。
a
§4-1 曲面立体及表面上点的三视图
作图：
(1)过(a’ )作投影线，找到直
线与圆周的交点;
(2)根据投影规律求出a”。
三、回转体及其表面上的点和线
1、圆柱体
例2 已知圆柱面上线段的水平投影，求其余两面投影。
d' c' f'
a'
(b')
(3)在sm和s”m”上求得a和a”。
§4-1 曲面立体及表面上点的三视图
三、回转体及其表面上的点和线
2、圆锥体
锥体作辅助 线方法之二：
平切法
例4 已知圆锥面上的点A的水平投影，求其余两面投影。
s'
s”
分析：
PV m'
a'
A在圆锥面上，则过A必存在圆
(a”)
PW
锥面内的一个纬圆;A在前半个圆锥面 上，则a’ 可见；A点在右半个圆锥面
最后素线投影
X 前后分界线
Y 左右分界线
§4-1 曲面立体及表面上点的三视图
各面投影特点：
(1)圆锥面：一个 圆与两个等腰三角形；
(2)底面：一个圆 与两条直线。
一、曲面立体的三视图
3、圆球体
空间分析：
圆球面平行V面 的圆素线投影
前后分界线
Z
圆球面平行W面 的圆素线投影
三个圆都需要用 细点画线画出对
一、曲面立体的三视图
在工程上，回转体是应用广泛的曲面立体。常见的回转体 包括：
圆柱体
圆锥体
圆球体
圆环体
回转面——由母线绕固定轴线旋转得到的一类曲面 回转体——表面是回转面或回转面和平面的立体
回转体的投影
第9讲3-2 回转体的投影教学目标：1、掌握回转体的基本绘图要领；2、掌握圆柱、圆锥、圆球和圆环及其表面的求点、线的方法；教学重点：基本回转体的画图方法教学难点：圆环表面取点教学手段：结合实例课堂讲解教学用具：多媒体教学过程：一、回转体及基本画图方法：工程上常见的曲面立体是回转体。
回转体是由回转面或回转面与平面所围成的立体。
回转面是由母线（直线或曲线）绕某一轴线旋转而形成的。
最常见的回转体有椭圆、圆锥、圆球和圆环。
画回转体的投影图时，一般应画出各方向转向轮廓的一个投影（其中与旋转轴线、对称中心线重合的两个投影，被省略不画）和回转线的三个投影（其中两个投影为直线、一个投影积聚成点，用对称中心线表示，根据机械制图规定表示轴线、对称中心线均用细点画线画出，且要超出图形的轮廓线3～5mm）。
转向轮廓线就是在某一投影方向上观察曲面立体（如回转体）时可见与不可见部分的分界线。
回转体有一重要特性，母线的任一位置称为素线；母线上各点的运动轨迹皆为垂直于回转轴线的圆，这些圆周称为纬线（纬圆，回转圆）。
根据这一性质，可在回转面上作素线取点、线、称为素线法；也可在回转面上作纬线取点、线，称为纬线（纬圆，回转圆）法。
二、圆柱圆柱是由圆柱面和顶圆平面、底圆平面围成的。
如图3-5a所示,圆柱面可以看作是一条直母线AAσ绕与它平行的的轴线OO1旋转而成.（一）圆柱的投影图3-5b、c为轴线处于铅垂线位置时的院住直观图及其投影图。
1.投影分析（1）圆柱的顶圆平面、底圆平面为水平面，其水平投影反映顶、底圆平面真形，且重合；正面投影和侧面投影均积聚为平行于相应投影的直线a′b′c′d′、a’0c0’b0’d0’和d〃a〃c〃b〃、d〃0a〃0c〃0b〃0且等于顶、底圆的直径。
（2）圆镞面因其轴线为铅垂线，故圆柱面上所有素线必须为铅垂线，圆柱面为铅垂面，其水平投影积聚为一圆，其与顶、底圆平面俯视轮廓的水平投影圆周相重合。
没一条素线的水平投影都积聚为点，且落在该圆周上。
回转体的投影
C
d”
a’ c’d’ A
X
a
d
C
a”b” c”
b c
Y
圆柱的三面投影图
a’
c’(d’) b’ d’
a”(b”) c’ （1） 先绘出圆柱的对称线、
回转轴线。 （2）绘出圆柱的顶面和底面 。 （3）画出正面转向轮廓线和 侧面转向轮廓线。 Z
圆柱投影图的绘制：
a’
c’(d’) d
b’d’
a”(b”)
c’
1.求特殊位置点 2.求一般位置点 3.判断可见性，光滑
连接各点 4.整理图线，完成图形
例：已知联轴节的正投影和水平投影，求侧面投影。 联轴节的主体是圆筒，其上端用两个左、右对称并平行于轴线的 侧平面P及垂直于轴线的水平面Q截切。其下端用两个左、右对称并 平行于轴线的侧平面S及垂直于轴线的水平面R截切。
回转体的投影
二、曲面立体的投影及表面取点
回转体由回转面或回转面与平面围成。回转面是由母线（直线或 曲线）绕某一轴线旋转而形成的。常见的回转体有： 圆柱 转向轮 廓线
圆锥
圆球
圆环
素线
纬线
母线的任一位置称为素线，母线上各点的运动轨迹都是垂直于轴 线的圆，称为纬线或纬圆。根据这一性质可在回转面上作素线、纬线 取点。 回转面上的转向轮廓素线，就是在某一投影方向观察曲面立体时 可见与不可见部分的分界素线。
圆柱表面由圆柱 面和顶面、底面所组 成。圆柱面是由一直 母线绕与之平行的轴 线回转而成。
Z
b’ c’d’ V a’ D A d” a”b” B c” W
如图所示，圆柱 的轴线垂直于H面， 其上下底圆为水平面 ，水平投影反映实形 ，其正面和侧面投影 重影为一直线。而圆 柱面则用曲面投影的 转向轮廓线表示。
机械制图第4章 立体的投影
9
机械制图
出版社 理工分社
4.2.1 圆柱体的投影
1.圆柱体的形成
圆柱由圆柱面、顶面及底面所围成。圆柱面则 由一条直线（母线）绕与它平行的回转轴旋转一 周而形成的。
2.圆柱体的投影
图4.5是一个圆柱体的直观图和它的投影。该圆 柱体的轴线垂直于水平面，它的水平投影为圆， 正面投影为矩形，前半个圆柱面在该面上投影可 见，后半个圆柱面的投影不可见。
38
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图4.23 圆柱与圆台正交的相贯线
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机械制图
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图4.24 半球与圆台的相贯线
40
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图4.24 半球与圆台的相贯线
41
机械制图
4.4.3 相贯线的特殊情况
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图4.25 两同轴回转体的相贯线
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机械制图
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3
机械制图
（2）作图步骤
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图4.1 正六棱柱的投影
4
机械制图
2.棱柱体表面上取点
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图4.2 正六棱柱表面上找点的投影
5
机械制图
4.1.2 棱锥 1.棱锥的投影
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图4.3 正三棱锥的投影
6
机械制图
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（1）投影分析
（2）作图步骤
画正三棱锥的三面投影时，首先画出底面的水 平投影，再画其另两面投影，然后画出锥顶的三 面投影，最后将锥顶和底面三个顶点的同面投影 连接起来，即得到正三棱锥的三面投影。也可以 先画出其水平投影，然后根据投影规律画出其余 两面投影。
10
机械制图
回转体的投影
圆柱体投影第二节回转体的投影回转体是曲面体的一种，回转体是由回转面或回转面与平面围成的立体。
工程上常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球等。
一、圆柱（一）形成回转面由母线（直线或曲线）绕一固定的轴线（直线）作回转运动形成的。
曲面上任一位置的母线称为素线。
（二）投影垂直轴的投影面上投影为圆形，平行轴的投影面上投影为大小相等的矩形。
水平投影反映实形仍为圆，正面、侧面投影均为水平直线段，其长度等于圆的直径。
水平投影积聚成圆周，正面、侧面投影都是矩形。
（三）表面取点圆锥体投影二、圆锥圆锥是由圆锥面和底面所围成。
（一）形成圆锥面是由一条直线（母线）绕一条与其相交的直线（轴线）回转一周所形成的曲面。
底面为垂直轴线的圆。
（二）投影在轴所垂直的投影面上是个圆，在轴平行的投影面上是两个完全相等的等腰三角形。
在圆锥的投影图中也必须用点画线画出圆的中心线和圆锥面轴线的投影。
（三）取点利用素线作辅助线，用素线作辅助线取点的方法称为素线法。
同时，圆锥面又是回转面，母线上任一点的运动轨迹是圆（此圆垂直于轴线，称为纬圆），故也可利用纬圆作辅助线，用纬圆作辅助线取点的方法称为纬圆法。
圆球体投影三、圆球体（一）形成圆球面是由圆（曲线）绕其一条直线（轴线）回转一周形成的曲面。
（二）投影圆球的三个投影都是圆，它们的直径都等于圆球的直径。
是三个不同方向最大圆的投影。
它们在所平行的投影面上反映圆的实形，其余两个投影与圆的中心线重合。
在圆球的投影图上必须用点画线画出圆的中心线。
（三）取点平行圆法。
圆柱、圆锥、圆球的投影(制图课件)
总目录
项目一 制图基本知识与技能 项目二 投影法的基本知识 项目三 点、直线 面的投影 项目四 基本体的投影 项目五 截交线和相贯线 项目六 组合体 项目七 轴测投影 项目八 机件的常用表达法 项目九 建筑图的识读 项目十 识图综合训练 项目十一 影
11..视平图面立体 2.曲面立体
来看每一个点的作图过程，A点首先向下做水平投影，得到a点。
再根据投影规律，利用A点的正面投影和水平投影，求得其侧面投影a''。
再来看B点的作图过程,B点的水平投影在右后方，首先做水平投影，得到b点。
再根据投影规律，利用B点的正面投影和水平投影，求得其侧面投影 b‘’，擦去多余的线，得到了AB两点的另外两个投影。
利用正面纬圆 作图，根据正 面纬圆正面投 影反应实形， 水平投影和侧 面投影积聚成 一条直线，在 正面投影中， 过a ′点画圆， 与水平轴线相 交，相加点的 水平投影在水 平轮廓圆上， 再做平行于水 平轴线的直线 ，得到a点的水 平投影；根据a 点和a ′点的位 置求得a ″ 。
利用侧面纬圆作图， 根据侧面纬圆正面投 影积聚成一条直线， 侧面投影反应实形， 在正面投影中，过a ′ 点平行于竖直轴线做 辅助线与正面轮廓圆 相交，正面轮廓圆的 侧面投影为侧面的轴 线，所以相交点的侧 面投影在侧面的竖直 轴线上，再画圆，求 得a ″点；根据a ′点和 a ″点的位置求得a
利用素线法过锥顶和正面投 影a′做一条素线，素线的另 一端点在底圆上，A点的水 平投影a在该素线的水平投影 上，再求其侧面投影a〞。
圆球从任何方向投影其 投影均为圆，在三面投 影下，其水平投影、正 面投影和侧面投影均为 圆。
正面投影圆称为正面轮廓圆，即A圆，该圆正面投影反映实 形，水平投影和侧面投影在水平及侧面的轴线位置。
项目一 制图基本知识与技能 项目二 投影法的基本知识 项目三 点、直线 面的投影 项目四 基本体的投影 项目五 截交线和相贯线 项目六 组合体 项目七 轴测投影 项目八 机件的常用表达法 项目九 建筑图的识读 项目十 识图综合训练 项目十一 影
11..视平图面立体 2.曲面立体
来看每一个点的作图过程，A点首先向下做水平投影，得到a点。
再根据投影规律，利用A点的正面投影和水平投影，求得其侧面投影a''。
再来看B点的作图过程,B点的水平投影在右后方，首先做水平投影，得到b点。
再根据投影规律，利用B点的正面投影和水平投影，求得其侧面投影 b‘’，擦去多余的线，得到了AB两点的另外两个投影。
利用正面纬圆 作图，根据正 面纬圆正面投 影反应实形， 水平投影和侧 面投影积聚成 一条直线，在 正面投影中， 过a ′点画圆， 与水平轴线相 交，相加点的 水平投影在水 平轮廓圆上， 再做平行于水 平轴线的直线 ，得到a点的水 平投影；根据a 点和a ′点的位 置求得a ″ 。
利用侧面纬圆作图， 根据侧面纬圆正面投 影积聚成一条直线， 侧面投影反应实形， 在正面投影中，过a ′ 点平行于竖直轴线做 辅助线与正面轮廓圆 相交，正面轮廓圆的 侧面投影为侧面的轴 线，所以相交点的侧 面投影在侧面的竖直 轴线上，再画圆，求 得a ″点；根据a ′点和 a ″点的位置求得a
利用素线法过锥顶和正面投 影a′做一条素线，素线的另 一端点在底圆上，A点的水 平投影a在该素线的水平投影 上，再求其侧面投影a〞。
圆球从任何方向投影其 投影均为圆，在三面投 影下，其水平投影、正 面投影和侧面投影均为 圆。
正面投影圆称为正面轮廓圆，即A圆，该圆正面投影反映实 形，水平投影和侧面投影在水平及侧面的轴线位置。
7、画法几何及工程制图-第六章 曲面立体
a' b' d" c"
b' a' b'
D A B C B
c" d"
c"
C
a'
A
D
a' d a c
b' d"
c"
d
b
a
b
c
３、圆柱体投影图的画法
注意 三个投影 图之间的 对应关系。
3. 圆柱表面取点——利用积聚性作图
a ’ A
a”
a’
a”
a
a
二、圆锥
1. 圆锥面的形成—— 动直线绕与其相交的固定轴线旋转的轨迹
O’
O’’
O
注意球体表 面的转向素线在 三个投影图中的 对应位置
例： 已知球面上的A、B、C 的一个投影，求其余投影。
a'
(b')
a"
(b")
c'
c"
b
(c)
a
四、圆环体的投影
１、圆环体的形成
圆环体是 由圆作为母线 围绕同平面内 的一根轴线旋 转一周而形成 的回转体。 母线上各 点围绕轴线旋 转的轨迹是同 心圆。 轴线
画法几何及工程制图
第六章 曲面立体 1、曲面体的投影
由曲面或曲面和平面围成的立体称为曲面立体。
§6-1 曲面体的投影
工程中常见的曲面立体是回转体，回转体由回转面或回 转面和平面围成。 回转面由一动线（直线或曲线）绕一定直线旋转一周形 成的曲面。
O
顶圆 轴线 母线 素线 喉圆
纬圆 赤道圆 底圆
O
•回转体
s"
S
b' a' b'
D A B C B
c" d"
c"
C
a'
A
D
a' d a c
b' d"
c"
d
b
a
b
c
３、圆柱体投影图的画法
注意 三个投影 图之间的 对应关系。
3. 圆柱表面取点——利用积聚性作图
a ’ A
a”
a’
a”
a
a
二、圆锥
1. 圆锥面的形成—— 动直线绕与其相交的固定轴线旋转的轨迹
O’
O’’
O
注意球体表 面的转向素线在 三个投影图中的 对应位置
例： 已知球面上的A、B、C 的一个投影，求其余投影。
a'
(b')
a"
(b")
c'
c"
b
(c)
a
四、圆环体的投影
１、圆环体的形成
圆环体是 由圆作为母线 围绕同平面内 的一根轴线旋 转一周而形成 的回转体。 母线上各 点围绕轴线旋 转的轨迹是同 心圆。 轴线
画法几何及工程制图
第六章 曲面立体 1、曲面体的投影
由曲面或曲面和平面围成的立体称为曲面立体。
§6-1 曲面体的投影
工程中常见的曲面立体是回转体，回转体由回转面或回 转面和平面围成。 回转面由一动线（直线或曲线）绕一定直线旋转一周形 成的曲面。
O
顶圆 轴线 母线 素线 喉圆
纬圆 赤道圆 底圆
O
•回转体
s"
S
曲面立体及其表面上点和线的投影
水平投影和侧面投影均可见；N点的正面投影不 可见，且在点画线的右侧，由此可判定N点在右、
（a）已知条件
后半圆柱面上，其水平投影可见，侧面投影不可
见。
作图步骤（参见图4-8（b））：
（1）过m′点向下作铅垂线交圆周的前半部分
于一点，则该点为m；由m′点和m点，即可求出m′′
点，m′′点为可见点。
（2）采用同样的方法，先求出N点的水平投
曲面立体及其轴测投影
4．圆环面上点的投影
圆环表面上的点，可使用纬圆法绘制。例如， 已知环面上K点的正面投影k′，求该点的水平投影的 作图方法如图4-13所示。
第 17 页
图4-13 求环面上点的投影
土木工程制图
（b）作图方法 图4-9 利用“辅助线法”求圆柱表面上线的投影
曲面立体及其轴测投影
第 13 页
2．圆锥表面上点的投影
圆锥底面具有积聚性，其上的点可以直接求出。 圆锥面没有积聚性，其上的点需要用辅助线法才能 求出。按辅助线的类型不同，辅助线法可分为素线 法和纬圆法两种。
【例4-3】已知圆锥面上点A的正面 投影a′，如图4-10（a）所示，求其另 外两面投影。
形，同时也是圆锥面的投影。 ➢ V面和W面投影：均为等腰三角形，且三
角形的底边为圆锥底面的积聚投影。V面 投影中，三角形的左、右两边分别是圆锥 面最左素线SA和最右素线SB的投影（素线 也是转向轮廓线）；W面投影中，三角形 的左、右两边分别是圆锥面最前素线SC和 最后素线SD的投影。
（a）立体图
（b）投影图
圆柱体的侧面投影积聚在圆周上。 ➢ V面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线
分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两 边线分别是圆柱最左、最右处素线的投影。 ➢ W面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线 分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两 边线分别是圆柱最后、最前处素线的投影。
建筑制图与识图 第二版 (2)[34页]
![建筑制图与识图 第二版 (2)[34页]](https://img.taocdn.com/s3/m/4a98071451e79b896902267e.png)
一圆形。
• （2）圆柱面的V面投影是一个矩形。 • （3）圆柱面的W面投影也是一个矩形。
• 二、绘制圆柱的三面投影 • 1、确定主视方向 • 2、绘制投影轴 • 3、首先绘制圆柱的特征面投影 • 4、绘制圆柱侧面的三面投影 • 5、整理
• 知识拓展 • 一、圆柱体表面上取点
a’
a”
圆
(b’)
建筑制图与识图
说你行，你就行，不行也行。
任务2 绘制与识读基本曲 面体的三面投影图
实例1 绘制与识读圆柱的三面投影图
• 相关知识
• 一、曲面立体
• 工程上常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆台和 球体等，又叫回转体。回转体由回转面或回转 面和平面围成。回转面就是一动线（母线）绕 一定线（轴线）旋转一周而形成的。母线在回 转面上的任一位置，叫素线，母线上任意一点 的轨迹就是垂直于轴线的圆，称为纬圆。
• 二、圆柱 • 如图1-2-2所示，是轴线垂直于H面的圆柱面
及其三面投影的轴测图，直线AA0绕与其平行 的轴线旋转，形成圆柱面。
• 三、圆锥 • 如图1-2-3所示，是轴线垂直于H面的圆锥面
及其三面投影的轴测图，直线（母线）SA绕 与它相交于一点S的轴线旋转一周，形成圆锥 面。
• 四、圆台
• 圆台是由圆锥被一个平行于底面的平面截去锥 顶部分所得到的形体，如图1-2-3所示。圆台 是由上底圆、下底圆及部分圆锥面所组成。
如图1-2-11所示，已知圆锥表面上的曲线 EG的V面投 影，若求其另外两个投影，其做图过程如下：
实例3 绘制与识读圆台的三面投影图
实例分析 如图1-2-12所示为圆台的立体图，它是由圆锥被
一个平行于底面的截平面截割而形成，其上下两个 底圆相互平行。
任务实施
• （2）圆柱面的V面投影是一个矩形。 • （3）圆柱面的W面投影也是一个矩形。
• 二、绘制圆柱的三面投影 • 1、确定主视方向 • 2、绘制投影轴 • 3、首先绘制圆柱的特征面投影 • 4、绘制圆柱侧面的三面投影 • 5、整理
• 知识拓展 • 一、圆柱体表面上取点
a’
a”
圆
(b’)
建筑制图与识图
说你行，你就行，不行也行。
任务2 绘制与识读基本曲 面体的三面投影图
实例1 绘制与识读圆柱的三面投影图
• 相关知识
• 一、曲面立体
• 工程上常见的曲面立体有圆柱、圆锥、圆台和 球体等，又叫回转体。回转体由回转面或回转 面和平面围成。回转面就是一动线（母线）绕 一定线（轴线）旋转一周而形成的。母线在回 转面上的任一位置，叫素线，母线上任意一点 的轨迹就是垂直于轴线的圆，称为纬圆。
• 二、圆柱 • 如图1-2-2所示，是轴线垂直于H面的圆柱面
及其三面投影的轴测图，直线AA0绕与其平行 的轴线旋转，形成圆柱面。
• 三、圆锥 • 如图1-2-3所示，是轴线垂直于H面的圆锥面
及其三面投影的轴测图，直线（母线）SA绕 与它相交于一点S的轴线旋转一周，形成圆锥 面。
• 四、圆台
• 圆台是由圆锥被一个平行于底面的平面截去锥 顶部分所得到的形体，如图1-2-3所示。圆台 是由上底圆、下底圆及部分圆锥面所组成。
如图1-2-11所示，已知圆锥表面上的曲线 EG的V面投 影，若求其另外两个投影，其做图过程如下：
实例3 绘制与识读圆台的三面投影图
实例分析 如图1-2-12所示为圆台的立体图，它是由圆锥被
一个平行于底面的截平面截割而形成，其上下两个 底圆相互平行。
任务实施
回转体及截切
b’
过m’s’作圆锥表面
d” a’(b’)1” c” 上的素线，延长交底
圆为1’。
a
s
b
m
1 c
图3-14 圆锥的投影及表面上的点
求出素线的水平投 影s1及侧面投影s”1”。
求出M点的水平投 影和侧面投影。
方法二：辅助圆法
Z
过M点作一平行与底
V
面的水平辅助圆，该圆
的正面投影为过m’且平
行于a’b’的直线2’3’，它
Z
方法一：素线法
V
过M点及锥顶S作
一条素线SⅠ,先求
出素线SⅠ的投影, 再求出素线上的M点。
a’
X
s’ S
s” W
m’
b’
c’d’
M
A d
m
a
d” m” Ba”(b”) C b c
c”
Y
圆锥的三面投影图
s’
s”
已知圆锥表面的点
M的正面投影m’,求出
M点的其它投影。
m’ a’
1’ c’(d’) d
m”
平投影反映实形能，在其该投影面上画出，而在
正 为面一和直侧 线面。投而影圆其重柱它影面投影面上a’ 则c不’d’A再画出。d”a”b” c”
则用曲面投影的转向 X
d
Cb
轮廓线表示。
a
c
Y
圆柱的三面投影图
圆柱投影图的绘制：
（1） 先绘出圆柱的对
a’
c’(d’)
b’ d’ a”(b”) c’ 称线、回转轴线。 （2）绘出圆柱的顶面
水两平个面侧截平圆面球截的圆截球交的线 截的交投线影的，投在影俯，视在图侧上视为 图部上分为圆部弧分，圆在弧侧，视在图俯上 视积图聚上为积直聚线为。直线。
【机械制图】第4章 立体的投影
表面求点只
k”
能用辅助圆 法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ (n’)
注意：圆球
m”
表面求点只
k”
能用辅助圆 法！
M
m
（3）圆球表面上取点
完成圆球表面指定点的另两投影。
m’ k’ (n’)
m”
k” (n ”)
注意：圆球 表面求点只 能用辅助圆
法！
(n) M
m k
4.3 立体的截交线
截交线为平面几边形？
——平面七边形
2、投影分析：
截交线的正面投影？
——落在截平面的积聚性投 影上；
截交线的水平投影？
——其中六条边落在六棱柱 棱面的积聚性投影上，另一 条边为截平面与棱柱顶面相 交的一条正垂线。
3、投影作图：
4、整理图线：
【例题3】求正四棱锥被截切后的水平和侧面投影。
6′5′7′
4′8′
Y 可见；反之为不可见。
棱柱表面上取点和取线
已知正六棱柱表面上点M的正面投影及点N的 水平投影，分别求它们的其余两面投影。
a’ d’ n’ m’
a” n” d” m” 请同学们思考：
b’ c’
如果将已知点
b”
c” 加上括号，会是
什么结果？
a
(b)
n
m
d(c)
2. 棱锥的投影
V
a'
X
Z
s'
s” S
n”
请同学们思考：
m’
m”
如果将已知点
a’ 2’ b’ c’ a”(c”)
加上括号，会是 b” 什么结果？
基本形体的三视图面上的点和线
1)、 圆球的投影
三个视图均为与圆球的直径相等的圆，它 们分别是圆球三个方向轮廓素线的投影。
2）圆球的投影特点
圆球的轮廓线的投影
3）圆球可见性的判别
4） 圆球表面上取点—维圆法
圆的半径？
例： 圆球面上特殊点的求法
a
( c )
b
(b)
a
c
(c) a
b
A为一般点； B、C为特殊点。
由两个底面 和六个侧棱面组
成。侧棱面与侧
棱面的交线叫侧
棱线，侧棱线相
互平行。
8
（1）六棱柱的投影视图
---无轴投影图
(2) 棱柱表面上取点
c c
a
( b )
(a) b
点的可见性 判别： 若点所 在的平面的 投影可见， 点的投影也 可见；若平 面的投影积 聚成直线， 点的投影也 可见。
二、平面立体
1 棱柱
2 棱锥
平面立体：是由若干个平面图形所围成的几 何体，如棱柱体、棱锥体等。
棱柱体
棱锥体
平面立体侧表面的交线称为棱线 若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱 若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥
平面立体的投影 是平面立体各表面投影的集合 ----由直线段组成的封闭图形。
棱柱
1. 六棱柱
b c a
10
2、三棱柱
(1)三棱柱投影 三棱柱的两 底面为水平面， 在俯视图中反映 实形。 其余三个侧 棱面都是铅垂面， 水平投影积聚， 与三角形的边重 合。
（2）三棱柱表面的点
由于三棱柱的表面都是平面，所以在三棱柱的表面上取 点与在平面上取点的方法相同。 m k m k 点的可见性判别： 若点所在的 平面的投影可见， 点的投影也可见； 若平面的投影积 聚成直线，点的 投影也可见。
曲面立体
曲面立体常见的曲面立体是回转体，回转体是由回转面或回转面与平面围成的立体。
回转面通常由一条直线或曲线绕一固定直线作回转运动而形成的曲面，如图所示。
固定的直线称为轴线，作回转运动的线称为母线，母线在运动过程中所处的任意位置称为素线，母线上任意一点的运动轨迹是圆，常称为纬圆。
(a)圆柱 (b)圆锥 (c)球 (d)圆环回转面的形成绘制回转体的三视图归结为绘制回转体的轮廓线、顶点和曲面转向轮廓线的投影。
转向轮廓线：投射线与曲面的切线转向轮廓线投影：是指切于曲面的各投射线与投影面的交点的集合，也就是这些投射线所组成的投射面（平面或柱面）与投影面的交线，如图所示。
曲面转向轮廓线的投影也是曲面在该投影面上投影可见与不可见的分界线。
1．圆柱1）圆柱的三视图圆柱由圆柱面和两个平面围成。
三视图如图b所示。
圆柱的尺寸注法如图c所示。
（a）立体图（b）三视图（c）尺寸注法圆柱体的三视图及尺寸注意：绘制圆柱等回转体的三视图时应先用细点画线画出立体的轴线、对称中心线。
2）圆柱表面上取点在圆柱面上取点，首先要确定点在圆柱面的哪个部分，然后利用圆柱面投影的积聚性以及点的投影规律，确定圆柱面上点的位置、投影及可见性。
例题：如图a所示，已知圆柱面上M点的正面投影m’和N点的侧面投影n”。
求M点和N点的其余两个投影。
分析：因圆柱轴线垂直于水平投影面，M、N点在圆柱面上，它们的水平投影面投影必在圆上。
由已知条件可知，M点在左前圆柱面上，故m”为可见；N 点在右前圆柱面上，n’为可见。
作图：m’求得m，由m’、m得m”，判别可见性。
n”求得n，由n”、n得m’，判别可见性。
（a）已知条件（b）M点作图（c）N点作图圆柱表面取点3）圆柱表面上取线回转体表面上的线通常是空间曲线，特殊情况下是平面曲线或直线。
步骤：①确定出该线段在立体表面上的特殊点:线段的端点、该线经过立体表面转向轮廓线投影上的点；②在特殊点之间插入一些一般点；③光滑、平顺地连接各点。
回转体及平面立体其表面上的点和线
c´
a´ c
b´ a״
a b
O1
b״
c״
6. 圆球表面取点
★（纬圆法）辅助圆法
k
1
m
(2 )
(2)
圆的半径？
1
(2)
k
1
(m)
1
★（纬圆法）辅助圆法
7. 圆弧回转体表面取点、线
a' b'
a'' （b''）
A B
a b
分析
空间分析 投影分析
作图——利用纬圆法作图
d
A
C
d a ab b
c
c
35
35
圆弧回转体的尺寸
20
40
注意：
尺寸应集中标注在非圆视图上。
不要漏写直径尺寸的符号“ ” 及
半径尺寸的符号“R ”
回转体表面取点、线
1.圆柱的三面视图画图步骤：
O A
O1 A1
回转体的任何投影图中，必须用点画线先画出圆的对称中心线
2.圆柱面上取点
例1 如下图所示,已知圆柱表面上点A和点B的 正面投影a′和b′,试求出a和a″及b和b″。
第五讲：
一、平面立体表面取点
二、回转面的形成及特点
三、回转体三视图及其投影特性
圆柱体 圆锥体
球体
圆弧回转体
四、回转体表面取点、线
圆柱体 圆锥体
球体
圆弧回转体
棱柱 棱锥 圆柱
圆环 圆锥 球
平面体表面上的点和线
平面立体：各表面均为平面的几何体，如棱柱、 棱锥等。
第5章 基本形体
5.2 曲面立体
本节讨论基本曲面立体，如圆柱、圆锥、球和圆环等的 形成方法、投影图及其表面取点、线的作图等问题。由于 它们是以一直线或曲线为母线绕一定直线为轴旋转而成的 立体，故又称为回转体。上述基本曲面立体为常见的回转 体。
一、常见的回转体 二、复合回转体
一、常见的回转体
曲面的几个基本概念：
曲面的种类－规则曲面与非规则曲面
1)投影分析
由于环面的旋转轴线垂直于H面，其H面投影是两个同心圆，即赤道圆 和喉圆的H面投影。其V、W面的投影形状相同，都是由两个圆和与它们上 下相切的两段水平轮廓线组成。V面投影中的两个圆分别是环面上平行于V 面的最左、最右两个母线圆A和B的反映实形的投影。它们中均有半个圆被 部分环面遮住而画成虚线。环面的三面投影均是各投影面的转向线，即该面 投影可见与不可见的分界线。
显然m''可见，而n''
()
1( )
为不可见。
1( )
2.棱锥体
棱锥体由底面和棱面所围成，其各棱线汇交于锥顶。
正三棱锥的三视图及 其表面上取点
1)投影分析
正三棱锥底面为水平面， 其水平投影反映实形，正 面、侧面投影积聚为横线 段；棱面SAB和SAC为一 般位置平面，其三个投影 均为类似形。
2)视图画法
d'' m''
c'd'
M Ba'('b'') c''
Ad
C b
a mc
Y
已知圆锥表面的点M的正面投影m',求出M点的其它投影。
s'
s''
m'
a' 1' c'(d') d
圆柱体的投影与截交线
6 4 4 6 2 1
2
5 3
1
3
5
求圆柱体截切后的左视图（截面倾斜45 求圆柱体截切后的左视图（截面倾斜45°）
椭圆投成圆
求圆柱体截切后的侧面投影
无线 侧面转向轮廓线
求圆柱体截切后的水平与侧面投影
虚线 实线
求圆筒截切后的侧面投影
圆柱内表面 转向轮廓线 圆柱外表面 转向轮廓线
无线
纬圆 轴线 母线 素线
圆柱体的投影
立体图
投影图
圆柱的投影 圆柱体上转向轮廓线的投影
正面转向轮廓线 最左素线 侧面转向轮廓线 最前素线
轴线为铅垂线
圆柱体表面上取点
( ) ( )
(D)
C B
A
截交线的性质和求法
平面与立体表面相交后所产生的交线称为截交线， 平面与立体表面相交后所产生的交线称为截交线，该平 截交线 面称为截平面 由截交线围成的平面图形称为截断面 截平面， 截断面。 面称为截平面，由截交线围成的平面图形称为截断面。 (1)共有性 截交线是截平面与立体表面的共有线， (1)共有性 截交线是截平面与立体表面的共有线，故截交线 上的每一点必定是截平面与立体表面所共有的。 上的每一点必定是截平面与立体表面所共有的。 (2)封闭性 由于任何立体均有一定的范围， (2)封闭性 由于任何立体均有一定的范围，故截交线一般多 由封闭的平面直线或曲线所围成。 由封闭的平面直线或曲线所围成。
二、回转体的投影
工程上常见的曲面立体为回转体。 工程上常见的曲面立体为回转体。回转体是由回转面与 平面或回转面所围成的立体。 平面或回转面所围成的立体。 回转面是由一动线 或称母线 动线( 母线) 轴线旋转而成的 旋转而成的。 回转面是由一动线(或称母线)绕轴线旋转而成的。回转 面上任意一位置的母线又称为素线 素线。 面上任意一位置的母线又称为素线。母线上任一点的运动 纬圆。 轨迹皆为垂直于轴线的圆，称其为纬圆 轨迹皆为垂直于轴线的圆，称其为纬圆。 常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球等。 常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球等。
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截交线上的点是曲面上的素线与截平面的交点。
曲面体截交线的性质： 1、封闭的平面图形（曲、 直线围成）。 2、截交线为立体表面和截平面的共有线。 3、截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。
求曲面体的截交线的方法： 找出立体表面和平面上的若干共有点，然后依 次连
线。
二、 平面与 圆柱相交
1 平面与圆柱相交所得截交线形状 2 圆柱截交线的求法
S
(2) 纬圆法
由于母线上任一
点绕轴线旋转轨迹都
是垂直于轴线的圆,
K
图示圆锥轴线为铅垂
线,故过K点的纬圆为
M 水平圆,其水平投影
是圆。
例6-3 已知圆锥面上的折线SABC 的正面投影s`a`b`c`,求其它两面投影。
s`
解题分析
线段SA过锥顶,空间为 直线;线段AB为曲线;线段 BC平行底为一水平圆。如 立体图所示。
a b
(如点E)，求解方
法同点B。
d
e
c
5. 判别可见性，光滑连线。
解题分析
1 基本体及其投 影特性 2 点的位置及投 影特性 3 折线BCD空间 形状及投影特性
§6-2 平面与曲面立体相交
一 、 概述 二、 平面与 圆柱相交 三、平面与 圆锥相交 四、平面与 圆球相交 五、综合题
一 、 概述
平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线。
·3· 判别可见性,光滑连线。
(c``) (2``) b`` 1``
a``
二. 圆 锥
s`
1 圆锥的投影
s``
s` S
最左素线
a`
a` a``
A
M
s
a
m
s a
投影分析：
(1) 圆锥各表面的投影特性 (2) 圆锥的投影 (3) 圆锥表面上的四根特殊位置素线
二. 圆 锥
1 圆锥的投影 2 圆锥表面上的点和线
例6-3 如图所示，已知圆锥面上一点K的正
面投影k`，求点K的水平投影k和侧面投影k``。
s`
s``
形体分析
由于圆锥面的三
k`
面投影均无积聚性，
且K点也不在特殊位
置素线上，故必须通
过作辅助线的方法求
s
解。
s`
k` m`
s k m
s`` (k``)
作图
(1) 素线法
锥顶S与锥面上 任一点的连线都是 直线,如图中SK , 交 底圆于M点。
第六章 曲面 体
§6-1 曲面体的投影
由平面与曲面或全部由曲面围成的几何体称 为曲面体，如圆柱、圆锥、圆球等。
工程上常用的曲面立体一般为回转体。 回转体由回转面或回转 面与平面围成。
一条动线（直线或曲线）绕一条固定的直线作回 转运动所形成的曲面称为回转面。
形成回转面的动线称i i为母线，定直线称为回转轴， 母线在回转面上的任一位置称为素线，母线上任一点的 运动轨迹都是圆，称为纬圆。
1、平面与 圆柱相交所得截交线形状
矩形
圆
椭圆
圆柱截交线求共有点的方法 1、利用积聚性法 2、素线法
表面上的点和线的其余投影.
作图
1. 点A是主子午线上的点,可直接求得其
余两投影。
2. 线段CD是一
a`
段水平圆弧,其水
b` e`
平投影反映实形,
侧面投影为一段 d`
c`
直线。
a`` (b``)
(e``)
d``
c``
3. 线段BC是一
段正垂圆弧,其水
平投影和侧面投影
均为一段椭圆弧。
点C投影已求出,再
求点B的投影。 4. 取若干一般点
a` d` e`
c` b`
作图
(1) 辅助线法求出直线另一
端点A的水平及侧面投影 (2) 确定圆弧BC的半径,求
s c
a
出它的水平及侧面投影
b
ed
(3) 描点求曲线AB的投影
(特殊点D、一般点E)
(4) 判别可见性,依次光滑连线
(a``) d`` e``
c`` b``
S
A
C
B
三. 圆 球
1 圆球的投影
2 圆柱表面上的点、 线
在圆柱表面取点常利用积聚性法求, 即在该面具有积聚性的投影上作出点的投 影,然后再作点的第三投影.再判定可见性
在圆柱表面取线是在圆柱表面上取 点的基础上进行的，若为直线 则求其两 端点的投影然后将其同面投影相连即 可。 若为曲线则要作出曲线上若干个点的 投 影,再将同面投影光滑连线
可见性判定:面可见则点、线可见，面不可见则点、线不可见 。
例6-1 如下图所示,已知圆柱表面上点A 和点B的正面投影a`和b`和点C的侧面投影c’’, 试求出a和a``、b和b``及c 和c’。
(1) 分析基本体的投影特性
解题分析
主要分析是否有
积聚性表面,图示圆
柱面为侧垂面,其侧
a`
面投影积聚为圆周。
解题分析 圆球的三面投影均无 R1
积聚性,故球面上的取点通 a`
常采用纬圆法 , A点在球的
a``
左、前、上方。
作 图 (1) 过点A作一水平辅助
圆 , 正面投影作过a`的水 平线段 ,水平投影以线段 的长R1为半径画圆 ;
(2) 求出水平投影a
和侧面投影a``。
a
例6-4 求作立体的第三投影,并完成其
b`
(2) 判定点的
( C`` ) C`
空间位置
A点在上半圆柱
面的前方,B点在圆柱
的最前素线上。C点
在右端面上。
C
YH
(3) 作图
利用积聚性直接求 a
出a``、b’’和c’’、再由
b
a`和a`` ; b’和b``;c’和
c’’ 求得a,b,c。
a``
b` YW
例6-2 如图所示,已知圆柱表面上的线 ABC的正面投影,试求其余两面投影。
圆柱面
回转轴
圆锥面
回转轴
圆球面
素线
母线
母线 素线
回转轴
素线
母线
一圆 柱
最左素线的正面投影
1 圆柱的投影
a`` a`
a`
A
a1`
最左素线
A1
a(a1)
a`` a1``
a1` a (a1)
a1`` 空间分析
1. 圆柱各表面的投影特性 2. 圆柱的投影 3. 圆柱表面上的四根特殊位置素线
一 圆柱
1 圆柱的投影
如图所示,圆球的三面投影都是 与球的直径相等的圆.这三圆分别 为球面上平行于正面、水平面、 和侧面的最大圆周的投影,
作图时先 确定球心的三 面投影,再画出 三个与球的直 径相等的圆.
三. 圆 球
1 圆球的投影
2 圆球表面上的点和线
如图所示,已知球面上点A的正面投
影a`,求它的水平及侧面投影a`和a``.
解题分析
(1) 分析基本体的投影特性
c`
2`
圆柱面的水平投影有积聚性
(2) 分析线的位置及投影
b`
1`
线ABC位于前半个
圆柱面上,空间为一段 a`
曲线,点A在圆柱面的
最左素线上,点B在最
前素线上
(3) 作图
·1·利用积聚性直接求出 a
ABC的水平投影,再求其
c
侧面投影;
1
·2· 求曲线上一般点的投影 ; b 2
曲面体截交线的性质： 1、封闭的平面图形（曲、 直线围成）。 2、截交线为立体表面和截平面的共有线。 3、截交线上的点为立体表面和截平面的共有点。
求曲面体的截交线的方法： 找出立体表面和平面上的若干共有点，然后依 次连
线。
二、 平面与 圆柱相交
1 平面与圆柱相交所得截交线形状 2 圆柱截交线的求法
S
(2) 纬圆法
由于母线上任一
点绕轴线旋转轨迹都
是垂直于轴线的圆,
K
图示圆锥轴线为铅垂
线,故过K点的纬圆为
M 水平圆,其水平投影
是圆。
例6-3 已知圆锥面上的折线SABC 的正面投影s`a`b`c`,求其它两面投影。
s`
解题分析
线段SA过锥顶,空间为 直线;线段AB为曲线;线段 BC平行底为一水平圆。如 立体图所示。
a b
(如点E)，求解方
法同点B。
d
e
c
5. 判别可见性，光滑连线。
解题分析
1 基本体及其投 影特性 2 点的位置及投 影特性 3 折线BCD空间 形状及投影特性
§6-2 平面与曲面立体相交
一 、 概述 二、 平面与 圆柱相交 三、平面与 圆锥相交 四、平面与 圆球相交 五、综合题
一 、 概述
平面与曲面立体的交线一般为封闭的平面曲线。
·3· 判别可见性,光滑连线。
(c``) (2``) b`` 1``
a``
二. 圆 锥
s`
1 圆锥的投影
s``
s` S
最左素线
a`
a` a``
A
M
s
a
m
s a
投影分析：
(1) 圆锥各表面的投影特性 (2) 圆锥的投影 (3) 圆锥表面上的四根特殊位置素线
二. 圆 锥
1 圆锥的投影 2 圆锥表面上的点和线
例6-3 如图所示，已知圆锥面上一点K的正
面投影k`，求点K的水平投影k和侧面投影k``。
s`
s``
形体分析
由于圆锥面的三
k`
面投影均无积聚性，
且K点也不在特殊位
置素线上，故必须通
过作辅助线的方法求
s
解。
s`
k` m`
s k m
s`` (k``)
作图
(1) 素线法
锥顶S与锥面上 任一点的连线都是 直线,如图中SK , 交 底圆于M点。
第六章 曲面 体
§6-1 曲面体的投影
由平面与曲面或全部由曲面围成的几何体称 为曲面体，如圆柱、圆锥、圆球等。
工程上常用的曲面立体一般为回转体。 回转体由回转面或回转 面与平面围成。
一条动线（直线或曲线）绕一条固定的直线作回 转运动所形成的曲面称为回转面。
形成回转面的动线称i i为母线，定直线称为回转轴， 母线在回转面上的任一位置称为素线，母线上任一点的 运动轨迹都是圆，称为纬圆。
1、平面与 圆柱相交所得截交线形状
矩形
圆
椭圆
圆柱截交线求共有点的方法 1、利用积聚性法 2、素线法
表面上的点和线的其余投影.
作图
1. 点A是主子午线上的点,可直接求得其
余两投影。
2. 线段CD是一
a`
段水平圆弧,其水
b` e`
平投影反映实形,
侧面投影为一段 d`
c`
直线。
a`` (b``)
(e``)
d``
c``
3. 线段BC是一
段正垂圆弧,其水
平投影和侧面投影
均为一段椭圆弧。
点C投影已求出,再
求点B的投影。 4. 取若干一般点
a` d` e`
c` b`
作图
(1) 辅助线法求出直线另一
端点A的水平及侧面投影 (2) 确定圆弧BC的半径,求
s c
a
出它的水平及侧面投影
b
ed
(3) 描点求曲线AB的投影
(特殊点D、一般点E)
(4) 判别可见性,依次光滑连线
(a``) d`` e``
c`` b``
S
A
C
B
三. 圆 球
1 圆球的投影
2 圆柱表面上的点、 线
在圆柱表面取点常利用积聚性法求, 即在该面具有积聚性的投影上作出点的投 影,然后再作点的第三投影.再判定可见性
在圆柱表面取线是在圆柱表面上取 点的基础上进行的，若为直线 则求其两 端点的投影然后将其同面投影相连即 可。 若为曲线则要作出曲线上若干个点的 投 影,再将同面投影光滑连线
可见性判定:面可见则点、线可见，面不可见则点、线不可见 。
例6-1 如下图所示,已知圆柱表面上点A 和点B的正面投影a`和b`和点C的侧面投影c’’, 试求出a和a``、b和b``及c 和c’。
(1) 分析基本体的投影特性
解题分析
主要分析是否有
积聚性表面,图示圆
柱面为侧垂面,其侧
a`
面投影积聚为圆周。
解题分析 圆球的三面投影均无 R1
积聚性,故球面上的取点通 a`
常采用纬圆法 , A点在球的
a``
左、前、上方。
作 图 (1) 过点A作一水平辅助
圆 , 正面投影作过a`的水 平线段 ,水平投影以线段 的长R1为半径画圆 ;
(2) 求出水平投影a
和侧面投影a``。
a
例6-4 求作立体的第三投影,并完成其
b`
(2) 判定点的
( C`` ) C`
空间位置
A点在上半圆柱
面的前方,B点在圆柱
的最前素线上。C点
在右端面上。
C
YH
(3) 作图
利用积聚性直接求 a
出a``、b’’和c’’、再由
b
a`和a`` ; b’和b``;c’和
c’’ 求得a,b,c。
a``
b` YW
例6-2 如图所示,已知圆柱表面上的线 ABC的正面投影,试求其余两面投影。
圆柱面
回转轴
圆锥面
回转轴
圆球面
素线
母线
母线 素线
回转轴
素线
母线
一圆 柱
最左素线的正面投影
1 圆柱的投影
a`` a`
a`
A
a1`
最左素线
A1
a(a1)
a`` a1``
a1` a (a1)
a1`` 空间分析
1. 圆柱各表面的投影特性 2. 圆柱的投影 3. 圆柱表面上的四根特殊位置素线
一 圆柱
1 圆柱的投影
如图所示,圆球的三面投影都是 与球的直径相等的圆.这三圆分别 为球面上平行于正面、水平面、 和侧面的最大圆周的投影,
作图时先 确定球心的三 面投影,再画出 三个与球的直 径相等的圆.
三. 圆 球
1 圆球的投影
2 圆球表面上的点和线
如图所示,已知球面上点A的正面投
影a`,求它的水平及侧面投影a`和a``.
解题分析
(1) 分析基本体的投影特性
c`
2`
圆柱面的水平投影有积聚性
(2) 分析线的位置及投影
b`
1`
线ABC位于前半个
圆柱面上,空间为一段 a`
曲线,点A在圆柱面的
最左素线上,点B在最
前素线上
(3) 作图
·1·利用积聚性直接求出 a
ABC的水平投影,再求其
c
侧面投影;
1
·2· 求曲线上一般点的投影 ; b 2