第15、16课时 数列复习课(2课时)(教、学案)

第15、16课时 数列复习课(2课时)

一、

二、数列知识回顾 （一）数列的概念

数列的定义（一般定义，数列与函数）、数列的表示法。 数列的通项公式。

求数列通项公式的一个重要方法：

对于任一数列}{n a ,其通项n a 和它的前n 项和n s 之间的关系是 ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11

n s s n s a n n

n

（二）等差数列和等比数列

1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质

等

比

数列等差数列

表示方法图像与函数的关系前n 项和通项定义数列正整数集上函数

及性质

数列知识结构

2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法： (1)定义法:对于n ≥2的任意自然数,验证)(1

1---n n

n n a a a a 为同一常数。 (2)通项公式法。

(3)中项公式法:验证212-++=n n n a a a N n a a a n n n ∈=++)(22

1都成立。

3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：

(1)当1a >0,d<0时，满足10

0m m a a +≥⎧⎨≤⎩的项数m 使得m s 取最大值。

(2)当1a <0,d>0时，满足10

m m a a +≤⎧⎨≥⎩的项数m 使得m s 取最小值。

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 （三）、数列求和的常用方法：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等。

1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:适用于⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理

数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:适用于{}n n b a 其中{ n a }是等差数列，{}n b 是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法。

5.常用结论 1）: 1+2+3+...+n =

()

12

n n + 2） 1+3+5+...+(2n-1) =2

n 3）()2

3

3

3

11212n n n ⎡⎤++

+=+⎢⎥⎣⎦

4） ()()22221

1231216

n n n n ++++=++

5）

()11111n n n n =-++

()()1111

222n n n n =-++ 6）

()()1111p q pq q p p q

=-<- 【精典范例】

一 函数方程思想在研究数列问题中的运用

函数作为高中数学最重要的内容，几乎贯穿中学数学的始终，数列作为特殊的函数，与函数有着千丝万缕的联系：

数列的通项公式及前n 项和公式都是关于n 的函数，当d ≠0时，等差数列的通项是关于n 的一次函数，前n 项和是关于n 的一元二次函数；等比数列的通项公式及前n 项和公式都与指数函数有关。

在解决数学问题的过程中，把变量之间的制约关系用函数关系反映出来，便形成了函数思想；把众多待求量通过列方程、解方程来确定，便形成了方程思想，函数与方程之间的辩证思维便形成了函数方程思想。

因此，我们可以借助于函数的有关性质来研究数列问题。 例1（1）首项为正数的等差数列｛a n ｝，其中S 3=S 11，问此数列前几项和最大？ （2）等差数列｛a n ｝中，S 10=100，S 20=300，求 S 30。

（3）等差数列的公差不为0，a 3=15,a 2,a 5,a 14成等比数列，求S n 。

分析 （1）等差数列前n 项和S n =

2d n 2+(a 1－2

d

)n(d ≠0)是关于n 的二次函数且常数项为0，故可设S n =An 2

+B n ,运用配方法求最值；

（2）由S n =An 2

+B n 及S 10=100，S 20=300，求出A 、B 后再求S 30。

（3）求S n 的关键，在于求a n ,由a n =dn+(a 1－d)(d ≠0)知，它是关于n 的一次函数，故可设a n = An+B ，由条件列出方程组求A 、B 。 【解】（1）设S n = An 2

+B n （A ≠0）， ∵S 3=S 11，

∴9A+3B=121A+11B ，即14A+B=0。

又∵S n = An 2

+B n =A （n+A B 2）2

－A

B 42,

∴当n=－

A

B

2=7时，S n 有最大值S 7。 另解由S 3=S 11，得a 4+a 5+a 6+a 7+a 8+a 9+a 10+a 11=0, 又∵a 4+ a 11= a 5+ a 10= a 6+ a 9= a 7+a 8, ∴4(a 7+a 8)=0, a 7+a 8=0.

由于a 1＞0,据题意知a 7=－a 8＞0，a 8＜0 因此，前7项和最大。

（2）设S m =An 2

+Bn(A ≠0) ∵S 10=100，S 20=300,

∴100A+10B=100400A+20B=300⎧⎨⎩1A= 2B=5

⎧

⎪⎨

⎪⎩ ∴S 30=900×

2

1

+30×5=600。 另解 ∵S 10=100，S 20=300，又S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列。 ∴S 30－S 20=2（S 20－S 10）－S 10 ∴S 30=600

（3）设a n =An+B(A ≠0)

∵a 3=15,a 2

5=a 2·a 14,

∴ 2

3A+B=15

(5A+B) =(2A+B)?14A+B)⎧⎨

⎩

∴ A= 2

B=-1

⎧⎨

⎩

a n =2n －1

∴S n =(2×1－1)+(2×2－1)+…+（2×n －1）

=2×(1+2+…+n)－n =n(n+1)－n=n 2

.

评析 从函数角度考察等差数列中的通项公式，前n 项和公式，从而把数列问题转化为函数解决，体现了函数的思想和方法的应用。 二 求数列的通项公式

数列的通项公式是数列的核心之一，它如同函数中的解析式一样，有解析式便可研究其性质等；而有了数列的通项公式便可求出任一项及前n 项和等，看来，求数列的通项往往是解题的突破口、关键点，现将求数列通项公式的几种题目类型及方法总结如下。 1. 观察法

观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n 的内在联系，从而归纳出数列的通项公式。 例2写出下面各数列的一个通项公式