二次函数图像对称变换前后系数的关系(专题)
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二次函数图像对称变换前后系数的关系
课时学习目标:
1.能熟练根据二次函数的解析式的系数确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、最值和增减性区域。
2.会根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上描述出函数的一些性质。
3.能说出抛物线y=ax 2
+bx+c ，关于x 轴、y 轴对称变换后的解析式、关于坐标原点对称变换前后的解析式系数变化规律，能根据系数变化规律，熟练写出函数图像对称变换后解析
式。学习重点：
利用函数的图像，观察认识函数的性质，结合解析式，认识a 、b 、c 、ac b 42
的取值，
对图像特征的影响。。
学习难点：利用图像认识总结函数性质变化规律。一、复习预备
1.抛物线5)4(22
x y 的顶点坐标是
，对称轴是，在侧，
即x_____时， y 随着x 的增大而增大；
在侧，即x_____时, y 随着x 的增大
而减小；当x=
时，函数y 最
值是。2.抛物线y=x 2-2x-3的顶点坐标是，对称轴是
，在
侧，
即x_____时， y 随着x 的增大而增大；在
侧，即x_____时, y 随着x 的增大
而减小；当x=
时，函数y 最
值是____ 。
3.已知函数y= x 2
-2x -3 ,
(1)把它写成k m x
a y 2
)(的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到
的？
(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象的草图；
(5)设图像交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于P 点，求△APB 的面积；(6)根据图象草图，说出 x 取哪些值时，① y=0;
② y<0;
③ y>0.
4.二次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的图象如图—2所示，则：a 0; b 0;c 0;ac b 42
0。
例3：已知二次函数的图像如图—3所示，下列结论：
(1)a+b+c ﹤0， (2)a-b+c ﹥0， (3)abc ﹥0， (4)b=2a
其中正确的结论的个数是（
）A.1个，B.2个，C.3个，D.4个.
二、归纳二次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的图像
与系数a 、b 、c 、ac b
42
的关系
系数的符号
图像特征
a 的符号决定开口方向a>0. 抛物线开口向a<0 抛物线开口向
a 、
b 的符号决定对称轴方位
ab>0，同号抛物线对称轴在y 轴的侧
ab=0，b=0 抛物线对称轴在ab<0，异号
抛物线对称轴在y 轴的侧c 的符号决定y 轴交点方位
c>0.
抛物线与y 轴交于C=0 抛物线与y 轴交于c<0
抛物线与y 轴交于ac b
42
的符
号决定与x 轴交点个数
ac b
42
>0. 抛物线与x 轴有个交点ac b 42
=0 抛物线与x 轴有个交点ac b
42
<0
抛物线与x 轴有
个交点
三、二次函数图像对称变换前后系数的关系探究
例1. 某抛物线和函数y= -x 2
+2x -3的图象关于y 轴成轴对称, 请你求出该抛物线的
关系式。
例2. 某抛物线和函数y= -x 2
+2x -3的图象关于x 轴成轴对称, 请你求出该抛物线的
关系式。
例3.某抛物线和函数y= -x 2
+2x -3的图象关于原点成中心对称，请你求出该抛物线的关系式。
例4.某抛物线和函数y= -x 2
+2x -3的图象关于顶点坐标成轴对称, 请你求出该抛物线的关系式。
例5.某抛物线和函数y= -x 2
+2x -3的图象关于点（3,2）成中心对称, 请你求出该抛
物线的关系式。
函数y= ax 2
+bx+c 的图象对称变换后，解析式系数变化规律：
变换形式图像关系
系数关系
原
因
关于轴x 轴对称变
换
a 系数a 互为相反数开口方向相反
b 系数b 互为相反数值不变，a 、b 同变
c 系数c 互为相反数两交点关于x 轴对称的点
关于轴y 轴对称变
换
a
系数a 不变
开口方向相同b 系数b 互为相反数变号，a 不变b 变c
系数c 不变
两交点重合关于原定中心对称变换
a 系数a 互为相反数开口方向相反b
系数b 不变
变号，a 变号b 不变
c 系数c 互为相反数
两交点关于x 轴对称的点
四、达标检测
1. 二次函数y= ax 2
+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则点A(a,b)在( ) A.第一象限 B.
第二象限 C.
第三象限 D. 第四象限
2.二次函数y= ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则下列条件不正确的是( ) A.a<0,b>0,c<0 B.b
2
-4ac<0 C.a+b+c<0 D.a-b+c>0 3.二次函数y= 6x 2
+7x -3的图象关于x 轴对称的图象解析式为___________,
关于y 轴对称的图象解析式为________________,关于坐标原点对称的解析式___________________.
a
2b
a
2b a
2b (1)
(2)
y
x
y
x