几何最值问题参考答案

几何最值问题

一．选择题（共6小题）

1．（2015•孝感一模）如图，已知等边△ABC的边长为6，点D为AC的中点，点E为BC 的中点，点P为BD上一点，则PE+PC的最小值为（）

A．3B．3C．2D．3

考

点：

轴对称-最短路线问题．

分析：由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA=PC，故PE+PC=AE，由两点之间线段最短可知，AE即为PE+PC的最小值．

解答：解：∵△ABC是等边三角形，点D为AC的中点，点E为BC的中点，∴BD⊥AC，EC=3，

连接AE，线段AE的长即为PE+PC最小值，

∵点E是边BC的中点，

∴AE⊥BC，

∴AE===3，

∴PE+PC的最小值是3．

故选D．

点

评：

本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．

2．（2014•鄂城区校级模拟）如图，在直角坐标系中有线段AB，AB=50cm，A、B到x轴的距离分别为10cm和40cm，B点到y轴的距离为30cm，现在在x轴、y轴上分别有动点P、Q，当四边形PABQ的周长最短时，则这个值为（）

A．50 B．50C．50﹣50 D．50+50

考

点：

轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．

专压轴题．

题：

分析：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交X，Y轴分别为P，Q点，此时四边形PABQ的周长最短，根据题目所给的条件可求出周长．

解答：解：过B点作BM⊥y轴交y轴于E点，截取EM=BE，过A点作AN⊥x轴交x轴于F点，截取NF=AF，连接MN交x，y轴分别为P，Q点，

过M点作MK⊥x轴，过N点作NK⊥y轴，两线交于K点．

MK=40+10=50，

作BL⊥x轴交KN于L点，过A点作AS⊥BP交BP于S点．

∵LN=AS==40．

∴KN=60+40=100．

∴MN==50．

∵MN=MQ+QP+PN=BQ+QP+AP=50．

∴四边形PABQ的周长=50+50．

故选D．

点评：本题考查轴对称﹣最短路线问题以及坐标和图形的性质，本题关键是找到何时四边形的周长最短，以及构造直角三角形，求出周长．

3．（2014秋•贵港期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，∠BAD=110°，在BC、CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）

A．30°B．40°C．50°D．60°

考

点：

轴对称-最短路线问题．

分析：根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，进而得出∠MAB+∠NAD=70°，即可得出答案．

解解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则

答：A′A″即为△AMN的周长最小值，作DA延长线AH，．∵∠DAB=110°，

∴∠HAA′=70°，

∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=70°，

∵∠MA′A=∠MAB，∠NAD=∠A″，

∴∠MAB+∠NAD=70°，

∴∠MAN=110°﹣70°=40°．

故选B．

点评：本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．

4．（2014•无锡模拟）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=．运动过程中，当点D到点O的距离最大时，OA长度为（）

A．B．C．2D．

考

点：

勾股定理；三角形三边关系；直角三角形斜边上的中线．

分析：取AB的中点，连接OE、DE，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE，利用勾股定理列式求出DE，然后根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，过点A作AF⊥OD于F，利用∠ADE的余弦列式求出DF，从而得到点F是OD的中点，判断出AF垂直平分OD，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA=AD．

解答：解：如图，取AB的中点，连接OE、DE，

∵∠MON=90°，

∴OE=AE=AB=×2=1，

∵三边形ABCD是矩形，

∴AD=BC=，

在Rt△ADE中，由勾股定理得，DE===2，

由三角形的三边关系得，O、E、D三点共线时点D到点O的距离最大，此时，OD=OE+DE=1+2=3，

过点A作AF⊥OD于F，则cos∠ADE==，

即=，

解得DF=，

∵OD=3，

∴点F是OD的中点，∴AF垂直平分OD，∴OA=AD=．

故选B．

点评：本题考查了勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，作辅助线并判断出OD最大时的情况是解题的关键，作出图形更形象直观．

5．（2015•鞍山一模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE=1，长为的线段MN在AC上运动，当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值是（）

A．B．C．D．1

考

点：

轴对称-最短路线问题；正方形的性质．

分析：根据题意得出作EF∥AC且EF=，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=，此时四边形BMNE的周长最小，进而利用相似三角形的判定与性质得出答案．

解答：解：作EF∥AC且EF=，连结DF交AC于M，在AC上截取MN=，延长DF 交BC于P，作FQ⊥BC于Q，

则四边形BMNE的周长最小，

由∠FEQ=∠ACB=45°，可求得FQ=EQ=1，

∵∠DPC=∠FPQ，∠DCP=∠FQP，

∴△PFQ∽△PDC，

∴=，

∴=，

解得：PQ=，

∴PC=，