第三章 振动学基础

第九章振动学基础

1、教学目标和基本要求：

理解什么是简谐振动，理解描述简揩振动的几种方法。

掌握简揩振动的基本规律。

理解同方向、同频率的两个简谐振动的合成。

2、教学内容：

§ 9-1 简谐运动的规律

§ 9-2 简谐振动的描述

§ 9-3 简谐振动的合成

§9-1 简谐振动的规律

一、简谐振动

1、振动的定义

所谓振动是指物理量在某一个数值附近来回往复的变化。

2、常见的振动

绝大多数物理量都能实现振动。最常见的是力学量和电磁学量的振动。如位置、速度、加速度的振动，力、动量和能量等力学量的振动，统称为机械振动；如电流、电压、电功率、电磁场等电磁学量的振动，统称为电磁震荡。机械振动比较直观，易于理解，在大学物理中我们主要讨论机械振动。

3、振动分类：受迫振动；自由振动

4、简谐振动

什么是简谐振动？如果一个物体对于平衡位置的位移按余弦函数的规律随时间变化，我们说物体的运动是简谐振动。

常见简谐振动模型：简谐振动是最简单、最基本的振动，例如弹簧振子的无阻尼振动就是简谐振动。如图所示，一个轻质弹簧的一端固定，另一端结一个可以在水平光滑面上自由运动的物体，若所有的摩擦都可以忽略，这就是一个无阻尼的弹簧振子。在弹簧处于自然长度时，物体处于平衡位置O，以O为原点设立Ox坐标轴。如果移动物体到x=A处然后释放，则物体会在Ox坐标轴上O点两侧作往复运动。把物体当作质点来讨论，可以证明物体对于平衡位置的位移(如果选取平衡点为坐标轴的原点，也可以称为位置)x将按余弦函数的规律随时间t变化，因此，物体的这种振动就是简谐振动。

物体受力：F kx

=-

加速度：/k

a F m x

m

==-

其中k和m为正常数，设

2k

m

ω= 2a x ω=-

由22d d x a t =，得222d 0d x

x t

ω+=，

解出：

cos()x A t ωϕ=+ d sin()d x

A t t

ωωϕ=

=-+v 222d cos()d x

a A t t

ωωϕ==-+

5、简谐振动的能量 以弹簧振子为例

0Acos t x ω=+Φ（）

220222222

00222

02

A sin t ,,111sin t sin t 22211cos t 22

1

2k p k p k

v x k m m

E mv m A kA E mx kA E E E kA ωωωωωωωω==-+Φ=

===+Φ=+Φ==+Φ∴=+= （）（）（）

（）

可见弹簧振子的机械能不随时间改变，即其能量守恒。这是由于无阻尼自由振动的弹簧振子是一个孤立系统，在振动过程中没有外力对它做功的缘故。

上面的结果还表明弹簧振子的总能量和振幅的平方成正比，这一点对其它的简谐振动系统也是正确的。这意味着振幅不仅描述简谐振动的运动范围，而且还反映振动系统能量的大小。

把动能和势能的表达式改写为 2222p 11

cos ()=[1+cos ()]24

E kA t kA t ωϕωϕ=++

2222k 11

sin ()=[1-cos ()]24

E kA t kA t ωϕωϕ=

++ 可见弹簧振子做简谐振动时的动能和势能都在谐振，见上图。它们的平衡点

在系统机械能一半的地方处即2k 124E kA =处，能量的振幅亦为2k 1

24

E kA =。动能

和势能谐振的频率均为位移振动频率的两倍，它们振动的相位相反，因而它们的

总和即机械能守恒。 二、简谐振动的相关物理量

1、振幅

上式中的A 表示质点可能离开原点的最大距离，它给出了质点运动的范围。这个量叫做振动的振幅。由于振幅A 是一个常量，因而简谐振动的全部变化都反映在余弦函数的变化之中。

2、角频率、周期、频率

上式中的ω叫角频率。由上一个知识点我们知道，角频率是振动系统固有的特征量，由系统特征量确定。

余弦函数是周期函数，振动物体运动状态完全重复一次，称为物体进行了一次全振动。物体进行一次全振动所需要的时间叫振动的周期，以T 表示。从简谐振动方程我们看到周期一定满足如下公式（余弦函数周期性）

2πT

ω=

这就是周期与角频率的关系。

单位时间内物体全振动的次数叫做简谐振动的频率，用表示。显然它是周期T 的倒数即，也可以使用角频率表示

12π

T ων==

显然，ω，T 和ν这三个量中，只要有一个知道了，其余两个也就很容易得到。所有变量均取国际单位。

3、相位和初相

在简谐振动方程中余弦函数中的变量()t ωϕ+叫做振动的相位。ϕ称为初相位。

简谐振动的状态仅随相位的变化而变化，因而相位是描述简谐振动的状态的物理量。相位是一个非常重要的概念，大家要注意两点：相位与时间一一对应，相位不同是指时间先后不同。相位是以角度的方式初相便于我们讨论振动的细节。上式对时间求导，可得

d dt

φω=

故角频率表示相位变化的速率，是描述简谐振动状态变化快慢的物理量。ω是一个常量，表示相位是匀速变化的。

它们的相位差（简称相差）为

2121()()t t ϕωϕωϕϕϕ∆=+-+=-

相差描述同一时刻两个振动的状态差。从上式可以看出，两个连续进行的同频率的简谐振动在任意时刻的相差都等于其初相差而与时间无关。由这个相差的值可以分析它们的步调是否相同。

4、例题

【例2】一匀质细杆的长度为l ，质量为m ，可绕其一端的轴O 在铅垂面内自由转动，如图所示。求杆作微小振动时的周期。

【解】

细杆所受的合外力矩是重力矩。如图所示，在细杆偏离平衡位置为θ角时(设逆时针方向为正方向)，杆受重力矩为

其中负号表示重力矩的方向与角位移的方向相反。对于微振，θ很小，可以认为

，所以

其中

可见杆受到的力矩为正比回复力矩，故杆的振动为简谐振动。 细杆绕O 轴转动的转动惯量为

则细杆微小振动的周期为

即

例1若简谐运动方程为()()m π25.0π20cos 10.0+=t x ，求：（1） 振幅、频率、角频率、周期和初相；（2）s 2=t 时的位移、速度和加速度．

分析：可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形