平面向量讲义

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平面向量全部讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算→ 例 3：化简 AC → －BD→ → → ＋CD －AB 得()A. AB →B. DA →C.BCD ．01．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．例 4：(1)如图，在正六边形 ABCDEF 中， BA ＋CD ＋ E F ＝()(2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量．A ．0B ． BEC ． ADD ． CF(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定： 0 与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． 1 2 (2)设 D ，E 分别是△ ABC 的边 AB ，BC 上的点，AD ＝ AB ，BE ＝ 2 3BC.若 D E ＝λ1 AB ＋λ2 AC(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．(λ1，λ2 为实数 )，则 λ1＋λ2 的值为 ________．例 1．若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b 一定( )巩固练习： A ．有不相等的模B ．不共线C ．不可能都是零向量D ．不可能都是单位向量1．将 4(3a ＋2b )－2(b －2a )化简成最简式为 ______________．例 2．.给出下列命题：①若 |a |＝|b |，则 a ＝b ；②若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB ＝ D C 等价于四边形 → → → → → → ＋OB －OB ，OB 的关系是 ( ) A ．平行B ．重合C ．垂直D ．不确2．若|OA |＝|OA |，则非零向量 OAABCD 为平行四边形；③若 a ＝b ，b ＝c ，则 a ＝c ；④a ＝b 等价于 |a |＝|b |且 a ∥b ；⑤若 a ∥b ，b ∥c ，则 a ∥c .定其中正确命题的序号是 ( ) 3．若菱形 ABCD 的边长为 2，则| AB －CB ＋ C D |＝________ A ．②③B ．①②C ．③④D ．④⑤4．D 是△ABC 的边 AB 上的中点，则向量 CD 等于( )CAA ．－ BC ＋ 1 2BA B ．－ BC － 1 1 1 2 BAC ． BC －2 BAD ． B C ＋2BA2．向量的线性运算5．若 A ，B ，C ，D 是平面内任意四点，给出下列式子： ① AB ＋CD ＝ B C ＋ D A ；② AC ＋ B D ＝ B C ＋ AD ；向量运算定义法则(或几何意义 ) 运算律③ AC － BD ＝ DC ＋ AB .其中正确的有 ()A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a ；求两个向量和的运三角形法则加法(2)结合律：算→ → → →＝3a ，CB ＝2b ，求CD ，CE6．如图，在△ ABC 中，D ，E 为边 AB 的两个三等分点， CA .减法求 a 与 b 的相反向量－b 的和的运算平行四边形法则(a ＋b )＋c ＝ a ＋(b ＋c )a －b ＝a ＋(－b )1→ → → ＝AC ＋CB＝－3a ＋2b ，∵D ，EDD 2 巩固练习 1。

平面向量讲义

平面向量讲义考纲泛读高考展望①理解平面向量的概念，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．②理解向量加、减法及向量数乘运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．了解向量的线性运算性质及其几何意义．近几年的高考数学试题中，平面向量每年都考，题型多以填空题为主，有时也与三角函数、解析几何知识综合在一起以解答题形式进行考查，特别是向量的数量积的概念，几乎年年考查，估计今后几年仍然会保持这种命题趋势．③了解平面向量基本定理及其意义，掌握平面向量的正交分解及其坐标表示，会用坐标表示平面向量的加、减法运算与数乘运算，理解用坐标表示的平面向量共线的条件．④掌握平面向量的数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的平行或垂直关系．预计2012年的高考，一是考查平面向量的基本概念及运算，此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直等问题；二是有可能出现以向量为工具，在三角函数、解析几何、数列等知识交汇点处命题的题目．⑤会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决某些简单的力学问题和其他一些实际问题．⑥理解复数的概念，如复数相等、共轭复数、复数与复平面内的点或向量的一一对应关系．⑦理解复数的四则运算，了解复数的几何意义. 高考对复数知识的考查要求不高，多以填空题的形式考查复数的概念与复数的四则运算．因此，在考试中，应力求在与复数知识相关的小题中拿满分.一、平面向量的概念1、向量的概念2、向量的表示3、几种特殊向量：零向量、单位向量、共线向量（平行向量）例1、判断下列命题真假或给出问题的答案（1）平行向量的方向一定相同？（2）不相等的向量一定不平行.（3）与零向量相等的向量是什么向量？（4）与任何向量都平行的向量是什么向量？（5）若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的条件是什么？（7）共线向量一定在同一直线上吗？【变式练习1】下列命题中正确的有_______.①单位向量都相等；②长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量；③若非零向量a ，b 满足|a|＝|b|，且a 与b 同向，则a>b ；④对于任意向量a 、b ，必有|a ＋b|≤|a|＋|b|.二、向量的运算（包括线性运算和坐标运算）1、加法运算：平行四边形法则、矢量三角形法则2、减法运算：三角形法则3、数乘运算例2、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝( )A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 例3、(2010·广东中山六校联考)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD ＝2DB ，CD＝13CA ＋λCB 则λ等于( ) A.23 B.13 C ．－13 D ．－23三、向量的数量积1、数量积的定义2、数量积的运算公式：3、数量积的作用：4、向量垂直与平行的充要条件【例4】设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且相互不共线，则下列命题①(a ·b)c －(c ·a)b ＝0；②|a|－|b|<|a －b|；③(b ·c)a －(c ·a)b 不与c 垂直；④(3a ＋2b)·(3a －2b)＝9|a|2－4|b|2.其中是真命题的有________．【变式练习】下列命题中正确的个数是________.①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；②(a ·b)·c ＝a ·(b ·c)；③若a ·b ＝b ·c(b ≠0)，则a ＝c ；④a ·b ＝b ·a ；⑤若a 与b 不共线，则a 与b 的夹角为锐角【变式练习】已知a 和b 的夹角为60°，|a|＝10，|b|＝8，求：(1)|a ＋b|；(2)a ＋b 与a 的夹角θ的余弦值．【例3】设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a ⊥(b －2c)，求tan(α＋β)的值；(2)求|b ＋c|的取值范围；(3)若tan αtan β＝16，求证a ∥b. 例4(2010·湖南高考)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB ·AC 等于( )A ．－16B ．－8C ．8D ．16四、平面向量的基本定理1、基本定理2、基底例5。

八年级数学平面向量新课讲义完整版(全8讲)

八年级数学平面向量新课讲义完整版(全8
讲)
第一讲：向量的概念
- 向量的定义
- 向量的表示方法
- 向量的性质
第二讲：向量的运算
- 向量的加法
- 向量的减法
- 向量的数乘
第三讲：向量的模与方向角
- 向量的模的概念
- 向量的方向角的概念
- 向量的模与方向角的计算
第四讲：向量坐标表示与平行四边形法则
- 向量的坐标表示方法
- 矢量和坐标的关系
- 平行四边形法则的应用
第五讲：向量共线与定比分点
- 向量共线的概念
- 共线向量的判定方法
- 向量的定比分点
第六讲：向量的数量积
- 数量积的定义
- 数量积的性质
- 数量积的计算方法
第七讲：向量的坐标表示与夹角公式- 向量的坐标表示与数量积
- 夹角的概念与计算方法
- 向量间的夹角公式
第八讲：平面向量的应用
- 向量的投影
- 向量的位移
- 向量的垂直与平行
以上是八年级数学平面向量的新课讲义完整版，共8讲，内容
包括向量的概念、运算、模与方向角、坐标表示与平行四边形法则、共线与定比分点、数量积、坐标表示与夹角公式以及向量的应用。

通过学习这些内容，学生将能够掌握平面向量的基本概念和运算方法，并能够应用于实际问题的解决中。

(完整版)平面向量全部讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

高一平面向量讲义

平面向量讲义§2.1平面向量的实际背景及基本概念1．向量：既有，又有的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为的向量叫做零向量，记作．(2)单位向量：长度为的向量叫做单位向量．(3)相等向量：且的向量叫做相等向量．(4)平行向量(共线向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作．②规定：零向量与平行．考点一向量的有关概念例1判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a≠b，则a一定不与b共线；②若＝，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形中，一定有＝；④若向量a与任一向量b 平行，则a＝0；⑤若a＝b，b＝c，则a＝c；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.变式训练1判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a与b同向，且>，则a>b；(2)若向量＝，则a与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意＝，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反．考点二向量的表示方法例2一辆汽车从A点出发向西行驶了100到达B点，然后又改变方向向西偏北50°走了200到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100到达D点．(1)作出向量、、；(2)求|.考点三相等向量与共线向量例3如图所示，O是正六边形的中心，且＝a，＝b，＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a，b，c相等的向量．§2.2平面向量的线性运算1．向量的加法法则(1)三角形法则如图所示，已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和(或和向量)，记作，即a＋b＝＋＝.上述求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．对于零向量与任一向量a的和有a＋0＝＋＝.(2)平行四边形法则如图所示，已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，则O、A、B 三点不共线，以，为邻边作，则对角线上的向量＝a＋b，这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝.(2)结合律：(a＋b)＋c＝.3.相反向量(1)定义：如果两个向量长度，而方向，那么称这两个向量是相反向量．(2)性质：①对于相反向量有：a＋(－a)＝.②若a，b互为相反向量，则a＝，a＋b＝.③零向量的相反向量仍是．4.向量的减法(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)作法：在平面内任取一点 O ，作＝a ，＝b ，则向量 a －b ＝.如图所示．(3)几何意义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为，被减向量的终点为的向量．例如：－＝.5．向量数乘运算实数 λ 与向量 a 的积是一个，这种运算叫做向量的，记作，其长度与方向规定如下： (1)|λ＝.(2)λa (a ≠0)的方向错误!；特别地，当 λ＝0 或 a ＝0 时，0a ＝或 λ0＝.6．向量数乘的运算律 (1)λ(a μ)＝.(1)(λ＋μ)a ＝. (3)λ(a ＋b )＝.特别地，有(－λ)a ＝＝； λ(a －b )＝.7．共线向量定理向量 a (a ≠0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 λ，使．8．向量的线性运算向量的、运算统称为向量的线性运算，对于任意向量 a 、b ，以及任意实数 λ、μ 、μ ，恒有λ(μ a ±μ b )＝.考点一运用向量加法法则作和向量例 1如图所示，已知向量 a 、b ，求作向量 a ＋b .变式训练 1 如图所示，已知向量 a 、b 、c ，试作和向量 a ＋b ＋c .考点二运用向量加减法法则化简向量例 2 化简：（1）＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋. （4）(－)－(－)．(5)(－)－(－)；（6）(＋＋)－(－－)．1 212变式训练2如图，在平行四边形中，O是和的交点．(1)＋＝；(2)＋＋＝；(3)＋＋＝；(4)＋＋＝.变式训练3如图所示，O是平行四边形的对角线、的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.考点三向量的共线例3设e，e是两个不共线的向量，若向量m＝－e＋(k∈R)与向量n＝e－2e共线，则121221()A．k＝0B．k＝1C．k＝2D．k＝变式训练4已知△的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )A．P在△内部B．P在△外部C．P在边上或其延长线上D．P在边上考点四：三点共线例4两个非零向量a、b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：A、B、D三点共线；(2)求实数k使＋b与2a＋共线．变式训练5已知向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) A．B、C、D B．A、B、C C．A、B、D D．A、C、D变式训练 6 已知平面内 O ，A ，B ，C 四点，其中 A ，B ，C 三点共线，且＝＋，则 x ＋y ＝.§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理 (1)定理：如果 e ，e 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量 a ，实数 λ ，λ ，使 a ＝.(2)基底：把的向量 e ，e 叫做表示这一平面内向量的一组基底．2.两向量的夹角与垂直(1)夹角：已知两个和 b ，作＝a ，＝b ，则＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量 a 与 b 的夹角． ①范围：向量 a 与 b 的夹角的范围是． ②当 θ＝0°时，a 与. ③当 θ＝180°时，a 与.(2)垂直：如果 a 与 b 的夹角是，则称 a 与 b 垂直，记作．3．平面向量的坐标表示(1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个的向量，叫作把向量正交分解．(2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个，j 作为基底，对于平面内的一个向量 a ，有且只有一对实数 x ，y 使得 a ＝，则叫作向量 a 的坐标，叫作向量的坐标表示．(3)向量坐标的求法：在平面直角坐标系中，若 A (x ，y )，则＝，若 A (x ，y )，B (x ，y )，则＝. 4．平面向量的坐标运算(1)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a ＋b ＝，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．(2)若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a －b ＝，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(2)若 a ＝(x ，y )，λ∈R ，则 λa ＝，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．5．两向量共线的坐标表示设 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )． (1)当 a ∥b 时，有． (2)当 a ∥b 且 x y ≠0 时，有．即两向量的相应坐标成比例．6．若＝λ，则 P 与 P 、P 三点共线．当 λ∈时，P 位于线段 P P 的内部，特别地 λ＝1 时，P 为线段 P P 的中点；当 λ∈时，P 位于线段 P P 的延长线上；当 λ∈时，P 位于线段 P P 的反向延长线上．考点一对基底概念的理解1 2 1 2 1 21 12 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2例 1 如果 e ，e 是平面 α 内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( ) ①λe ＋μe (λ、μ∈R )可以表示平面 α 内的所有向量；②对于平面 α 内任一向量 a ，使 a ＝λe ＋μe 的实数对(λ，μ)有无穷多个； ③若向量 λ e ＋μ e 与 λ e ＋μ e 共线，则有且只有一个实数 λ，使得 λ e ＋μ e ＝λ(λ e ＋μ e )；④若存在实数 λ，μ 使得 λe ＋μe ＝0，则 λ＝μ＝0. A ．①②B ．②③C ．③④D ．②变式训练 1 设 e 、e 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 与 e ＋e ；②e －2e 与 e －2e ； ③e －2e 与 4e －2e ；④e ＋e 与 e －e . 其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是．(写出所有满足条件的序号)考点二用基底表示向量例 2 .如图，梯形中，∥，且＝2，M 、N 分别是和的中点，若＝a ，＝b 试用 a ，b 表示、、变式训练 2 如图，已知△中△ ，D 为的中点，E ，F 为的三等分点，若＝a ，＝b ，用 a ，b 表示，，.考点三平面向量基本定理的应用例 3 如图所示， △在中，点 M 是的中点，点 N 在边上，且＝2，与相交于点 P ，求证：∶ ＝4∶1.变式训练 3 如图所示，已知△中，点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点，＝2，和交于点 E ，设＝a ，＝b .(1)用 a 和 b 表示向量、； (2)若＝λ，求实数 λ 的值．1 212 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 22 12 21 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2考点四平面向量的坐标运算例4已知平面上三点A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)－；(2)＋2；(3)－.变式训练4已知a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b.考点五平面向量的坐标表示例5已知a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，试用a，b表示c.变式训练5设i、j分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋(m∈R)，已知a∥b，求向量a、b的坐标．考点六平面向量坐标的应用例6已知的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求顶点D的坐标．变式训练6已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四个顶点的坐标．考点七平面向量共线的坐标运算例7已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？变式训练7已知A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判断与是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？考点八平面向量的坐标运算例8已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线上，且|＝2|，求点P的坐标．变式训练8已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，|＝2，求点B的坐标．考点九利用共线向量求直线的交点例9如图，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求与的交点P 的坐标．变式训练9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三点，点C在直线上，且＝，连接，点E在上，且＝，求E点坐标．§2.4 平面向量的数量积1．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量 a 与 b ，我们把数量叫做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a · b ，即 a · b ＝ θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为．(3)投影：设两个非零向量 a 、b 的夹角为 θ，则向量 a 在 b 方向的投影是，向量 b 在 a 方向上的投影是．2．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积 a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 的方向上的投影的乘积．3．向量数量积的运算律 (1)a·b ＝(交换律)； (2)(λa )· b ＝＝(结合律)； (3)(a ＋b )· c ＝(分配律)．4．平面向量数量积的坐标表示若 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a·b ＝. 即两个向量的数量积等于．5．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，则 a ⊥ b .6．平面向量的模(1)向量模公式：设 a ＝(x ，y )，则＝. (2)两点间距离公式：若 A (x ，y )，B (x ，y )，则|＝.7．向量的夹角公式设两非零向量 a ＝(x ，y )，b ＝(x ，y )，a 与 b 的夹角为 θ，则 θ＝＝.考点一求两向量的数量积例 1 已知＝4，＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与 b 的夹角为 30°时，分别求 a 与 b 的数量积．变式训练 1 已知正三角形的边长为 1，求： (1)· ；(2)· ；(3)·.考点二求向量的模长1 12 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2例2已知＝＝5，向量a与b的夹角为，求＋，－.变式训练2已知＝＝1，|3a－2＝3，求|3a＋.考点三向量的夹角或垂直问题例3设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m 的夹角．变式训练3已知＝5，＝4，且a与b的夹角为60°，则当k为何值时，向量－b与a＋2b垂直？考点四向量的坐标运算例4已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.变式训练4若a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则(a·b)·c＝；a·(b·c)＝.考点五向量的夹角问题例5已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．变式训练5已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，求λ的取值范围．考点六向量数量积坐标运算的应用例6已知在△中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，为边上的高，求|与点D的坐标．变式训练6以原点和A(5,2)为两个顶点作等腰直△角，∠B＝90°，求点B和的坐标．§2.5平面向量应用举例1．向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔⇔.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔⇔.(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式θ＝＝.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：＝.2．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑又要考虑．(2)不同点：向量与无关，力和有关，大小和方向相同的两个力，如果不同，那么它们是不相等的．3．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是．(4)功即是力F与所产生位移s的．考点一三角形问题例1点O是三角形所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△的()A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点变式训练1在△中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则边的中线的长是()A．2C．3变式训练2若O是△所在平面内一点，且满足－|＝＋－2|，△则的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形变式训练3设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，△则的形状一定是．考点二向量的计算例2已知平面上三点A、B、C满足|＝3，|＝4，|＝5.则·＋·＋·＝.变式训练4如图，在△中，点O是的中点，过点O的直线分别交直线、于不同的两点M、N，若＝，＝，则m＋n的值为．考点三向量的应用例3两个大小相等的共点力F，F，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的12夹角为120°时，合力大小为()A．40N B．10N C．20N D．10N变式训练5在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为．。

第一节平面向量的概念讲义--高三数学一轮复习备考

平面向量与复数第一节平面向量的概念一、课程标准1.向量概念(1)通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；(2)理解平面向量的几何表示和基本要素．2.向量运算(1)借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义；(2)通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义；(3)了解平面向量的线性运算性质及其几何意义；(4)通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积；(5)通过几何直观了解平面向量投影的概念及投影向量的意义．新高考命题方向：主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)及其几何意义、共线向量基本定理，有时也会有创新的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目，偶尔会在解答题中作为工具出现．考查理性思维、数学探究、数学抽象学科素养．二、知识梳理知识点一向量的有关概念名称定义备注向量既有又有的量；向量的大小叫做向量的(或称)平面向量是自由向量零向量长度为的向量记作，其方向是任意的单位向量长度等于长度的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向或的非零向量(又叫做共线向量)0与任意向量或共线相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度且方向的向量0的相反向量为01.对于平行向量易忽视两点：(1)零向量与任意向量平行；(2)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一情况．2．单位向量的定义中只规定了长度，没有方向限制．知识点二向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算法则法则(1)交换律：a ＋b ＝ (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝；当λ>0时，λa 的方向与a 的方向；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝；λ(a ＋b )＝知识点三共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得．知识点四平面向量的数量积 1．向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则就是a 与b 的夹角设θ是a 与b 的夹角，则θ的取值范围是θ＝0或θ＝π⇔ ，⇔a ⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a 与b ，由于当θ＝0°时，a ·b >0，所以a ·b >0是两个向量a ，b 夹角为锐角的必要不充分条件；a ·b ＝0也不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b .2．平面向量的数量积 (1)投影向量①如图，设a ，b 是两个非零向量，AB → ＝a ，CD →＝b ，分别过A ，B 作CD 的垂线，垂足分别为A 1，B 1，得到，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，叫做向量a 在向量b 上的投影向量．如图，在平面内任取一点O 作OM → ＝a ，ON →＝b ，过M 作ON 的垂线，垂足为M 1，则就是向量a 在向量b 上的投影向量，设与b 方向相同的单位向量为e ，〈a ，b 〉为θ，则＝(|a |cos θ)e .两个向量数量积的几何意义：a ·b 等于a 在b 上的投影数量与b 的模的乘积． (2)向量数量积的运算律①a ·b ＝；②(λa )·b ＝λ(a ·b )＝；③(a ＋b )·c ＝．• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量．2．a ·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a ·b ＝0时，有可能a ⊥b . 3．在用|a |＝a 2 求向量的模时，一定要先求出a 2再进行开方．三、基础自测1．若m ∥n ，n ∥k ，则向量m 与向量k ( )A ．共线B ．不共线C ．共线且同向D ．不一定共线 2．已知a·b ＝－122 ，|a |＝4，a 和b 的夹角为135°，则|b |为( ) A ．12 B ．6 C ．33 D ．33．(易错题)已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则“a ·b >0”是“θ为锐角”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件4．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．05．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA → ＝a ，OB → ＝b ，则DC → ＝________，BC →＝________(用a ，b 表示).四、核心题型题型一平面向量的有关概念及线性运算例1（1） (多选)已知a ，b 是两个单位向量，下列命题中正确的是( )A .|a |＝|b |＝1B ．a ·b ＝1C ．当a ，b 反向时，a ＋b ＝0D ．当a ，b同向时，a ＝b（2）设a ，b 都是非零向量，下列四个条件中，一定能使a |a | ＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13b D ．a ⊥b(3)在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB → ＝4EC → ，则ED →＝( )A ．56 AB → －43 AC → B ．43 AB → －56 AC → C ．56 AB → ＋43 AC →D ．43AB → ＋56AC →题型二平面向量共线定理的应用例2(1)已知两个非零向量a ，b 互相垂直，若向量m ＝4a ＋5b 与n ＝2a ＋λb 共线，则实数λ的值为( )A ．5B ．3C ．52 D ．2(2)设a ，b 是不共线的两个向量，已知BA → ＝a ＋2b ，BC → ＝4a －4b ，CD →＝－a ＋2b ，则( )A ．A ，B ，D 三点共线 B ．B ，C ，D 三点共线 C ．A ，B ，C 三点共线 D ．A ，C ，D 三点共线(3)已知O 为△ABC 内一点，且AO → ＝12 (OB → ＋OC → )，AD → ＝tAC →，若B ，O ，D 三点共线，则t 的值为( )A ．14B ．13C ．12D ．23题型三平面向量的数量积及应用例3(1)已知在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2.若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE → ·DF →＝( )A ．8B ．10C ．12D ．14(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM → ＝2MA → ,CN →＝2NA → ，则BC → ·OM →的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0(3) 已知|a |＝6，e 为单位向量，当向量a ，e 的夹角θ分别等于45°，90°，135°时，求向量a 在向量e 上的投影向量．(4)(2021·全国甲卷)若向量a ，b 满足|a |＝3，|a －b |＝5，a·b ＝1，则|b |＝________． (5)已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(5a －4b )＝0，且|a |＝|b |＝1，则a 与b 的夹角θ为( )A ．3π4B ．π4C ．π3D ．2π3(6)(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a ，b 的夹角为45°，k a －b 与a 垂直，则k ＝________．五、变式训练1.如图所示，在直角梯形ABCD 中，DC → ＝14 AB → ，BE → ＝2EC → ，且AE → ＝rAB → ＋sAD →，则2r ＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．42..设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB → ＝a ＋b ，BC → ＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．3.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝( )A ．7B ．10C ．13D ．44.非零向量a ，b ，c 满足a ·b ＝a ·c ，a 与b 的夹角为π6 ，|b |＝4，则c 在a 上的投影向量的长度为( )A ．2B ．23C ．3D ．4六、作业一轮复习资料《课时作业》437页 A 组：全部 B 组：2、3。

平面向量讲义

平面向量第一节平面向量的概念及线性运算一、基础知识1．向量的有关概念(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作AB ―→，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．(2)向量的长度(模)：向量AB ―→的大小即向量AB ―→的长度(模)，记为|AB ―→|. 2．几种特殊向量单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a 平行的单位向量有两个，即向量a |a |和－a|a |.3．向量的线性运算❷多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.4．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 只有a ≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.二、常用结论(1)若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)．(2)OA ―→＝λOB ―→＋μOC ―→(λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. 考点一平面向量的有关概念[典例] 给出下列命题： ①若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB ―→＝DC ―→是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ； ④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c . 其中正确命题的序号是________．[解析] ①正确．∵a ＝b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同，又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，∴a ，c 的长度相等且方向相同，故a ＝c . ②正确．∵AB ―→＝DC ―→，∴|AB ―→|＝|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点， ∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|＝|DC ―→|，因此，AB ―→＝DC ―→.③不正确．当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，故|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件．④不正确．考虑b ＝0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是①②. [解题技法] 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． [题组训练] 1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零； ③λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中错误的命题的个数为( ) A ．0 B ．1C ．2 D ．3解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.2．设a 0为单位向量，下列命题中：①若a 为平面内的某个向量，则a ＝|a |·a 0；②若a 与a 0平行，则a ＝|a |a 0；③若a 与a 0平行且|a |＝1，则a ＝a 0，假命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：向量是既有大小又有方向的量，a 与|a |a 0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a 0平行，则a 与a 0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a ＝－|a |a 0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.考点二平面向量的线性运算[典例] (1)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB ―→＝( ) A.34AB ―→－14AC ―→ B.14AB ―→－34AC ―→C.34AB ―→＋14AC ―→ D.14AB ―→＋34AC ―→ (2)如图，在直角梯形ABCD 中，DC ―→＝14AB ―→，BE ―→＝2EC ―→，且AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，则2r＋3s ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] (1)作出示意图如图所示．EB ―→＝ED ―→＋DB ―→＝12AD ―→＋12CB ―→＝12×12(AB ―→＋AC ―→)＋12(AB ―→－AC ―→)＝34AB ―→－14AC ―→.故选A. (2)根据图形，由题意可得AE ―→＝AB ―→＋BE ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(BA ―→＋AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23(AD ―→＋DC ―→)＝13AB ―→＋23⎝⎛⎭⎫AD ―→＋14AB ―→＝12AB ―→＋23AD ―→. 因为AE ―→＝r AB ―→＋s AD ―→，所以r ＝12，s ＝23，则2r ＋3s ＝1＋2＝3.[解题技法] 向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．(4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．[题组训练]1．设D 为△ABC 所在平面内一点，BC ―→＝3CD ―→，则( )A ．AD ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→ B ．AD ―→＝13AB ―→－43AC ―→C ．AD ―→＝43AB ―→＋13AC ―→ D ．AD ―→＝43AB ―→－13AC ―→解析：由题意得AD ―→＝AC ―→＋CD ―→＝AC ―→＋13BC ―→＝AC ―→＋13AC ―→－13AB ―→＝－13AB ―→＋43AC ―→.2．在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，则实数λ＋μ＝________. 解析：如图，∵AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋12BC ―→＝DC ―→＋12BC ―→，①AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝BC ―→＋12DC ―→，②由①②得BC ―→＝43AN ―→－23AM ―→，DC ―→＝43AM ―→－23AN ―→，∴AC ―→＝AB ―→＋BC ―→＝DC ―→＋BC ―→＝43AM ―→－23AN ―→＋43AN ―→－23AM ―→＝23AM ―→＋23AN ―→，∵AC ―→＝λAM ―→＋μAN ―→，∴λ＝23，μ＝23，λ＋μ＝43.考点三共线向量定理的应用[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 同向．[解] (1)证明：∵AB ―→＝a ＋b ，BC ―→＝2a ＋8b ，CD ―→＝3a －3b ，∴BD ―→＝BC ―→＋CD ―→＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB ―→，∴AB ―→，BD ―→共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k a ＋b 与a ＋k b 同向，∴存在实数λ(λ>0)，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b .∴(k －λ)a ＝(λk －1)b .∵a ，b 是不共线的非零向量，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －λ＝0，λk －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝1，λ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，λ＝－1，又∵λ>0，∴k ＝1.1.向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．[题组训练]1．在四边形ABCD 中，AB ―→＝a ＋2b ，BC ―→＝－4a －b ，CD ―→＝－5a －3b ，则四边形ABCD 的形状是( ) A ．矩形 B ．平行四边形C ．梯形 D ．以上都不对解析：选C 由已知，得AD ―→＝AB ―→＋BC ―→＋CD ―→＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC ―→，故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行，所以四边形ABCD 是梯形．2．已知向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，若向量a 与向量b 共线，则( ) A ．λ＝0 B ．e 2＝0C ．e 1∥e 2 D ．e 1∥e 2或λ＝0解析：选D 因为向量e 1≠0，λ∈R ，a ＝e 1＋λe 2，b ＝2e 1，又因为向量a 和b 共线，存在实数k ，使得a ＝k b ，所以e 1＋λe 2＝2k e 1，所以λe 2＝(2k －1)e 1，所以e 1∥e 2或λ＝0.3．已知O 为△ABC 内一点，且AO ―→＝12(OB ―→＋OC ―→)，AD ―→＝t AC ―→，若B ，O ，D 三点共线，则t ＝( )A.14B.13C.12D.23解析：选B 设E 是BC 边的中点，则12(OB ―→＋OC ―→)＝OE ―→，由题意得AO ―→＝OE ―→，所以AO ―→＝12AE ―→＝14(AB ―→＋AC ―→)＝14AB ―→＋14t AD ―→，又因为B ，O ，D 三点共线，所以14＋14t ＝1，解得t ＝13，故选B.4．已知O ，A ，B 三点不共线，P 为该平面内一点，且OP ―→＝OA ―→＋AB―→|AB ―→|，则( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的延长线上C ．点P 在线段AB 的反向延长线上D ．点P 在射线AB 上解析：由OP ―→＝OA ―→＋AB ―→|AB ―→|，得OP ―→－OA ―→＝AB ―→|AB ―→|，∴AP ―→＝1|AB ―→|·AB ―→，∴点P 在射线AB 上，故选D.第二节平面向量基本定理及坐标表示一、基础知识1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． (1)基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； (2)基底给定，同一向量的分解形式唯一；(3)如果对于一组基底e 1，e 2，有a ＝λ1e 1＋λ2e 2＝μ1e 1＋μ2e 2，则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝μ1，λ2＝μ2.2．平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.若a ＝b ，则x 1＝x 2且y 1＝y 2. (2)向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ―→＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB ―→|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．考点一平面向量基本定理及其应用[典例] 如图，以向量OA ―→＝a ，OB ―→＝b 为邻边作平行四边形OADB ，BM ―→＝13BC ―→，CN―→＝13CD ―→，用a ，b 表示OM ―→，ON ―→，MN ―→. [解] ∵BA ―→＝OA ―→－OB ―→＝a －b ，BM ―→＝16BA ―→＝16a －16b ，∴OM ―→＝OB ―→＋BM ―→＝16a ＋56b .∵OD ―→＝a ＋b ，∴ON ―→＝OC ―→＋13CD ―→＝12OD ―→＋16OD ―→＝23OD ―→＝23a ＋23b ，∴MN ―→＝ON ―→－OM ―→＝23a ＋23b －16a －56b ＝12a －16b .综上，OM ―→＝16a ＋56b ，ON ―→＝23a ＋23b ，MN ―→＝12a －16b .[解题技法]1．平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．2．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．[题组训练]1．在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝13AB ，BQ ＝13BC ，若AB ―→＝a ，AC ―→＝b ，则P Q―→＝( )A.13a ＋13b B ．－13a ＋13b C.13a －13b D ．－13a －13b 解析：由题意知P Q ―→＝PB ―→＋B Q ―→＝23AB ―→＋13BC ―→＝23AB ―→＋13(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋13AC ―→＝13a ＋13b .2．已知在△ABC 中，点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，点P 是OC 上异于端点的任意一点，且OP ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，则m ＋n 的取值范围是________．解析：依题意，设OP ―→＝λOC ―→ (0<λ<1)，由OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，知OC ―→＝－(OA ―→＋OB ―→)，所以OP ―→＝－λOA ―→－λOB ―→，由平面向量基本定理可知，m ＋n ＝－2λ，所以m ＋n ∈(－2,0)．考点二平面向量的坐标运算[典例] 已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB ―→＝a ，BC ―→＝b ，CA ―→＝c ，且CM ―→＝3c ，CN ―→＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求M ，N 的坐标及向量MN ―→的坐标．[解] 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)设O 为坐标原点，∵CM ―→＝OM ―→－OC ―→＝3c ，∴OM ―→＝3c ＋OC ―→＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M (0,20)．又∵CN ―→＝ON ―→－OC ―→＝－2b ，∴ON ―→＝－2b ＋OC ―→＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)，∴MN ―→＝(9，－18)． [变透练清]1.(变结论)本例条件不变，若a ＝m b ＋n c ，则m ＝________，n ＝________.解析：∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，a ＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.2．已知O 为坐标原点，向量OA ―→＝(2,3)，OB ―→＝(4，－1)，且AP ―→＝3PB ―→，则|OP ―→|＝________.解析：设P (x ，y )，由题意可得A ，B 两点的坐标分别为(2,3)，(4，－1)，由AP ―→＝3PB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝12－3x ，y －3＝－3y －3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝0，故|OP ―→|＝72.[解题技法]1．平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．(2)解题过程中，常利用“向量相等，则其坐标相同”这一原则，通过列方程(组)来进行求解． 2．向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似，实质不同． (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算．(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆，需清楚结论推导过程与结果，加以区分．考点三平面向量共线的坐标表示[典例] 已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线；(2)若AB ―→＝2a ＋3b ，BC ―→＝a ＋m b ，且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． [解] (1)∵a ＝(1,0)，b ＝(2,1)，∴k a －b ＝k (1,0)－(2,1)＝(k －2，－1)，a ＋2b ＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)，∵k a －b 与a ＋2b 共线，∴2(k －2)－(－1)×5＝0，∴k ＝－12.(2)AB ―→＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)，BC ―→＝(1,0)＋m (2,1)＝(2m ＋1，m )． ∵A ，B ，C 三点共线，∴AB ―→∥BC ―→，∴8m －3(2m ＋1)＝0，∴m ＝32.[解题技法]1．平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb . 2．两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行)，可解决三点共线的问题；另外，利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组)，求参数的值．[题组训练]1．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，若(k a ＋b )∥(a －3b )，则实数k 的取值为( ) A ．－13 B.13C ．－3D ．3解析：选A k a ＋b ＝k (1,2)＋(－3,2)＝(k －3,2k ＋2)．a －3b ＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，则由(k a ＋b )∥(a －3b )得(k －3)×(－4)－10×(2k ＋2)＝0，所以k ＝－13.2．已知在平面直角坐标系xOy 中，P 1(3,1)，P 2(－1,3)，P 1，P 2，P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a ＝(1，－1)共线，若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则λ＝( )A ．－3B ．3C ．1D ．－1解析：设OP 3―→＝(x ，y )，则由OP 3―→∥a 知x ＋y ＝0，于是OP 3―→＝(x ，－x )．若OP 3―→＝λOP 1―→＋(1－λ)OP 2―→，则有(x ，－x )＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即⎩⎪⎨⎪⎧4λ－1＝x ，3－2λ＝－x ，所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.3．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为________．解析：∵在梯形ABCD 中，DC ＝2AB ，AB ∥CD ，∴DC ―→＝2AB ―→. 设点D 的坐标为(x ，y )，则DC ―→＝(4－x,2－y )，AB ―→＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．第三节平面向量的数量积一、基础知识1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，如图所示，作OA ―→＝a ，OB ―→＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角． (2)范围：夹角θ的范围是[0，π]．当θ＝0时，两向量a ，b 共线且同向；当θ＝π2时，两向量a ，b 相互垂直，记作a ⊥b ；当θ＝π时，两向量a ，b 共线但反向． 2．平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，我们把数量|a ||b | cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．规定：零向量与任一向量的数量积为零． 3．平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影．(2)a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．投影和两向量的数量积都是数量，不是向量. 4．向量数量积的运算律(1)交换律：a ·b ＝b ·a .(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c )，这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量，a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线．5．平面向量数量积的性质设a ，b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a||b|. 特别地，a ·a ＝|a|2或|a|＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a||b|.6．平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则(1)|a |＝x 21＋y 21； (3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；(2)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2;_ (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22.二、常用结论汇总1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2；(2)(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角，则有a ·b >0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)； (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角，则有a ·b <0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．考点一平面向量的数量积的运算[典例] (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，则m ·n ＝( ) A ．0 B ．4C ．－92D ．－172(2)在如图所示的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，则BC ―→·OM ―→的值为( )A ．－15B ．－9C ．－6D ．0[解析] (1)∵向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4,1)共线，∴2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，∴m ＝⎝⎛⎭⎫－2，－12，∴m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－172. (2)法一：如图，连接MN .∵BM ―→＝2MA ―→，CN ―→＝2NA ―→，∴AM AB ＝AN AC ＝13.∴MN ∥BC ，且MN BC ＝13.∴BC ―→＝3MN ―→＝3(ON ―→－OM ―→)．∴BC ―→·OM ―→＝3(ON ―→·OM ―→－OM ―→2)＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.法二：在△ABC 中，不妨设∠A ＝90°，取特殊情况ON ⊥AC ，以A 为坐标原点，AB ，AC所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，因为∠MON ＝120°，ON ＝2，OM ＝1，所以O ⎝⎛⎭⎫2，32，C ⎝⎛⎭⎫0，332，M ⎝⎛⎭⎫52，0，B ⎝⎛⎭⎫152，0.故BC ―→·OM ―→＝⎝⎛⎭⎫－152，332·⎝⎛⎭⎫12，－32＝－154－94＝－6.[解题技法] 求非零向量a ，b 的数量积的策略(1)若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ，b ，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a ，b 的坐标，通过坐标运算求解． [题组训练]1．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，则AC ―→·CB ―→＝( ) A ．1 B ．－1C.6D ．2 2 解析：选B 设AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，则a ·b ＝0，∵|a |＝2，|b |＝1，∴AC ―→·CB ―→＝(a ＋b )·(－b )＝－a ·b －b 2＝－1.2．已知向量a ，b 满足a ·(b ＋a )＝2，且a ＝(1,2)，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.55 B ．－55C ．－255 D ．－355解析：由a ＝(1,2)，可得|a |＝5，由a ·(b ＋a )＝2，可得a ·b ＋a 2＝2， ∴a ·b ＝－3，∴向量b 在a 方向上的投影为a ·b |a |＝－355.3．在△ABC 中，已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，M 为BC 上的一点，且AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→(λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则 λμ的值为________．解析：法一：∵BC ―→＝AC ―→－AB ―→，AM ―→·BC ―→＝0，∴(λAB ―→＋μAC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝0，∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，∴－λ|AB ―→|2＋μ|AC ―→|2＝0，即－4λ＋μ＝0，∴λμ＝14.法二：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y 2y ＝14.考点二平面向量数量积的性质考法(一) 平面向量的模[典例] (1)已知非零向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝3，且a 与a ＋b 的夹角为π4，则|b |＝( )A ．6B ．32C ．2 2D ．3(2)已知向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，向量c 与a ＋b 共线，则|a ＋c |的最小值为( )A ．1 B.12C.34 D.32[解析] (1)∵a ·b ＝0，|a |＝3，∴a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝|a ||a ＋b |cos π4，∴|a ＋b |＝32，将|a ＋b |＝32两边平方可得，a 2＋2a ·b ＋b 2＝18，解得|b |＝3，(2)∵向量c 与a ＋b 共线，∴可设c ＝t (a ＋b )(t ∈R)，∴a ＋c ＝(t ＋1)a ＋t b ，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2a 2＋2t (t ＋1)·a ·b ＋t 2b 2，∵向量a ，b 为单位向量，且a ·b ＝－12，∴(a ＋c )2＝(t ＋1)2－t (t ＋1)＋t 2＝t 2＋t ＋1≥34，∴|a ＋c |≥32，∴|a ＋c |的最小值为32，考法(二) 平面向量的夹角[典例] (1)已知平面向量a ，b 的夹角为π3，且|a |＝1，|b |＝12，则a ＋2b 与b 的夹角是( )A.π6B.5π6C.π4D.3π4(2)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，m )且b 在a 方向上的投影为－3，则向量a 与b 的夹角为________． [解析] (1)因为|a ＋2b |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝1＋1＋4×1×12×cos π3＝3，所以|a ＋2b |＝ 3.又(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2|b |2＝1×12×cos π3＋2×14＝14＋12＝34，所以cos 〈a ＋2b ，b 〉＝(a ＋2b )·b |a ＋2b ||b |＝343×12＝32，所以a ＋2b 与b 的夹角为π6.(2)因为b 在a 方向上的投影为－3，所以|b |cos 〈a ，b 〉＝－3，又|a |＝12＋(3)2＝2，所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－6，又a ·b ＝3＋3m ，所以3＋3m ＝－6，解得m ＝－33，则b ＝(3，－33)，所以|b |＝32＋(－33)2＝6，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝－62×6＝－12，因为0≤〈a ，b 〉≤π，所以a 与b 的夹角为2π3.考法(三) 平面向量的垂直[典例] (1)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2C.3π4D ．π(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°，且|AB ―→|＝3，|AC ―→|＝2.若AP ―→＝λAB ―→＋AC ―→，且AP ―→⊥BC ―→，则实数λ的值为________．[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ，因为|a |＝223|b |，(a －b )⊥(3a ＋2b )，所以(a －b )·(3a ＋2b )＝3|a |2－2|b |2－a ·b ＝83|b |2－2|b |2－223|b |2cos θ＝0，解得cos θ＝22，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π4. (2)由AP ―→⊥BC ―→，知AP ―→·BC ―→＝0，即AP ―→·BC ―→＝(λAB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝(λ－1)AB ―→·AC ―→－λAB ―→2＋AC ―→2＝(λ－1)×3×2×⎝⎛⎭⎫－12－λ×9＋4＝0，解得λ＝712. [解题技法]1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．[题组训练]1．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3C ．－2 D ．－1解析： ∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝m 2－n 2＝(λ＋1)2＋1－(λ＋2)2－4＝0，解得λ＝－3.故选B. 2．已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12B ．1C. 2 D ．2 解析： ∵非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，∴a ·b ＝|a |×1×12＝|a |2，∵|2a －b |＝1，∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，∴4|a |2－2|a |＝0，∴|a |＝12，故选A.3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则t a n θ＝________. 解析：∵|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，∴(a ＋b )2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝5＋2a ·b ＝1＋3，∴a ·b ＝－12，∴cosθ＝a ·b|a |·|b |＝－14，∴sin θ＝1－⎝⎛⎭⎫－142＝154，∴t a n θ＝sin θc os θ＝－15. 第四节平面向量的综合应用考点一平面向量与平面几何[典例] 在平行四边形ABCD 中，|AB ―→|＝12，|AD ―→|＝8.若点M ，N 满足BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→，则AM ―→·NM ―→＝( )A ．20B ．15C ．36D ．6[解析] 法一：由BM ―→＝3MC ―→，DN ―→＝2NC ―→知，点M 是BC 的一个四等分点，且BM ＝34BC ，点N 是DC 的一个三等分点，且DN ＝23DC ，所以AM ―→＝AB ―→＋BM ―→＝AB ―→＋34AD ―→，AN ―→＝AD ―→＋DN ―→＝AD ―→＋23AB ―→，所以NM ―→＝AM ―→－AN ―→＝AB ―→＋34AD ―→－⎝⎛⎭⎫AD ―→＋23AB ―→＝13AB ―→－ 14AD ―→，所以AM ―→·NM ―→＝⎝⎛⎭⎫AB ―→＋34AD ―→·⎝⎛⎭⎫13AB ―→－14AD ―→＝13⎝⎛⎭⎫AB ―→＋34AD ―→·⎝⎛⎭⎫AB ―→－34AD ―→＝ 13⎝⎛⎭⎫AB ―→2－916AD ―→2＝13⎝⎛⎭⎫144－916×64＝36，故选C.法二：不妨设∠DAB 为直角，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M (12,6)，N (8,8)，所以AM ―→＝(12,6)，NM ―→＝(4，－2)，所以AM ―→·NM ―→＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.[题组训练]1．若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．正三角形 D ．等腰直角三角形解析：选A 由(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，得CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→， ∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等腰三角形．2．已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，|AB ―→|＝|PB ―→|＝|PC ―→|＝2，则△ABC 的面积等于( )A. 3 B ．23C ．3 3 D ．4 3解析：由|PB ―→|＝|PC ―→|得，△PBC 是等腰三角形，取BC 的中点D ，连接PD (图略)，则PD ⊥BC ，又AB ―→＋PB ―→＋PC ―→＝0，所以AB ―→＝－(PB ―→＋PC ―→)＝－2PD ―→，所以PD ＝12AB ＝1，且PD ∥AB ，故AB ⊥BC ，即△ABC 是直角三角形，由|PB ―→|＝2，|PD ―→|＝1可得|BD ―→|＝3，则|BC ―→|＝23，所以△ABC 的面积为12×2×23＝2 3.3.如图，在扇形OAB 中，OA ＝2，∠AOB ＝90°，M 是OA 的中点，点P 在弧AB 上，则PM ―→·PB ―→的最小值为________．解析：如图，以O 为坐标原点，OA ―→为x 轴的正半轴，OB ―→为y 轴的正半轴建立平面直角坐标系，则M (1,0)，B (0,2)，设P (2cos θ，2sin θ)，θ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以PM ―→·PB ―→＝(1－2cos θ，－2sin θ)·(－2cos θ，2－2sin θ)＝4－2cos θ－ 4sin θ＝4－2(cos θ＋2sin θ)＝4－25sin(θ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝55，c os φ＝255，所以PM ―→·PB ―→的最小值为4－2 5.答案：4－2 5考点二平面向量与解析几何[典例] 已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]． (1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． [解] (1)因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ，所以－3cos x ＝3sin x ．则t a n x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2)f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.[题组训练]1．已知向量OA ―→＝(k,12)，OB ―→＝(4,5)，OC ―→＝(10，k )，且A ，B ，C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________．解析：∵AB ―→＝OB ―→－OA ―→＝(4－k ，－7)，BC ―→＝OC ―→－OB ―→＝(6，k －5)，且AB ―→∥BC ―→，∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0，可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为________．解析：由题意，得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，解得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204，因为FP ―→＝(x 0＋1，y 0)，OP ―→＝(x 0，y 0)，所以OP ―→·FP ―→＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x 0＝－2，因为－2≤x 0≤2，故当x 0＝2时，OP ―→·FP ―→取得最大值224＋2＋3＝6.考点三平面向量与三角函数[典例] 已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9[解析] 由A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，知线段AC 为圆的直径，设圆心为O ，故P A ―→＋PC ―→＝2PO ―→＝(－4,0)，设B (a ，b )，则a 2＋b 2＝1且a ∈[－1,1]，PB ―→＝(a －2，b )，所以P A ―→＋PB ―→＋PC ―→＝(a －6，b )．故|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|＝－12a ＋37，所以当a ＝－1时，|P A ―→＋PB ―→＋PC ―→|取得最大值49＝7.[解题技法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．[题组训练]1．已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos(－α)，sin(－α))，那么a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵a ·b ＝cos α·cos(－α)＋sin α·sin(－α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α，若a ·b ＝0，则cos 2α＝0，∴2α＝2k π±π2(k ∈Z)，解得α＝k π±π4(k ∈Z)．∴a ·b ＝0是α＝k π＋π4(k ∈Z)的必要不充分条件．故选B.2．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝ (cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角A ，B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3解析：选C 由m ⊥n ，得m ·n ＝0，即3cos A －sin A ＝0，由题意得cos A ≠0，∴t a n A ＝3，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.又a cos B ＋b cos A ＝2R sin A cos B ＋2R sin B cos A ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c (R 为△ABC 外接圆半径)，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，所以c ＝c sin C ，所以sin C ＝1，又C ∈(0，π)，所以C ＝π2，所以B ＝π－π3－π2＝π6.。

平面向量-讲义(学生版)

平面向量
一、平面向量的线性运算
1. 基础概念
（1）相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．（2）平行向量：如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．
向量平行于向量，记作 // ．（3）零向量：长度等于零的向量，叫做零向量，记作： .
零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．
B.
C.
的两条对角线相交于点，且
D.
，则
（）．
A. B. C. D.
3. 两个定理
（1）平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，
存在唯一的一对实数，，使
．
（2）平面向量的三点共线定理：若、、三点共线，则
，且
．
经典例题 7. 如图，在
中，点为线段上靠近点的三等分点，点在，则实数的值为（）．
C. 若
，则
D. 若
，则与的夹角为
，则（）．
25. 如图，在矩形
中，
，
，点为
，则
的值是（）．
的中点，点在边
上，若
8
A.
B.
C.
D.
巩固练习
26. 已知向量
，
，
，若
，则实数
．
27. 已知向量 A.
， B.
，若
，则实数的值为（）．
C.
D.
28. 设向量
，
，且
，则
．
29. 已知
为等腰直角三角形，
经典例题
1. 下列命题：
①平行向量一定相等；
②不相等的向量一定不平行；
③平行于同一个向量的两个向量是共线向量；

(完整版)高中数学平面向量讲义

平面向量 (学生专用 )专题六平面向量一. 基本知识【1】向量的基本看法与基本运算（1）向量的基本看法：①向量：既有大小又有方向的量向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行③单位向量：模为 1 个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量uuur r uuur r r uuur uuur uuur（2）向量的加法：设AB a, BC b ，则a+ b = AB BC = AC① 0 a a 0 a ；②向量加法满足交换律与结合律；uuur uuur uuur uuur uuur uuurAB BC CD L PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连”．（3）向量的减法：①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（ a 、b有共同起点）（4）实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定以下：（Ⅰ）a a ；（Ⅱ）当0 时，λ a 的方向与 a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与 a 的方向相反；当0 时，a0 ，方向是任意的（5）两个向量共线定理：向量b与非零向量 a 共线有且只有一个实数，使得b= a （6）平面向量的基本定理：若是e1, e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数 1 ,2使：a1e12e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【2】平面向量的坐标表示第1页（1）平面向量的坐标表示：平面内的任向来量rr r rr 。

a 可表示成 axi yj ，记作 a =(x,y) （2）平面向量的坐标运算：rrr rx 1 x 2 , y 1 y 2①若 ax 1 , y 1 , bx 2 , y 2 ，则 a buuur②若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1r =(x,y) ，则 r x, y)③若 a a =(r r r r x 1 y 2 x 2 y 1 0④若 ax 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a // b r r r r y 1 y 2⑤若 a x 1 , y 1 , b x 2 , y 2 ，则 a b x 1 x 2r r y 1 y 2⑥若 a b ，则 x 1 x 2【3】平面向量的数量积（1）两个向量的数量积：已知两个非零向量r rr r r rr ra 与b ，它们的夹角为，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cos 叫做 a 与 b 的数量积（或内积）r r规定 0 arr rrr= a b（2）向量的投影：︱ b ︱ cosr ∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称| a |为射影（3）数量积的几何意义：r r r r ra ·b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积（4）向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2 a a a | a |（5）乘法公式成立：r r rrr 2 r 2 r 2 r 2 r r 2 r 2r r r 2r 2 r r r 2a b a ba b ab ； a ba 2ab ba2a b b（6）平面向量数量积的运算律：①交换律成立：rrr r a bb a②对实数的结合律成立： r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r r r r a b c a cb c c a b第 2页特别注意：（ 1）结合律不成立：r r r r r r ab c a b c ；r rrrr r （ 2）消去律不成立 a ba c 不能够获取b c（rr=0r r r r3） a b 不能够获取 a =0 或 b=0（7）两个向量的数量积的坐标运算：rrrry 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1), b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b= x 1 x 2r r uuur r uuur r （ 8 ）向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a ,OB = b , 则 ∠ AOB= （0 0180 0 ）叫做向量r 与 r 的夹角abr r r rx 1 x 2 y 1 y 2a ? bcos= cosa ,br r = 2222a ? bx 1y 1x 2y 2当且仅当两个非零向量rrr rra 与b 同方向时， θ =0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ，同时 0 与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题r r 0则称 r r r r （9）垂直：若是 a 与 b 的夹角为 90 a 与 b 垂直，记作 a ⊥ b（ 10）两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥ ba ·b ＝ Ox xy y20 平面向量1 21数量积的性质二. 例题解析【模块一】向量的基本运算【例 1】给出以下六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；rr r r ②若 a b ，则 ab ③在平行四边形 ABCD 中必然有uuur uuurAB DC ；ur r r ur ur ur r r r r r r④若 m n, n p ，则 m p ； ⑤若 a // b ， b // c , 则 a // cr r r r r r r⑥任向来量与它的相反以下不相等. ⑦已知向量 a 0 ，且 a b 0 ，则 b 0r r r r r r r r r r r r⑧ a b 的充要条件是 a b 且 a // b ；⑨若 a 与 b 方向相同，且 a b ，则 ab ；⑩由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；其中正确的命题的序号是第 3页r rr r ruur【例 2】已知向量 a, b 夹角为 45 ，且 a 1, 2a b10 ；求 b 的值 .uur uur r rr r【变式 1】若 a 2 ， b 3 ， a b3 求 a b 的值 .【变式 2】设向量 a ， b 满足 | a|=|b |=1 及 | 3a-2 b|=3 ，求 | 3a+b| 的值r r r rrr r r【例 3】已知向量 a 、 b 的夹角为 60o ， |a| 3， | b |2 ，若 (3a 5b) (ma b) ，求 m 的值.rrr r r r【例 4】若向量 a1,2 ， b1, 1 求 2a b 与 a b 的夹角 .【变式】设 x, y R, 向量 a x,1 ,b 1, y , c2, 4 , 且 a c,b // c, 则 a b_______（）A ． 5B ． 10C ． 2 5D ． 10【例 5】已知两个非零向量r rr r rra,b 满足 a ba b ，则以下结论必然正确的选项是（）r r r rr r DA a // bB a b Ca br r r r a b a b【变式 1】设 a , b 是两个非零向量 . （）A ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则 a ⊥ bB ．若 a ⊥b , 则| a +b |=| a |-| b |C ．若 | a +b |=| a |-| b |, 则存在实数 λ, 使得 a =λbD ．若存在实数 λ, 使得 a =λb , 则| a +b |=| a |-| b |第 4页r r r r r r【变式 2】若平面向量a, b满足 : 2a b 3 ;则 agb 的最小值是_____【例 6】设0,rcosr13 2， a,sin ，b,22r r r r （1）证明 a b a b ；（2）r r r r的值 .当 2a b a2b时求角r rr ra b）【例 7】设a、b都是非零向量 , 以下四个条件中 , 使r r成立的充足条件是（| a ||b |r r r r r r r rr r A．a b B．a // b C．a 2b D．a // b且| a | | b |【模块二】向量与平面几何【例 1】在△ ABC中， A 90o AB 1, ACuuur uuur 2 ,设P、Q满足 AP AB ，uuur1uuurRuuur uuur2 ，则AQ AC ，BQ CP=（）A 1B2C4D2 333第5页AB2uuur uuur uuur uuur 【变式 1】已知△ ABC为等边三角形，设 P、Q满足AP AB AQ 1AC，，uuur uuur 3，则R BQ CP=（）2A 1B12C 1 10D 3 2 2222uuur uuur【例 2】在△ ABC中 ,AB=2,AC=3,ABgBC = 1则 BC ___ .（）A．3B．7C．2 2D．23uuur uuur uuur【变式 1】若向量BA2,3 , CA4,7 ,则 BC（）A．2, 4B．2,4C．6,10D．6, 10【例 3 】若等边ABC 的边长为2 3 ，平面内一点M 满足CM 1CB2CA ,则63MA? MB________.第6页平面向量 (学生专用 )uuur r uuur r r r r r2 ,则【例 4】ABC 中, AB 边上的高为 CD ,若CB a,CA b, a b0,| a |1,|b | uuurAD（）A．1r1rB．2r2rC．3r3rD．4r4r a b a b a b5a b 3333555uuur3【例5】在平面直角坐标系中,O (0,0), P(6,8) ,将向量 OP按逆时针旋转后 , 得向量4 uuurOQ ，则点 Q 的坐标是（）A．( 7 2,2) B． (72,2)C．( 4 6, 2)D．( 46, 2)uuur uuur【例 6】在ABC中, M是 BC的中点, AM=3, BC=10,则AB AC =______________.【例 7】在平行四边形中, ∠A= 3, 边、的长分别为2、1.若、分别是边、ABCD AB AD M N BC CD上的点,且满足| BM|| CN | ,则AM AN 的取值范围是_________ .| BC || CD |,【例 8】如图 ,在矩形 ABCD 中, AB 2 ，BC2，点E为 BC 的中点,点F在边 CD uuur uuur uuur uuur上, 若AB g AF 2 ,则 AE g BF 的值是____.第7页平面向量 (学生专用 )9 】已知正方形ABCD 的边长为1, 点 E 是 AB 边上的动点uuur uuur【例, 则DE CB的值为uuur uuur________; DE DC 的最大值为________.【例 10】已知直角梯形ABCD 中，AD// BC ,ADC 900, AD2, BC 1 , P 是腰uuur uuurDC 上的动点，则PA3PB 的最小值为___________uuur uuur uuur【例 11】如图，在VABC中，AD AB , BC 3 BD ,AD 1 ,uuur uuur3.则 AC gAD【例 12】 (15)uuur uuur1uuur1uuur3uuur 在四边形 ABCD中，AB = DC =（ 1，1），uuur BA uuur BC uuur BD ，BA BC BD则四边形ABCD的面积是第8页平面向量 (学生专用 ) uuur uuur【例 13】在VABC中，若AB2,3 , AC 6, 4 ，则 VABC 面积为【例 14】（ 2012 年河北二模）在VABC中，AB 边上的中线CD=6 ，点 P 为 CD 上（与 C,D ）uuur uuur uuur不重合的一个动点，则PA PB .PC的最小值是A 2B 0C -9D -18第9页。

第1讲平面向量-讲义版

课程主题：平面向量【知识点】一．基本概念概念定义表示方法向量（矢量）既有大小又有方向的量叫做向量向量的大小叫做向量的长度（或模）AB 或a零向量长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的。

规定：零向量与任一向量平行（与任何向量是共线向量）、但与任意向量都不垂直零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.单位向量长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量e平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上a 与b 共线记作b a //相等向量长度相等且方向相同的向量注：共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量a 与b 是相等向量记作b a =相反向量长度相等且方向相反的向量a 的相反向量记作a -二．平面向量的线性运算 1、向量的加法：求两个向量的和⎩⎨⎧平行四边形法则三角形法则2、向量的减法：一个向量减去另一个向量，相当于加上这个向量的相反数，即)(→→→→-+=-b a b a ．→→→=+AC BC AB →→→=+OC OB OA →→→-=OA OB AB→a→b→→+ba ABCA BBAOO→a→a→b→b→→+ba →→-ba 课程类型： 1对1课程 ☐ Mini 课程 ☐ MVP 课程注：向量加减法满足交换律和结合律律：交换律：→→→→+=+a b b a 结合律：)()(→→→→→→++=++c b a c b a ． 3、平面向量的数乘（1）数乘的定义：实数λ与向量→a 的乘积，结果仍是一个向量→→=a b λ． ①大小：长度|λ→a |=|λ||→a |；②方向：λ→a 与→a 的方向关系：→→→→⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==<>a b b //0000，，方向相反，方向相同λλλ．（2）运算定律：→→=a u a u )()(λλ； →→→+=+a u a a u λλ)(； →→→→+=+b a b a λλλ)(．（3）数乘的应用：判断两个向量是否共线．向量共线的充要条件：向量与非零向量→a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得→→=a b λ （4）三点共线：若→→=AC AB λ，则A 、B 、C 三点共线,(1)OP xOA yOB x y =++=u u u r u u u r u u u r，则B A P 、、三点共线三．平面向量基本定理与坐标表示1、平面向量基本定理：在平面内任取一点O ，作→→=1e OA ，→→=2e OB 为两个不共线的向量，则平面内任意向量→a ，有且只有一对实数),(21λλ，使得→a →→+=2211e e λλ．（1）称不共线的向量→→21,e e 为表示这一平面内所有向量的一组基底．（2）基底不唯一，关键是不共线．（3）给定基底→→21,e e ，可将任一向量→a 在→→21,e e 的情况下分解．（4）基底给定时，分解形式唯一． 2、平面向量的坐标表示：（1）把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．取平行于x 正半轴的单位向量→i ，平行于y 正半轴的单位向量→j为一组基底，则对于平面内的任一个向量→a ，由平面向量基本定理可知，有且只有唯一实数对),(y x ，使→a →→+=j y i x ，把),(y x 称作向量→a 的（直角坐标），记为→a ),(y x =．（2）在平面直角坐标系内，一个平面向量与一对实数是一一对应的．（3）向量的坐标表示：①向量→a ),(y x =表示从点)0,0(指向点),(y x 的向量．②空间中两点坐标),(11b a A ),(,22b a B ),(,1212b b a a AB --=→则．（4）平面向量坐标的加减、数乘运算：),(11y x a =→，),(22y x b =→，①两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差，即),(2121y y x x b a ±±=±→→． ②实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标，即),(11y x a λλλ=→．（5）平面向量共线的坐标表示：设),(11y x a =→),(22y x b =→)()(λλλ===-⇔=∈∃⇔≠→←→→→→212112210,0//y y x x y x y x b a R b b a 使得【课堂演练】题型一平面向量基本概念及线性运算考点1 辨析平面向量的概念例1 下列有关平面向量的说法中，正确的个数是（）（1）共线向量就是在同一条直线上的向量．（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点．（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的．（4）若=，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3练1 下列有关平面向量的说法中，正确的个数是（）（1）若与共线，与共线，则与共线．（2）若m m =，则=．（3）若a n a m =，则n m =．（4）若a 与b 不共线，则a 与b 都不是零向量． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3考点2 平面向量的线性运算 1、加减法例2 =++++)()( ．CBDAO练2 如图，正六边形ABCDEF 中，下列四个命题中正确的个数为（）（1）CB DC AD AB ++= （2）BA BF AF -= （3）2=+（4）22+= A ．1 B ．2C ．3D ．4例3 已知AD AB AC 与为的和向量，且==,，则=AB ,=AD ．练3 如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点M 是线段OD 的中点，设==,，则= ．（结果用，表示） 2、数乘例4 =--+)32(3)(2 ．练4 -++)34(2)2(3b ．练5 =-+--+)3)(32()2)((n m n m ．练6 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，λ=+，则=λ ．练7 已知223-=，则C B A ,,三点的关系为．ABDECF考点3 向量共线定理及其应用例5 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A 、C ）,则=AP （）A ．），（）（10,AD AB ∈+λλ B ．），（）（220,BC AB ∈+λλC ．），（）（10,AD -AB ∈λλD ．），（）（220,BC -AB ∈λλ练8 已知平面内有一点P 及一个ABC ∆，若,PB PA AB PC =++则（） A ．点P 在ABC △外部 B ．.点P 在线段AB 上C ．点P 在线段BC 上D ．点P 在线段AC 上例6 设21,e e 是两个不共线的向量，2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值．.练9 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD BN 31=，求证：C N M ,,三点共线．练10 已知两不共线的向量b a ,，若对非零实数n m ,有b n a m +与b a 2-共线，则=nm（） A ．2- B ．2C ．21-D ．21题型二平面向量基本定理及坐标表示考点1 平面向量基本定理的应用 1、基底向量例7 已知21,e e 是平面内的一组基底，下列哪组向量不能构成一组基底（） A ．21e e +和21e e - B ．2123e e -和1264e e - C ．213e e +和123e e -D ．2e 和12e e -练11 已知)4,3(=a ，能与a 构成基底的是（） A ．)54,53( B ．)53,54(C ．)54,53(--D ．)34,1(--练12 在下列向量中，可以把向量)2,3(=a 表示出来的是（） A ．)2,1(),0,0(21==e e B ．)2,5(),2,1(21-=-=e e C ．)10,6(),5,3(21==e e D ．)3,2(),3,2(21-=-=e e2、用已知向量表示未知向量例8 已知在ABC △中，D 是BC 的中点，请用向量AB ，AC 表示AD ．例9 如图，向量OC OB OA ,,终点在同一条直线上，且CB -3=AC ，设r OC q OB p OA ===,,，则下列等式中成立的是（）A ．q p r 2321+-= B ．q p r 2+-= C ．q p r 2123-=D ．p q r 2+-=练13 在平行四边形ABCD 中，=，=，3=，M 为BC 中点，则= .考点2 坐标运算例10 已知向量),2,1(),1,3(-=-=则23--的坐标是（） A ．)1,7( B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-例11 已知)5,4(=AB ，)3,2(A ，则点B 的坐标是．练14 若物体受三个力)2,1(1=F ,)3,2(2-=F ,)4,1(3--=F ,则合力的坐标为．练15 已知)2,1(A ，)2,3(B ，向量)23,2(--+=y x x a 与相等，求y x ,的值．考点3 平面向量共线的坐标表示例12 已知2(2,1),(3,2),3A B AM AB --=u u u u r u u u r，则点M 的坐标是( )A ．)21,21(-- B ．)1,34(-- C ．)0,31(D ．)51,0(-例13 已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且∥，则x 等于（） A ．3 B ．3-C ．31 D ．31-练16 已知向量),1(),6,2(λ-==，若∥，则=λ .【课后巩固1】1．设与是两个不共线向量，且向量λ+与)2(a b --共线，则λ=（） A ．0 B ．1-C ．2-D ．12-2．已知下列命题中真命题的个数是（）（1）若R k ∈，且=k ，则0=k 或=，（2）若0=⋅，=则或=，（3）若不平行的两个非零向量b a ,b a =，则0)((=-⋅+b ，（4）若与平行，则b a =⋅． A ．0B ．1C ．2D ．33．=--+)3(4)(2b a b a ．4．设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（）A ．3431+-= B ．3431-= C ．AC AB AD 3134+= D ．AC AB AD 3134-=5．设E D ，分别是ABC △的边BC AB ，上的点，21=，32=，若12DE AB AC λλ=+u u u r u u u r u u u r（21λλ，为实数），则21λλ+的值为．6．设向量,不平行，向量+λ与2+平行，则实数=λ ．7．已知向量),2,1(),1,3(-=-=则23+-的坐标是（） A ．)7,11(- B ．)11,7(-C ．)7,11(D ．)7,11(-8．已知向量)1,1(),4,2(-==，则=-b a 2（） A ．)7,5( B ．)9,5(C ．)7,3(D ．)9,3(【课后巩固2】1．化简-+-= ．2．-++)32(4)2(2b ．3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线交CD 于点F ，若===,,则（）A ．2141+ B ．3132+ C ．4121+ D ．3231+4．设,是向量，则b a =”是b a b a -=”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知点)2,3(),1,0(B A ，向量)3,4(--=，则向量=（） A ．)4,7(--B ．)4,7(C ．)4,1(-D ．)4,1(6．已知平面向量，),,2(),2,1(m -==且b a ∥，则32+=（） A ．)10,5(-- B ．)8,4(-- C ．)6,3(-- D ．)4,2(--7．若物体受三个力)3,1(1=F ,)3,1(),3,2(32--==F F ,则合力的坐标为．8．已知)4,1(),3,2(-B A ,向量)1,3(-+-=y x x 与AB 相等，求y x ,的值．【课后巩固3】1．=++--+)2)(3())(2(b a n m b a n m ．2．已知)1,3(=，)3,2(A ，则点B 的坐标是．3．已知向量)2,3(),4,(-==m ，且∥，则=m ．4．对任意向量b a ,，下列关系式中不恒成立的是（） A b a b a ≤ B b a b a ≤-C ．2)(b a =+D ．22))((b -=-+5．如图ABC ∆中，2=,EC AE =2,BE CD P =I ，若(,)AP xAB y AC x y R =+∈u u u r u u u r u u u r，则x y += ．6．已知B A 52),2,3(),3,2(=--，则点M 的坐标是( )A ．)0,1(-B ．)1,0(C ．)0,1(D ．)0,0(PDE-11- 学生姓名：科目：数学任课教师：年级：高三上课时间： 2017.11.11 16:00—18:00 7．已知),1,(),2,3(-=-=x 且∥，则x 等于（）A ．3B ．3-C ．23D ．23-8．已知向量)3,(3m =，)3,1(=，则“1=m ”是“b a ∥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件、。

平面向量综合讲义

平面向量
考点一、平面向量的概念与线性运算
1.向量的有关概念
（1）向量:既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模);平面向量是自由向量；
（2）零向量：长度为 0 的向量，记为 0 ；方向是任意的，模为 0；
a
（3）单位向量:长度等量是；
化为数量运算．
(2)巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，
若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．
(3)妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和
被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．
考点四平面向量数量积的概念、其几何意义及其运算律
乘法交换律 a·b＝b· a 数乘结合律(λa)·b＝λ (a·b) ＝a·(λb) 加乘分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c 注：有些实数的运算性质不能类推到向量的数量积运算：
比如： abc a(bc), 但是（a·b）·c 与 a·（b·c）不一定相等；
常用公式
①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
平行四边形法则：起点相同；
②运算律：交换律：a＋b＝b＋a．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
③一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点 ―→ ―→ ―→ ―→ ―→
的向量，即A1A2 ＋A2A3 ＋A3A4 ＋…＋An－1An＝A1An .特别地，一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．（2）减法：求 a 与 b 的相反向量－b 的和的运算叫做 a 与 b 的差（a-b＝a＋（-b））
|a|
（4）平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量；规定：0 与任一向量平行（共线）；

(完整版)平面向量复习讲义

平面向量复习讲义一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。

2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r共线的单位向量是||AB AB ±u u u ru u u r )； 4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r)；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

a 的相反向量是－a 。

如下列命题：（1）若a b =r r，则a b =r r 。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =u u u r u u u r ，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r 。

（5）若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r 。

（6）若//,//a b b c r r r r ，则//a c r r。

其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=r r r，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

平面向量讲义

平面向量1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.2.向量的表示方法：①用有向线段表示-----AB (几何表示法)； ②用字母a 、b 等表示(字母表示法)； ③平面向量的坐标表示（坐标表示法）：分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底。

任作一个向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得axi yj =+，),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作(,)a x y =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，i (1,0)=，j (0,1)=，0(0,0)=。

22a x y =+；若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=，222121()()AB x x y y =-+-3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为0；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：||a a 就是单位向量）4.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.向量a 、b 、c 平行，记作a ∥b ∥c .共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.性质：//(0)(a b b a b λλ≠⇔=是唯一）||b a b a a b λλλ⎧⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩⎨⎪=⎪⎩0,与同向方向---0,与反向长度---1221//(0)0a b b x y x y ≠⇔-= （其中 1122(,),(,)a x y b x y ==）5.相等向量和垂直向量：①相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ②垂直向量——两向量的夹角为2πθ=性质：0a b a b ⊥⇔∙=12120a b x x y y ⊥⇔+= （其中 1122(,),(,)a x y b x y ==）6.向量的加法、减法：①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

(完整版)平面向量全部讲义

第一节平面向量的概念及其线性运算1．向量的有关概念(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．例1．若向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不相等的模B．不共线C．不可能都是零向量D．不可能都是单位向量例2．.给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC等价于四边形ABCD为平行四边形；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b等价于|a|＝|b|且a∥b；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．④⑤CA2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb例3：化简AC→－BD→＋CD→－AB→得() A.AB→B.DA→C.BC→D．0例4：(1)如图，在正六边形ABCDEF中，BA＋CD＋EF＝()A．0B．BE C．AD D．CF(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．巩固练习：1．将4(3a＋2b)－2(b－2a)化简成最简式为______________．2．若|OA→＋OB→|＝|OA→－OB→|，则非零向量OA→，OB→的关系是() A．平行B．重合C．垂直D．不确定3．若菱形ABCD的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝________4．D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD等于()A．－BC＋12BA B．－BC－12BA C．BC－12BA D．BC＋12BA5．若A，B，C，D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB＋CD＝BC＋DA；②AC＋BD＝BC＋AD；③AC－BD＝DC＋AB.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个6．如图，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，CA→＝3a，CB→＝2b，求CD→，CE→.DD12巩固练习1。

高中数学讲义(人教A版必修二)：平面向量基本定理(教师版)

第07课平面向量基本定理课程标准课标解读1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2..掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量.3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识精讲知识点平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2．基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．【即学即练】（多选）下列结论正确的是（）A．已知向量(,2),(3,1)a b，且a 与b 的夹角为锐角，则23B ．ABC 中，π3,3b c C，则ABC 有两解C ．向量(1,2),(5,7)a b能作为所在平面内的一组基底D ．已知平面内任意四点O ，A ，B ，P 满足1233OP OA OB，则A ，B ，P 三点共线反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．能力拓展考法01平面向量基本定理的理解【典例1】已知G 是ABC 的重心，点D 满足BD DC，若GD xAB y AC ，则x y 为（）A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】A【详解】解：因为BD DC，所以D 为BC 中点，又因为G 是ABC 的重心，所以13GD AD ，又因为D 为BC 中点，所以1122AD AB AC ，所以1111()3226GD AB AC AB 所以16x y ，所以13x y .故选：A【变式训练】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知3,,AE EF AB a AD b ，则AE（）A ．1292525a b B ．16122525a bC ．4355a bD ．3455a b考法02用基底表示向量【典例2】如图，在ABC 中，4BD DC ，则AD（）A ．1455AB AC B ．4155AB ACC ．1566AB ACD ．5166AB AC【变式训练】《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形(图2)中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（）A ．OA ED DOB ．AB EFC ．OB OD D ．AH 和CE能构成一组基底故选：B.考法03平面向量基本定理的应用【典例3】在平行四边形ABCD 中，3,4AB AD ，60BAD ，点E 是BC 的中点，2CF FD ，则AE BF（）A ．6B ．2C ．2D ．6【变式训练】锐角三角形ABC 中，D 为边BC 上一动点（不含端点），点O 满足3AO OD ，且满足AO AB AC ，则11的最小值为（）A ．43B ．34C ．3D ．163分层提分题组A 基础过关练1．在ABC 中，点D 在边AB 上，3AD DB .记,CA a CD b ，则CB（）A ．4133a bB ．1433a bC ．4133a bD ．1343a b2．在四边形ABCD 中，//AB CD ，若(,R)AC AB AD ，且3 ，则||||CD AB （）A ．13B ．3C ．12D ．2【答案】D【详解】如图，过C 作//CE AD ，又因为//AB CD ，所以四边形ADCE 是平行四边形，所以,AC AE AD 又因为(,R)AC AB AD，所以1,AE AB,又因为3 ，所以2 ，3．如图，已知,,,2OA a OB b OC c AB BC ，则c（）A ．3122b a B ．2b aC ．2a bD ．3122a b4．若向量a 与b 是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（）A ．a 与a bB ．a b 与2a bC ．25a b 与410a bD ．2a b 与2a b对于D ，假设存在实数，使 22a b a b ，则212，方程组无解，即不存在实数，使 22a b a b，即2a b 与2a b 不共线，D 不选；故选：C5．如果21,e e表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）A ．212,e e eB ．12212,2e e e eC ．21212,42e e e e D ．1212,e e e e6．（多选）已知12,e e是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）A ．若实数m ，n 使120me ne，则0m n B ．平面内任意一个向量a 都可以表示成12a me ne，其中m ，n 为实数C ．对于m ，n R ，12me ne不一定在该平面内D ．对平面内的某一个向量a ，存在两对以上实数m ，n ，使12a me ne【答案】AB【分析】根据基底的定义逐项判断即可.【详解】解：根据基底的定义知AB 正确；对于C ，对于m ，n R ，12me ne在该平面内，故C 错误；对于D ，m ，n 是唯一的，故D 错误.故选:AB.7．（多选）在下列向量组中，可以把向量(3,2)a表示出来的是（）A ．1(0,0)e ，2(1,2)eB ．1(1,2)e ，2(5,2)eC ．1(3,5)e ，2(6,10)eD ．1(2,3)e ，2(2,3)e8．（多选）已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量3ma b 与 2a m b 共线，则实数m 的可能取值为（）A ．1BC ．4D ．3【答案】AD【详解】解：因为向量a ，b 是两个不共线的向量，所以向量a ，b可以作为平面内的一组基底，又向量3ma b 与 2a m b共线，所以 32ma b a m b ，即 32m m，解得1m 或3m ；故选：AD9．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A ．12(1,0),(0,1)e eB ．12(1,2),(2,1)e eC ．1234(3,4),,55e eD ．12(2,6),(1,3)e e10．在平行四边形ABCD 中，2AE AD ，AF AB，若E ，C ，F 三点共线，则实数 ________.11．如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝________.我们把12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.【答案】1122e e 【详解】平面向量的分解定理：如果12,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使1122a e e .我们把12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.故答案为：1122e e12．已知下列四个命题：①若//a b ，//b c，则// a c ；②设a 是已知的平面向量，则给定向量b 和c，总存在实数和，使a b c ；③第一象限角小于第二象限角；④函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x 的最小正周期为2π.正确的有________.【答案】④【详解】对于①，若a 与c 都是非零向量，并且它们不共线，0b ，满足//a b ，//b c，而结论不成立，①不正确；对于②，若给定向量b 和c 满足//b c ，而已知向量a 与b不共线，则不存在实数和，使a b c 成立，②不正确；对于③，390 是第一象限角，120 是第二象限角，显然390120 ，③不正确；对于④，函数sin ,(cos sin )()cos ,(cos sin )x x x f x x x x，而正弦函数sin y x 和余弦函数cos y x 的最小正周期都是2π，所以函数()f x 的最小正周期为2π，④正确.故答案为：④题组B 能力提升练1．已知1e ，2e是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（）①15a e ，17b e ；②121123a e e ，1232b e e；③12a e e ，1233b e e．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③123131e e ，因为1e ，2e是不共线向量，故得到3131 无解.故选：A.2．若12e e ，是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）A ．12e e ，21e eB ．12e e ，12e eC ．212e e ，212e e D ．122e e ，124e 2e3．若1e ，2e 是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（）．A ．12e e 和12e eB ．1232e e 和2146e e C ．123e e 和213e e D ．2e 和12e e所以向量1232e e 和2146e e为共线向量，不能作为平面的一组基底；对于C 中，设12213()3e e e e ，可得133，此时方程组无解，所以向量123e e 和213e e不共线，可以作为平面的一组基底；对于D 中，设212()e e e ，可得01，此时方程组无解，所以向量2e 和12e e不共线，可以作为平面的一组基底.共线：B.4．如果12 e e ，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（）A ．1 e 与12 e eB ．12 2e e 与12 2e eC ．12 e e 与12e e D ．12 2e e 与122e e 【答案】D【详解】由12 e e ，为不共线向量，可知1 e 与12 e e ，12 2e e 与12 2e e ，12 e e 与12 e e必不共线，都可作为平面向量的基底，而1212 2(2)e e e e ，故12 2e e 与12 2e e共线，不能作为该平面所有向量的基底.故选:D.5．在给出的下列命题中，错误的是（）A ．设,,,O ABC 是同一平面上的四个点，若(1)()OA m OB m OC m R，则点,,A B C 必共线B ．若向量,a b 是平面上的两个向量，则平面上的任一向量c 都可以表示为(,) c a b R，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量,,OA OB OC 满足,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC，则ABC 为等腰三角形D ．已知平面向量,,OA OB OC 满足||||(0)OA OB OC r r |=|，且0OA OB OC，则ABC 是等边三角形【答案】B6．（多选）设a是已知的平面向量，向量,,a b c 在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（）A ．给定向量b ，总存在向量c ，使a b c ；B ．给定向量b 和c，总存在实数和，使a b c ；C ．给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c和实数，使a b c ；D．若2a ，存在单位向量,b c 和正实数, ，使a b c，则2 .【答案】ABD【详解】对A ，给定向量b ，总存在向量c ，使a b c，即a b c ，显然存在c，所以A 正确.对B ，因为向量a ，b ，c在同一平面内且两两不共线，由平面向量的基本定理可得：总存在实数和，使a b c，故B 正确．对C ，给定单位向量b 和正数，总存在单位向量c和实数，使a b c ，当a 分解到c 方向的向量长度大于时，向量a没办法按,b c 分解，所以C 不正确.对D ，存在单位向量b 、c 和正实数，，由于a b c ，向量b 、c的模为1，由三角形的三边关系可得2 ，所以D 成立.故选：ABD7．（多选）下列说法中正确的为（）A ．已知 1,2a r ， 1,1b r 且a 与b 的夹角为锐角，则实数的取值范围是5,3B ．向量 12,3e，213,24e不能作为平面内所有向量的一组基底C ．非零向量a ，b ，满足a b 且a 与b 同向，则a bD ．非零向量a ，b ，满足a b a b ，则a 与a b的夹角为30°8．（多选）下列命题正确的是（）A ．AB MB BC OM CO ABB ．已知向量(6,2)a 与(3,)b k的夹角是钝角，则k 的取值范围是0kC ．若向量 12,3e，213,24e 能作为平面内所有向量的一组基底D ．若//a b ，则a 在b 上的投影向量为a9．（多选）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若O 是正八边形ABCDEFGH 的中心，且1AB u u u r，则（）A ．AH 与CF能构成一组基底B ．0OD OF C ．OA OC D ．22AC CD10．设12,e e 是两个不共线的非零向量，且12122,3a e e b e e．（1）证明：,a b可以作为一个基底；（2）以,a b 为基底，求向量123c e e 的分解式．则1212121232332e e m e e n e e m n e n m e 所以3123m n m n ，解得21m n ，故2c a b ．题组C 培优拔尖练1．在ABC 中，2360AB AC BAC ，，，N 为线段BC 的中点，M 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，两条直线AN 与BM 相交于点P ，则AP BC=（）A ．54B ．74C ．94D ．114∴31221232，解得1,2 ∴131444AP AB AM AB ∴ 1144AP BC AB AC故选：A.2．如图，ABC 中，3BD DC ，AE mAB ，AF nAC ，0m ，0n ，则m n（）A ．3B ．4C ．43D ．343．在平行四边形ABCD 中，E ､F 分别在边AD ､CD 上，3AE ED ，,DF FC AF 与BE 相交于点G ，记,AB a AD b ，则AG （）A ．341111a bB ．631111a bC．451111a b D．361111a b故选：D .4．如图，在ABC 中，点D 是边AB 上一点且2BD AD ，E 是边BC 的中点，直线AE 和直线CD 交于点F ，若BF 是ABC 的平分线，则BC BA （）A ．4B ．3C ．2D ．125．在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b ，则AF （）A ．1344a b B ．2133a b +r r C ．3144a b D ．1233a b 【答案】D6．在三角形ABC 中，已知D ，E 分别为CA ，CB 上的点，且15AD AC ，13BE BC ，AE 与BD 交于O 点，若CO mCA nCB ，则mn 的值为___________.【答案】849【详解】因，，D O B 三点共线，则DO 1CO xCB x CD .又15AD AC7．如图，在ABC 中，已知182,,,,49AD DC BE BC AF AE AB a AC b .(1)用向量,a b 分别表示AF 与BD ；(2)证明：,,B F D 三点共线.【答案】(1)2239AF a b (2)证明见解析【详解】（1）因为AB a则8899AF AB BE （2）因为BF AF AB 所以//BF BD .又因为BF 与BD 有公共点8．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ，且2AB CD ，设,AD a BC b .(1)试用a 和b 表示AC ；(2)若点P 满足34AP a b ，且,,B D P 三点共线，求实数的值.。

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