垂直线的性质与判定方法
垂直线的性质与判定
垂直线的性质与判定直线是几何中最基本的图形之一，而垂直线是直线之中的一种特殊情况。
垂直线的性质和判定方法在几何学中有着重要的作用和应用。
本文将从垂直线的定义、性质和判定方法等方面进行论述，旨在加深对垂直线的理解和运用。
一、垂直线的定义垂直线是指两条直线之间的相对方向关系，即两条直线在某个点处相交，且相交角度为90度。
垂直线通常被表示为“⊥”符号，例如A⊥B，表示A与B两条直线垂直。
二、垂直线的性质1. 两条垂直线的斜率乘积为-1：在笛卡尔坐标系中，设直线A的斜率为k1，直线B的斜率为k2，则满足k1 * k2 = -1时，可以判定直线A与直线B垂直。
这是垂直线性质的一个重要推论，可以方便地判断两条直线是否垂直。
2. 垂直线的线段长相等：如果两条垂直线分别与一条水平线相交，并且线段长度相等，那么可以判定这两条直线互相垂直。
这个性质可以通过实际测量线段长来判断垂直线的存在，特别适用于工程测量和建筑设计等领域。
3. 垂直线与水平线相互垂直：根据几何学基本原理，垂直线与水平线之间的夹角为90度，即互相垂直。
这个性质可以方便地判断一条直线是否与水平线垂直，从而进一步判定直线的性质。
三、垂直线的判定方法1. 斜率判定法：如前所述，两条垂直线的斜率乘积为-1。
因此，通过计算两条直线的斜率，并判断它们的乘积是否为-1，可以判定这两条直线是否垂直。
2. 角度判定法：根据垂直线的定义，两条直线相交处的夹角为90度。
因此，通过计算两条直线相交处的夹角，并判断夹角是否为90度，可以直接判定这两条直线是否垂直。
3. 坐标判定法：对于给定的两条直线，可以确定它们的两个相交点的坐标，并计算两个点之间的斜率。
如果这两个斜率相乘得到-1，则可以判定这两条直线垂直。
四、垂直线的应用1. 地理测量和导航：垂直线的性质和判定方法在地理测量和导航中有广泛的应用。
例如，在地图测量中，垂直线可以用来确定建筑物的高度或山脉的高度。
在导航中，垂直线可用于指示航空器或船只的垂直姿态。
垂直线的性质与判定
垂直线的性质与判定垂直线是几何学中的一个重要概念，在解题过程中经常会涉及到垂直线的性质和判定。
本文将探讨垂直线的定义、性质以及如何准确判定两条直线是否垂直的方法。
一、垂直线的定义在平面几何中，垂直线又称为垂直于某一直线或垂直于某一平面的线段。
当两条直线的交角为90度时，我们可以称这两条直线垂直。
垂直线以其与其他线段之间的垂直关系而得名，具有以下几个重要性质。
二、垂直线的性质1. 互相垂直线的斜率的乘积为-1若两条直线的斜率分别为k1和k2，且k1*k2=-1，则这两条直线互相垂直。
2. 垂直线段的端点连线长度相等若两个线段的端点分别为A、B和C、D，并且AC与BD垂直，则AC的长度等于BD的长度。
3. 垂直线的特殊性质垂直线与直线组成直角。
在平面几何中，如果有一直线与另一直线垂直相交，则两直线之间形成的角为直角。
三、判定垂直线的方法1. 斜率判定法如果两条直线的斜率乘积为-1，即k1*k2=-1，则两条直线垂直。
2. 互相垂直线段端点连线长度相等法如果有两个线段，它们的端点分别为A、B和C、D，并且AC与BD互相垂直，那么这两个线段长度相等。
3. 垂直线的特殊性质判定法如果一条直线与另一直线形成的角为90度，则两条直线垂直。
四、示例以下是一些关于判定垂直线的示例问题。
1. 已知直线L1的斜率为2，判断直线L2是否与L1垂直。
解答：如果直线L2的斜率为-1/2，则L2与L1垂直。
2. 在平面直角坐标系中，已知线段AB与线段BC相交于点B，且AB与BC的长度相等，判断线段AB与BC是否垂直。
解答：线段AB与BC垂直的判据是线段AB与BC的端点连线长度相等。
3. 以AB为直径的圆与MN相交于点C，若MC的长度为8cm，判断AC与BC是否垂直。
解答：判定AC与BC垂直的方法是通过角度判断，即判断∠ACB 是否为90度。
五、总结垂直线作为几何学中的重要概念，其性质和判定方法在解题过程中起到重要的作用。
本文讨论了垂直线的定义、性质和判定方法，并通过示例问题对判定垂直线的方法进行了说明。
直线、平面垂直的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质线面垂直→线线垂直：如果一条直线a与一个平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a垂直于平面α。
【线面垂直定义】线线垂直→线面垂直：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
【判定】线面垂直→线线平行：如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
【性质】线面垂直→面面垂直：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
【判定】面面垂直→线面垂直：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。
【性质】三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
一、选择题1．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【解析】直线l与平面α内两条相交直线都垂直，是线面垂直判定定理的条件，故为充要条件．【答案】 C2．空间四边形ABCD中，若AB＝BC，AD＝CD，E为对角线AC的中点，下列判断正确的是( ) A．面ABD⊥面BDC B．面ABC⊥面ABDC．面ABC⊥面ADC D．面ABC⊥面BED【解析】在等腰三角形ABC、ADC中，E为底边AC的中点，则BE⊥AC，DE⊥AC.又∵BE∩DE＝E，∴AC⊥面BDE，故面ABC⊥面BDE，面ADC⊥面BDE.【答案】 D3．对两条不相交的空间直线a和b，必定存在平面α，使得 ( )A．a⊂α，b⊂α B．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α【解析】当a，b异面时，A不成立；当a，b不平行时，C不成立；当a，b不垂直时，D不成立．故选B.【答案】 B4．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是( )A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直【解析】在平面α内有无数条彼此平行的直线与直线m垂直，与直线m垂直的直线可能与平面α平行，与直线m平行的平面可能与平面α垂直．故A，C，D错误．【答案】 B5．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立．．．的是( )A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bC．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【解析】α⊥β，b⊂α，b不一定垂直于β.故C错误．【答案】 C6．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是( ) A．命题“p且q”为真 B．命题“p或綈q”为假C．命题“p或q”为假 D．命题“綈p且綈q”为假【解析】命题p，命题q皆为假，所以命题C正确．【答案】 C7．如图，已知△ABC 为直角三角形，其中∠ACB ＝90°，M 为AB 的中点，PM 垂直于△ABC 所在的平面，那么( )A ．PA ＝PB >PCB ．PA ＝PB <PCC ．PA ＝PB ＝PCD ．PA ≠PB ≠PC【解析】 ∵M 为AB 的中点，△ACB 为直角三角形，∴BM ＝AM ＝CM ，又PM ⊥平面ABC ，∴Rt △PMB ≌Rt △PMA ≌Rt △PMC ，故PA ＝PB ＝PC .【答案】 C二、填空题8．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①若α∥β，α∥γ，则β∥γ；②若α⊥β，m ∥α，则m ⊥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥n ，n ⊂α，则m ∥α.其中真命题的序号是________．【解析】 由平面平行的传递性知①正确，由面面垂直的判定定理知③正确．【答案】 ①③9．P 为△ABC 所在平面外一点，AC ＝2a ，连接PA 、PB 、PC ，得△PAB 和△PBC 都是边长为a 的等边三角形，则平面ABC 和平面PAC 的位置关系为________．【解析】如图所示，由题意知PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝BC ＝a ，取AC 中点D ，连接PD 、BD ，则PD ⊥AC ，BD ⊥AC ，则∠BDP 为二面角P －AC －B 的平面角，又∵AC ＝2a ，∴PD ＝BD ＝22a ， 在△PBD 中，PB 2＝BD 2＋PD 2，∴∠PDB ＝90°.【答案】 垂直10．(精选考题·四川高考)如图所示，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α，B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________________________________________________________________________．【解析】 如图，过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由线面垂直关系可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，∴∠ADC ＝60°.连接CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34. 【答案】34 三、解答题11．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．求证：(1)CD ⊥AE ；(2)PD ⊥平面ABE .【证明】 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD .∵AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，∴CD ⊥平面PAC .而AE ⊂平面PAC ，∴CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC, ∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .∵E 是PC 的中点，∴AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，且PC ∩CD ＝C ，∴AE ⊥平面PCD ，而PD ⊂平面PCD ，∴AE ⊥PD .∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD 且PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD ，而PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .又∵AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE .12．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°.(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【解析】 (1)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥BC .由∠BCD ＝90°，得BC ⊥DC .又PD ∩DC ＝D ，∴BC ⊥平面PCD .∵PC ⊂平面PCD ，∴PC ⊥BC .(2)如图，连接AC .设点A 到平面PBC 的距离为h .∵AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°.从而由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1.由PD ⊥平面ABCD 及PD ＝1，得三棱锥P －ABC 的体积V ＝13S △ABC ·PD ＝13.∵PD ⊥平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥DC .又PD ＝DC ＝1，∴PC ＝PD 2＋DC 2＝ 2.由PC ⊥BC ，BC ＝1，得△PBC 的面积S △PBC ＝22.由V ＝13S △PBC h ＝13×22h ＝13，得h ＝ 2.因此点A 到平面PBC 的距离为 2.。
高中数学必修二4.线面垂直的性质及判定
αO A B CαOAB授课内容 线面垂直的判定及性质教学内容知识梳理1 、线面垂直定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面交点叫做垂足直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α2、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面3 直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那麽这两条直线平行4、斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线斜线和平面的交点叫斜足；斜线上一点与斜足间的线段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上5．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角。
直线和平面所成角范围： [0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角【同步练习】1、下列命题中正确的个数是（ ）①如果直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则α⊥l ； ②如果直线l 与平面α内的一条直线垂直，则α⊥l ；③如果直线l 不垂直于α，则α内也没有与l 垂直的直线； ④如果直线l 不垂直于α，则α内也有无数条直线与l 垂直。
A 、0 B 、1 C 、2 D 、32、若直线l ⊥平面α，直线α⊂m ，则（ ）A 、m l ⊥B 、l 可能和m 平行C 、l 和m 相交D 、l 和m 不相交3、直线a ⊥直线b ，b ⊥平面β，则a 与β的关系是（ ） A 、β⊥a B 、a ∥β C 、β⊂a D 、β⊂a 或a ∥β4、给出下列四个命题：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面；③互相平行的两条直线，在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线； ④过点P 有且仅有一条直线与异面直线l ，m 都垂直。
平行线与垂直线的性质及判定方法
平行线与垂直线的性质及判定方法平行线和垂直线是几何学中常见的概念，它们在我们的日常生活和建筑设计中起着重要的作用。
本文将探讨平行线和垂直线的性质以及判定方法。
一、平行线的性质及判定方法平行线是指在同一个平面内永远不会相交的直线。
平行线具有以下性质：1. 平行线的斜率相等：斜率是直线的一个重要特征，它表示直线在平面上的倾斜程度。
如果两条直线的斜率相等，那么它们就是平行线。
这是判定平行线最常用的方法之一。
2. 平行线的夹角相等：如果两条直线与另一条直线相交，形成一对内错角或一对外错角，那么这两条直线是平行线。
内错角是指两条直线的夹角之和为180度，外错角是指两条直线的夹角之和为180度。
3. 平行线的向量表示：如果两条直线的方向向量平行或反向，那么它们是平行线。
方向向量是指直线上的两个点之间的向量。
判定平行线的方法有以下几种：1. 斜率法：计算两条直线的斜率，如果斜率相等，则这两条直线是平行线。
2. 内错角法：如果两条直线与另一条直线相交，形成一对内错角或外错角，且错角相等，则这两条直线是平行线。
3. 方向向量法：计算两条直线上的两个点之间的向量，如果这两个向量平行或反向，则这两条直线是平行线。
二、垂直线的性质及判定方法垂直线是指两条直线相交时，相交处的角度为90度的直线。
垂直线具有以下性质：1. 垂直线的斜率乘积为-1：如果两条直线的斜率乘积为-1，那么它们是垂直线。
这是判定垂直线最常用的方法之一。
2. 垂直线的夹角为90度：如果两条直线相交，形成的夹角为90度，则这两条直线是垂直线。
3. 垂直线的向量表示：如果两条直线的方向向量垂直，则这两条直线是垂直线。
判定垂直线的方法有以下几种：1. 斜率法：计算两条直线的斜率，如果斜率的乘积为-1，则这两条直线是垂直线。
2. 夹角法：通过测量两条直线相交处的夹角，如果夹角为90度，则这两条直线是垂直线。
3. 方向向量法：计算两条直线上的两个点之间的向量，如果这两个向量垂直，则这两条直线是垂直线。
直线、平面垂直的判定与性质
2021年新高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》直线、平面垂直的判定与性质1．直线与平面垂直(1)定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行⎭⎪⎬⎪⎫a⊥αb⊥α⇒a∥b2．直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．(2)范围：⎣⎡⎦⎤0，π2.3．平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫l⊥αl⊂β⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直⎭⎪⎬⎪⎫α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α概念方法微思考1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(×)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(×)(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(√)(4)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(×)(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(√)(6)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.(×)题组二教材改编2．下列命题中错误的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β。
垂直线的判定与性质
垂直线的判定与性质在几何学中，垂直线是一个重要的概念。
在本文中，我们将讨论如何判定两条线是否垂直以及垂直线的性质。
通过了解垂直线的定义和性质，我们可以更好地理解几何学中的垂直关系。
一、垂直线的定义垂直线是指两条线或线段之间的夹角为90度的线。
当两条线或线段的夹角等于90度时，我们就可以说它们是垂直的。
这个定义告诉我们如何判定两条线是否垂直。
二、垂直线的判定方法1. 几何推理法：通过几何推理的方法，可以快速判定两条线是否垂直。
如果两条线段之间的夹角为90度，那么它们就是垂直的。
通过观察几何图形的形状和角度，我们可以轻松判定线段是否垂直。
2. 斜率法：在解析几何中，我们可以使用斜率来判断两条线段是否垂直。
如果两条线段的斜率的乘积为-1，那么它们是垂直的。
具体的计算方法是比较两条线段的斜率乘积是否等于-1，如果等于-1，则说明它们是垂直的。
三、垂直线的性质1. 互补角性质：两条垂直线之间的夹角是互补角，即它们的和等于90度。
这个性质使得我们可以通过已知其中一条垂直线的角度，快速计算出另一条垂直线的角度。
2. 线段垂直平分性质：如果一条线段与另外两条垂直线相交，并将它们分成两部分，那么这条线段就是这两条垂直线的垂直平分线。
这个性质在几何证明中经常被使用，它说明了垂直线的重要性。
3. 垂直线的延伸性：垂直线可以无限延伸。
无论在平面内或空间中，一条垂直线都可以一直延伸下去，没有止境。
这个性质使得垂直线在几何学中具有独特的特点和应用。
四、垂直线的应用1. 建筑设计：在建筑设计中，垂直线的应用非常广泛。
例如，在建造一栋建筑物时，垂直线被用来确保墙面的垂直和地面的垂直。
通过使用垂直线，可以保证建筑物的结构稳定和美观。
2. 地图标示：在地图上，垂直线通常用来标示方向。
例如，纬度线和经度线是垂直于彼此的线，它们被用来确定地球上任意一个地点的位置。
通过使用垂直线，我们可以准确地定位和导航。
3. 几何证明：在几何证明中，垂直线经常被用来推导其他几何命题。
垂线的定义和性质垂直的判定定理和性质定理垂线的画法步骤
一、垂线的性质性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简称：垂线段最短。
二、垂线的定义：1.两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
2.直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB 垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。
三、垂直的判定：垂线的定义。
四、垂线的画法1.画垂线有两种情况，一种是已知一条直线，过这个直线之外的一个点画这个直线的垂线；另一种情况是已知一条直线，过这个线上的某一点作这个直线的垂线。
这两种情况画垂线都需要用到工具，有直尺、直角三角尺还有笔。
2.第一种情况，首先把直尺放好，直尺的一条边要和已知的那条直线重合，然后把直角三角尺的其中一个直角边靠在直尺上，保持三角尺的另一个边和直尺垂直的情况下，慢慢移动直角三角尺，直到直线外的某一点和直尺三角尺的另一条边重合，最后沿着直角三角尺的另一条边过直线外的那一点画出来直线，这条直线就是那条已知直线的垂线。
3.第二种情况，也是要先把直尺作为一个标准放好，直尺的一条边要和已知的直线重合在一起，把直角三角形的一个直角边靠在直尺上，保持直尺不动，直角三角尺慢慢移动，直到直角三角尺的顶点和已知的那个点重合，沿着直角三角尺的另一条直角边过已知的点画一条直线，这条直线就是要画的垂线。
五、线线垂直的性质和判定定理如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。
线线垂直是指两条线是垂直关系，分为平面两直线垂直和空间两直线垂直两种。
平面两直线垂直：两直线垂直→斜率之积等于1；两直线斜率之积等于1→两直线垂直。
空间两直线垂直：所成角是直角，两直线垂直。
六、线面垂直的判定方法⑴定义(反证法);⑵判定定理:⑶b⊥α,a∥ba⊥α; （线面垂直性质定理）⑷α∥β,a⊥βa⊥α（面面平行性质定理）;⑸α⊥β，α∩β=l，a⊥l，a β a⊥α（面面垂直性质定理）。
垂直线的性质和判定方法
垂直线的性质和判定方法垂直线是几何学中一个基本概念，它在许多数学问题和实际应用中都具有重要的地位。
本文将探讨垂直线的性质和判定方法。
一、垂直线的性质1. 垂直线与水平线垂直线与水平线是两种基本直线关系。
在平面几何中，垂直线与水平线互为对立关系。
垂直线与水平线的交点形成一个直角。
直角是一个重要的度量单位，常用于计算角度的大小以及证明几何定理。
垂直线可以垂直于水平地面或者与之垂直的物体。
2. 垂直线的长度垂直线的长度可以根据需要进行调整。
在几何建模、工程设计等领域中，垂直线经常用于测量高度、长度以及实物的垂直关系。
通过使用垂直线可以更加准确地确定不同对象之间的相对位置。
3. 垂直线与平行线垂直线与平行线也是几何学中的重要关系。
垂直线与平行线互为对立关系，垂直线垂直于平行线。
在平面几何中，如果两条直线相交，且交角为90度，则这两条直线是垂直的。
而如果两条直线没有相交点，那么它们是平行线。
二、垂直线的判定方法1. 通过观察直角判定两条线是否垂直的一种常见方法是通过观察直角。
如果两条直线相交，且交角为90度，则可以判定这两条直线是垂直的。
2. 通过斜率判定在解析几何中，我们可以使用直线的斜率来判定直线的垂直性。
如果两条直线的斜率为互为倒数的关系，即乘积为-1，则可以判定这两条直线是垂直的。
3. 通过几何图形的特征在几何图形中，某些形状具有固定的垂直性。
例如，矩形的对边是垂直的；正方形的对角线是垂直的；圆的半径与切线是垂直的等等。
通过观察图形的特征和性质，可以判定其中的垂直线。
三、总结垂直线在几何学和实际应用中都扮演着重要的角色。
通过了解垂直线的性质和判定方法，我们可以更好地理解和应用几何学中的各类知识。
垂直线的判定方法可以根据具体情况和需求进行选择，可以通过观察直角、斜率判定以及几何图形的特征等方法来确定垂直线的存在与否。
需要注意的是，在进行垂直线的判定时，我们需要准确应用相关概念和定理，同时注意思维的严谨性和逻辑的合理性。
垂直线与垂直线性质的判定
垂直线与垂直线性质的判定一、垂直线的定义与性质1.垂直线的定义：在同一平面内，两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
其中一条直线称为另一条直线的垂线。
2.垂直线的性质：（1）垂直线相交成直角；（2）垂线段的性质：垂线段是从一点到直线的最短距离；（3）垂线与直线的交点称为垂足；（4）在同一平面内，通过一点可以作一条且只能作一条垂线与已知直线垂直。
二、垂直线性质的判定1.如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直；2.如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等；3.在同一平面内，如果通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是唯一的；4.在同一平面内，如果两条直线互相垂直，那么它们的斜率的乘积为-1。
三、垂直线的相关定理与公式1.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别垂直，那么这两条直线互相平行；2.定理：在同一平面内，如果一条直线与另外两条直线分别平行，那么这两条直线互相垂直；3.公式：直线的斜率k与垂线的斜率k1满足k × k1 = -1。
四、垂直线在实际应用中的例子1.在建筑设计中，垂直线用于确定建筑物立面的垂直度；2.在机械制造中，垂直线用于保证零件的相互垂直度；3.在地理测绘中，垂直线用于确定地球表面上某一点的经度；4.在医学影像学中，垂直线用于诊断和分析患者的器官结构。
五、垂直线的相关练习题1.判断题：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
（对）2.判断题：在同一平面内，如果一条直线与另一直线垂直，那么这条直线上的任意一点到另一条直线的距离相等。
（对）3.选择题：在同一平面内，通过一点作已知直线的垂线，那么这条垂线是（唯一的一条）。
4.计算题：已知直线L的斜率为2，求与直线L垂直的直线的斜率。
（-1/2）5.应用题：建筑设计中，需要确定一座建筑物立面的垂直度，请问如何利用垂直线来实现？（答案：通过测量和绘制垂直线来确定建筑物的垂直度）习题及方法：1.习题：判断题。
平行线与垂直线的性质与判断知识点总结
平行线与垂直线的性质与判断知识点总结平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
垂直线是指与平行线相交，且交角为90度的直线。
在几何学中，我们经常需要判断线段、射线或直线之间的关系，了解平行线和垂直线的性质与判断方法对于解决这些问题至关重要。
本文将总结平行线和垂直线的性质，以及判断平行线和垂直线的知识点。
一、平行线的性质1. 平行线的定义：在同一个平面内，两条直线如果永远不会相交，则这两条直线是平行线。
2. 平行线的判定方法：- 两条直线的斜率相等且不相等，则它们是平行线。
- 两条直线的斜率相等，且过同一点的直线与已知直线的夹角为零度或180度，则它们是平行线。
- 两条直线分别与第三条直线垂直，则这两条直线是平行线。
- 如果已知两个平行线分别与第三条直线垂直，则这两个平行线也是垂直线。
二、垂直线的性质1. 垂直线的定义：与平行线相交，交角为90度的直线是垂直线。
2. 垂直线的判定方法：- 两条直线的斜率相乘得到-1，则它们是垂直线。
- 两条直线的斜率分别为k1和k2，如果k1 * k2 = -1，则这两条直线是垂直线。
- 如果已知两个垂直线分别与第三条直线平行，则这两个垂直线也是平行线。
三、平行线和垂直线的判断1. 判断平行线的方法：- 比较两条直线的斜率。
如果斜率相等且不相等，则它们是平行线。
- 比较两条直线过同一点与已知直线的夹角。
如果夹角为零度或180度，则它们是平行线。
- 比较两条直线与第三条直线的垂直关系。
如果两条直线都与第三条直线垂直，则它们是平行线。
2. 判断垂直线的方法：- 比较两条直线的斜率。
如果斜率相乘得到-1，则它们是垂直线。
- 比较两条直线的斜率。
如果斜率分别为k1和k2，且k1 * k2 = -1，则它们是垂直线。
- 比较两条直线与第三条直线的平行关系。
如果两条直线都与第三条直线平行，则它们是垂直线。
总结：平行线与垂直线在几何学中有重要的性质与判定方法。
对于判断平行线和垂直线的方法，可以通过比较直线的斜率、夹角以及与第三条直线的垂直或平行关系来进行。
2.直线与平面垂直的判定与性质
直线与平面垂直的判定与性质基础知识一、直线与平面垂直1．定义：直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l 与平面α互相垂直．2．线面判定定理图形语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则1．直线与平面垂直的定义常常逆用，即a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ． 2．若两平行直线中一条垂直于平面，则另一条也垂直于该平面． 3．垂直于同一条直线的两个平面平行． 4．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 5．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．4.平面图形中常见的垂直模型：1.在正方体中，证明：AC B CD '''⊥平面2.已知三棱锥A BCD -中，AB BCD ⊥平面，BC CD ⊥，作BE AC ⊥，BF AD ⊥ 证明：AD BEF ⊥平面.3.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,BA AD CD AD PA ⊥⊥⊥底面ABCD ,E 为PC 的中点, PA AD =,12AB CD =.证明: BE PDC ⊥平面;4.在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥1求证：AE ⊥平面PDC.5.如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥==求证:PA ⊥平面ABCD ；6．如图所示，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ＝2AB ，SA ＝SD ，SA ⊥AB ，N 是棱AD 的中点． (1)求证：AB ∥平面SCD ； (2)求证：SN ⊥平面ABCD ； (3)求证：NC SB ⊥.7.在四棱锥S ABCD -中，SD ABCD ⊥平面，且底面ABCD 为菱形，O 为边SB 上一动点.求证：OD AC ⊥_ D_ C_ B_ A _ P8.在四棱锥S ABCD -中，SD ABCD ⊥平面，且底面ABCD 为正方形，,E F 为中点.证明：AF SDE ⊥平面9.在四棱锥S ABCD -中，SD ABCD ⊥平面，且底面ABCD 为矩形，2,AB AD ==E 为中点.求证：.AC SDE ⊥平面线面垂直证明方法小结： 1．线面垂直证明的核心证明线面垂直的核心是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． 2．线线垂直的隐含条件证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度，经计算满足勾股定理)直角梯形等等． 3.证明线线垂直的方法①线面垂直的性质转化：a ⊥α，b ⊂α⇒a ⊥b ； ②平面几何中常见的垂直模型；。
垂直线的判定知识点总结
垂直线的判定知识点总结垂直线是数学中的一个重要概念，它在几何图形的研究中占据着重要的地位。
本文将对垂直线的判定知识点进行总结和归纳，帮助读者加深对垂直线的理解。
以下是关于垂直线判定的几个知识点：1. 垂直线的定义和性质根据几何学的定义，两条线段或直线相交且交角为直角时，我们称它们为垂直线。
垂直线之间的关系具有以下性质：- 交角为直角（90度）；- 两条垂直线互相正交；- 两条垂直线上的点之间没有连线；- 两条垂直线的斜率的乘积为-1。
2. 两条直线垂直的条件判定两条直线是否垂直的方法主要有以下几种：- 斜率判定法：两条直线的斜率之积为-1，即斜率互为倒数；若两直线斜率之积等于-1，则两直线垂直。
- 直角判定法：若两条直线相交且交角为直角，则两直线垂直。
- 垂直角判定法：两线段之间的夹角为90度时，两直线垂直；可以通过测量角度大小或使用角度的正弦、余弦、正切等三角函数来判断两直线是否垂直。
- 互相垂直的两条直线上的，两直线间的点积为0；即两条垂直线上的向量垂直。
3. 垂直线的应用垂直线在几何学和其它学科中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：- 建筑和土木工程中，垂直线用于建筑物的垂直度检测，以确保建筑物的结构准确；- 地图绘制中使用垂直线进行定位、导航和测量；- 几何图形研究中，垂直线常常用来构造和证明其他几何性质；- 在电子设备中，垂直线用于屏幕显示、校准和测试；- 在数学和物理学中，垂直线用于研究向量和坐标系的性质。
总结：垂直线在几何学中具有重要的地位，判定两条直线是否垂直的方法有斜率判定法、直角判定法、垂直角判定法和点积法等。
垂直线的定义和性质对于理解和解决几何题目具有重要意义。
此外，垂直线在实际生活和其他学科中都有广泛的应用。
掌握垂直线的判定方法和应用场景，可以帮助我们更好地理解和应用几何学的知识。
通过本文的总结和归纳，相信读者对于垂直线的判定知识点有了更深的理解。
通过运用这些知识点，我们可以更轻松地解决与垂直线相关的几何问题。
直线、平面垂直的判定及其性质解析
直线、平面垂直的判定及其性质知识要点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直定义如果直线和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作.直线叫平面的垂线；平面叫直线的垂面；垂线和平面的交点叫垂足。
要点诠释：(1)定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别。
(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式。
(3)若，则。
2.直线和平面垂直的判定定理判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号语言：特征：线线垂直线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视。
(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要。
知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线。
过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影。
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
要点诠释：(1)直线与平面相交但不垂直，直线在平面的射影是一条直线。
(2)直线与平面垂直射影是点。
(3)斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上。
(4)一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角。
知识点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或。
平行线与垂直线的性质与判断
平行线与垂直线的性质与判断在几何学中，平行线和垂直线是两个重要的概念。
它们具有特定的性质和判断方法，对于理解和解决几何问题具有重要的作用。
本文将详细介绍平行线和垂直线的性质以及如何进行判断。
一、平行线的性质与判断方法1. 平行线的性质：平行线是指在同一个平面上，永远不会相交的直线。
具体性质如下：a. 平行线具有相同的斜率。
从直线的斜率公式可知，如果两条直线的斜率相等，那么它们是平行线。
b. 平行线任意两条直线上的对应角、内错角和外错角相等。
这些角包括同位角、同旁内角、同旁外角等。
c. 平行线上的任意一组对顶角、相间角和对外角总和等于180度。
这些角包括顶角、同旁外角和替换内角等。
2. 平行线的判断方法：a. 通过观察线段的斜率是否相等，若相等则说明两条线段平行。
b. 若已知两条线段上的某个角等于180度（补角关系），则这两条线段是平行线。
c. 若两条线段的同位角相等，则这两条线段平行。
以上是常见的平行线的性质和判断方法，通过掌握这些方法，可以快速判断两条直线是否平行。
二、垂直线的性质与判断方法1. 垂直线的性质：垂直线是指两条直线在同一平面上相交，交角为90度的直线。
具体性质如下：a. 垂直线的斜率乘积为-1。
即，两条直线的斜率之积为-1时，这两条直线互相垂直。
b. 垂直线上的相邻角相等，即垂直线上的补角相等。
2. 垂直线的判断方法：a. 通过计算两条直线的斜率，若两条直线的斜率之积为-1，即斜率互为相反数，则这两条直线垂直。
b. 若两条直线上的某个角等于90度（直角关系），则这两条直线垂直。
通过上述的性质和判断方法，我们可以准确地判断两条直线是否垂直关系。
总结：平行线和垂直线是几何学中常见的线段关系。
它们具有特定的性质和判断方法，方便我们在解决几何问题时进行准确判断。
通过掌握平行线和垂直线的性质和判断方法，我们能够更加准确地分析和解决与线段关系相关的问题。
线面垂直判定与性质
线面垂直●知识点1.直线和平面垂直定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，就说这条直线和这个平面垂直.2.线面垂直判定定理和性质定理判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.判定定理：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.判定定理：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面.性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.3.三垂线定理和它的逆定理.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线垂直.逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面上的射影垂直.●题型示例【例1】如图所示，已知点S是平面ABC外一点，∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，点A在直线SB和SC上的射影分别为点E、F，求证：EF⊥SC.【解前点津】用分析法寻找解决问题的途径，假设EF⊥SC成立，结合AF⊥SC可推证SC⊥平面AEF，这样SC⊥AE，结合AE⊥SB，可推证AE⊥平面SBC，因此证明AE⊥平面SBC是解决本题的关键环节.由题设SA⊥平面ABC，∠ABC=90°，可以推证BC⊥AE，结合AE⊥SB完成AE⊥平面SBC的证明.【规范解答】【解后归纳】题设中条件多，图形复杂，结合题设理清图形中基本元素之间的位置关系是解例1题图决问题的关键.【例2】 已知：M ∩N =AB ,PQ ⊥M 于Q ，PO ⊥N 于O ，OR ⊥M 于R ，求证：QR ⊥AB .【解前点津】 由求证想判定，欲证线线垂直，方法有（1）a ∥b ,a ⊥c ⇒b ⊥c ;(2)a ⊥α,b ⊂α⇒a ⊥b ;(3)三垂线定理及其逆定理.由已知想性质，知线面垂直，可推出线线垂直或线线平行.【解后归纳】 处于非常规位置图形上的三垂线定理或逆定理的应用问题，要抓住“一个面”、“四条线”.所谓“一个面”：就是要确定一个垂面，三条垂线共处于垂面之上.所谓“四条线”：就是垂线、斜线、射影以及平面内的第四条线，这四条线中垂线是关键的一条线，牵一发而动全身，应用时一般可按下面程序进行操作：确定垂面、抓准斜线、作出垂线、连结射影，寻第四条线.【例3】 已知如图(1)所示，矩形纸片AA ′A ′1A 1,B 、C 、B 1、C 1 分别为AA ′,A 1A ′的三等分点，将矩形纸片沿BB 1,CC 1折成如图(2)形状（正三棱柱），若面对角线AB 1⊥BC 1，求证:A 1C ⊥AB 1.【解前点津】 题设主要条件是AB 1⊥BC ，而结论是AB 1⊥A 1C，题设，题断有对答性，可在例3题图解(1)ABB 1A 1上作文章，只要取A 1B 1中点D 1，就把异面直线AB 1与BC 1垂直关系转换到ABB 1A 1同一平面内AB 1与BD 1垂直关系，这里要感谢三垂线逆定理.自然想到题断AB 1与A 1C 垂直用同法（对称原理）转换到同一平面，取AB 中点D 即可，只要证得A 1D 垂直于AB 1，事实上DBD 1A 1，为平行四边形，解题路子清楚了.【解后归纳】 证线线垂直主要途径是：（1）三垂线正逆定理，（2）线面，线线垂直互相转化.利用三垂线正逆定理完成线线归面工作，在平面内完成作解任务.证线线垂直，线面垂直，常常利用线面垂直，线线垂直作为桥梁过渡过来，这种转化思想有普遍意义，利用割补法把几何图形规范化便于应用定义定理和公式，也是不容忽视的常用方法.【例4】 空间三条线段AB ,BC ,CD ,AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,已知AB =3,BC =4,CD =6,则AD 的取值范围是 .【解前点津】 如图，在直角梯形ABCD 1中,CD 1=6,AD 1的长是AD 的最小值,其中AH ⊥CD 1,AH =BC =4,HD 1=3,∴AD 1=5;在直角△AHD 2中,CD 2=6,AD 2是AD 的最大值为974)36(22222=++=+AH HD例4题图【解后归纳】 本题出题形式新颖、灵活性大，很多学生对此类题感到无从入手,其实冷静分析，找出隐藏的条件很容易得出结论.●对应训练 分阶提升一、基础夯实1.设M 表示平面，a 、b 表示直线，给出下列四个命题：①M b M a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// ②b a M b M a //⇒⎭⎬⎫⊥⊥ ③⇒⎭⎬⎫⊥⊥b a M a b ∥M ④⇒⎭⎬⎫⊥b a M a //b ⊥M . 其中正确的命题是 ( )A.①②B.①②③C.②③④D.①②④2.下列命题中正确的是 ( )A.若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线垂直于这个平面B.若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线垂直于这个平面C.若一条直线平行于一个平面，则垂直于这个平面的直线必定垂直于这条直线D.若一条直线垂直于一个平面，则垂直于这条直线的另一条直线必垂直于这个平面3.如图所示，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.现在沿DE 、DF 及EF 把△ADE 、△CDF 和△BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合，重合后的点记为P .那么，在四面体P —DEF 中，必有 ( )A.DP ⊥平面PEFB.DM ⊥平面PEFC.PM ⊥平面DEFD.PF ⊥平面DEF4.设a 、b 是异面直线，下列命题正确的是 ( )A.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交B.过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直C.过a 一定可以作一个平面与b 垂直D.过a 一定可以作一个平面与b 平行5.如果直线l ,m 与平面α,β,γ满足:l =β∩γ,l ∥α,m ⊂α和m ⊥γ,那么必有 ( )A.α⊥γ且l ⊥mB.α⊥γ且m ∥βC.m ∥β且l ⊥mD.α∥β且α⊥γ6.AB 是圆的直径，C 是圆周上一点，PC 垂直于圆所在平面，若BC =1,AC =2,PC =1，则P 到AB 的距离为 ( )A.1B.2C.552D.553 7.有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行；②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直；第3题图③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直其中正确命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.38.d 是异面直线a 、b 的公垂线，平面α、β满足a ⊥α，b ⊥β，则下面正确的结论是 ( )A.α与β必相交且交线m ∥d 或m 与d 重合B.α与β必相交且交线m ∥d 但m 与d 不重合C.α与β必相交且交线m 与d 一定不平行D.α与β不一定相交9.设l 、m 为直线，α为平面，且l ⊥α，给出下列命题① 若m ⊥α，则m ∥l ；②若m ⊥l ，则m ∥α；③若m ∥α，则m ⊥l ；④若m ∥l ，则m ⊥α， 其中真命题．．．的序号是 ( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④10.已知直线l ⊥平面α，直线m 平面β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若α⊥β，则l ∥m ；③若l ∥m ，则α⊥β；④若l ⊥m ，则α∥β. 其中正确的命题是 ( )A.③与④B.①与③C.②与④D.①与②二、思维激活11.如图所示，△ABC 是直角三角形，AB 是斜边，三个顶点在平面α的同侧，它们在α内的射影分别为A ′，B ′，C ′，如果△A ′B ′C ′是正三角形，且AA ′＝3cm ，BB ′＝5cm ，CC ′＝4cm ，则△A ′B ′C ′的面积是.12.如图所示,在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)13.如图所示，在三棱锥V —ABC 中，当三条侧棱VA 、VB 、VC 之间满足条件 时，有VC ⊥AB .(注：填上你认为正确的一种条件即可)三、能力提高14.如图所示,三棱锥V -ABC 中,AH ⊥侧面VBC ,且H 是△VBC 的垂心，BE 是VC 边上的高.(1)求证:VC ⊥AB ;(2)若二面角E —AB —C 的大小为30°,求VC 与平面ABC所成角的大小.第11题图 第12题图 第13题图15.如图所示，P A ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证：MN ∥平面P AD .(2)求证：MN ⊥CD .(3)若∠PDA ＝45°，求证：MN ⊥平面PCD .16.如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BAD ＝60°，AB ＝4，AD ＝2，侧棱PB ＝15，PD ＝3.(1)求证：BD ⊥平面P AD .(2)若PD 与底面ABCD 成60°的角，试求二面角P —BC —A 的大小.17.已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1，AA 1=6，M 是CC 1的中点，求证：AB 1⊥A 1M ．第15题图第16题图18.如图所示，正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′的棱长为a ，M 是AD 的中点，N 是BD ′上一点，且D ′N ∶NB ＝1∶2，MC 与BD 交于P .(1)求证：NP ⊥平面ABCD .(2)求平面PNC 与平面CC ′D ′D 所成的角.(3)求点C 到平面D ′MB 的距离.第4课 线面垂直习题解答1.A 两平行中有一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直，垂直于同一平面的两直线平行.2.C 由线面垂直的性质定理可知.3.A 折后DP ⊥PE ,DP ⊥PF ，PE ⊥PF .4.D 过a 上任一点作直线b ′∥b ,则a ，b ′确定的平面与直线b 平行.5.A ,m ⊥γ且m ⊂α,则必有α⊥γ,又因为l =β∩γ则有l ⊂γ,而m ⊥γ则l ⊥m ,故选A.6.D P 作PD ⊥AB 于D ，连CD ，则CD ⊥AB ，AB =522=+BC AC ，52=⋅=AB BC AC CD ， ∴PD =55354122=+=+CD PC . 7.D 由定理及性质知三个命题均正确.8.A 显然α与β不平行.9.D 垂直于同一平面的两直线平行，两条平行线中一条与平面垂直，则另一条也与该平面垂直.10.B ∵α∥β，l ⊥α，∴l ⊥m 11.23cm 2 设正三角A ′B ′C ′的边长为a . ∴AC 2=a 2+1,BC 2=a 2+1,AB ２=a 2+4，第18题图又AC 2+BC 2=AB 2，∴a 2=2．S △A ′B ′C ′=23432=⋅a cm 2． 12.在直四棱柱A 1B 1C 1D 1—ABCD 中当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD (或任何能推导出这个条件的其它条件，例如ABCD 是正方形，菱形等)时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形). 点评：本题为探索性题目，由此题开辟了填空题有探索性题的新题型，此题实质考查了三垂线定理但答案不惟一,要求思维应灵活.13.VC ⊥VA ，VC ⊥AB . 由VC ⊥VA ，VC ⊥AB 知VC ⊥平面VAB .14.(1)证明:∵H 为△VBC 的垂心,∴VC ⊥BE ,又AH ⊥平面VBC ,∴BE 为斜线AB 在平面VBC 上的射影,∴AB ⊥VC .(2)解:由(1)知VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥平面ABE ,在平面ABE 上,作ED ⊥AB ,又AB ⊥VC ,∴AB ⊥面DEC .∴AB ⊥CD ,∴∠EDC 为二面角E —AB —C 的平面角，∴∠EDC =30°,∵AB ⊥平面VCD ,∴VC 在底面ABC 上的射影为CD .∴∠VCD 为VC 与底面ABC 所成角,又VC ⊥AB ,VC ⊥BE ,∴VC ⊥面ABE ,∴VC ⊥DE ,∴∠CED =90°,故∠ECD=60°,∴VC 与面ABC 所成角为60°.15.证明：(1)如图所示，取PD 的中点E ，连结AE ，EN ，则有EN ∥CD ∥AB ∥AM ，EN ＝21CD ＝21AB ＝AM ，故AMNE 为平行四边形. ∴MN ∥AE .∵AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AB .又AD ⊥AB ，∴AB ⊥平面P AD .∴AB ⊥AE ，即AB ⊥MN .又CD ∥AB ，∴MN ⊥CD .(3)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD .又∠PDA ＝45°，E 为PD 的中点.∴AE ⊥PD ，即MN ⊥PD .又MN ⊥CD ，∴MN ⊥平面PCD .16.如图(1)证：由已知AB ＝4，AD ＝２，∠BAD ＝60°，故BD 2＝AD 2+AB 2-2AD ·AB cos60°＝4+16-2×2×4×21＝12. 第15题图解又AB 2＝AD 2+BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .在△PDB 中，PD ＝3，PB ＝15，BD ＝12，∴PB 2＝PD 2+BD 2，故得PD ⊥BD .又PD ∩AD ＝D ，∴BD ⊥平面P AD .(2)由BD ⊥平面P AD ，BD 平面ABCD .∴平面P AD ⊥平面ABCD .作PE ⊥AD 于E ，又PE 平面P AD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∴∠PDE 是PD 与底面ABCD 所成的角.∴∠PDE ＝60°，∴PE ＝PD sin60°＝23233=⨯. 作EF ⊥BC 于F ，连PF ，则PF ⊥BF ，∴∠PFE 是二面角P —BC —A 的平面角.又EF ＝BD ＝12，在Rt △PEF 中， tan ∠PFE ＝433223==EF PE . 故二面角P —BC —A 的大小为arctan 43. 17.连结AC 1，∵11112263A C CC MC AC ===. ∴Rt △ACC 1∽Rt △MC 1A 1，∴∠AC 1C =∠MA 1C 1，∴∠A 1MC 1+∠AC 1C =∠A 1MC 1+∠MA 1C 1=90°.∴A 1M ⊥AC 1,又ABC -A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥B 1C 1，又B 1C 1⊥A 1C 1，∴B 1C 1⊥平面AC 1M .由三垂线定理知AB 1⊥A 1M .点评：要证AB 1⊥A 1M ，因B 1C 1⊥平面AC 1，由三垂线定理可转化成证AC 1⊥A 1M ，而AC 1⊥A 1M 一定会成立．18.(1)证明：在正方形ABCD 中，∵△MPD ∽△CPB ，且MD ＝21BC ， ∴DP ∶PB ＝MD ∶BC ＝1∶2.又已知D ′N ∶NB ＝1∶2，由平行截割定理的逆定理得NP ∥DD ′，又DD ′⊥平面ABCD ，∴NP ⊥平面ABCD .(2)∵NP ∥DD ′∥CC ′，∴NP 、CC ′在同一平面内，CC ′为平面NPC 与平面CC ′D ′D 所成二面角的棱. 又由CC ′⊥平面ABCD ，得CC ′⊥CD ，CC ′⊥CM ，∴∠MCD 为该二面角的平面角.在Rt △MCD 中可知∠MCD ＝arctan 21，即为所求二面角的大小. (3)由已知棱长为a 可得，等腰△MBC 面积S 1＝22a ，等腰△MBD ′面积S 2＝246a ，设所求距离为h ，即为三棱锥C —D ′MB 的高.∵三棱锥D ′—BCM 体积为h S D D S 213131='⋅， ∴.3621a S aS h =⋅=。
垂直线的判定条件和性质
垂直线的判定条件和性质垂直线在几何学中是指两条线段或直线相互交叉成直角的情况。
在解决几何问题和计算中，判定两条线段或直线是否垂直是非常重要的，这需要我们掌握垂直线的判定条件和性质。
本文将探讨垂直线的判定条件以及其相关性质。
一、垂直线的判定条件1. 判定条件一：斜率之乘积为负一两条线段或直线垂直的一个充分必要条件是它们的斜率之乘积等于负一。
设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，那么L1与L2垂直的条件为k1 * k2 = -1。
2. 判定条件二：直角三角形的两条边斜率之积为负一当我们面对三角形ABC，其中AB与AC垂直时，可以利用直角三角形两条边斜率之积为负一的判定条件进行判定。
如果直线L1通过A与B两个点，直线L2通过A与C两个点，然后计算斜率k1与斜率k2，如果k1 * k2 = -1，则可得知AB与AC垂直。
二、垂直线的性质1. 性质一：垂直线的斜率性质在判定垂直线时，我们可以通过直线的斜率来判断。
如果一条直线的斜率为k，那么与其垂直的直线的斜率为-k的倒数（即-1/k）。
这个性质可以帮助我们在已知一条直线的斜率时，迅速判定与其垂直的直线的斜率。
2. 性质二：垂直线上两条线段的长度乘积为定值设直线L与坐标轴相交于A点，若点B, C分别在L上，则AB与AC的长度之积等于定值，即|AB| * |AC| = k。
这个性质表明，垂直线上两条线段的长度乘积是固定的，可以利用这个性质来解决一些相关的计算问题。
三、垂直线的应用举例1. 应用一：判定直线方程当我们给定一个直线的方程，例如y = 2x + 3，如何判定它是否垂直于另外一条直线？我们只需要计算给定直线的斜率，然后利用垂直线的性质一来判断。
在这个例子中，斜率为2的直线垂直于斜率为-1/2的直线。
2. 应用二：计算两条直线的交点坐标如果我们需要计算两条直线的交点坐标，并且已知其中一条直线为垂直线，可以利用垂直线的性质二来解决。
假设垂直线L与x轴交于点A，直线L与直线M交于点B，我们已知点A和线段AB的长度，通过计算可以得到交点B的坐标。
垂直线的性质
垂直线的性质垂直线是我们在几何学里常常遇到的一种特殊情况，其性质与其他直线形式有所不同。
在本文中，我们将探讨垂直线的定义、性质以及相关定理。
通过对垂直线的深入理解，我们可以更好地应用它们来解决几何问题。
1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线在某一点上交成的角度为90度的情况。
当两条直线互相垂直时，它们可以称为垂直线。
2. 垂直线的性质垂直线具有以下几个重要的性质：- 垂直线之间的角度为90度。
当两条线段相交形成的角度为90度时，我们可以判定它们是垂直的。
- 垂直线上的点到另一条直线的距离相等。
当一条垂直线上的点垂直于另一条直线时，该点到直线的垂直距离将与垂线的长度相等。
- 垂直线可以帮助我们确定形状和位置。
在建筑设计、工程测量和几何推理中，垂直线经常被用来确定垂直关系和形状位置。
3. 相关定理- 垂直线与水平线的关系：垂直线与水平线构成直角。
- 平行线与垂直线的关系：如果一条直线与两条平行线相交，且与其中一条平行线垂直，则它也与另一条平行线垂直。
通过对垂直线性质的深入理解，我们可以应用这些性质来解决一些相关的几何问题。
例如，在解题时，我们可以利用垂直线的定义和性质来确定符合条件的几何形状，从而找出问题的答案。
总结垂直线是几何学中常见的一种直线形式，其性质与其他直线有所不同。
了解垂直线的定义、性质以及相关定理对我们理解几何学中的垂直关系和问题求解非常重要。
在应用垂直线解题时，我们需要灵活运用这些性质，挖掘出问题中的隐藏条件，进而找到正确的答案。
最重要的是，在学习垂直线的同时，我们也需要与其他几何概念和定理进行联系，形成一个完整而系统的几何学知识框架。
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垂直线的性质与判定方法
在几何学中，垂直线是一种重要的概念，常用于描述线段、直线或
平面之间的关系。
本文将详细探讨垂直线的性质以及判定方法，旨在
帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、垂直线的性质
1. 垂直线的定义
垂直线是指两条直线或线段之间相互垂直的关系。
两条垂直线之间
的角度为90度，也即是直角。
2. 垂直线的特点
垂直线有以下几个主要特点：
- 两条垂直线之间的夹角为90度，即两者之间是直角。
- 垂直线与水平线相交，形成交角为90度的交点。
- 垂直线可以用于确定两个平面之间的关系，若两个平面相互垂直，则它们的交线为垂直线。
3. 垂直线与平行线的关系
垂直线和平行线是几何学中的两个重要概念。
两条垂直线之间不存
在平行关系，但垂直线与同一直线上的一条平行线呈直角关系。
二、判定垂直线的方法
1. 角度判定法
通过测量两条线或线段之间的夹角来判定垂直线的存在。
若两条线之间的夹角为90度，则可以断定它们是垂直的。
这种方法适用于平面上的直线、线段、射线等形态。
2. 斜率判定法
斜率判定法适用于已知两条直线的斜率的情况。
若两条直线的斜率之积为-1，则可以确定它们是垂直的。
即设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则当k1 * k2 = -1时，L1与L2垂直。
3. 三角形判定法
此判定法适用于已知三角形的情况。
如果一个三角形的两条边互相垂直，那么可以判定它们所在的线段或直线是垂直线。
4. 垂直平分线判定法
垂直平分线是指将一条线段垂直平分的线，该线段的两个中点通过这条线都与线段呈90度的角。
若已知一条垂直平分线，则可以判定被它垂直平分的线段是垂直线。
总结：
本文介绍了垂直线的性质以及判定方法。
垂直线是指两条直线或线段之间垂直的关系，具有直角特点。
判定垂直线的方法包括角度判定法、斜率判定法、三角形判定法和垂直平分线判定法。
通过运用这些方法，我们可以准确地判断垂直线的存在与否，进一步应用于解决几何问题中。
在实际应用中，我们要善于使用这些判定方法，以提高几何问题的解决效率。
需要注意的是，在几何证明中，判定垂直线的方法并不唯一，可以根据具体情况选择运用。
同时，随着几何学的不断发展，还可能有更多的判定方法被提出和应用。
对于读者来说，掌握并理解这些方法的原理与运用是提升几何学水平的关键。