传动力学第2讲_拉格朗日运动方程

（6）
动能 mV
2
2 对速度求导
是动量 mV
同理“把拉函 L 对 x 、 y 求偏导数，就与把- U 对 x 、 y 求偏导数的结果相同” ，即
L U x x
L U y y
（7）
势能对位移求导是力
通过拉函L，就把位移和速度与能量联系在一起。我们又前进了一步。
3. 拉格朗日运动方程和牛顿运动方程的数学联系
3.拉格朗日函数Hale Waihona Puke Baidu
质点的运动既具有 动能 T 也具有 势能 U ，把动能和势能的差值 T U 称为 拉格朗日函数（Lagrangian），亦称拉格朗日量，用符号L表示，简称它为L。另 外牛顿系列的动能表达式是 T
1 mV 2 ，写成拉格朗日形式为 2
1 2 1 2 m 2 my x y 2 T mx 2 2 2
看过之后，有什么感想，消除了神秘感了吧！还萌生出怎样应用的想法吧！以下就是 各种应用例，有助于加深理解。
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这说明动能是速度的函数，可以写成 同理，势能是位移的函数，写成 于是，拉格朗日函数L 可以写成
（4）
, y ) 。 T T (x U U ( x, y ) 。
, y ) U ( x, y ) L T U T (x
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电气传动的力学原理科普读物之二
拉格朗日运动方程
再来看看该式的右边的
) d L d (mx dt dt x
（8）
此式相当于 ma
U 是什么玩意？原来它是拉函 L 对 x 的偏导数，即公式（7） x
此式相当于 F
所示的

U L x x
（9）
把公式（8）、（9）代入公式（3），得到
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度。之所以写成这种形式，是出于简洁的目的。可以举一反三地联想到，字母头
顶上面有一个点则表示对时间的一阶导数----速度，即： x d 2x x 2 。 就是加速度 dt dx ，头顶上有两个点 dt
先考虑式（1）中右边的力F之源来自势能，势能对于位移的导数就是力。想 一想蕴藏着弹性势能的弹簧，当形变为 x（相当于中学课本中的 x ），则弹力为 kx，其势能为
个伟大的发明就诞生了。 牛顿的运动方程（牛顿第二定律）
我们在高中时就学过牛顿第二定律，写成数学式子就是 F ma ，这是牛顿方程的最简 单的形式。如果把一个位于2维平面上的质点的牛顿运动方程写出来就是
把一维的运动扩展到二维。 x 轴和 y 轴
Fx mx
Fy my
（1）
是位移量对于时间的二阶导数，也就是加速 y 此式中的x、y是质点的位移， 、
可是出现偏导数了
2） 拉格朗日运动方程不含加速度的量，消除了二阶导数运算的复杂性。 3） 拉格朗日运动方程建立在拉格朗日函数L的基础上，引入动能和势能的概
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拉格朗日运动方程
念，所以既适用于平动，也适用于转动。 4） 动能对速度的偏导数是动量，动量对时间求导就是ma；势能对位移的偏 导数是力，强化了这个概念，把动力学的诸多基本量有机地联系在一起，便于解 决复杂的力学问题。 5） 把1维的运动扩展到2维或更高维数的坐标系，在不同的坐标轴上，公式的 形式相同。
这就是多质量的弹性机械系统。高精密、高品质的电气传动系统必须考虑为弹性系统的要素，
分析弹性系统的最重要的数学工具就是 云苫雾罩（苫--shan1，覆盖） 、望而生畏的“拉格朗
日运动方程” 。现在的工作就要把这个方程简单化，通俗化。
2.拉格朗日运动方程和牛顿运动定律的渊源
在《分析力学》中，最基本、最核心的公式就是“拉格朗日运动方程” ，写出来居然就是 这个模样，够折磨人的呀！
大名鼎鼎 的拉格朗日运 动 方程，解说在后。
d L L Qx dt x x
这个复杂的式子真够吓人的啦，有导数、又有偏导数、还有头上带点的、脚下带标的， 咋一看真的要退避三舍了。其实呀，这个式子并不难，只不过是牛顿第二定律的另一种写法 而已，或者说当拉格朗日先生学会了牛顿第二定律----力和加速度的关系----之后，又稍微
拉格朗日运动方程
左边是动量 mV 对时间求导，即 ma
d L L dt x x
右边是力 F
移项得到
d L L 0 dt x x
同理得到 y 轴的表达式
d L L 0 dt y y
（10-a）
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拉格朗日运动方程
第二部分 拉格朗日运动方程
秦晓平 2013.10初稿-----2016.9年改写
1. 刚性运动和弹性运动
普通的运动系统被称为刚性运动系统----运动物体的每个质点的运动速度相同或成比例
关系。与之相对的是弹性运动系统。
如前所述，刚性运动系统也叫做单质量运动系统。如果运动的机械要素中包括弹性器件，
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拉格朗日运动方程
往深度里琢磨了一下：力能产生加速度，那么这个力是从哪里来的呢？无过乎就是弹簧、绳 子的拉力，这是物体变形产生的弹力；地球吸引的重力（包括斜面上的重力分量）----这是 势能。还有由速度产生冲撞的冲力，虽然属于动量和冲量的范畴，这是动能。这样一想，就 恍然大悟了，于是他把 F ma 这个公式改换为另一种写法，春雷一声震天响，一
忽略摩擦内力等，则右边为 0
（10-b）
这就是本节开始所介绍的拉格朗日运动方程的表达式，Now 觉得不神秘吧，
M 0 。这里的F或M是指 说白了是ma-F=0。此式也包括转动情况，相当于 J
合力或合转矩，但不包括弹簧内部的摩擦内力等损失。 如果考虑到摩擦内力损失，上式的右边就不是0，而是体现摩擦内力的 Qx 和
Qy 。
这就是本章开头说到的拉格朗日运动方程：
d L L Qx dt x x d L L Qy dt y y
相当于 ma-F=内力
（11）
呵呵呵！！！
现在觉得不难懂了吧，
4. 拉格朗日运动方程的优点
1） 拉格朗日运动方程和牛顿运动方程本质相同。

m 2 y 2 U (x , y ) x 2
（5）
，势能 U 依存于 x 、 y 。把拉格朗日函数 L 对 x 求偏导数， 、y 、y 要点是：动能 T 依存于 x 求偏导数的结果相同，即 、 y 就与把动能 T 对 x L T mx x x L T my y y
mx
U x
my
U y
（3）
这就是牛顿运动方程的另一种形式，它明显带着拉格朗日的印记。这样就引 出和牛顿的运动方程异曲同工的拉格朗日运动方程。拉格朗日就做了这么一点点 突破，就成为伟大的科学家。
本节用字母 T 表示动能，用字母 U 表示 势能。这是为了行文简洁。后文有改变。
U 1 2 kx 2
U 对 x 求导就是 kx=F
势能对位移的导数就是力 F=kx，即
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拉格朗日运动方程
Fx
U x
Fy
U y
（2）
式中的负号表示力的方向与形变的方向相反，使用偏导数的原因是因为自变量不 仅有位移，还有时间这一要素。 这就是拉格朗日的创新之举----把力和势能联系在一起。 用式 （2） 中的势能 U 对位移的导数代替力牛顿运动方程式（1）中的力F，就可以得到
为了便于叙述，把牛顿运动方程，即公式（3）再写一遍
mx
这相当于 mV
U x
my
U y
（还是公式3，又写一遍）
我们先来研究上式的前一表达式
mx
U 是什么玩意？原来 ，等号左边的 mx x
对时间 t 的一阶导数，而 mx 是拉函 L 对 x 的偏导数（见式6），即可得到 它是 mx mx