安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛数学(理)试题(含答案)

安徽省示范高中培优联盟2017-2018学年高一下学期春季联赛数 学（理）试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，全集{},,,,U a b c d e =，{}{},,,,,M a b c N b d e ==，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ． {},,a b dB ．{},a eC ．{},d eD ．{},,c d e 2.函数()1xf x e =-的定义域为（ ）A ．()0,+∞B ．[)0,+∞C ．(),0-∞D ．[)1,+∞ 3.已知向量()sin ,cos,1,033a b ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则,a b 的夹角为（ ） A ． 6π-B ．6π C ． 3πD ． 23π4.已知{}n a 是等比数列，201220244,16a a ==，则2018a =（ ） A ． 42 B ．42± C ．8 D ．8±5.已知ABC ∆的面积为4，090A ∠=，则2AB AC +的最小值为（ ） A ． 8 B ．4 C. 82．426.若实数a b >，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ． 22a b >B ．a b a b +<+ C. 2a b ab +>．()20a b c -≥7.已知函数12log y x =的定义域为[],a b ，值域为[]0,1，则b a -的取值范围为（ ）A ．(]0,3B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 80,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．28,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦8.函数()2sinsin cos 1222x x x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．2πB ．π C. 2π D ．4π 9.已知ABC ∆中，02,3,120AB AC BAC ==∠=，0PA PB PC ++=，则AP =（ ）A ．1B ．63 C. 73 D ．19310.已知实数,x y 满足111x x y x ≤⎧⎨-≤≤+⎩，()1,1a ∈-，则z ax y =+的最大值与最小值之差为（ ）A ．1B ．2 C. 4 D ．与a 的取值有关 11.函数()1ln1xf x x+=-的大致图像是（ ）A ．B ． C. D ．12.已知数列{}n a 中，5n n a a ++恒为定值，若16n ≤≤时，2n a n =，则2018a =（ ）A ．1B ．9 C. 28 D ．2018第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.幂函数的图像经过点22,4⎭，则它的单调递减区间是 ． 14.已知非零向量(),a m n =，(),b p q =，若32a b =且0a b a b ⋅+⋅=，则m np q+=+ ． 15.若()cos 35cos 60αα=-+，则()0tan 30α+= ． 16. 已知()()32,,,f x ax bx cx d b c d Z b c =+++∈≠，若()3f b b a =，()3f c c a=，则d = ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且4151,75a S ==． （1）求6a 的值；（2）求n S 取得最小值时，求n 的值．18. 设函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><图像中相邻的最高点和最低点分别为17,2,,21212⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅱ）若函数()f x 的图像向左平移()0θθ>个单位长度后关于点()1,0-对称，求θ的最小值． 19. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且cos c C ⋅是cos a B ⋅与cos b A ⋅的等差中项． （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设2c =，求ABC ∆周长的最大值．20. 如图，等腰直角ABC ∆中，2BC =，,M N 分别在直角边,AB AC 上，过点,M N 作边BC 的垂线，垂足分别为,Q P ，设2MN x =，矩形MNPQ 的面积与周长之比为()f x ．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式及其定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的最大值．21. 已知数列n a 的前n 项和2nn S q q =-（其中q 为常数），且24a =（1）求n a ；（2）若{}n a 是递增数列，求数列n n q qa ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ． 22.已知()()()()222212f x ax x a x a R ⎡⎤=++--∈⎣⎦中． （Ⅰ）当2a =时，解不等式()0f x >；（Ⅱ）已知0x >时，恒有()0f x ≤，求实数a 的取值集合．试卷答案一、选择题1-5:CABCA 6-10:DDBCB 11、12：DC二、填空题13. (,0)-∞和(0,)+∞ 14. 23-15. 43- 16. 16 三、解答题17.解：（1）法一：设{}n a 的公差为d ，由题，41151311510575a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得{121a d =-=，∴6153a a d =+=．法二：由题，1581575S a ==，∴85a =，于是48632a a a +==．（2）法一：21(1)522n n n n nS na d --=+=，当2n =或3时，n S 取得最小值． 法二：1(1)3n a a n d n =+-=-，∴12340a a a a <<=<<，故当2n =或3时，n S 取得最小值．18.解：（1）由题，2A =，周期712()11212T =-=，∴22Tπωπ==， 再由11()2sin(2)21212f πϕ=⋅+=，即sin()16πϕ+=， 得：2()62k k ππϕπ+=+∈Z ，又||ϕπ<，∴3πϕ=，()2sin(2)3f x x ππ=+，由3222232k x k ππππππ+≤+≤+，得()f x 的单减区间为17[,]()1212k k k ++∈Z ． （注：亦可结合周期及最高点、最低点的坐标获得函数的单调递减区间．）（2）函数()f x 的图象向左平移(0)θθ>个单位长度后，得()2sin[2()]3g x x ππθ=++，由题，(1)2sin[2(1)]03g ππθ-=-+=，∴2(1)()3k k ππθπ-+=∈Z ，5()26k k θ=+∈Z ， 当1k =-时，θ的最小值为13． 19. 解：（1）法一：由题，cos cos 2cos a B b A c C +=， 由正弦定理，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即sin()2sin cos A B C C +=，解得1cos 2C =，所以60C =．法二：由题，由余弦定理得：222222cos cos 22a c b b c a a B b A c c+-+-+=+2cos c c C ==，解得1cos 2C =，所以3C π=．（2）法一：由余弦定理及基本不等式，22224()3c a b ab a b ab ==+-=+-222()()3()24a b a b a b ++≥+-=，得4a b +≤，当且仅当2a b ==时等号成立， 故ABC △周长a b c ++的最大值为6．法二：由正弦定理，43sin sin sin 3a b c A B C ===， 故周长43sin )2a b c A B ++=++43sin(60)]2A A =+++ 4333(sin )22A A =++4sin(30)2A =++ ∵(0,120)A ∈，∴当60A =时，周长a b c ++的最大值为6． 法三：如图，延长BC 至D 使得CD AC =，则030=∠=∠ADC CAD ， 于是，在ABD △中，由正弦定理：sin sin BD ABBAD ADB=∠∠， 即24sin(30)sin 30a b A +==+，故周长4sin(30)2a b c A ++==++，∵(0,120)A ∈，∴当60A =时，周长a b c ++的最大值为6． 20.解：（1）由题，2MN x =，则1MQ x =-，∴2(1)(1)()42(1)1x x x x f x x x x --==+-+，又MN BC <，∴()f x 的定义域为(0,1)． （6分）（2）22(1)3(1)2()11x x x x f x x x -+-++=-=-++2[(1)3]1x x =-++-+， ∵1(1,2)x +∈，∴22(1)3(1)322311x x x x ++-≥+⋅=++， 于是()32f x ≤-21x =时，()f x 的最大值为322-．21.解：（1）由2221224a S S q q =-=-=得：1q =-或2q =，1q =-时，2(1)1n n S =-+，111,1,1,24(1),2n n n n n S n a S S n n --==⎧⎧==⎨⎨-≥⋅-≥⎩⎩，2q =时，122n n S +=-，112,1,1,22,2n nn n n S n a S S n n -==⎧⎧==⎨⎨-≥≥⎩⎩*2()n n =∈N ． （2）法一：由题，2q =，122n n n q n qa +++=， 231342222n n n T ++=+++，34121341222222nn n n n T ++++=++++， 相减得：2341212213111231124()()122222244222n n n n n n n n n T ++++++++=++++-=+--=-，∴1422n n n T ++=-．法二：由题，2q =，122n n n q n qa +++=13422n n n n +++=-， 所以122311455634422222222n n n n n n n T +++++=-+-++-=-． 22. 解：（1）当2a =时，不等式()0f x ≥即为2(22)(232)0x x x ++->，等价于(1)(2)(21)0x x x ++->，由数轴标根法知不等式的解集为1(2,1)(,)2x ∈--+∞． （2）法一：由题，(2)(22)(44)0f a a =++≤，于是只能1a =-，而1a =-时，22()(2)(232)(2)(21)f x x x x x x =-+--=--+，当0x >时，2(2)0x -≥，210x +>，恒有()0f x ≤，故实数{1}a ∈-．法二：当0x >时，()0f x ≤恒成立，即211()()02a a x x x +-+-≤恒成立， 不妨设2()(0)g x x x =->，11()(0)2h x x x x =-+>，则问题转化为0x >时，[()][()]0a g x a h x --≤恒成立，即当0x >时，恒有()()h x a g x ≤≤或()()g x a h x ≤≤，不难知，()g x 在(0,)+∞上单调递减，()h x 在(0,)+∞上单调递增，且函数()g x 与()h x 的图象相交于点(2,1)-，结合图象可知，当且仅当1a =-时，()()h x a g x ≤≤或()()g x a h x ≤≤恒成立，故实数{1}a ∈-．。