结构动力学雷利法

在8-2节指出广义弹性和几何刚度特性近似的计算弯曲构件临界屈服荷载，而这些刚度是根据所假设的屈曲形状导得的。同时在哪里也已经说明由如此假设形状建立公式一般称作为Rayleigh 法。现在将Rayleigh 法假设形状的概念进一步推广成计算构件震动的近似方法。这个概念的实质是显然的，事实上由单自由度震动频率定义可得

这里k 和m 分别为体系的刚度和质量。直接用此式计算Rayleigh 法震动频率时，代入根据假设形状函数得到的广义刚度k*和广义质量m*即可。虽然可以利用广义坐标的概念近似地确定任意结构的振动频率，但是Rayleigh 创设的另一个观点进行频率分析将是有益的。Rayleigh 法的基本概念为能量守恒原理。如果没有阻尼力消耗的话，在自由振动的体系中的能量应保持常量。考察如图8-5a 所示的无阻尼弹簧-质量体系的自由振动运动。如果适当选取时间坐标原点，位移可以表示为（图8-5b ）

8-5用Rayleigh 法进行震动分析

m

k w =()218-)(x ϕ

（8-22a ）

而其速度为（图8-5c ）

（8-22b ）这个体系的势能完全由弹簧的应变能表达：

（8-23a ）此时质量的动能为（8-23b ）

现在讨论时的情况：从图8-5[或由式（8-23）]清楚可见，此时动能为零，

而势能达到他的最大值：（8-24a ）同样当时间时，势能为零而动能为最大（8-24b ）因此，如果振动体系中全部能量保持恒定（在无阻尼振动中必须如此），则显然最大动

能必须等于最大势能，Vmax=Tmax ，也即

由此可得wt v v sin 0=wt kv kv V 2202sin 2

121==wt w v v

cos 0= wt w mv v m T 22202cos 2121== w t 2/π=20max 2

1kv V =220max 21w mv T =220202

121w mv kv =m

k

w =2w t /π=

显然，所得的这个表达式和以前所述的一样，但现在它却是从最大应变能应等于最大动能的Rayleigh 概念而导得的。

对于如上所述的弹簧-质量体系的振动来说，应用Rayleigh 法看不出什么优势，它的主要用处是对多自由度体系进行近似的频率分析。作为例子，考察如图8-6所示的非均质简支梁。这根梁实际上具有无限自由度数，这就是说，他可以有无限种位移曲线形式。为了应用Rayleigh 法，必须假设出梁在其基本振型中的变形形状。如上所述，这个假设可以用式（8-2)来表达，或者注意到在自由振动时广义坐标为谐振变化，也即

（8-25）

其中

为形状函数，它表示任意一点x 的位移相对于参考位移或广义坐标Z(t) 的比值。式（8-25）假设梁在振动过程中其形状是不随时间而改变的，仅仅运动的幅值在变化，而且在自由振动条件下呈谐振变化。

形状函数的假设使梁有效地简化为一单自由体系。因此，振动频率可由运动过程中最大应变能与最大动能相等而求得。在这个弯曲体系中其应变能由如下式子给出：

（8-26）wt Z x t x v sin )(),(0ϕ=dx x v x EI V L ⎰⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂=0222)(21)(x ϕ

因此，把式（8-25）所假设的形状函数代入上式并取位移振幅的最大值，则可得

（8-27）而非均匀分布质量的动能为

（8-28）

因此当式（8-25）对时间求导而获得速度，且使其振幅值达到最大值时，则

（8-29）

最后，使最大势能等于最大动能，则求得频率平方为

（8-30）

在这点可以看出，式（8-30）的分子不过是这样假设位移形状梁的广义刚度，而分母为广义质量[参看式（8-18）]。因此，Rayleigh 法直接导致式（8-21）的广义形式这是意料中的，因为这个方法利用了广义坐标概念，把实际体系简化为单自由体系了。

*k *m dx x X EI Z V L ⎰''=0

220max )]()[(21ϕdx v x m T L 20))((21⎰= dx x x m w Z T L ⎰=02220max )]()[(21ϕ⎰⎰

''

=L

L dx x x m dx x x EI w 02022)]()[()]()[(ϕϕ

由Rayleigh 法所获得的振动频率的精度，完全依赖于所假设的表示振型的形状函数。原则上只要满足梁的几何边界条件，形状函数可以任意选取，亦即形状函数仅需和具体的支撑条件一致。但是，对于不是真实阵型的任意形状函数，为了保持平衡，就必须有附加的外部约束作用，这些附加约束将使体系变得更加刚硬，使它的应变能增加，从而使计算频率增大。由此可见，用真实阵型所得的频率是用Rayleigh 法所求得的频率中最低的一个。因此，对采用该方法所求得的近似结果加以选择时，其中频率最低的一个总是最好的近似值。

8-6 Rayleigh 振动形状的选择

()x ϕ

例题E8-4为了说明这点，假设图8-6所示的梁具有均匀的质量和刚度EI 。作为频率分析的第一次近似，假设阵型为抛物线：，因此，则而

由此可得如果形状函数假设为正弦曲线

，用同样方法分析，最后

可得显然，第二个频率比第一个小很多（大约小20%左右）。因此它是更好的近似值。

m ()()()

1//-=L x L x x ϕ2

/2)(L x =''ϕ32020220max 421221L EI Z dx L EI Z V L =⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎰30211212202

0220max L m w Z dx L x L x m w Z T L =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰4m ax 2m ax 2

120)/1(L m EI T w V w ==4

4

3422/2/L m EI mL L EI w ππ==)/sin()(L x x =ϕ