电子科大随机过程与排队论01
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2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－17
五、乘法公式
设概率空间(Ω,F,P)，如果A,BF，且 P(AB)>0，则下述乘法公式成立：
推广：
P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)
设概率空间(Ω,F,P)，如果AiF，i=1,2,…,n且 P(A1A2…An)>0，则下述推广的乘法公式成立： P(A1A2…An) ＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)
设(Ω,F)是可测空间，如果定义随机事件体F上的实 值集函数P(A)，AF满足： 1) 0≤P(A)≤1，AF； (非负性) 2) P(Ω)＝1； (规范性) 3) AiF(i=1,2,…,)，AiAj＝Φ(i≠j)，则等式
P( A i ) P( A i )成立 。
i 1 i 1
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－8
二、样本空间、随机事件体
随机试验E的每一个最简单的试验结果，称 为样本点，记为。全体样本点构成的集合，称 为样本空间，记为Ω。 样本空间Ω的子集组成的集类F，如果满足： 1. ΩF； 2. 若AF，则 A F; 3. 若AiF(i=1,2,…,)，则 A i F ；
2,…,n，则对任意事件A，有
1. 全概率公式： P( A ) P(B i )P( A | B i ) ；
i 1
n
2. 贝叶斯公式： P(B j | A )
P( B j )P( A | B j )
P( B )P( A | B )
i 1 i i
n
，
j=1,2,…n。
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－21
A
AB A＝B A∪B AB A－B AB＝Φ
样本空间，必然事件 不可能事件 基本事件 事件 A的对立事件(逆事件) A发生，B必发生 事件A与B相等 事件A与B至少有一个发生 事件A与B同时发生 事件A发生而事件B不发生 事件A与B互不相容(互斥)
顾小丰 20－10
计算机科学与工程学院
三、概率与概率空间
随机过程与排队论
计算机科学与工程学院 顾小丰 Email：guxf@uestc.edu.cn 2013年9月13日星期五
教学内容
1. 概率论的基本知识（复习） 2. 随机过程的基本概念 1) 随机过程的定义及分类 2) 随机过程的分布及数字特征 3. 独立过程与独立增量过程 4. 泊松过程 5. 更新过程
随机事件体F由Ω的全体子集(共2n个)组成；
随机事件体F上的古典概率P定义为
k P(A)＝ ， n
n为样本点总数，k为A包含的样本点数。 (Ω,F,P)是一个古典概率空间。
2013-9-13
计算机科学与工程学院
顾小丰
20－13
例
给定一个随机试验E，样本空间Ω＝{0,1,2,…}。
随机事件体F由Ω的全体子集组成。 对任意A∈F，定义概率P如下：
(完全可加性)
则称P为(Ω,F)上的概率测度，简称概率。对任意 AF，P(A)称为随机事件A的概率。
样本空间Ω、随机事件体F和概率P组成的三元 体(Ω,F,P)称为概率空间。
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－11
例
掷一枚均匀的骰子，观察出现点数的随机试验E。
i＝i，i＝1,2,…,6，含有6个样本点；
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－19
六、随机事件独立性的性质
1) A与B相互独立A与B相互独立 A与B相互独立 A与B相互独立 2) A与B相互独立P(B|A)＝P(B) (P(A)>0) P(A|B)＝P(A) (P(B)>0) P(B|A)＝P(B|A) (0<P(A)<1) 3) 设A1,A2,…,An相互独立，若将其中任意m个 (1≤m≤n)事件换成它们的逆事件，则所得的n个 事件仍然相互独立。 4) 设A1,A2,…,An相互独立，则 n
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－2
教学内容
6. 马尔可夫过程 1) 马尔可夫过程的概念 2) 离散参数马氏链 3) 齐次马氏链状态的分类 4) 连续参数马氏链 5) 生灭过程
2013-9-13
计算机科学与工程学院
顾小丰
20－3
教学内容
7. 排队系统概述，M/M/1/∞排队 8. M/M/∞排队系统与M/M/c/∞排队系 统 9. M/M/c/K混合制排队系统 10.M/M/c/m/m系统及损失制系统 11.有备用品的M/M/c/m+K/m系统 12.嵌入马尔柯夫链，队长 13.等待时间与逗留时间和忙期 14.输出过程
P( A i ) P( A i )
i 1 i 1 n n
3. (加法公式) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)， 一般地，若AiF(i=1,2,…,n)，则
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n i j
A,BF
)
P(A A ) P(A A A
样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}；
随机事件体F由Ω的全体子集(共26 ＝64个)构成； k F上的概率定义为P(A)＝ ，k为随机事件A包含 6 的样本点数；
(Ω,F,P)为概率空间。
2013-9-13
计算机科学与工程学院
顾小丰
20－12
古典概率空间
1) 样本空间由有限个样本点组成， Ω＝{ω1,ω2,…, ωn}； 2) 每个基本事件Ai＝{ωi}，i=1,2,…,n出现的可能性 相等。
k P(A) e kA k ! P( ) 0 ( 0)
则(Ω,F,P)是一个概率空间。
2013-9-13
计算机科学与工程学院
顾小丰
20－14
概率的性质
1. P(Φ)＝0； P(Ω)＝1； 2. (有限可加性) 若AiF(i=1,2,…,n)，且AiAj＝ Φ(i≠j)，则
1 i j k n i j
k
(1)n1 P( A1A2 An ) 多除少补原理
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－15
概率的性质
4. P(A)＝1－P( A )； 5. 若AB,则P(B－A)＝P(B)－P(A)， P(A)≤P(B)； 6. (连续性) 1) 若A1A2A3…，且 A i A， 则
i 1
lim P(A ) P(A)；
n i
2) 若A1A2A3…，且 A i A， 则
i 1
lim P( A
n
n
) P( A)。
顾小丰 20－16
2013-9-13
计算机科学与工程学院
四、条件概率
设概率空间(Ω,F,P)，AF，BF，且
P(A)>0，在事件A已经发生的条件下，事件
P( A1 A 2 An ) 1 P( A i )
i 1
2013-9-13
计算机科学与工程学院
顾小丰
20－20
七、全概率公式与贝叶斯公式
设事件组B1,B2,…,Bn两两互不相容，即BiBj
＝Φ(1≤i≠j≤n)，且
B ＝Ω，P(B )>0，i=1,
i i 1
n
i
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－4
教学方式和考核方式
教学方式： 课堂讲授 考核方法： 笔试 成绩构成： 平时成绩*20％＋期末成绩*80％
2013-9-13
计算机科学与工程学院
顾小丰
20－5
教材及参考资料
1. 随机过程及应用，朱庆棠 陈良均，高等教育出版社， 2003。 2. 排队论——基础与分析技术，唐应辉 唐小我，科学 出版社，2006。 3. 排队论——基础与应用，唐应辉 唐小我，电子科技 大学出版社，2000。 4. 随机过程，刘次华，华中科技大学出版社，2003。 5. 排队论基础，孙荣恒 李建平，科学出版社，2002。 6. 现代通信中的排队论，陈鑫林，电子工业出版社， 2000。 7. 排队论及其在计算机通信中的应用，盛友招，北京 邮电大学出版社，2000。
下一讲内容预告
随机变量及其分布程
• 随机变量、分布函数 • 离散型随机变量及其分布律 • 连续型随机变量及其概率密度
常见的随机变量及其分布
n维随机变量 随机变量函数的分布
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－22
Hale Waihona Puke Baidu
B发生的条件概率定义为：
P( AB) P(B | A) P( A)
给定概率空间(Ω,F,P)，AF，且P(A)>0，对 任 意 BF 有 P(B|A) 对 应 ， 则 条 件 概 率 P(B|A) 是 (Ω,F)上的概率，记P(B|A)＝PA ，则(Ω,F,PA)也是 一个概率空间，称为条件概率空间。
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－18
六、事件的独立性
如果事件A,BF，满足
P(AB)＝P(A)P(B)，
则称事件A与B相互独立。 如果事件A1,A2,…,AnF，且对任意 s(2≤s≤n)和任意的1≤i1<i2<…<is<n，有 P(Ai1Ai2…Ais)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Ais)， 则称事件事件A1,A2,…,An相互独立。
那么称F为随机事件体(域)或σ－代数。 随机事件体F的任意元素A称为随机事件； 仅含一个样本点的事件称为基本事件； 样本空间Ω和F的二元体(Ω,F)称为可测空间。
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－9
i 1
几个记号
2013-9-13
Ω ω A
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－6
第一章 概率论
概率的数学理论是本课程的主要基础， 不清楚的同学请找一本这方面的书自学， 下面仅介绍本课程所必需的概率论的基本 定义和结果。
2013-9-13
计算机科学与工程学院
顾小丰
20－7
§1.1 概率空间(Ω,F,P)
一、随机试验
如果一个试验E满足下列条件： 1. 在相同的条件下可以重复进行； 2. 每次试验的结果不止一个，并且能事先明确 知道试验的所有结果； 3. 一次试验结束之前，不能确定哪一个结果会 出现 则称此试验为随机试验。
五、乘法公式
设概率空间(Ω,F,P)，如果A,BF，且 P(AB)>0，则下述乘法公式成立：
推广：
P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)
设概率空间(Ω,F,P)，如果AiF，i=1,2,…,n且 P(A1A2…An)>0，则下述推广的乘法公式成立： P(A1A2…An) ＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)
设(Ω,F)是可测空间，如果定义随机事件体F上的实 值集函数P(A)，AF满足： 1) 0≤P(A)≤1，AF； (非负性) 2) P(Ω)＝1； (规范性) 3) AiF(i=1,2,…,)，AiAj＝Φ(i≠j)，则等式
P( A i ) P( A i )成立 。
i 1 i 1
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二、样本空间、随机事件体
随机试验E的每一个最简单的试验结果，称 为样本点，记为。全体样本点构成的集合，称 为样本空间，记为Ω。 样本空间Ω的子集组成的集类F，如果满足： 1. ΩF； 2. 若AF，则 A F; 3. 若AiF(i=1,2,…,)，则 A i F ；
2,…,n，则对任意事件A，有
1. 全概率公式： P( A ) P(B i )P( A | B i ) ；
i 1
n
2. 贝叶斯公式： P(B j | A )
P( B j )P( A | B j )
P( B )P( A | B )
i 1 i i
n
，
j=1,2,…n。
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A
AB A＝B A∪B AB A－B AB＝Φ
样本空间，必然事件 不可能事件 基本事件 事件 A的对立事件(逆事件) A发生，B必发生 事件A与B相等 事件A与B至少有一个发生 事件A与B同时发生 事件A发生而事件B不发生 事件A与B互不相容(互斥)
顾小丰 20－10
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三、概率与概率空间
随机过程与排队论
计算机科学与工程学院 顾小丰 Email：guxf@uestc.edu.cn 2013年9月13日星期五
教学内容
1. 概率论的基本知识（复习） 2. 随机过程的基本概念 1) 随机过程的定义及分类 2) 随机过程的分布及数字特征 3. 独立过程与独立增量过程 4. 泊松过程 5. 更新过程
随机事件体F由Ω的全体子集(共2n个)组成；
随机事件体F上的古典概率P定义为
k P(A)＝ ， n
n为样本点总数，k为A包含的样本点数。 (Ω,F,P)是一个古典概率空间。
2013-9-13
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20－13
例
给定一个随机试验E，样本空间Ω＝{0,1,2,…}。
随机事件体F由Ω的全体子集组成。 对任意A∈F，定义概率P如下：
(完全可加性)
则称P为(Ω,F)上的概率测度，简称概率。对任意 AF，P(A)称为随机事件A的概率。
样本空间Ω、随机事件体F和概率P组成的三元 体(Ω,F,P)称为概率空间。
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例
掷一枚均匀的骰子，观察出现点数的随机试验E。
i＝i，i＝1,2,…,6，含有6个样本点；
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六、随机事件独立性的性质
1) A与B相互独立A与B相互独立 A与B相互独立 A与B相互独立 2) A与B相互独立P(B|A)＝P(B) (P(A)>0) P(A|B)＝P(A) (P(B)>0) P(B|A)＝P(B|A) (0<P(A)<1) 3) 设A1,A2,…,An相互独立，若将其中任意m个 (1≤m≤n)事件换成它们的逆事件，则所得的n个 事件仍然相互独立。 4) 设A1,A2,…,An相互独立，则 n
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教学内容
6. 马尔可夫过程 1) 马尔可夫过程的概念 2) 离散参数马氏链 3) 齐次马氏链状态的分类 4) 连续参数马氏链 5) 生灭过程
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教学内容
7. 排队系统概述，M/M/1/∞排队 8. M/M/∞排队系统与M/M/c/∞排队系 统 9. M/M/c/K混合制排队系统 10.M/M/c/m/m系统及损失制系统 11.有备用品的M/M/c/m+K/m系统 12.嵌入马尔柯夫链，队长 13.等待时间与逗留时间和忙期 14.输出过程
P( A i ) P( A i )
i 1 i 1 n n
3. (加法公式) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)， 一般地，若AiF(i=1,2,…,n)，则
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1 n n 1 i j n i j
A,BF
)
P(A A ) P(A A A
样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}；
随机事件体F由Ω的全体子集(共26 ＝64个)构成； k F上的概率定义为P(A)＝ ，k为随机事件A包含 6 的样本点数；
(Ω,F,P)为概率空间。
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古典概率空间
1) 样本空间由有限个样本点组成， Ω＝{ω1,ω2,…, ωn}； 2) 每个基本事件Ai＝{ωi}，i=1,2,…,n出现的可能性 相等。
k P(A) e kA k ! P( ) 0 ( 0)
则(Ω,F,P)是一个概率空间。
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概率的性质
1. P(Φ)＝0； P(Ω)＝1； 2. (有限可加性) 若AiF(i=1,2,…,n)，且AiAj＝ Φ(i≠j)，则
1 i j k n i j
k
(1)n1 P( A1A2 An ) 多除少补原理
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概率的性质
4. P(A)＝1－P( A )； 5. 若AB,则P(B－A)＝P(B)－P(A)， P(A)≤P(B)； 6. (连续性) 1) 若A1A2A3…，且 A i A， 则
i 1
lim P(A ) P(A)；
n i
2) 若A1A2A3…，且 A i A， 则
i 1
lim P( A
n
n
) P( A)。
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四、条件概率
设概率空间(Ω,F,P)，AF，BF，且
P(A)>0，在事件A已经发生的条件下，事件
P( A1 A 2 An ) 1 P( A i )
i 1
2013-9-13
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七、全概率公式与贝叶斯公式
设事件组B1,B2,…,Bn两两互不相容，即BiBj
＝Φ(1≤i≠j≤n)，且
B ＝Ω，P(B )>0，i=1,
i i 1
n
i
2013-9-13 计算机科学与工程学院 顾小丰 20－4
教学方式和考核方式
教学方式： 课堂讲授 考核方法： 笔试 成绩构成： 平时成绩*20％＋期末成绩*80％
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教材及参考资料
1. 随机过程及应用，朱庆棠 陈良均，高等教育出版社， 2003。 2. 排队论——基础与分析技术，唐应辉 唐小我，科学 出版社，2006。 3. 排队论——基础与应用，唐应辉 唐小我，电子科技 大学出版社，2000。 4. 随机过程，刘次华，华中科技大学出版社，2003。 5. 排队论基础，孙荣恒 李建平，科学出版社，2002。 6. 现代通信中的排队论，陈鑫林，电子工业出版社， 2000。 7. 排队论及其在计算机通信中的应用，盛友招，北京 邮电大学出版社，2000。
下一讲内容预告
随机变量及其分布程
• 随机变量、分布函数 • 离散型随机变量及其分布律 • 连续型随机变量及其概率密度
常见的随机变量及其分布
n维随机变量 随机变量函数的分布
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B发生的条件概率定义为：
P( AB) P(B | A) P( A)
给定概率空间(Ω,F,P)，AF，且P(A)>0，对 任 意 BF 有 P(B|A) 对 应 ， 则 条 件 概 率 P(B|A) 是 (Ω,F)上的概率，记P(B|A)＝PA ，则(Ω,F,PA)也是 一个概率空间，称为条件概率空间。
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六、事件的独立性
如果事件A,BF，满足
P(AB)＝P(A)P(B)，
则称事件A与B相互独立。 如果事件A1,A2,…,AnF，且对任意 s(2≤s≤n)和任意的1≤i1<i2<…<is<n，有 P(Ai1Ai2…Ais)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Ais)， 则称事件事件A1,A2,…,An相互独立。
那么称F为随机事件体(域)或σ－代数。 随机事件体F的任意元素A称为随机事件； 仅含一个样本点的事件称为基本事件； 样本空间Ω和F的二元体(Ω,F)称为可测空间。
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几个记号
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Ω ω A
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第一章 概率论
概率的数学理论是本课程的主要基础， 不清楚的同学请找一本这方面的书自学， 下面仅介绍本课程所必需的概率论的基本 定义和结果。
2013-9-13
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§1.1 概率空间(Ω,F,P)
一、随机试验
如果一个试验E满足下列条件： 1. 在相同的条件下可以重复进行； 2. 每次试验的结果不止一个，并且能事先明确 知道试验的所有结果； 3. 一次试验结束之前，不能确定哪一个结果会 出现 则称此试验为随机试验。