电子科大随机过程与排队论01
电子科技大学随机过程覃思义sjgc课件
06
随机过程在通信中的 应用
信号检测与估计
信号检测
在通信系统中，信号检测是接收端对发送端发送的信号进行识别和判断的过程。随机过 程理论在信号检测中发挥了重要作用，通过对信号的统计特性进行分析，实现信号的有
效检测。
VS
常见的多用户检测算法包括匹配滤波 器、最小均方误差、最大似然等，这 些算法在理论上均可以利用随机过程 理论进行推导和优化。
无线通信中的信号处理
无线通信环境复杂多变，信号处理技术对于保证通信系统的 稳定性和可靠性至关重要。利用随机过程理论，可以对无线 信道中的噪声、干扰等影响因素进行分析和控制，提高信号 传输的质量和可靠性。
数学期望的性质
数学期望具有线性性质、可加性 和可交换性等性质，这些性质在 计算和推导中具有重要应用。
数学期望的运算
数学期望的运算包括求和、乘法 、极限等运算，这些运算在计算 随机变量的数学期望时是必要的 。
方差与协方差
方差的定义
方差是随机变量与其数学期望的差的平方的平均值， 用于描述随机变量取值分散的程度。
在数字信号处理、控制系统分析和离 散时间系统模拟等领域中广泛应用， 通过Z变换可以将离散时间序列转换 为复平面上的函数，从而更好地分析 系统的频率响应和稳定性。
05
随机过程优化
最优估计理论
最小方差无偏估计
在所有无偏估计中，具有最小方差的估计被称为最小方差无偏估 计。
一致性估计
随着样本量的增加，估计值会逐渐接近真实值，这种估计被称为一 致性估计。
协方差的定义
协方差是两个随机变量取值之间线性关系的度量，其 值可以为正、负或零。
电子科技大学随机过程第一章概要
上的二 T Ω
1)当固定 t T , X t (ω ) 在（Ω, F, P）上的随机变量；
结果), 数.
是一个定义
Ω 2) 定义1.1.2 当固定 ω0 (对于特定的试验
是一个定义在 T 上的普通函数(自变 x t (ω 0 ) 的一个样本函 { X t ( ), t T } 量为t).称为随机过程
当T={(x, y):a<x<b, c<y<d),}
时间序列 随机过程
{ X t (ω), t T }
平面随机场
随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的 一般化,是随机变量X t , t 的集合 . T 用E表示随机过程 X t , t 的值域 T ,称为过程的状 态空间.
电子科技大学
90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 -10 -40
此例中样本 函数是什么？ 粒子运动轨迹
电子科技大学
80 100 120
-20
0
20
40
60
样本函数的几个例子
18.11.7
Ex.1.1.2 Xt(ω) = αcos(βt+Θ), Θ~U(0, 2π)
θ 1 =5.4938 θ 2 = 1.9164 θ 3 = 2.6099
18.11.7
称事件“X t x ”为在时刻 t 时随机过程 X t 处于状态x 按状态空间和参数集的不同情况, 可将随机 过程分为四类, 列入下表 随机过程
状态空 间E
参数集 T
离 散 连 续
离 散
非离 散
（离散参数）链 （连续参数）链
随机序列
电子科技大学
随机过程
18.11.7
Ex.1.1.1 质点布朗运动 设质点在直线上 随机游动, 经随机碰撞后各以1/2的概率向左 或向右移动.
电子科大计算机导师介绍
电子科技大学计算机学院导师及其科研能力介绍为方便大家报考我们学校,了解各位导师的学术和科研能力,科大考研网www.**将提供给大家详细的信息。
陈雷霆,1966年7月出生,男,现任电子科技大学计算机学院副教授、副院长,主管学院的科研、产业和外事工作,在职博士研究生;现为中国软件行业协会理事,四川省计算机学会理事。
主要研究方向:(1)信息安全;(2)网络多媒体与虚拟现实。
主要科研项目:国家“863-317-403”项目—综合业务多媒体通讯终端与系统;“八五”军事预研项目激光成像雷达系统;多媒体安全监控系统;“九五”军事预研项目激光防撞雷达系统;总装备部项目军用移动图象采集压缩传输系统;航空科技信息集成处理系统;模拟实战射击训练系统;国家“十五”863信息安全项目等。
开设研究生课程:多媒体技术及应用、计算机图形学、软件认证;本科生课程:多媒体技术、数字逻辑。
--------------------------------------------------------------------------------李毅超,男,1969年6月,硕士,副教授。
1997年4月毕业于电子科技大学,获计算机应用硕士学位。
现任网络安全基础实验室主任,计算机网络与通信研究室主任,计算机网络与安全技术研究所副所长,兼成都市软件行业协会副秘书长。
研究方向为计算机网络与通信、网络信息安全、嵌入式应用。
参加或主持"恩威网络MIS系统“、“420驻厂军代室光纤网络MIS系统”、“路由器开发”、信产部基金项目“IP电话网关”,成都华易“美视数字录像监控系统”、西部网信“软交换关守和IP电话多功能终端研发”等近10个科研项目,获得四川省科技三等奖1项,省部级科技成果鉴定5项,国家版权局软件著作权2项。
出版《计算机网络》教材1本在国内外重要刊物和国际会议上发表论文十余篇。
为本科和硕士生开设了若干课程。
获得Microsoft、Novell、SCO、Cisco、Compaq等各大公司认证证书和授权讲师资格。
排队论
G：一般分布。表示到达间隔时间或服务时间服从一般分布。G是General的第 一个字母。
EkE：rlkan-爱g 尔朗的分第布一。个表字示母到。达间隔时间或服务时间服从k-爱尔朗分布。E是 D: 定长分布 (常数时间)
H：超几何分布。
L：H项式分布。
Z代表的服务规程典型的有：
FCFS：先来先服务；LCFS：后来先服务；RSS：随机选择服务；
PR：优先权服务。 Ba：集体（批量）服务。 GD：一般规约服务，即通用规约服务。
排队论课件 23
3 基本排队关系
在对排队进行分析时，为了便于分析，经常做一些简化假设。对一个排队系 统，若满足以下三个条件：
（1）排队系统能够进入统计平衡状态；
（2）服务员的忙期与闲期交替出现，即系统不是总处于忙的状态；
泊松分布（Poisson）： P{X = k} = λk e-λ/ k! k=0,1,2,…， μx = σx = λ 泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，也是表述随机
现象的一种重要形式。在实际系统模型中，一般都要假定任务 （或顾客）的到来是泊松分布的。实践也证明：这种假设有效。
如果顾客到达的人数是符合泊松分布，即在时间T内到达 有k个顾客到达的概率为：
♂
※
排队论课件
11
基本的排队模型
基本组成 概念与记号 指数分布和生灭过程
♂
排队论课件 12
典型排队系统模型
顾客到达: 在队列中排队 服务台服务 顾客离开
输入源
。。。
输入源的 特性？
到达规律 队列大小？
到达方式？
服务规律？
服务协议？
在本单元中，我们主要介绍排队系统的组成和特征，排队系统 的到达和服务，经典排队模型等内容。顾客到达规律和服务规 律都是通过概率来描述的，所以概率论是排队论的基础。
排队论课件1
排队规则
• （c）从队列的数目看，可以是单列，也 可以是多列。 • 在多列的情形，各列间的顾客有的可以 互相转移，有的不能（如用绳子或栏杆 隔开）。 • 有的排队顾客因等候时间过长而中途退 出，有的不能退出（如高速公路上的汽 车流），必须坚持到被服务为止。 • 我们将只讨论各列间不能互相转移、也 不能中途退出的情形。
§1 基本概念
• 排队论起源于1909 年丹麦电话工程师A. K．爱 尔朗的工作，他对电话通话拥挤问题进行了研 究。1917 年，爱尔朗发表了他的著名的文章— “自动电话交换中的概率理论的几个问题的解 决”。 • 排队论已广泛应用于解决军事、运输、维修、 生产、服务、库存、医疗卫生、教育、水利灌 溉之类的排队系统的问题，显示了强大的生命 力。
Hale Waihona Puke 排队模型的分类• 表示相继到达间隔时间和服务时间的各种分布 的符号是： • M――负指数分布（M是Markov的字头，因为 负指数分布具有无记忆性，即Markov性） • D――确定定型（Deterministic） • Ek――k阶受尔朗(Frlang)分布 • GI――般相互独立（General Independent）的 时间间隔的分布 • G――一般（General）服务时间的分布
…
…
c
c 2
c d
…c
服务机构
• (d) 服务方式可以对单个顾客进行，也可以对成 批顾客进行，公共汽车对站台等候的顾客就成批 进行服务，我们将只研究单个单个地服务方式。 • （ e ）和输入过程一样，服务时间也分确定型的 和随机型的。自动冲洗（服务）的时间就是确 定 ，但大多数情形的服务时间是随机型的。对 于随机型的服务时间，需要知道它的概率分布。 • （f）和输入过程一样，服务时间的分布我们总 假定是平稳的，即分布的期望值、方差等参数都 不受时间的影响。
随机过程与排队论
随机过程与排队论任课教师:魏静萱副教授wjx@曾勇副教授第一节排队现象例一：电话系统：主叫用户和被叫用户之间提供语音服务，该服务承载于某条通信信道之上，即两个用户c个通道。
地需要一条通道，3个用户需要3个通道，4个用户需要6个通道。
一般的，n个用户需要2n球人口60亿，需要？通道。
海量通信接近天文数字。
解决：信道“公用”导致拥挤排队现象例二：排队现象举例排队系统的三大要素：1. 输入过程 2. 排队规则：队列允许的最大长度 3. 服务窗：顾客是怎样接受服务的1．输入过程：顾客按什么规则进入系统？一个个？成批？到达过程和到达时间间隔符合一定的分布，称到达分布。
假设：到达过程和到达时间是独立同分布的。
到达过程假定为平稳的，对时间是齐次的。
注：Markov 齐次过程 如果一个过程只依赖于现在，而不是过去。
表1 输入过程的三种随机过程描述按顾客到达过程的不同概率特性分类： ① 定长输入（D ）：顾客等间隔到达，nc τ=n τ的分布函数为 1()()0n t c F t P t t cτ≥⎧=≤=⎨<⎩②Poisson 流输入(M): 系统的输入过程{M(t)>0}是Poission 流 满足4个条件：a) M(t)取值为非负数b) P(M(0)=0)=1, 即时间间隔为0时到达系统 的人数为0 c) 过程{M(t)} 具有平稳独立增量性 d) 每一个增量M(a+t)-M(a)非负，且服从参数为tλ的泊松分布(){()()}!k a t P M t a M a k e K λλ-+-==③ k 阶Erlang 输入(Ek)④ 一般独立输入(G)：顾客的到达过程{n τ}是独立同分布的随机变量序列，其分布函数可以是任意函数。
⑤ 成批到达系统：顾客一批批到达系统，每批相继到达的时间间隔为上述各种分布之一。
2．排队与服务规则① 损失制 （无排队队列）：顾客到达时，系统被占用，顾客离去，不再回来。
西安电子科技大学讲义-随机过程
第一章随机过程 1
第一章随机过程
本章主要内容：
随机过程的基本概念
●随机过程的数字特征
●随机过程的微分和积分计算
●随机过程的平稳性和遍历性
●随机过程的相关函数及其性质
●复随机过程
●正态分布的随机过程
第一章我们介绍了随机变量，随机变量是一个与时间无关的量，随机变量的某个结果，是一个确定的数值。
例如，骰子的6面，点数总是1～6，假设A面点数为1，那么无论你何时投掷成A面，它的点数都是1，不会出现其它的结果，即结果具有同一性。
但生活中，许多参量是随时间变化的，如测量接收机的电压，它是一个随时间变化的曲线；又如频率源的输出频率，它随温度变化，所以有个频率稳定度的范围的概念（即偏离标称频率的最大范围）。
这些随时间变化的
随机变量就称为随机过程。
显然，随机过程是由随机变量构成，又与时间相关。
随机过程-电子科技大学-彭江燕 (17)
§2.3 泊松过程2.3.1 计数过程在客观世界中,存在这样一类随机现象,它们发生的时间、地点或者相联系的某些属性, 常可归属于某空间I中点的随机发生, 这种点的发生就构成随机点过程.12在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密码学等许多领域中的如下问题：用盖格记数器记录某类粒子的到达；共同特点: 关心某个事件A 按时间顺序出现的情况. 电话交换机接到的呼唤事件；通信系统运行中出现的误码；细胞中染色体发生的交换；航空公司接受到的托运订单，…将事件A 第i 次发生记为事件A i , 则构成了一个随机事件列A 1, A 2, …, 称为随机事件流, 也称随机点过程.3EX.1一天中某电话交换台接收到的呼叫形成一个随机点过程. 每一次呼叫发生的时间即一个随机点, 此点过程的一条现实(样本函数)是一个时间的序列,其中},,,{21N t t t ,24021≤<<<<N t t t t n 是n 次呼叫发生的时间,N 则是一天中呼叫发生的次数.工程中对于随机点过程, 常需要关注它的计数性质.EX.2 某系统在t时刻开始运行, 在指定的时间段[t0, t+T]内考虑系统因故障停止运行这一事件. 假定系统出故障后能立即修复并继续运行, 则系统在时间区间[t0, t+T]内因出故障而停止运行这些事件构成随机点过程.工程中对于随机点过程, 常需要关注它的计数性质.45(1)N ( t )取非负整数值，且N (0)=0;若用N (t )表示在[0, t ]内出现点的总数, 则有以下特点：(2) 如果s < t ，则N ( s )≤N ( t )；(4) 若, 记43210t t t t <<<<),,(211t t I =),(432t t I =21I I ∪则在集合中发生点的个数为)]()([)]()([3412t N t N t N t N --+)s )t (3)对于s < t, N (t )－N (s )表示时间(s, t ]内发生点的个数；6(1) N (I )是取非负整数值的随机变量, 且N (φ)=0；(2) 对任意, 若,则T I I ⊂21,φ=21I I ∩)()()(2121I N I N I I N +=∪定义2.3.1设是一个随机过程, T =R n . }),({T I I N ⊂}0:{≥=t t T {(),0}N t t ≥特别当计数过程记为称为伴随随机点过程的计数过程(Counting Process).{(),}N I I T ⊂若N (I )表示集合I 中随机事件A 发生的总数，即对任意集合满足2.3.2泊松过程的数学模型及定义Poisson过程是一类很重要的计数过程.一、Poisson过程数学模型在数字通信中误码率λ是重要指标，设{N( t ), t≥0}为时间段[0, t)内发生的误码次{N( t ), t≥0}是计数过程.数,分析:78(1) 初始时刻不出现误码是必然的, (2) 在互不相交的各区间n n n t t t t t t t t <<<<− 2112110),,[,),,[),,0[出现的误码数应互不影响(相互独立), 在系统稳定运行的条件下, 在相同长度区间内出现k 个误码概率应相同,通信系统中误码计数过程{N ( t ), t ≥0}是平稳独立增量过程.故N ( t )为独立增量过程;故可认为N ( t )是平稳增量过程;故N (0)=0;(3) 对足够小Δt时间内出现一个误码的可能性与区间长度成正比是合理的, 即有P{N(Δt)=1}=λΔt+o(Δt), λ>0；(4) 假定对足够小的Δt时间内,出现两个以上误码的概率是关于Δt的高阶无穷小也是合理的, 有P{N(Δt)≥2}=o(Δt).终上所述, 通信系统中误码计数过程{N( t ), t≥0}有以下特点:9101) 零初值性N ( 0)=0;2) 独立增量性;3)齐性(平稳性)4）普通性终上所述, 通信系统中误码计数过程{N ( t ), t ≥0}有以下特点:在(s, t )时间内出现的误码次数仅与时间间隔长度t －s 有关，而与起始时间s 无关;在充分小的时间间隔内误码个数多于一次的概率很小.定义2.3.2 设计数过程{N( t ), t≥0} 满足：(1) N(0)=0;(2) 具有平稳独立增量；(3) P{N(h)=1}=λh+o(h), λ>0；(4) P{N(h)≥2}=o(h).称{N( t ),t≥0)是参数(或速率,强度)为λ的齐次泊松过程.数字通信误码计数过程{N( t ), t≥0} 即一个齐次泊松过程.1112泊松过程广泛存在于工程问题中. 记0(){()0}p h P N h ==),(}1)({)(1h o h h N P h p +===λ),()(}2)({2h o h p h N P k k ==≥∑∞=注：由定义中的条件(3)和(4) 可得,,2,1,0})({)(===k k h N P h p k ，刻画了泊松过程的事件A 发生的稀有性. 对充分小的h >01().h o h λ=−+13定理2.3.1 若{N (t ), t ≥0}是齐次泊松过程，则对任意0≤s ≤t , 随机变量N (t )－N (s )服从参数为λ(t －s )的泊松分布, 即),2,1,0(,!)]([})]()({[)( =−==−−−k e k s t k s N t N P s t kλλ证:因齐次泊松过程具有平稳增量和零初值(){()}k p t P N t k ==00{()()},P N t t N t k =+−=1o 由条件(2)～(4)，当k = 0{()(0)}P N t N k =−=0,1,2,k =14P 0(t+h )=P {N (t+h )=0}= P {N (t )=0}P {N (t+h )－N (t )=0}增量独立=P 0(t ) P 0(h )000()()()()P t h P t o h P t h hλ+−⇒=−+00()()0, dP t P t h dt λ⎧=−⎪→⎨⎪⎩令得.0,)(0≥=λ−t e t p t 解得00(){()}{()()},k p t P N t k P N t t N t k ===+−==P {N (t )=0,N (t+h )－N (t )=0｝=P 0(t )[1－λh +o(h )]0(0)1,P =((1)(0)0)N =条件152o 当k ≥1, 根据全概率公式有)()()()()(110h p t p h p t p h t p k k k −+=+t](t+h ])()()()1()(1h o t hp t p h h t p k k k ++−=+−λλ1()()()()()k k k k P t h P t o h P t P t h hλλ−+−⇒=−++=→dt t dP h k )(,0得令)()(1t P t P k k −+−λλ16=→dt t dP h k )(,0得令)()(1t P t P k k −+−λλ两边同乘以e λt 后移项整理得）（*)()]([1t p e dtt P e d k t k t −=λλλ当k=1, 则10[()]()t t t t d e P t e P t e e dt λλλλλλλ−⎧===⎪⎨⎪⎩1(),0.t p t te t λλ−=≥解得1(0)0P =171(),0t p t te t λλ−=≥解得成立假设t k k e k t t P λλ−−−−=)!1()()(11代入(*)式有)!1()()()]([11−==−−k t t p e dt t P e d k k t k t λλλλλ()t k e P t λ⇒=C k t k +!)(λ）（*)()]([1t p e dt t P e d k t k t −=λλλ利用初始条件可证得,0)0(=k P t kk e k t t P λλ−=!)()(18利用初始条件可证得,0)0(=k P t k k e k t t P λλ−=!)()(对一切k ≥0均成立.定理证明反之亦然.若具有零初值性计数过程{N (t ), t ≥0}满足),2,1,0(,!)]([})]()({[)( =−==−−−k e k s t k s N t N P s t k λλ(齐性)19则有{()1}{()(0)1}1!h h P N h P N h N e −==−==λλ(2){()2}!k h k h P N h ek ∞−=≥=∑λλ应用定义2.3.2 ,可得以下定理.(3)(4)),2,1,0(,!)]([})]()({[)( =−==−−−k e k s t k s N t N P s t kλλ[1()]()h h o h h o h =−+=+λλλ(2)[()][1()]()2!h o h h o h o h =+−+=λλ20定理2.3.2 计数过程{N (t ), t ≥0}是强度为λ的齐次泊松过程, 当且仅当(1)N (0)=0；(3)对一切0≤s <t , N (t )－N (s )～P (λ(t －s )),即),2,1,0(,!)]([})]()({[)( =−==−−−k e k s t k s N t N P s t k λλ(2)N (t )是独立增量过程；泊松过程的等价定义：21EX.3 设{N ( t ), t ≥0}是参数为λ的泊松过程,事件A 在(0,τ)时间区间内出现n 次,试求:P {N (s )=k N (τ)=n }, 0<k<n, 0<s<τ})({})(,)({n N P n N k s N P ====ττ原式解{(),()()}P N s k N N s n k τ==−=−n k n s k s e n k n s e k s e −−−−−−−−=)(!)!()]([!)()(λττλλλττλλk n k s s k n k n −⎟⎠⎞⎜⎝⎛τ−⎟⎠⎞⎜⎝⎛τ−=1)!(!!1,k n k k n s s C ττ−⎛⎞⎛⎞=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠0,1,2,,.k n = !()n n e λτλτ−⋅222.3.3 泊松过程的分布及数字特征若{N ( t ), t ≥0}是参数为λ的泊松过程,利用其零初值性和齐性, 有0>∀t 对N (t )～P (λt )其一维分布:})]0()({[})({k N t N P k t N P =−==[],(0,1,2,)!k t t e k k λλ−== ()=u ,t ϕ()R u ,t eiu e t ∈+∞<≤−01λ23二维概率分布:()(){}kj ,t s k t N ,j s N P ≤<==()()()(){}j k s N t N ,j N s N P −=−=−0()(){}()(){}j k s N t N P j N s N P −=−=−=0()()[]()()s t j k s j e !j k s t e !j s −−−−−−=λλλλ()()()t j k j k e !j k !j s t s λλ−−−−=24均值函数t t N E t m λ==)}({)(t t N E )}({=λ有称λ为事件的平均到达率.,0>∀t 因对N (t )～P (λt ).方差函数t t D λ=)(均方差函数C(s,t )=λmin(s,t )，相关函数R (s,t )=λmin(s,t )+λ2st .数字特征25C(s,t )=λmin(s,t )，R (s,t )=λmin(s,t )+λ2st .证:因泊松过程{N ( t ), t ≥0)是平稳独立增量过程，不妨设t > s >0R (s,t )=E {N (t )N (s )}== E {N (s )[N (t )－N (s )]}+E [N 2(s )]sts s s s t s 22])([)(λλλλλλ+=++−×=t t N E t m λ==)}({)(()D t tλ=2(,)(,)()()C s t R s t m s m t s st s tλλλλ=−=+−⋅事实上，应用性质1.3.1即可得.E {N (s )[N (t )－N (s )+ N (s )]}。
电子科大计算机导师介绍
电子科技大学计算机学院导师及其科研能力介绍为方便大家报考我们学校,了解各位导师的学术和科研能力,科大考研网www.**将提供给大家详细的信息。
陈雷霆,1966年7月出生,男,现任电子科技大学计算机学院副教授、副院长,主管学院的科研、产业和外事工作,在职博士研究生;现为中国软件行业协会理事,四川省计算机学会理事。
主要研究方向:(1)信息安全;(2)网络多媒体与虚拟现实。
主要科研项目:国家“863-317-403”项目—综合业务多媒体通讯终端与系统;“八五”军事预研项目激光成像雷达系统;多媒体安全监控系统;“九五”军事预研项目激光防撞雷达系统;总装备部项目军用移动图象采集压缩传输系统;航空科技信息集成处理系统;模拟实战射击训练系统;国家“十五”863信息安全项目等。
开设研究生课程:多媒体技术及应用、计算机图形学、软件认证;本科生课程:多媒体技术、数字逻辑。
--------------------------------------------------------------------------------李毅超,男,1969年6月,硕士,副教授。
1997年4月毕业于电子科技大学,获计算机应用硕士学位。
现任网络安全基础实验室主任,计算机网络与通信研究室主任,计算机网络与安全技术研究所副所长,兼成都市软件行业协会副秘书长。
研究方向为计算机网络与通信、网络信息安全、嵌入式应用。
参加或主持"恩威网络MIS系统“、“420驻厂军代室光纤网络MIS系统”、“路由器开发”、信产部基金项目“IP电话网关”,成都华易“美视数字录像监控系统”、西部网信“软交换关守和IP电话多功能终端研发”等近10个科研项目,获得四川省科技三等奖1项,省部级科技成果鉴定5项,国家版权局软件著作权2项。
出版《计算机网络》教材1本在国内外重要刊物和国际会议上发表论文十余篇。
为本科和硕士生开设了若干课程。
获得Microsoft、Novell、SCO、Cisco、Compaq等各大公司认证证书和授权讲师资格。
电子科大_计算机学院导师+及其科研能力+介绍
黄迪明,教授,获国务院颁发的“政府特殊津贴”专家,加拿大麦克斯特大学计算机科学系访问学者。长期从事计算机学科的教学和科研工作,主持和参加过多项重大和大型科研项目,曾获国家级科技进步二等奖及国家级优秀教学成果奖共3项,省部级科研和教学奖共5项。编著教材七部(其中两部为全国统编教材),发表论文30余篇。主要研究方向为:网络多媒体技术、网络信息安全技术、图形技术。当前在研的主要项目有:通用教育信息平台、基于智能体的入侵控检测技术、通用教育信息平台等。承担过的研究生课程有:图形软件设计、软件技术基础、面向对象程序设计等。
先后从事多门计算机专业课程教学,如计算机控制系统、单片机技术、微机系统与接口、计算机组成原理、互联网技术、信息科学技术导论、高级计算机体系结构、软件需求管理等。负责完成多项大型系统的项目开发,如泸天化企业集团大型MIS系统、大型商业自动化管理MIS系统、成都煤气总公司GIS信息系统、包装容器抗压与堆码微机测控系统等。
教学:校级优秀主讲教师,历届学生评教优秀,为本科生、研究生开设多门课程。“十五”国家级规划教材作者,出版著作教材6部,获省优秀教学成果一等奖, 校优秀教学成果一等奖和优秀教材一等奖. 省自考先进工作者. 获校一档奖教金、校“教学优秀教师奖”. 国家级大学数学教学资源库建设专家组成员.
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排队论(讲义)ppt课件
概率关系着对时间的数量分配。一个事件A的概率 P(A)是对应事件A要发生可能性 的数量分配。概率有很多不同的定义，常用的有三种：
(1)古个典数定。义：P(A)=NA/N 其中N是可能结果的总个数，NA是事件A在其中发生的结果的
例1. 求抛两个骰子并且决定和为7的概率p。
总共有36种可能的结果，所以N= 36
排队论 Queueing Theory
主讲：周在莹
；.
1
CONTENUNIT 1 排队模型
UNIT 2 排队网络模型
UNIT 3 应用之：QUICK PASS系统
结束语
；.
PREPARATION 概率论和随机过程
Part 1．概率论基础
1。 概率的定义
独立性： 如果P(AB)=P(A)P(B)，事件A和B叫做相互独立的事件 独立性的概念可以推广到三个或多个事件。
；.
3 全概率公式和贝叶斯定理 全概率公式：给定一组互斥事件E1，E2，，…，En，这些事件的并集包括所有可能的
结果，同时给任一个任意事件A，那么全概率公式可以表示为： n
P(A)=∑P(A|Ei)P(Ei) i=1
在离散型随机变量中，只有几何分布具有无后效性。这两种分布可以分别用来描 绘离散等待时间和连续等待时间。
在排队理论中，指数分布是很重要的。
；.
6 k-爱尔朗分布 概率密度: f(x)= (λkx)n-1λke-λkx /(n-1)! x≥0，λ>0.
0 x<0 数字特征： E[X]=1/λ; Var[X]=1/（kλ2 ）
；.
5 （负）指数分布
它是一种连续型的概率分布，它的概率密度为
f（x）= λe-λx x≥0
0
随机过程-电子科技大学-彭江燕 (3)
§1.2 随机过程的数字特征在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维分布函数族.过程的数字特征能反映其局部统计性质,在许多实际问题和理论问题中都能很好地满足研究目的.在某些特定情况下, 随机过程的数字特征可以完全确定其有限维分布.需确定各类数字特征随时间的变化规律.12∫+∞∞−∈==T t x xdF X E t m t t ,)()(ˆ)(为此过程的均值函数.定义1.2.1设和是两个实随机过程, 称}),({T t X t ∈ω}),({T t Y t ∈ω1,),()()(−=∈+=j T t jY X Z t t t ωωω为复随机过程.定义1.2.2给定实随机过程, 称}),({T t X t ∈ω1.2.1均值函数与方差函数3复随机过程的均值函数定义为Tt Y jE X E t m t t Z ∈+=,)()(ˆ)(定义1.2.3给定随机过程, 称{}T t X t ∈,2)}({)(ˆ)(t m X E X D t D t t −==为过程的方差函数.称为过程的均方差函数.)(t D 复随机过程的方差函数定义为.},)({ˆ)(2Z T t t m Z E t D t Z ∈−=4)]([)]([)(Z t m Y j t m X t m Z Y t X t t −+−=−因).()(})]({[})]({[)(22t D t D t m Y E t m X E t D Y X Y t X t Z +=−+−=故一般而言, 均值函数和方差函数是时间的函数.问题均值函数和方差函数分别表征了随机过程的什么特征？复随机过程的方差函数定义为.},)({ˆ)(2Z T t t m Z E t D t Z ∈−=5方差函数描述了随机过程在各时点处的波动程度.仅描述了各个孤立时点过程的状态特征. 均值函数表征了随机过程在各时间点上的平均特征.问题均值函数和方差函数分别表征了随机过程的什么特征？描述不同时刻过程状态的关联关系？6需要研究在两个不同时点随机过程状态间的关联关系.回顾两个随机变量的相关系数)()()()()()()(),(Y D X D Y E X E XY E Y D X D Y X Cov XY −==ρ刻画了随机变量X 与Y 的线性相关程度. 1.2.2 协方差函数与相关函数(相关系数)7以下引入的数字特征都是刻画两个不同时点随机过程状态之间的线性关联程度.定义1.2.4给定随机过程,s , t ∈T ,称}),({T t X t ∈ω)(σ)(σ),(ˆ),(t s X X Cov t s t s =ρ为过程的自相关系数函数. 称{})]()][([),(ˆ),(t m X s m X E X X Cov t s C t s t s −−==为过程的协方差函数.8称)(ˆ),(t s X X E t s R =为过程的自相关函数.重点研究内容2)]([),()(t m X E t t C t D t −==有(,)(,)()()C s t R s t m s m t =−特别当时0)(≡t m 零均值随机过程),(),(t s R t s C =对于复随机过程tt t jY X Z +=9自相关函数为)(ˆ),(t s Z Z Z E t s R =协方差函数为]})()][({[),(ˆ),(t m Z s m Z E Z Z Cov t s C Z t Z s t s −−==Ex.1 设U , V 是两个相互独立随机变量, 均服从标准正态分布N (0, 1)，构成随机过程,≥+=t Vt U X t 计算过程的均值函数、方差函数及相关函数，并给出过程的一维和二维分布.对于复随机过程tt t jY X Z +=10解因,0)()(==V E U E 1)()(==V D U D 故均值函数为0,0)()(][)(≥=⋅+==t t V E U E X E t m t 方差函数为222)()(][)(Vt U E t m X E t D t +=−=0,1)()(2)(2222≥+=++=t t V E t UV tE U E U , V 相互独立Ex.1 设U , V 是两个相互独立随机变量, 均服从标准正态分布N (0, 1)，构成随机过程,≥+=t Vt U X t11)(),(),(t s X X E t s R t s C ==)])([(Vt U Vs U E ++=0,,1)()()()(22≥+=+++=t s st V stE UV E t s U E 因)1,0(~2t N Vt U X t ++=故过程的一维概率密度为,,)1(21)()1(2222≥∈+=+−t R x et x f t xt π二维概率密度参见教材P17.协方差函数为12Ex.2(教材P9例1.1.1) 随机开关系统过程..2,cos 21R t tt X t ∈⎩⎨⎧===ωωωωπ出现反面；出现正面求该过程的均值函数,方差函数,相关函数,协方差函数.X (t )cos πt 2tp1/2 1/2解因对任意实数t ∈R, 有;cos 21)()(X t t X E t m t +==π;2cos 21)(222t t X E t +=ππ2221()()()(cos );2X tX D t E X m t t t =−=−注意到X s 与X t 不相互独立, 联合分布律为..2,cos 21R t tt X t ∈⎩⎨⎧===ωωωωπ出现反面；出现正面14s t s t X X E t s R t s X 2221cos cos 21)(),(××+==ππ.2cos cos 21ts s t +ππ=协方差函数为)()(),(),(t m s m t s R t s C −=)cos 21)(cos 21(]2cos cos 21[t t s s ts s t ++−+=ππππts t ss t s t +−−=ππππcos 2cos 2cos cos 41(X (t ),X (s ))(cos πt, cos πs ) (2t, 2s )p 1/2 1/215Ex.3随机振幅周期矩形波5.0}1{}1{===−=X P X P 设是振幅为常数C , 周期为L 的矩形波信号. 另有随机变量X , 其分布律为}0),({≥t t x 对任意t ≥0, 令, 过程称为随机振幅周期矩形波, 试求其均值函数, 方差函数以及自相关函数.)(t x X X t ⋅=}0,{≥t X t16]5.0)1(5.0)[())(()()(=⋅−+===t x t Xx E X E t m t ),(),(t s R t s C =)]()([)(t Xx s Xx E X X E t s ⋅==)()()(2X E t x s x =)()(t x s x =解周期矩形波{x (t )}2222()()[()]()()()t D t D X E Xx t x t E X x t ====)(t x X X t ⋅=5.0}1{}1{===−=X P X P17Ex.4设复随机过程,1∑==nk tj k t k eA Z ω其中为相互独立服从正态N (0,σk 2)的实随机变量,ωk 为常数, 试求m Z (t ), R Z (t 1,t 2).n k A k ,2,1, =解∑∑==+==nk k k k nk tj k t t j t A eA Z k 11)sin (cos ωωω∵∑∑==+=nk n k k k k k tA j t A 11sin cos ωω18]sin []cos [))((11=+=∴∑∑==n k nk k k k k t A E j t A E t Z E ωω22)(,,,2,1,kk k A E n k A σ==且相互独立因 ωω12121211(,)()[()()]k k nnj t j t Z t t k k k k R t t E Z Z E A eA e====∑∑ωω11cos sin nnt k k k k k k Z A t j A t===+∑∑∑∑==−=n k nl t t j k l k eA E 11)(][21ωω∑=−=nk t t j k k eA E 1)(221)(ω∑=−=nkttjk keAE1)(221)(ω∑=−=nkttjk ke1)(221ωσ∑=−+−=nkkkkttjtt121212)(sin)((cosωωσ思考题：为什么说随机过程的均值函数和自相关函数在研究过程的概率与统计特性尤其重要?19201.2.3 多维随机过程及互相关函数类似于多维随机向量的概念，实际问题中常需要研究多维随机过程.Ex.5随机传输系统输入随机过程X t ，在系统L 的作用下，其输出为随机过程Y t .研究输入与输出过程间的相互关系，分析其整体统计特性.21Ex.6 n 台计算机通过一个有带宽限制的路由器获取网络数据,第i 台计算机获取数据的速度是随机过程:ni t X i t ,,2,1},0,{)( =≥需研究各台计算机的速度之间的关联关系.22定义1.2.5设给定概率空间(Ω,F , P )和指标集T , 若对每个t ∈T, 有定义在(Ω,F , P )上的随机向量,ω∈Ω与之对应. 称）ω，，ω，ω)()()(()()2()1(n t t t X X X },)()()({()()2()1(T t X X X n t t t ∈）ω，，ω，ω 为n 维随机过程.可定义多个随机过程的联合分布函数.参见教材P21.23工程实践中常需要研究多维随机过程的不同过程在相同或不同时点处的关联关系.},0,{≥t X t },0,{≥t Y t st引进两个随机过程的互相关函数.s X tX s Y24定义1.2.7 给定两个复随机过程},{)1(T t Z t ∈称和},,{)2(T t Z t ∈),(Cov ),()2()1()2()1(t s Z Z Z Z t s C =})]([)]({[)2()1()2()1(s m Z s m Z E Z t Z s −−=为两个随机过程的互协方差函数.][),()2()1()2()1(t s Z Z Z Z E t s R =为两个随机过程的称画指标.25当时间s 和t 变动, 两个过程的互协方差函数和互相关函数反映了它们之间的整体相关程度.对实随机过程和},{T t X t ∈},{T t Y t ∈)()(),(),(Cov ),(T m s m Y X E Y X t s C Y X t s t s XY −==若对任意s , t ∈T),(=t s C XY )()()()()(t s Y X t s Y E X E T m s m Y X E ==或称两个过程互不相关.26若对任意s , t ∈T)(),(==t s XY Y X E t s R 称两个过程正交.Ex.6设随机系统输入信号是随机过程输出过程是带有噪声的过程，即},{T t X t ∈Tt N X Y t t t ∈+=,其中是噪声过程.计算输出过程的均值函数与相关函数.},{T t N t ∈27解)()()()()()(t m t m N E X E Y E t m N X t t t Y +=+==)})({(),(t t s s Y N X N X E t s R ++=),(),(),(),(t s R t s R t s R t s R N NX XN X +++=特别当与相互正交,则},{T t X t ∈},{T t N t ∈),(),(),(t s R t s R t s R N X Y +=Ex.6设随机系统输入信号是随机过程输出过程是带有噪声的过程，即},{T t X t ∈Tt N X Y t t t ∈+=,其中是噪声过程.计算输出过程的均值函数与相关函数.},{T t N t ∈28Ex.7已知实随机过程的自相关函数为R (s , t ), 令},{T t X t ∈t a t t X X Y −=+求自相关函数R YY (s , t ).解])[(),(t s a s YY Y X X E t s R −=+),(),(t s R t a s R XY XY −+=)]([)(),(t a t s t s XY X X X E Y X E t s R −==+),(),(t s R a t s R −+=代入),(),(),(),(),(t s R a t s R t a s R a t a s R t s R YY ++−+−++=29),(),(),(),(),(t s R a t s R t a s R a t a s R t s R YY ++−+−++=特别取s=t ,则)(])[(),(2t t a t YY Y D X X E t t R =−=+),(),(),(),(t t R a t t R t a t R a t a t R ++−+−++=Ex.7已知实随机过程的自相关函数为R (s , t ), 令},{T t X t ∈t a t t X X Y −=+求自相关函数R YY (s , t ).。
随机过程基本知识-西安电子科技大学
复合poisson过程
定义 设 {N(t),t≥0} 是参数为λ 的Poisson过程, {Yk.k=1,2,…}是一列独立同分布的随机变量序列, 且与 {N(t),t≥0}独立
令X (t ) Yk , t 0
t-s内发生的随机事件数．
② N(t)是非负整数
③
④
实例 1.电话交换台的呼叫次数 2.放射性裂变的质点数 3.发生故障而不能工作的机器数 4.通过交通路口的车辆数 5.来到某服务窗口的顾客数 ……….. 以上实例中的呼叫,质点,机器,车辆,顾客等也 统一叫做随机点
若计数过程 {N(t),t≥0} 满足
k 1
N (t )
称 {X(t),t≥0}为复合Poisson过程.
（4）连续时间连续状态 高斯过程(正态过程） T=R, S=R
设{X(t), t ∈T }是取实值的S.P. ,若对任意的n≥1 及t1,t2,…,tn∈T, {X(t1), X(t2), …, X(tn)}是n维正 态 随机变量, 则称S.P. {X(t), t ∈T}为正态过程或高斯过程
(3) n 2, 0=t0 <t1 < <tn < ,W (tn )-W (tn -1 ), W (t2 )-W (t1 ),W (t1 )-W (t0 ) 相互独立
（４）随机过程Ｗ具有连续的样本轨道
2 1 的ＢＭ也称为标准Ｂｒｏｗｎ运动
二
根据轨道连续与否来分
样本轨道连续的随机过程
均值函数为0 功率谱密度为常数
（3）连续时间离散状态
Poisson过程 T=R+， S=N
电子科大随机过程总结 第2章 随机过程
������ + ������维联合分布函数
������1 −∞
������������
������1
������������
=���������������� (������1 , ⋯ , ������������ ; ������1 , ⋯ , ������������ ; ������1 , ⋯ , ������������ , ������1 , ⋯ , ������������ )������������������������
+∞
互相关函数
−∞ −∞
∑ 均值函数（数学期望） ������(������) = ������[������(������)] =
+∞
������=1
������������ ������������ (������) ,
离散型 互协方差函数 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ������������1 ������2 (������, ������) = ������������1 ������2 (������, ������) − ������������1 (������)������ ������2 (������)
������
（离散参数）链 （连续参数）链
随机过程 一维分布函数 一维概率密度函数 特征函数 二维随机分布函数 二维概率密度函数
复随机过程 均值函数 方差函数
������(������) = ������(������) + ������������(������) ������������ (������) = ������������ (������) + ������������������ (������) ������������ (������) = ������������ (������) + ������������ (������)
电子科技大学随机过程第2章
(m n)
多元正态分布的 边缘分布仍是正 态分布
~ C 是C 保留第k1,k2,…,km 行及列所得的m 阶矩阵.
~ ~ ~ μ 也服从正态分布N (μ, C ), 其中 ( k1 , k2 ,, km ),
3.独立性问题
等价于其协方差 矩阵是对角阵.
定理2.1.3 n维正态分布随机向量（X1,X2,…, Xn）相互独立的充要条件是它们两两不相关.
由X0, V 相互独立知
0 1 0 X0 ～N 0 , 0 1 V
X s 1 s X 0 X t 1 t V
因为
由正态分布的线性变换不变性得, 当s≠t时, (Xs, Xt)T的二维概率分布是非退化正态分布
Y KCK T , R(Y ) min( R(C ), R( K )) 2
即二维以上的线性变换向量Y= KX都是退 化(奇异)联合正态分布.
电子科技大学
问题结论： 1)不能保证Y=KX 服从非退化正态分布. 2) 当|KCKT|≠0时, 随机向量Y 服从非退化 正态分布. K为行满秩矩阵 可证明 推论 非退化正态分布随机向量X的满秩线 性变换仍服从非退化正态分布.
c2 c1 1 t1 t 2 1 t1 t 3
退化, 写不 出概率密度
1 t
2 1
t1 t2 t3
t1 t2 0 t3
( t 2 t1 )( t 3 t 2 ) 1 t1 t 2 1 t1 t 3
故例中当n>2时，不能写出n维联合正态 随 机向量, 其线性变换 Y= KX, 有 1) 每一分量服从正态分布; 2) 不能构成二维以上的非退化联合正态 分布;
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随机事件体F由Ω的全体子集(共26 ＝64个)构成； k F上的概率定义为P(A)＝ ，k为随机事件A包含 6 的样本点数；
(Ω,F,P)为概率空间。
2013-9-13
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古典概率空间
1) 样本空间由有限个样本点组成， Ω＝{ω1,ω2,…, ωn}； 2) 每个基本事件Ai＝{ωi}，i=1,2,…,n出现的可能性 相等。
B发生的条件概率定义为：
P( AB) P(B | A) P( A)
给定概率空间(Ω,F,P)，AF，且P(A)>0，对 任 意 BF 有 P(B|A) 对 应 ， 则 条 件 概 率 P(B|A) 是 (Ω,F)上的概率，记P(B|A)＝PA ，则(Ω,F,PA)也是 一个概率空间，称为条件概率空间。
设(Ω,F)是可测空间，如果定义随机事件体F上的实 值集函数P(A)，AF满足： 1) 0≤P(A)≤1，AF； (非负性) 2) P(Ω)＝1； (规范性) 3) AiF(i=1,2,…,)，AiAj＝Φ(i≠j)，则等式
P( A i ) P( A i )成立 。
i 1 i 1
下一讲内容预告
随机变量及其分布程
• 随机变量、分布函数 • 离散型随机变量及其分布律 • 连续型随机变量及其概率密度
常见的随机变量及其分布
n维随机变量 随机变量函数的分布
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二、样本空间、随机事件体
随机试验E的每一个最简单的试验结果，称 为样本点，记为。全体样本点构成的集合，称 为样本空间，记为Ω。 样本空间Ω的子集组成的集类F，如果满足： 1. ΩF； 2. 若AF，则 A F; 3. 若AiF(i=1,2,…,)，则 A i F ；
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五、乘法公式
设概率空间(Ω,F,P)，如果A,BF，且 P(AB)>0，则下述乘法公式成立：
推广：
P(AB)＝P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)
设概率空间(Ω,F,P)，如果AiF，i=1,2,…,n且 P(A1A2…An)>0，则下述推广的乘法公式成立： P(A1A2…An) ＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(An|A1A2…An-1)
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教学内容
6. 马尔可夫过程 1) 马尔可夫过程的概念 2) 离散参数马氏链 3) 齐次马氏链状态的分类 4) 连续参数马氏链 5) 生灭过程
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教学内容
7. 排队系统概述，M/M/1/∞排队 8. M/M/∞排队系统与M/M/c/∞排队系 统 9. M/M/c/K混合制排队系统 10.M/M/c/m/m系统及损失制系统 11.有备用品的M/M/c/m+K/m系统 12.嵌入马尔柯夫链，队长 13.等待时间与逗留时间和忙期 14.输出过程
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第一章 概率论
概率的数学理论是本课程的主要基础， 不清楚的同学请找一本这方面的书自学， 下面仅介绍本课程所必需的概率论的基本 定义和结果。
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§1.1 概率空间(Ω,F,P)
一、随机试验
如果一个试验E满足下列条件： 1. 在相同的条件下可以重复进行； 2. 每次试验的结果不止一个，并且能事先明确 知道试验的所有结果； 3. 一次试验结束之前，不能确定哪一个结果会 出现 则称此试验为随机试验。
A
AB A＝B A∪B AB A－B AB＝Φ
样本空间，必然事件 不可能事件 基本事件 事件 A的对立事件(逆事件) A发生，B必发生 事件A与B相等 事件A与B至少有一个发生 事件A与B同时发生 事件A发生而事件B不发生 事件A与B互不相容(互斥)
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三、概率与概率空间
那么称F为随机事件体(域)或σ－代数。 随机事件体F的任意元素A称为随机事件； 仅含一个样本点的事件称为基本事件； 样本空间Ω和F的二元体(Ω,F)称为可测空间。
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Ω ω A
k P(A) e kA k ! P( ) 0 ( 0)
则(Ω,F,P)是一个概率空间。
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概率的性质
1. P(Φ)＝0； P(Ω)＝1； 2. (有限可加性) 若AiF(i=1,2,…,n)，且AiAj＝ Φ(i≠j)，则
P( A1 A 2 An ) 1 P( A i )
i 1
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七、全概率公式与贝叶斯公式
设事件组B1,B2,…,Bn两两互不相容，即BiBj
＝Φ(1≤i≠j≤n)，且
B ＝Ω，P(B )>0，i=1,
i i 1
n
i
i 1
lim P(A ) P(A)；
n i
2) 若A1A2A3…，且 A i A， 则
i 1
lim P( A
n
n
) P( A)。
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四、条件概率
设概率空间(Ω,F,P)，AF，BF，且
P(A)>0，在事件A已经发生的条件下，事件
1 i j k n i j
k
(1)n1 P( A1A2 An ) 多除少补原理
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概率的性质
4. P(A)＝1－P( A )； 5. 若AB,则P(B－A)＝P(B)－P(A)， P(A)≤P(B)； 6. (连续性) 1) 若A1A2A3…，且 A i A， 则
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六、事件的独立性
如果事件A,BF，满足
P(AB)＝P(A)P(B)，
则称事件A与B相互独立。 如果事件A1,A2,…,AnF，且对任意 s(2≤s≤n)和任意的1≤i1<i2<…<is<n，有 P(Ai1Ai2…Ais)＝P(Ai1)P(Ai2)…P(Ais)， 则称事件事件A1,A2,…,An相互独立。
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教学方式和考核方式
教学方式： 课堂讲授 考核方法： 笔试 成绩构成： 平时成绩*20％＋期末成绩*80％
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教材及参考资料
1. 随机过程及应用，朱庆棠 陈良均，高等教育出版社， 2003。 2. 排队论——基础与分析技术，唐应辉 唐小我，科学 出版社，2006。 3. 排队论——基础与应用，唐应辉 唐小我，电子科技 大学出版社，2000。 4. 随机过程，刘次华，华中科技大学出版社，2003。 5. 排队论基础，孙荣恒 李建平，科学出版社，2002。 6. 现代通信中的排队论，陈鑫林，电子工业出版社， 2000。 7. 排队论及其在计算机通信中的应用，盛友招，北京 邮电大学出版社，2000。
2,…,n，则对任意事件A，有
1. 全概率公式： P( A ) P(B i )P( A | B i ) ；
i 1
n
2. 贝叶斯公式： P(B j | A )
P( B j )P( A | B j )
P( B )P( A | B )
i 1 i i
n
，
j=1,2,…n。
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随机事件体F由Ω的全体子集(共2n个)组成；
随机事件体F上的古典概率P定义为
k P(A)＝ ， n
n为样本点总数，k为A包含的样本点数。 (Ω,F,P)是一个古典概率空间。
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例
给定一个随机试验E，样本空间Ω＝{0,1,2,…}。
随机事件体F由Ω的全体子集组成。 对任意A∈F，定义概率P如下：
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六、随机事件独立性的性质
1) A与B相互独立A与B相互独立 A与B相互独立 A与B相互独立 2) A与B相互独立P(B|A)＝P(B) (P(A)>0) P(A|B)＝P(A) (P(B)>0) P(B|A)＝P(B|A) (0<P(A)<1) 3) 设A1,A2,…,An相互独立，若将其中任意m个 (1≤m≤n)事件换成它们的逆事件，则所得的n个 事件仍然相互独立。 4) 设A1,A2,…,An相互独立，则 n
(完全可加性)
则称P为(Ω,F)上的概率测度，简称概率。对任意 AF，P(A)称为随机事件A的概率。
样本空间Ω、随机事件体F和概率P组成的三元 体(Ω,F,P)称为概率空间。
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例
掷一枚均匀的骰子，观察出现点数的随机试验E。
i＝i，i＝1,2,…,6，含有6个样本点；
P( A i ) P( A i )
i 1 i 1 n n
3. (加法公式) P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)， 一般地，若AiF(i=1,2,…,n)，则