第11章 弯曲应力

x

dx

6
物理方面
梁的各纵向纤维均处于单向受力状态，因此，在弹性范围内正应力与线 应变的关系为： σ Eε 将式

y

代入，得
y σE ρ
此式表明，梁横截面上的正应力与其作用点到中性轴的距离成正比， 并且在y坐标相同的各点处正应力相等，如图所示。
7
静力学方面
由图可以看出，梁横截面 上各微面积上的微内力dFN=σdA 构成了空间平行力系，它们向截面形心简化
bh 0.1 0.16 Iz 0.341 104 m 4 12 12
3 3
F A l/3
F
A* m m l/6 B K b y y * h z
l/3
l/3 习题6−5图
面积A*对中性轴的静矩为
Sz A* y* 0.1 0.04 0.06 0.24103 m3
则K点的切应力为
2
b
h y
(a)
z y
A1 (b)
τmax
最后可得
FS h 2 τ ( y2 ) 2I z 4
20
例题 一矩形截面的简支梁如图所示。已知：l=3m， h=160mm，b=100mm，y=40mm，F=3kN，求m −m截面上K 点的切应力。
解：先求出m −m截面上的剪力为 3kN，截面对中性轴的惯性矩为
11
Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数。
横截面上应力分布
b yc,max
d2
c,max
yt,max
h
o
z
O z y
d1
y
b
t,max
中性轴 z 不是横截面的对称轴时，其横截面上最大拉应力 值和最大压应力值为
t,max
Myt ,max Iz
c,max
Myc,max Iz
12
* FS S z τ I z b1
式中：FS为横截面上的剪力；Sz*为欲求应力点到截面边缘间的面积对中性轴 的静矩；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；b1为腹板的厚度。
切应力沿腹板高度的分布规律如图a所示，仍是按抛物线规律分布，最大切 应力τ max仍发生在截面的中性轴上。
22
2、翼缘上的切应力
翼缘上的切应力的情况比较复杂，既有平行于y轴的切应力 分量（竖向分量），也有与翼缘长边平行的切应力分量（水 平分量）。当翼缘的厚度很小时，竖向切应力很小，一般不 予考虑。
26
例题 一外伸工字型钢梁如图a所示。工字钢的型号为 22a，已知：l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的许用应力 [σ]=170MPa，[τ]=100MPa,试校核梁的强度。
解：（1）校核最大正应力 弯矩图如图c所示，最大正应力应发生在最大 弯矩的截面上。查型钢表可知 则最大正应力
σ max
23
梁的强度条件
梁的正应力强度条件
max
对梁的某一横截面来讲，最大正应力发生在距中性轴最 远的位置， 而对整个等截面梁来讲，最大应力由弯矩分布和 截面形状二者决定
σ max
M Wz max
24
式中的Wz称为弯曲截面系数，它与梁的截面形状和尺寸有关。
h 1，即 Wz矩 Wz方 ， a
说明此时矩形截面比同样面积的正方形截面合理。
h 当 h b 时（图b），可得 ，即 1 a 不如同样面积的正方形截面合理。
Wz矩 W ，说明此时矩形截面 z方
28
正方形和圆形的比较
2 a d ， 于是 a 由 ，得 2 4
d 2
Wz方 Wz圆
惯性矩与平行轴定理
简单截面的惯性矩 矩形截面 圆形截面
组合公式
I z I z(1) I z(2)
I z( n)
平行轴定理
I z I z 0 Aa2
13
横力弯曲
在竖向荷载作用下，通常梁横截面上不仅有弯矩而且有剪
力，这种情况下我们称之为横力弯曲。而实际工程中的梁， 大多发生的都是横力弯曲。对于工程实际中常用的梁，应
解：先求出C截面上弯矩 M C Fa
1.5 103 2 3 103 N m
截面对中性轴的惯性矩 bh3 0.12 0.183 Iz 0.583 104 m 4 12 12
将MC、Iz、y代入正应力计算公式，则有
MC 3 103 6 σK y ( 0 . 06 ) 3 . 09 10 Pa 3.09MPa 4 Iz 0.583 10
FN σdA
A
，
M z yσdA
A
有
由截面法可知，上式中的FN等于零，而MZ就是该截面上的弯矩M，所以
FN σdA 0
A
M z yσdA M
A
8
FN d A
A
E

A
yd A 0
E 因为 不等于零，所以有

yC y d A 0
(a)
A
l/2 (b) FS图
F B l/2
q C l/3 12kN
D
Wz 309cm3 0.309103 m3
M max 39 103 126 106 Pa 126MPa [σ ] 3 Wz 0.309 10
13kN
17kN
(c) M图 12kN.m
（2）校核最大切应力 剪力图如图b所示，最大切应力应发生在最大 剪力的截面上。查型钢表可知
用纯弯曲时的正应力计算公式来计算梁在横力弯曲时横截
面上的正应力，所得的结果虽略偏低一些，但足以满足工 程中的精度要求。
My σ Iz
14
例题 长为 l 的矩形截面梁，在自由端作用一集中力F， 已知 h =0.18m，b=0.12m，y =0.06m，a=2m，F=1.5kN， 求C截面上K点的正应力。
d2
中性轴 z 为横截面对称轴的梁 其横
yc,max
截面上最大拉应力和最大压应力的
O z
值相等；中性轴 z 不是横截面对称
yt,max
h
y b
轴的梁 (如图) ，其横截面上的最大
拉应力和最大压应力的值不相等。
中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应
力的值为
d1
max
Mymax M M Iz I z Wz y max
27
梁的合理强度设计
梁的合理截面形状 梁的合理截面形式是在截面面积相同的条件下具有较大的 弯曲截面系数。
矩形截面、正方形截面和圆形截面在截面面积相同条件下其合理性的比较。
h
h a b d
b
(a)
(b)
(c)
(d)
矩形和正方形的比较 当 hb
Wz矩 Wz方
bh2 6 h 3 a 6 a
时（图a） ，由hb=a2知 h a b ， 从而
a3 6 π π d 3 48 3 1.18 1 3 πd 32 πd 32
这说明正方形截面比同样面积圆形截面合理。 由以上的分析可以看出，Wz值与截面的高度及截面的面积分布有关。截面的高度 愈大，面积分布得离中性轴愈远，Wz值就愈大；反之，截面的高度愈小，面积分 布得离中性轴愈近，Wz值就愈小。所以，选择合理截面的基本原则是尽可能地增 大截面的高度，并使大部分的面积布置在距中性轴较远的地方。因此，在工程实 际中，经常采用工字形、环形、箱形等截面形式。
K点的正应力为正值，表明其应为拉应力。
15
对称弯曲切应力
矩形截面梁的切应力 1、两点假设 （1）横截面上各点处的切应 力均与侧边平行。 （2）横截面上距中性轴等距 离各点的切应力相等。 2、切应力公式的推导
从梁中取出长为dx的微段，如右图所示。
M
dx FS FS M+dM
16
微段梁上的应力情况如图b所示。
此式即为切应力的强度条件。
25
在进行梁的强度计算时，必须同时满足正应力强度条件和 切应力强度条件。一般情况下，梁的强度计算由正应力强度 条件控制。因此，按正应力强度条件设计的截面常可使切应 力远小于许用切应力。所以一般情况下，总是根据梁横截面 上的最大正应力来设计截面，然后再按切应力强度条件进行 校核。
Iz S z ,max 18.9cm 0.189m
39kN.m
b1 d 7.5mm 0.0075 m
则最大切应力 所以此梁安全。
FS, maxS z , max 17 103 τ max 12 106 Pa 12MPa [τ] I zb1 0.189 0.0075
静力学关系
3
几何方面 梁的纯弯曲实验
横向线(mn、pq）变形后 仍为直线，但有转动；纵向 线变为弧线，且上缩下伸； 横向线与纵向线变形后仍保 持垂直。
由梁变形的连续性可知： 在梁中一定有一层上的纤维 既不伸长也不缩短，此层称 为中性层。中性层与梁横截 面的交线称为中性轴。
C
m p
n q (a) F m p F
D
n
q (b)
4
根据表面变形情况，对纯弯曲变形下作出如下假设：
（1）平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕 垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面 与梁弯曲后的轴线保持垂直。
（2）单向受力假设 梁的纵向纤维处于单向受力状态，且纵向纤维之间的相互 作用可忽略不计。
由 得
F
x
0
（a）
FN1
dFS
FN2
FN 2 FN1 dF S 0
FN1 My1 M σdA dA A1 A1 I Iz z
dx
(d)
其中
MS * z y d A A1 1 Iz
h
（b） b z y y (e)
18
式中的A1是横截面上距中 性轴为y的横线以外部分 的面积（图e），
经整理得
FS S τ I zb
* z
19
* FS S z τ I zb
上式即为矩形截面梁横截面任一点的切应力计算公式。式中： FS为横截面上的剪力；S z*为面积A1对中性轴的静矩；Iz横截 面对中性轴的惯性矩；b为截面的宽度。
对于矩形截面梁，由图6−7a可知
h 1 h b h 2 S* b ( y ) y ( y ) ( y ) z 2 2 2 2 4
现假设用一水平截面将微段梁截开，
并保留下部脱离体，由于脱离体侧面 上存在竖向切应力τ ，根据切应力互 等定理可知，在脱离体的顶面上一定 存在切应力τ '，且τ '=τ ,如图c所示。
dx (c) dx (b) z y
τ′ τ y
17
以FN1、FN2分别代表作用在脱离体左侧面、 右侧面上法向内力的总和，dFS代表水平截面上切 应力的总和，如图d。
A
由此可知，中性轴通过横截面的形心，于是就确定了中性轴的位置。
9
另外有
M z y d A
A
E

A
y2 d A
EI z

M
即有
M EI z
1
上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。 最后，可得梁在纯弯曲时横截面上任一点的正应力的计算公式为
My σ Iz
10
横截面上的最大正应力
5
正应力公式的推导
中性层
Hale Waihona Puke Baidu
dθ ρ
m n
p
q
m O1 a n
p 中性轴
dx (a)
O2 b q
(b)
O1 dx y a (c)
O2 b
弧线O1O2的长度为：
dx ρdθ
y dx
距中性层为 y 处的纵向纤维ab 的伸长为 ： ( ρ
dx y )dθ ρdθ ydθ y ρ
y
相应的纵向线应变为 ：
梁的切应力强度条件 整个等截面梁来说，最大切应力应发生在剪力最大的横截 面的中性轴上，即 *
τ max FS, max S z ,max I zb
为了保证梁的安全工作，梁在荷载作用下产生的最大切应力 不能超过材料的许用切应力，即
τ max
* FS, max S z , max
I zb
τ
FS S z 3 103 0.24 103 6 τ 0 . 21 10 Pa 0.21Mpa 4 I zb 0.341 10 0.1
21
工字形截面梁的切应力
工字型截面是由上、下翼缘及中间腹板组成的。 1、腹板上的切应力 由于腹板是狭长矩形，完全可以采用前述两个假设，因此上节推导的切应力 的计算公式，对于工字型截面的腹板来讲也是适用的，即

对称弯曲正应力 对称弯曲切应力 梁的强度条件 梁的合理强度设计 弯拉（压）组合
0
目录
1
对称弯曲正应力
F a F a C l D B
纯弯曲——梁或梁上 的某段内各横截面上 只有弯矩而无剪力(如 图中的CD段)。
(a) A A
F
(b) FS图 (c) M图 Fa F
2
变形几何关系 从三方面考虑： 物理关系
S y1dA
* z A1
是A1对中性轴的静矩。
A1
同样有
FN 2
( M dM ) S * z Iz
由于微段的长度很小，脱离体水平截面上的切应力可认为是 均匀分布的，所以有
dFS τ' bdx
综合考虑FN1、FN2、dFS，得到
* (M dM )S * MS z z τ' bdx 0 Iz Iz