第十八章 勾股定理单元分析
(寒假班内部讲义)第十八章-勾股定理
第十八章勾股定理第一部分知识网络一、重、难点重点：勾股定理及其逆定理的应用。
难点：勾股定理及其逆定理的应用。
二、知识要点梳理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
三、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．第二部分 学习笔记1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？（1） 角与角之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有∠A+∠B=90°；（2） 边与边之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有222c a b =+2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c ，那么222c a b =+ 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
第十八章勾股定理知识点分析
第十八章：勾股定理(勾股定理 勾股定理逆定理) 一、勾股定理▼为何称为“勾股定理”？古代数学家将较短直角边称为“勾”，较长直角边称为“股”，斜边称为“弦”。
因而将直角三角形的这个性质称为“勾股定理”。
有“勾三股四弦五”之说，即32+42=52★勾股定理只适用于直角三角形，主要应用于①已知直角三角形的两边求第三边；②在直角三角形中已知其中一边求另两边的关系； 例：在△ABC中，∠C=90°(1) 若a=3,b=4,则c=_________;(2) 若a=6,c=10,则b=_________; (3)若c=34,a:b=8:15,则a=________,b=________.★易错点：(1)求直角三角形的边长时考虑不全面如：已知直角三角形两条边长分别为6,8，则其周长为_______________ ★(2)乱用勾股定理，对于非直角三角形也运用勾股定理如：已知△ABC 各边长均为整数，且AC=4，BC=3，AB 是唯一的最长边，则AB 的长可能是_________［5或6］ 知识点2：勾股定理的证明(1)如图所示是用4个全等的直角三角形拼成的正方形，其中较长直角边为b ，较短直角边为a ，斜边为c 。
试证明a 2+b 2=c 2知识引申：我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如上图1所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a 、b ，那么（a+b ）2的值是_________(25) (2)如图2所示，每个小方格的面积均为1，正方形A ，B ，C 的边长分别为a,b,c,试证明a 2+b 2=c 2如上图2，若正方形A 的面积为S1,B 的面积为S2，C 的面积为S3，则S1，S2，S3的关系为_________________已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，则S1，S2，S3的关系为______________若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为____________________。
第十八章勾股定理教材分析
4.如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河 的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现 在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，请你在河 流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的总距离最短
B
A
C
D
L
3 数形结合思想
例1；（荆门市）我国古代数学家赵 爽的“勾股圆方图”是由四个全等的 直角三角形与中间的一个小正方形拼 成一个大正方形。如果大正方形的面 积是13，小正方形的面积是1，直角 三角形的两条直角边分别为a,b. 那么（ a+b)2的值为_____ 25
教学中应该注意的问题
2.教学手段多样，数学历史知识丰富. 观察、猜测、实验、验证、 讨论与交流，动手实践等
教学中应该注意的问题
3.运用勾股定理计算. 知二求一
知一和另两边 关系 知一边和一 个特殊锐角
数形结合 分类讨论
知二求一
（熟练应用平方差）
知一和另两边 关系 （方程思想即降元）
题型举例：已知Rt△ABC中,∠C=90°, （1）若a=2，c=5，求b； （2）若c=10，a：b=1：3，求a； （3）若a=9，且c比b大1，求b、c的值
例题．如图5.32-2，已知AB=4，∠B=120°， BC=6,求AC的长。
A
B
C
例题．如图，已知AB=4，∠B=30°， ∠C=45°,求AC、BC的长。
A
B
C
A
例如：已知△ ABC中，C=45° ， BAC=15° ，AB=2 3， 求△ ABC的面积.
E
B
C
教学中应该注意的问题 ③将含一个直角的四边形转化为两个 直角三角形.
在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1 米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及 水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问 这里水深是________m。
八年级数学下册教学课件《勾股定理 单元解读》
教材内容
勾股定理分为两节。第17.1节介绍勾股定理及其应用，第17.2节介绍勾 股定理的逆定理及其应用.
17.1 勾股定理. 首先结合引言了解到在我国古代就对直角三角形有了初步认识，然后通过对等腰直 角三角形的三边关系进行探究到一般的直角三角形的三边关系，最后介绍了我国古 代，“赵爽弦图”通过对图形的切割，拼接巧妙地证明了勾股定理.
17.1 勾股定理 17.2 勾股定理的逆定理
数学活动 小结
4课时 3课时
2课时
教学建议
1.重视提高学生分析问题、解决问题的能力 在勾股定理的教学中，一方面要重视学生观察、 猜想能力的培养，
另一方面也要重视从特殊结论到一般结论的严密逻辑思维能力的培养. 从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉出发想当然地认为勾股 定理的逆命题也一定成立.而从这种直觉上升到逻辑严密的思考和证 明，认识到两个结论有联系但却并不相同，认识到新的结论仍需要经 过严格的证明，这是思维能力提高的重要体现，这在教学中是应该引 起重视的另外，逆命题的教学也是一个教学难点，怎样写出一个命题 的逆命题，原命题和逆命题真假的多种可能性，怎样的命题可以称为 逆定理，这些都是学生容易出错的知识点.
直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质.本章所研究的勾股 定理，就是直角三角形非常重要的性质之一，有极其广泛的应用．不仅在平面 几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基 础，对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响．本章教学时间约需9个课 时，具体安排如下（仅供参考）：
通过这一节内容的学习，可以培养 学生逻辑思维能力、分析问题和解 决问题的能力.
教材内容
勾股定理分为两节。第17.1节介绍勾股定理及其应用，第17.2节介绍勾 股定理的逆定理及其应用.
八年级下册数学第18章勾股定理【DOC范文整理】
八年级下册数学第18章勾股定理课题18.1勾股定理知识与技能目标1、了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
会运用勾股定理进行简单的计算及解决生活中的实际问题。
过程与方法目标1、通过勾股定理的探索证明过程，培养合情推理能力，体会数形结合的思想。
通过探究活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
情感与态度目标1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．教学重点勾股定理的内容及证明，以及勾股定理的简单应用教学难点勾股定理的证明以及在生活中的应用一、引入新XX年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会的会徽的图案．你见过这个图案吗？你听说过“勾股定理”吗？教师作补充说明：这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”。
那么为什么数学家大会用它做会徽呢？它有什么特殊的含义吗？这也就是我们本章的主要学习内容。
这一节课我们先学习有关勾股定理的内容。
二、探究新课：探究1：毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。
相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。
同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？图18.1-1你能找出图18.1-1中正方形A、B、c面积之间的关系吗？图中正方形A、B、c所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?教师在此过程中要注意引导学生用不同的方法得出大正方形的面积，引导学生归纳出自己的发现。
发现：正方形A的面积+正方形B的面积=正方形c的面积；即SA+SB=Sc。
进而发现：等腰直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方思考：等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它具有上述性质，那么其他的直角三角形是否也具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”呢？想一想：怎样利用小方格计算正方形A、B、c面积？三个正方形面积有什么数量关系？据此，你有什么猜想？分析：图1中，SA=16SB=9Sc=所以有：SA+SB=Sc图2中，SA=4SB=9Sc=所以有：SA+SB=Sc由上可说明：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么猜想：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方。
八年级数学下册 第18章勾股定理知识点与常见题型总结复习 人教新课标版
八年级数学下册第18章勾股定理知识点与常见题型总结复习人教新课标版八年级数学下册第18章勾股定理知识点与常见题型总结复习人教新课标版第18章勾股定理复习一．知识归纳１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，412ab(ba)2c2，化简可证．DCHEFGbaAcB方法二：baaccbbccaab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S412abc22abc2大正方形面积为S(ab)2a22abb2所以a2b2c2方法三：S1梯形2(ab)(ab)，S梯形2SADESABE21122ab2c，化简得证用心爱心专心AaDbccBbEaC３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）mn,2mn,mn2222（mn,m，n为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体用心爱心专心推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：CCC30°ABADBBDACBDA题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC中，C90．⑴已知AC6，BC8．求AB的长⑵已知AB17，AC15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2b2c2题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的长CD12EAB分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来用心爱心专心例4.如图RtABC，C90AC3,BC4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积CAB题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了mAEBDC分析：根据题意建立数学模型，题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例 6.已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt①a1.5，b2，c2.5②a54，b1，c23例7.三边长为a，b，c满足ab10，ab18，c8的三角形是什么形状？题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC边上的中线AD12cm，求证：ABAC用心爱心专心扩展阅读：新人教版八年级数学下册勾股定理知识点和典型例习题新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题一、基础知识点：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：DHEFbAcGaC1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角1三角形的面积与小正方形面积的和为S4abc22abc2大正方形面积为2BbacabS(ab)a2abb所以abcbc222222c111方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化简得证222３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
八年级第18章知识点总结
八年级第18章知识点总结八年级第18章知识点内容涉及到勾股定理以及三角形的性质，通过本章学习，我们能够加深对于勾股定理的理解，熟悉各种三角形的性质，从而能够更好地去解决与三角形相关的问题。
一、勾股定理勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
我们可以用字母表达式来表示这个定理：c² = a² + b²其中，c表示直角边中的斜边，a和b则分别表示其他两条边。
勾股定理有许多应用。
例如，我们可以用勾股定理计算直角三角形的斜边的长度；或者在一个非直角三角形中，如果我们知道角度和其中两条边的长度，那么我们就可以用勾股定理来计算出第三边的长度。
二、三角形的性质1.等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
在等边三角形中，三个角度都相等，并都等于60度。
2.等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两个角度相等。
3.直角三角形直角三角形是指其中一个角度是90度的三角形。
在直角三角形中，直角边上的角度是90度，其他两个角度则相加等于90度。
4.锐角三角形锐角三角形是指其中三个角度都小于90度的三角形。
5.钝角三角形钝角三角形是指其中一个角度大于90度的三角形。
以上五种三角形都各自有不同的性质和应用，我们需要针对不同的问题和场合，进行选择和使用。
三、总结本章内容主要涉及到勾股定理以及各种三角形的性质。
我们通过学习这些知识，能够更好地去解决各种三角形相关的问题。
在学习过程中，我们需要不断地练习，熟练掌握各种公式和定理，从而能够更好地应用到实际问题中去。
沪科版八年级下册数学第18章勾股定理单元复习说课稿
（1）分组合作：将学生分成小组，进行探究式学习，共同解决勾股定理相关问题。
（2）讨论与分享：鼓励学生在小组内讨论，分享解题思路和方法，互相学习，共同提高。
四、教学过程设计
（一）导入新课
为了快速吸引学生的注意力和兴趣，我将采用以下方式导入新课：
1.创设情境：通过展示一张著名的直角三角形图形，如埃及金字塔的截面图，引导学生思考直角三角形在建筑和生活中的应用。
1.提高课堂教学的趣味性和直观性，吸引学生的注意力。
2.帮助学生更好地理解和掌握勾股定理及其应用。
3.拓展教学时空，提高教学效率。
（三）互动方式
我计划设计以下师生互动和生生互动环节，以促进学生的参与和合作：
师生互动：
（1）提问：在教学过程中，通过提问引导学生思考，检查学生的学习效果。
（2）反馈：针对学生的回答和表现，给予及时、积极的反馈，鼓励学生积极参与课堂讨论。
2.提出问题：提问学生：“同学们，你们知道直角三角形有什么特殊的性质吗？”、“在直角三角形中，三条边之间是否存在某种关系？”
3.数学故事：讲述古希腊数学家毕达哥拉斯发现勾股定理的传说，激发学生对勾股定理的好奇心和探索欲望。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
1.回顾直角三角形的定义和性质，为学习勾股定理做好铺垫。
3.情感态度与价值观目标：
（1）激发学生对数学学习的兴趣，提高学生的数学素养。
（2）通过勾股定理的学习，使学生认识到数学在现实生活中的应用价值，培养学生的科学态度和价值观。
（三）教学重难点
根据对学生的了解和教学内容的分析，本节课的教学重点和难点如下：
1.教学重点：
（1）勾股定理的定义、证明和应用。
人教版八年级下册数学 专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结
八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ．4 D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
《勾股定理》教学分析doc
《勾股定理》教学分析本节课我从教材、教法与学法、教学过程、信息技术与课程整合、教学评价五个方面对本节课进行分析。
一、教材分析（一）本节内容在全书和章节的地位“勾股定理”是义务教育新课程标准人教版八年级第十八章第一课时内容。
勾股定理是几何中几个重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，它将数与形密切联系起来，在数学的发展中起着重要的作用,在现实世界中有着广泛的应用。
（二）学情分析八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力。
他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会。
但对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。
据此，我制定教学目标及重难点如下：（三）三维教学目标【知识与能力目标】⒈理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够灵活运用勾股定理及其计算；⒉通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
【过程与方法目标】在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
【情感态度与价值观】通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。
（四）教学重点、难点【教学重点】探索发现并验证勾股定理。
【教学难点】1．“割补法”探究直角三角形斜边为边长的正方形的面积计算。
2．通过拼图验证勾股定理；【学具准备】4个全等的直角三角形硬纸板.二、教法与学法分析在教学中我采用的是“引导探索法”，由浅到深，由特殊到一般的提出问题。
以导为主,采用设疑的形式，让学生逐步进行探究性学习。
【2013·张】《勾股定理》教材分析
《第十八章 勾股定理》教材分析北师大附属实验中学 张颜一、学习目标：1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题.2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3、通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
二、本章知识结构图：互逆定理三、课时安排：本章教学时间约需要8课时，具体安排如下：18.1 勾股定理 4课时18.2 勾股定理的逆定理 3课时小结 1课时四、中考要求：1、已知直角三角形的两边长，会求第三边长（A 级）2、会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理逆定理判定直角三角形。
（B 级）3、了解定义、命题、定理含义；了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立（A 级）五、本章教材在学习中地位：本章主要内容是勾股定理及其逆定理。
勾股定理是欧式平面几何的一个核心结果，是三角学的出发点，与“黄金分割”一起被开普勒称为“几何学两个宝藏”. 它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系， 使人们对原来几何学的感性认识精确化，其中体现出来的“数形统一”的思想方法，启发了人类对数学的深入思考，促成了解析几何与三角学的建立，使数学的两大门类代数和几何结合起来，许多大科学家都认为勾股定理以及处理数据的数学方法深深地影响了现在许多学科的思考模式.勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系,是后续学习解直角三角形、余弦定理的基础，是三角形知识的深化, 他紧密联系了数学中最基本的两个量——数和形，能够把形（直角三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足2c22a=+），既是数形结合的典范，又体现了转化和方程思想.b不仅对中国，它的启示和影响对世界许多重要的科学发现也都很重要. 如在西方无理数的发现就应直接归功于勾股定理的发现. 在其它文明古国如古代印度、古代巴比伦、古代埃及等的数学发展史上这一定理也都发挥过不可估量的作用. 毫不夸张地说，它是世界各大文明古国最早认识也是最广泛使用的数学定理之一，是人类最伟大的十大科学发现之一. 天文学家开普勒亦把它称为几何定理中的“美玉”，应该说勾股定理实在是受之无愧的！因此勾股定理有千年第一定理的美誉. 因为：勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理；勾股定理导致无理数的发现，引发数学的第一次危机；勾股定理开始把数学由计算与测量转化为证明与推理的科学；勾股定理的公式是第一个不定方程，它一方面引出各种各样的不定方程；另一方面也为不定方程解题树立了一个范示.六、本章教法建议：1、让学生体验勾股定理的探索和运用过程教材安排从传说故事引入对勾股定理的探索，以及先从特殊的等腰直角三角形入手，直到让学生利用勾股定理探究三个问题（探究1是木板进门的问题，探究2是梯子滑动问题，探究3的问题），意在不仅激发学生学习的兴趣、降低难度鼓励学生认识规律，更是激励学生主动体验勾股定理的探索和运用过程的精神.2、结合具体例子介绍抽象概念本章无论勾股定理还是勾股定理逆定理的研究都体现着由抽象到具体的思维过程. 在勾股定理逆定理的一节中，从古代埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些直角三角形，可以猜想出如果三边长222+=满足，那么a b c a b c,,这个三角形显然是直角三角形，即教科书的命题2. 命题2的条件、结论与上一节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题、逆定理的概念.3、注重介绍数学文化在教学中，注意展现与勾股定理有关的背景知识，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣. 人们对勾股定理的证明进行了大量的研究，这些证明不仅证出了定理，而且丰富了研究数学问题的方法和手段，促进了数学的发展. 除正文介绍的有关内容外，教科书在“阅读与思考勾股定理的证明”中介绍了另外几种证明勾股定理的方法，还安排了数学活动鼓励学生收集一些证明方法与同学交流。
勾股定理单元教材分析
教学内容
勾股定理
教
材
分
析
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，在数学发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。勾股定理的发现、验证和应用蕴涵着丰富的文化价值。勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。同时，本章借助勾股定理渗透了代数计算和几何图形间的关系
教
学
目
标
1．经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角形的条件的过程，发展合情推理能力，体会形数结合的思想。
2．掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题。
3．掌握判断一个三角形是直角三角形的条件，并能运用它解决一些实际问题。
4．通过实例了解勾股定理的历史和应用，体会勾股定理的文化价值。
教
学
重
难
点
重点：勾股定理及其逆定理的运用
难点：勾股定理的验证和验证的应用
课时分配
约六节课
教
学
设
想
及Байду номын сангаас
措
施
注意勾股定理的推论验证，关注应用，多联系实际生活；注意渗透数形结合的思想，鼓励学生从代数表示联想到有关的几何图形，由几何图形联想到有关的代数表示。
八年级数学下册第18章勾股定理知识归纳新版沪科版
第18章 勾股定理勾股定理知识总结： 一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
（即：a 2+b 2＝c 2） 要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c =，b，a =） （2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。
（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边） 3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证6：勾股数a bcc baE D CBA①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）二、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
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初中数学试卷桑水出品专题：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ．4 D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
第十八章 勾股定理单元分析
第十八章勾股定理本章主要内容是勾股定理及其逆定理。
首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。
在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。
一、教材分析直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。
它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。
在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。
勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
在教科书中，图18.1－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图18.1－3（3）中的图形。
由此就证明了勾股定理。
通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。
勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。
由勾股定理可得。
由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。
第18章勾股定理教材分析
五、本章课时安排
本章约需8课时，具体安排如下: 18.1 18.2 数学活动 小结 勾股定理 勾股定理的逆定理 4课时 3课时
1课时
六、教学内容分析和建议 本章学习目标 1.探索勾股定理，会运用勾股定理解 决简单问题. 2.会运用勾股定理的逆定理判定直角 三角形. 3.通过具体例子，了解逆命题、逆定 理的概念，知道原命题成立其逆命题不 一定成立.
不确定，分类）；
（3）借助图形分析.
【题组训练】 ①在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1， c=2， 求b． ②在Rt△ABC中，∠B=90°，a=1， c=2， 求b． ③直角三角形的两直角边分别长3、5， 求斜边长. ④直角三角形的两边长分别是3、5， 求第三边的长. ⑤直角三角形中的最长边长是5，还有 一边长是3，求第三条边的长.
18.1 勾股定理
（一）勾股定理的探索和得出
（二）勾股定理的运用
（一）勾股定理的探索和得出
内容：了解勾股定理的发现过程， 探索用面积法证明勾股定理，掌握 其内容.
易出现的问题：学完后，学生对于勾股 定理的印象往往仅停留在“ a b c ”
2 2 2
这个表达式上.
建议：1.给学生创造充分的探索勾股定理
主要内容
• 1.勾股定理及其逆定理 • 2.长为无理数的线段的画法 • 3.互逆命题（定理） • 4.勾股数
一、对本章的要求 1.2011年数学课程标准 探索勾股定理及其逆定理，并能 运用它们解决一些简单的实际问题. 通过具体实例，了解逆命题的概 念。会识别互逆的两个命题，知道 原命题成立其逆命题不一定成立。 数学课程标准（实验稿） 体验勾股定理的探索过程，会用 勾股定理解决简单问题.
1.会用勾股定理进行简单的计算；
初中数学人教版教材分析(第18章勾股定理教案)
第十八章 勾股定理18．1 勾股定理（1）一、教学目标1．体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理． 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力． 二、重点难点1．重点：勾股定理的内容及证明． 2．难点：勾股定理的证明． 三、课堂引入让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长． 再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长．你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2．对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 四、例题分析例1、已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c ．求证：a 2＋b 2=c 2． 分析：方法1、如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证．方法2、左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等． 左边S=4×21ab ＋c 2 右边S=（a+b ）2左边和右边面积相等，即 4×21ab ＋c 2=（a+b ）2 化简可证．bbbaAB五、巩固练习1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）⑴两锐角之间的关系： ；⑵若D 为斜边中点，则斜边上的中线和斜边： ； ⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ； ⑷三边之间的关系： ． 2．如图所示，利用面积法证明勾股定理．3．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 是△ABC 的三边，则⑴c= ．（已知a 、b ，求c ）⑵a= ．（已知b 、c ，求a ） ⑶b= ．（已知a 、c ，求b ）4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，两直角边分别是a 和b ，斜边为c ⑴已知a=b=5,求c ． ⑵已知a=1,c=2, 求b ．⑶已知c=17,b=8, 求a ．5．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm ，2cm ，则斜边长为_____________． 6．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是________________． 7．如图是一个零件的形状，已知AC=3cm ，AB=4cm ，BD=12cm 求CD 的长．8．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 在CB 的延长线上． 求证：⑴AD 2－AB 2=BD ·CD⑵若D 在CB 上，结论如何，试证明你的结论．DCBABbAE B18．1 勾股定理（2）一、教学目标1．会用勾股定理进行简单的计算． 2．树立数形结合的思想、分类讨论思想． 二、重点难点1．重点：勾股定理的简单计算． 2．难点：勾股定理的灵活运用． 三、课堂引入复习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形；学习勾股定理重在应用． 四、例题分析例1、在Rt △ABC ，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c ．⑵已知a=1,c=2, 求b ．⑶已知c=17,b=8, 求a ． ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a ．⑸已知b=15，∠A=30°，求a ，c ．分析：刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．⑴已知两直角边，求斜边直接用勾股定理．⑵⑶已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式．⑷⑸已知一边和两边比，求未知边．通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都可以求出第三边．后两题让学生明确已知一边和两边关系，也可以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想．例2、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．分析：已知两边中较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进形计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．例3、已知：如图，等边△ABC 的边长是6cm ．⑴求等边△ABC 的高． ⑵求S △ABC ．分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因此注意要 创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线作法． 欲求高CD ，可将其置身于Rt △ADC 或Rt △BDC 中，但只有一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求AD=CD=21AB=3cm ，则此题可解． 五、课堂练习 1．填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= ．DBA⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= ．⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= ． ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 ． ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 ． ⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为 ，面积为 ．2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长．3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积． 六、课后练习1．填空题：在Rt △ABC ，∠C=90°， ⑴如果a=7，c=25，则b= ． ⑵如果∠A=30°，a=4，则b= ． ⑶如果∠A=45°，a=3，则c= ． ⑷如果c=10，a －b=2，则b= ．⑸如果a 、b 、c 是连续整数，则a+b+c= ． ⑹如果b=8，a ：c=3：5，则c= ．2．已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ⊥DC ， AB ⊥AC ，∠B=60°，CD=1cm ，求BC 的长．ABB18．1 勾股定理（3）一、教学目标1．会用勾股定理解决简单的实际问题． 2．树立数形结合的思想． 二、重点难点1．重点：勾股定理的应用．2．难点：实际问题向数学问题的转化． 三、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用．勾股定理的发现和使用解决了许多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题。
初中数学单元教学分析.8年级.18.勾股定理
18. 勾股定理单元分析一、单元教学目标知识技能：1. 了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程.2．运用勾股定理进行简单的计算,运用勾股定理解释生活中的实际问题．3．了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；理解互逆命题、互逆定理、勾股数的概念及互逆命题之间的关系；掌握勾股定理的逆定理，并能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形；会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题．数学思考：勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础,在实际生活中用途很大.本单元以“问题情境——分析探究——得出猜想——实践验证——总结升华”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，努力做到由传统的数学课堂向实验课堂转变．根据教材的特点，本单元从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标．把学生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在老师的引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的．本节单元运用的教学方法是“启发探索”式，采用教师引导启发、学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合的方式，为学生提供观察、思考、探索、发现的时间和空间．使学生以一个创造者或发明者的身份去探究知识，从而形成自觉实践的氛围，达到收获的目的．问题解决：在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法.教师通过运用勾股定理对一系列富有层次、探究性的实际问题的解释和应用，培养学生从身边的事物中抽象出几何模型的能力，使学生更加深刻地认识数学的本质，数学来源于生活，并服务于生活．教师设计变式题，给学生足够的时间讨论交流，使“不同的学生数学上得到不同的发展”．教师重点关注学生的探究精神以及交流、合作意识．本单元立足于创新和学生可持续发展，把教学内容分解为一系列富有探究性的问题，让学生在解决问题的过程中经历知识的发生、发展、形成的过程，把知识的发现权交给学生，让他们在获取知识的过程中，体验成功的喜悦，真正体现学生是学习的主人，教师只是学习的参与者、合作者、引导者．在重视基础知识和基本技能的同时，更关注知识的形成过程及应用数学的意识．情感态度：通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国和热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神.感受数学文化，激发学习热情．培养学生与他人交流、合作的意识和品质．在探究勾股定理的逆定理的证明及应用的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神．二、单元重难点指导单元重点：1．探索和证明勾股定理,勾股定理的应用,勾股定理的逆定理及其应用．2．树立数形结合的思想.⑴研究四边形的问题，通常添置辅助线把它转化为研究三角形的问题.⑵构造勾股数，利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，在利用勾股定理进行计算.⑶注意给学生归纳总结数学思想方法在题目中应用的规律.⑷优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度.单元难点：1．用拼图的方法证明勾股定理, 勾股定理在实际生活中的应用,勾股定理的逆定理的证明．2．实际问题向数学问题的转化.数形结合，从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性.三、单元知识及与其它相关单元的知识联系勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为以后学习解直角三角形奠定基础,在实际生活中用途很大.。
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第十八章勾股定理
本章主要内容是勾股定理及其逆定理。
首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。
在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。
一、教材分析
直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。
它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。
在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。
勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
在教科书中，图18.1－3（1）中的图形经过割补拼
接后得到图18.1－3（3）中的图形。
由此就证明了勾股定理。
通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。
勾股定理可知，已知两条直角边的长a,b，就可以求出斜边c的长。
由勾股定理可得。
由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长。
也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。
教科书相应安排了三个探究栏目，让学生运用勾股定理解决问题。
在第二节中，教科书让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形是直角三角形。
从而猜想如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
这个猜想可以利用全等三角形证明，得到勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法。
教科书安排了两个例题，让学生学会运用这种方法。
这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它通过代数运算“算”出来。
实际上利用计算证明几何问题学生已经见过，计算在几何里也是很重要的。
从这个意义上讲，勾股定理的逆定理的学习，对开阔学生眼界，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义。
几何中有许多互逆的命题，互逆的定理，它们从正反两个方面揭示了图形的特征性质，所以互逆命题和互逆定理是几何中的重要概念。
学生已见过一些互逆命题（定理），例如：“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”；“全等三角形的对应边相等”与“对应边相等的三角形是全等三角形”等，都是互逆命题。
勾股定理与勾股定理的逆定理也是互逆的命题，而且这两个命题的题设和结论都比较简单。
因此，教科书在前面已有感性认识的基础上，
在第二节中，结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。
为巩固这些内容，相应配备了一些练习与习题
一、教学目标：
1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；
2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；
3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
二、教学重难点
（一）让学生体验勾股定理的探索和运用过程
勾股定理的发现从传说故事讲起，从故事中可以发现等腰直角三角形有这样的性质：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
再看一些其他直角三角形，发现也有上述性质。
因而猜想所有直角三角形都有这个性质，教科书让学生用勾股定理探究三个问题。
探究1是木板进门问题。
按照已知数据，木板横着、竖着都不能进门，只能斜着试试。
由此想到求长方形门框的对角线的长，而这个问题可以用勾股定理解决。
探究2是梯子滑动问题：梯子顶端滑动一段距离，梯子的底端是否也滑动相同的距离。
这个问题可以转化为已知斜边与一条直角边的长求另一条直角边的长的问题，这也可以用勾股定理解决。
探究3是在数轴上画出表示的点。
分以下四步引导学生：
（1）将在数轴上画出表示点的问题转化为画出长为的线段的问题。
（2）由长为的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，联想到长为的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边。
（二）结合具体例子介绍抽象概念
在本章中，结合勾股定理、勾股定理的逆定理介绍了定理、逆命题、逆定理的内容。
在勾股定理一节中，先让学生通过观察得出命题1，然后通过面积变形证明命题1。
由此说明，经过证明被确认正确的命题叫做定理。
在勾股定理的逆定理一节中，从古埃及人画直角的方法谈起，然后让学生画一些三角形（已知三边，并且两边的平方和等于第三边的平方），可以发现画出的三角形是直角三角形。
因而猜想如果三角形的三边长满足，那么这个三角形是直角三角形，即教科书中的命题2。
把命题2的条件、结论与上节命题1的条件、结论作比较，引出逆命题的概念。
接着探究证明命题2的思路。
用三角形全等证明命题2后，顺势引出逆定理的概念。
命题1，命题2属于原命题成立，逆命题也成立的情况。
为了防止学生由此误以为原命题成立，逆命题一定成立，教科书特别举例说明有的原命题成立，逆命题不成立。
（三）注重介绍数学文化
我国古代的学者们对勾股定理的研究有许多重要成就，不仅在很久以前独立地发现了勾股定理，而且使用了许多巧妙的方法证明了它，尤其在勾股定理的应用方面，对其他国家的影响很大，这些都是我国人民对人类的重要贡献。
本章介绍了我国古代的有关研究成果。
在引言中介绍我国古算书《周髀算经》的记载“如果勾是三、股是四、那么弦是五”。
有很多方法可以证明勾股定理。
教科书为了弘扬我国古代数学成就，介绍了我国古人赵爽的证法。
首先介绍赵爽弦图，然后介绍赵爽利用弦
图证明命题1的基本思路。
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。
正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的世界数学家大会的会徽。
还在习题中安排我国古代数学著作《九章算术》中的问题，展现我国古人在勾股定理应用研究方面的成果。
本章也介绍了国外的有关研究成果。
如勾股定理的发现是从与毕达哥拉斯有关传说故事引入的。
又如勾股定理的逆定理从古埃及人画直角的方法引入。
再如介绍古希腊哲学家柏拉图关于勾股数的结论。
三、课时分配
本章教学时间约需8课时，具体安排如下：
18．1勾股定理 4 课时
18．2勾股定理的逆定理 3课时
数学活动
小结 1课时。