第十八章勾股定理
沪科版数学八年级下册 18
能是 ( D )
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm
D. 18 cm
3. 已知点 (2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为_1_0__.
4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米， 两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵 的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
B
y
解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，
过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于A
5 4
点 C，连接 AB.
3
则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4. C
2B
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
1
AB AC2 BC2 5.
-3 -2 -1-1 O 1 2 3 x
∴ A，B 两点间的距离为 5.
例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在 离地面 6 米处折断，树的顶部落在离树根底部 8 米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一个 直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米， 由勾股定理得
AB AC 2 BC 2 62 82
12
侧面展开图 12
A解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股A 定理得
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15(cm).
归纳 立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把 立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短” 确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.
例5 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子， 正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)?
(寒假班内部讲义)第十八章-勾股定理
第十八章勾股定理第一部分知识网络一、重、难点重点：勾股定理及其逆定理的应用。
难点：勾股定理及其逆定理的应用。
二、知识要点梳理知识点一：勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC为锐角三角形）。
知识点三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
知识点四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
三、规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．第二部分 学习笔记1.直角三角形的边、角之间分别存在什么关系？（1） 角与角之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有∠A+∠B=90°；（2） 边与边之间的关系：在△ABC 中，∠C=90°，有222c a b =+2.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c ，那么222c a b =+ 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
人教版八年级数学下册整册教案(三)第十八章勾股定理
第十八章勾股定理18． 1 勾股定理（一）18． 1 勾股定理（二）18． 1 勾股定理（三）18． 1 勾股定理（四）18． 2 勾股定理的逆定理（一）18． 2 勾股定理的逆定理（二）18． 2 勾股定理的逆定理（三）第十八章勾股定理18． 1 勾股定理（一）一、教学设计目标1．认识勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培育在实质生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所获得的成就，激发学生的爱国热忱，促其勤劳学习。
二、要点、难点1．要点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
三、例题的企图剖析例 1（增补）经过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；经过拼图，发散学生的思想，锻炼学生的着手实践能力；这个古老的出色的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族骄傲感，和爱国情怀。
例 2 使学生明确，图形经过割补拼接后，只需没有重叠，没有缝隙，面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、讲堂引入当前生界上很多科学家正在试图找寻其余星球的“人”，为此向宇宙发出了很多信号，如地球上人类的语言、音乐、各样图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反应勾股定理的图形，假如宇宙人是“文明人”，那么他们必定会辨别这类语言的。
这个事实能够说明勾股定理的重要意义。
特别是在两千年前，是特别了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm 和 4cm 的直角△ ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
以上这个事实是我国古代3000 多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连接得向来角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为 5 和 12 的直角△ ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你能否发现 32+42 与 52 的关系， 52 +122 和 132 的关系，即 32+42=52， 52+12 2=13 2，那么就有勾 2+股 2=弦 2。
勾股定理
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2
3：互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设， 这 样的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一个叫做原命题， 那么另一 个叫做它的逆命题。 4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 a，b，c 有下列关系： a +b ＝c ，那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个 三角形是否是直角三角形的判定方法． 5.应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程 主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解． 我们把题设、 结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。 如果把其中一 个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 （例：勾股定理与勾股 定理逆定理） 二、经典例题精讲 题型一：勾股定理和逆定理并用—— 例题 3 如图 3， 正方形 ABCD 中， E 是 BC 边上的中点，
第十八章 一．基础知识点： 1：勾股定理
勾股定理
直角三角形两直角边 a、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 （即： a +b ＝c ） 要点诠释：
2
2
2
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系， 是直角三角形的重 要性质之一，其主要应用： （1）已知直角三角形的两边求第三边（在 ABC 中， C 90 ， 则 c a 2 b 2 ， b c 2 a 2 ， a c 2 b2 ） （2） 已知直角三角形的一边与另两边的关系， 求直角三角形的另 两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题
5
题型四：利用勾股定理求线段长度—— 例题 4 如图 4，已知长方形 ABCD 中 AB=8cm,BC=10cm,在边 CD 上 取一点 E，将△ADE 折叠使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F，求 CE 的长.
八年级数学下册 第18章 勾股定理 18.1 勾股定理 第2课时 勾股定理的应用课件
18.1 第2课时 勾股定理 的应用 (ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
知识(zhī shi)目标
1．理解勾股定理，会利用勾股定理解决实际问题． 2．在理解勾股定理的基础上，能将斜三角形转化为直角三角 形，会利用勾股定理求斜三角形的边长．
第三页，共十九Leabharlann 。18.1 第2课时 勾股定理 的应用 (ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
目标突破
目标一 会利用勾股定理解决(jiějué)实际问题
例 1 教材例 1 针对训练 如图 18－1－2 所示，一架 2.5 米长的 梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足到墙底端的距离为 0.7 米，如 果梯子的顶端下滑 0.4 米，则梯足将向外移___0_._8___米．
图 18－1－2
第四页，共十九页。
第十七页，共十九页。
18.1 第2课时 勾股定理 的应用 (ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
当 BC 边上的高 AD 在△ABC 外时，如图②.
在 Rt△ACD 和 Rt△ABD 中， 由勾股定理分别求得 CD＝ AC2－AD2＝ 132－122＝5， BD＝ AB2－AD2＝ 152－122＝9， ∴BC＝BD－CD＝9－5＝4， ∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC＝15＋4＋13＝32. 综上所述，△ABC 的周长为 42 或 32.
18.1 第2课时 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的应用
解：根据题意，得△AFE≌△ADE， 所以 AF＝AD＝10 cm，EF＝ED， 则 EF＋EC＝CD＝8 cm. 在 Rt△ABF 中，根据勾股定理，得 AF2＝AB2＋BF2，即 102＝82＋BF2， 所以 BF＝6 cm，所以 FC＝4 cm. 设 EC＝x cm，则 EF＝CD－EC＝(8－x)cm. 在 Rt△EFC 中，根据勾股定理，得 EC2＋FC2＝EF2，即 x2＋42＝(8－x)2， 解得 x＝3，即 EC 的长为 3 cm.
人教版八年级下册数学 专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结
八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论． ９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长 分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解 解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来 解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．B ．C ．4 D ． 5考点： 翻折变换（折叠问题）．分析： 设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。
新课标人教版八年级数学第十八章勾股定理知识点总结
A CB D 新课标人教版八年级数学知识点总结 第十八章 勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。
2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。
，那么这个三角形是直角三角形。
3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。
我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
（例：勾股定理与勾股定理逆定理）4.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°可表示如下： ⇒BC =21AB ∠C=90°（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
∠ACB=90° 可表示如下： ⇒CD =21AB = BD = AD D 为AB 的中点5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB = 90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2CD ⊥AB AB BD BC •=26、常用关系式由三角形面积公式可得：A B ·CD=AC ·BC7、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。
8、命题、定理、证明⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。
理解：命题的定义包括两层含义：（1）命题必须是个完整的句子；（2）这个句子必须对某件事情做出判断。
第十八章 勾股定理总复习
第十八章勾股定理总复习：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形 ４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数） 2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．8.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决． 常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DACA B D人教版八年级下册勾股定理全章类题总结类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。
八年级数学下册 第18章 勾股定理 18.2 勾股定理的逆定理课件
1．通过对绳子打结问题的观察、讨论，归纳得出勾股定理的 逆定理，会用勾股定理的逆定理判定三角形是直角三角形．
2．理解勾股数的概念，会判断一组数是不是勾股数． 3．在掌握勾股定理及其逆定理的基础上，会利用勾股定理的 逆定理解题．
第三页，共十八页。
18.2 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的逆定理 目标突破
第18章 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
18.2 勾股定理 的逆定理 (ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
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第18章 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
18.2 勾股定理 的逆定理 (ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
知识目标 目标突破 总结反思
第二页，共十八页。
18.2 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的逆定理
第十二页，共十八页。
18.2 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的逆定理
总结(zǒngjié)反思
知识点一 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的逆定理
(1)勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边 的____平__方____，那么这个三角形是___直__角_三__角_形_____．即若△ABC 的 三边长 a，b，c 满足 a2＋b2＝c2，则△ABC 是直角三角形．
第五页，共十八页。
18.2 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的逆定理
【归纳总结】判定一个三角形是直角三角形的方法： (1)根据角度判定：①有一个角是直角的三角形是直角三角形；② 有两个内角互余的三角形是直角三角形；③有一个内角等于另外两 个内角的和的三角形是直角三角形． (2)根据边长判定：最大边的平方等于较小两边的平方和的三角形 是直角三角形．
第18章 勾股定理
第18章 勾股定理ຫໍສະໝຸດ 18.2 勾股定理的逆定理
知识点 勾股定理的逆定理
古埃及人画直角的方法:把一根长绳打上等距离的13个结,然后以3个 结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长,用木桩就可以钉成 一个直角三角形,其中一角便是直角,这是因为根据三边的关系就可 以判定这个三角形是直角三角形.
知识点 勾股定理的逆定理
运用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形时,不能说三 角形的斜边和直角边,只能说成三角形的边.
知识点 勾股数
神奇的三个台球号码,不但是连续的整数,还是一组勾股数.
知识点 勾股数
以一组勾股数为三边长一定可以构成直角三角形,能构成直角三角 形三边长的三个数不一定都是勾股数.每组勾股数的正整数倍也是 勾股数.
知识点 勾股定理
因为勾股定理的适用范围是直角三角形,如果已知图形中没有直角 三角形,可以通过作高或其他方法构造出直角三角形.
知识点 勾股定理的证明
在《九章算术》中记载了三国时代魏国的数学家刘徽的青朱出入图 .
此图单靠移动几个图形就可以直观地验证勾股定理,被誉为“无字的证明”.
知识点 勾股定理的证明
学科素养课件
新课标沪科版·数学 八年级下
第18章 勾股定理
18.1 勾股定理
知识点 勾股定理
一棵垂直于地面的大树被台风吹断后的两部分AC,AB和树顶端到 树低端的距离BC之间存在这样的关系:AC2+BC2=AB2.
知识点 勾股定理
在运用勾股定理时,首先要明确哪个是斜边,如果题目中没有明确, 那么要进行分类讨论,以免漏解.
证明勾股定理时,一般运用面积相等来证明,即利用两种不同的方法 表示同一图形的面积,以部分图形面积之和等于整体面积为等量关 系列出等式.
沪科版八年级数学下册_18.1 勾股定理
感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示 法”求解 .
感悟新知
解法提醒
知3－练
等面积法：
用不同的方法表示同一个图形的面积.此题是典型的应
用等面积法求直角三角形斜边上高的问题.即△ ABC 的面
积既可以表示为AC2·BC ，又可以表示为AB2·CD ，再利用 同一图形的面积相等解答 .
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， ∴ AB= AC2+BC2= 32+42 =5.
知3－练
∵
CD
⊥
AB，∴
S△
ABC=
1 2
AB·CD=
1 2
AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，
∴
CD=
AC· BC AB
=
3×4 5
=
12 5
.
感悟新知
知3－练
例5 如图 18.1 － 4所示，∠ C=90°， AM=CM， MP ⊥ AB于点 P.
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补， 以 盈 补 虚” 的原理， 有
S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
感悟新知
方法
加菲尔德 总统拼图
毕达哥拉 斯拼图
图形
证明
知2－讲
设梯形的面积为
S，则
S=
1 2
(a+b)
(a+b)=
1 2
a2+
1 2
b2+ab.
又
S=
1 2
ab+
1 2
ab+
所以∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′ AC′
第十八章“勾股定理”简介
第十八章“勾股定理”简介本章主要内容是勾股定理及其逆定理。
首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。
在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。
本章教学时间约需8课时，具体安排如下：18．1勾股定理 4 课时18．2勾股定理的逆定理 3课时数学活动小结1课时一、教科书内容和课程学习目标本章知识结构框图：直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。
它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。
在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。
勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
在教科书中，图18.1－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图18.1－3（3）中的图形。
由此就证明了勾股定理。
通过推理证实命题1的正确性后，教科书顺势指出什么是定理。
八年级数学下册 第18章 勾股定理 18.1 勾股定理教学课件
第二十一页，共三十页。
已知：如图，在Rt△ABC 和Rt△A B′C′中′， ∠C=∠C ′=90°，AB=A B′，′AC=A ′C ．′ 求证：△ABC≌△A ′B ′C ′．
第九页，共三十页。
知识要点
弦 勾
前提
勾股定理 如果直角三角形的两直角边长分别 (fēnbié)为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
股
即：勾2+股2=弦2
在我国又称商高定理(dìnglǐ)，在外国则叫毕达哥拉斯定理 (dìnglǐ)，或百牛定理(dìnglǐ).
公式变形：
a c2 -b2, b c2 -a2
发现(fāxiàn): 以等腰直角三角形两直 角边为边长的小正方形的面积的和， 等于以斜边为边长的正方形的面积. 即我们惊奇地发现，等腰直角三角形 的三边之间有一种特殊的关系：斜边 的平方等于两直角边的平方和.
第四页，共三十页。
怎样得到正方形C的面 一般(yībān)直角三角形也有上述性质吗？
积？与同伴交流交流．
角三角形的斜边.如本题中的 看成直角边分别1 为3 2和3的直角三角 形的斜边； 看成是直角边分别为1和2的5 直角三角形的斜边等.
（2）以原点O为圆心，以无理数的长为半径画弧与数轴存在 (cúnzài)交点，在原点左边的点表示负无理数，在原点右边的点表 示正无理数.
第二十八页，共三十页。
课堂小结
正方形面积(miàn jī)间的关系：
SA+SB=SC源自设：直角三角形的三边(sān biān)长分别是a、b、c
八年级下数学教材培训资料第十八章勾股定理
勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广到其他多边形中，例如正三角形、正 四边形等。
勾股定理在日常生活中的应用
在建筑学中，勾股定理常 常被用来确定建筑物的角 度和长度，以确保建筑物 的稳定性和美观性。
建筑学中的应用
在航海学中，勾股定理被用来确定船只的位置和航 向，以确保船只能够安全地航行到目的地。
构造法
通过构造一些特殊图形，利用这些图形的性质来间接证明勾股定理。这种方法 需要较高的几何直觉和构造能力，但一旦成功，往往能给人以深刻的启示。
勾股定理的证明技巧和注意事项
数形结合
在证明过程中，充分利用数和形的结合，通过数的运算和性质 来研究形的性质，或者通过形的直观来研究数的性质。这是数 学中一种非常重要的思想方法。
在实际生活中，勾股定理的应用非常广泛，例如建筑、航海、测量等领域都 需要用到这个定理。因此，掌握勾股定理对于学生来说是非常必要的。
勾股定理的 历史和发展
勾股定理最早可以追溯 到古希腊时期，当时毕 达哥拉斯学派通过观察 直角三角形的三边关系 发现了这个定理。
在中国，商高提出了 “勾三股四弦五”的勾 股定理特例，而周朝时 期的《周髀算经》一书 中也有关于勾股定理的 记载。
注意数学表达式的规范性
在证明过程中，要注意数学表达式的规范性，避免出现逻辑错 误或者表达不清的情况。这需要严谨的数学思维和扎实的数学 基础。
第四章
勾股定理的应用实例
勾股定理在几何图形中的应用
勾股定理在直角三角形中的运用
勾股定理是直角三角形的一个重要性质，通过勾股定理可以判断一个三角形是否为 直角三角形，也可以计算直角三角形的边长。
欧几里得证明法
这是勾股定理最经典的证明方法。它通过构造两个直角三角形并利 用相似三角形的性质来证明勾股定理。这种方法逻辑严谨，易于理 解。
第十八章勾股定理
第十八章 勾股定理本章知识结构图：基础知识归纳：１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；a ，b ，那么222a bc +=角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c⨯+-=，化简可证．CB方法二：bcbac cacab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c=⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b=+=++所以222a b c+=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 22ADE ABE S S ab c∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D BA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用在A B C ∆中，90C∠=︒b =，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为在运用这一定理时，22a b +2b ，c 222a b c +<，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a cb +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形 ６.勾股数22b c +=中，a ，b 时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等第十八章勾股定理练习题1.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n.2.直角三角形周长为12 cm，斜边长为5 cm，求直角三角形的面积.3.，斜边长是20.4.一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？5.等边三角形的边长为2.6.如图，螺旋形由一系列直角三角形组成，则第n个三角形的面积为_________.第6题图第7题图7.如图18－1－22，△，AC=24 cm，∠的长.8.在锐角△ABC中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围.9.如图，有一个高1.5在油桶外的部分是0.510.已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为l.(1)填表：(2)如果a+b －c=m ，观察上表猜想：lS =___________(用含有m 的代数式表示).(3)证明(2)中的结论.11.如图，A A 市正东方向300千米的7千米/BF 方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域. （1）A 市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明； （2）如果A 市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？第十八章 勾股定理练习题参考答案1.若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n.思路分析：首先要确定斜边（最长的边）长n+3，然后利用勾股定理列方程求解. 解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得： （n+1）2+（n+2）2=（n+3）2，化简得：n 2=4. ∴n=±2，但当n=－1<0，∴n=2.2.直角三角形周长为12 cm ，斜边长为5 cm ，求直角三角形的面积.思路分析：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组）求解. 解：设此直角三角形两直角边分别是x ，y ，根据题意得： ⎩⎨⎧=+=++)2(,5)1(,125222y x y x由（1）得：x+y=7，，x 2+2xy+y 2=49.(3) (3)－(2)，得：xy=12. ∴直角三角形的面积是21xy=21×12=6（cm 2）.3.若直角三角形两直角边的比是3∶4，斜边长是20，求此直角三角形的面积.3x 、4x ，根据题意得：（3x ）2+（4x ）2=202， 化简得x 2=16； ∴直角三角形的面积=21×3x×4x=6x 2=96.4.一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米.（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗？思路分析：（1）可设这个梯子的顶端距地面有x 米高，因为云梯长、梯子底端离墙距离、梯子的顶端距地面高度组成直角三角形，所以x 2+72=252，解出x 即可.解：（1）设这个梯子的顶端距地面有x 米高，据题意得AB 2+BC 2=AC 2，即x 2+72=252，解得x=24. 轻轻告诉你 个人的绝对自由是疯狂，一个国家的绝对自由是混乱。
第18章 勾股定理
18 19
5
6
n
11ຫໍສະໝຸດ 第七届国际数学 教育大会的会徽
你能在数轴上表示出 2 的点吗？ 2呢 ? 用相同的方法作 3, 4, 5, 6, 7,. . . . 呢?
探究1:
你能在数轴 上画出表示 13的点吗？
2 2 -1
0
1
1
1
2
2
3
5
3
4
6 7
13
? 12 2 3
练习&2
☞
如图，小颍同学折叠一个直角三角形 的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？
x 2 62 (10 x )2 x 2 36 100 20 x x 2
B
D
20 x 100 36
解得x 3.2
A
10-x 6
D14-x C 14
AD AB2 BD2 152 92 12
SABC 1 1 BC AD 14 12 84 2 2
练习&6 ☞ 如图，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB， ∠DAB=30°，AD=8，求AC的长。 C 解：∵∠ABD=90°，∠DAB=30° x 8 1 又AD=8 ∴BD= AD=4
64 16z z 16 z 2 4 4 z z 5 OD 8 5 3 z E5 3 D(3, 0) A x O D 12 1 1 8 3z 5 4 SADC AD OC 5 4 10 82 2 4 12 24 B1 24 12 y x 4 当y 时, 解得x B1 ( , ) 3 5 5 5 5
第十八章 勾股定理
第十八章 勾股定理18．1 勾股定理（一）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。
2．难点：勾股定理的证明。
三、例题的意图分析例1（补充）通过对定理的证明，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。
例2使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、课堂引入目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。
你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 五、例习题分析例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。
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第十八章勾股定理
18．1 勾股定理（一）
学习目标：
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，会用勾股定理进行简单计算；
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力；
3．了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
导学过程：
一、回顾旧知、导入新课
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠
B= ；
2、Rt△ABC的三条边a、b、c之间有什么数量关系？
二、新课探究
㈠、独立思考，解决问题
据说2500多年以前，毕达哥拉斯在朋友家的地板上发现并证明了勾股定理，让我们一起来重温当年的科学家之路吧。
背景：（1）初步观察；（2）从面积角度观察图形。
问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？
㈡、师生探究，合作交流
1．探究活动一：
探究等腰直角三角形的情况
观察图1并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）
A的面积
（单位面积）
B的面积
（单位面积）
C的面积
（单位面积）
左图
右图
c
b
a B
A
C
思考：
⑴你能发现三个正方形A 、B 、C 的面积之间有什么关系？
⑵你能用直角三角形的直角边a,b,斜边c 来表示上图中正方形A,B,C 的面积吗？ ⑶你能发现等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 2．探究活动二：
由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ 观察图2并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）
思考：你能发现三个正方形
A 、
B 、
C 的面积之间有什么关系？你能发现一般直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
勾股定理： 。
数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理）
勾股定理的证明
方法1：利用“赵爽弦图”证明
A 的面积
（单位面积）
B 的面积
（单位面积）
C 的面积
（单位面积）
左图 右图
弦股
勾
数学思想方法总结：。
方法2：
知识延伸：
已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则
⑴c= 。
（已知a、b，求c）
⑵a= 。
（已知b、c，求a）
⑶b= 。
（已知a、c，求b）
勾股定理的运用
例1、求下列直角三角形中未知边的长．
例2、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？
练习：一个3米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的长度为2.4米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子低端B 也外移0.4米吗？
三、课堂小结
四、课堂练习，反馈提高 1、判断题
⑴若a 、b 、c 是三角形的三边，则222
a b c +=. （ ）
⑵直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方. （ ） ⑶已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长一定为4cm. ( ) 2、 一个等腰直角三角形的斜边长为2，则其面积为（ ） A
2 B
2
1
C 1
D 22
A
3、我校的长方形水泥操场长80米宽60米，如果一学生要从A 角走到C 角，至少要走（ ） A 、140米 B 、100米 C 、120米 D 、90米
4、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)
5、在Rt △ABC ，∠C=90°
⑴已知a=12，b=5,求c ； ⑵已知a=1,c=2, 求b ；
⑶已知c=17,b=8, 求a ； ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a ；
⑸已知a=5，∠A=30°，求a ，c 。
6、如图，在四边形ABCD 中，∠︒=90BAD ，∠︒=90DBC ，12,4,3===BC AB AD ，求CD .
7、利用如下图形证明勾股定理：以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、C、D三点在一条直线上。
b
a。