第十八章勾股定理

第十八章勾股定理

18．1 勾股定理（一）

学习目标：

1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，会用勾股定理进行简单计算；

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力；

3．了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

导学过程：

一、回顾旧知、导入新课

1、在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠

B= ；

2、Rt△ABC的三条边a、b、c之间有什么数量关系？

二、新课探究

㈠、独立思考，解决问题

据说2500多年以前，毕达哥拉斯在朋友家的地板上发现并证明了勾股定理，让我们一起来重温当年的科学家之路吧。

背景：（1）初步观察；（2）从面积角度观察图形。

问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？

㈡、师生探究，合作交流

1．探究活动一：

探究等腰直角三角形的情况

观察图1并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）

A的面积

（单位面积）

B的面积

（单位面积）

C的面积

（单位面积）

左图

右图

c

b

a B

A

C

思考：

⑴你能发现三个正方形A 、B 、C 的面积之间有什么关系？

⑵你能用直角三角形的直角边a,b,斜边c 来表示上图中正方形A,B,C 的面积吗？ ⑶你能发现等腰直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？ 2．探究活动二：

由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ 观察图2并填写：（图中每个小方格代表一个单位面积）

思考：你能发现三个正方形

A 、

B 、

C 的面积之间有什么关系？你能发现一般直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？

勾股定理： 。

数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理）

勾股定理的证明

方法1：利用“赵爽弦图”证明

A 的面积

（单位面积）

B 的面积

（单位面积）

C 的面积

（单位面积）

左图 右图

弦股

勾

数学思想方法总结：

。

方法2：

知识延伸：

已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b、c是△ABC的三边，则

⑴c= 。（已知a、b，求c）

⑵a= 。（已知b、c，求a）

⑶b= 。（已知a、c，求b）

勾股定理的运用

例1、求下列直角三角形中未知边的长．

例2、如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？

练习：一个3米长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的长度为2.4米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯子低端B 也外移0.4米吗？

三、课堂小结

四、课堂练习，反馈提高 1、判断题

⑴若a 、b 、c 是三角形的三边，则222

a b c +=. （ ）

⑵直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方. （ ） ⑶已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长一定为4cm. ( ) 2、 一个等腰直角三角形的斜边长为2，则其面积为（ ） A

2 B

2

1

C 1

D 22

A

3、我校的长方形水泥操场长80米宽60米，如果一学生要从A 角走到C 角，至少要走（ ） A 、140米 B 、100米 C 、120米 D 、90米

4、下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)

5、在Rt △ABC ，∠C=90°

⑴已知a=12，b=5,求c ； ⑵已知a=1,c=2, 求b ；

⑶已知c=17,b=8, 求a ； ⑷已知a ：b=1：2,c=5, 求a ；

⑸已知a=5，∠A=30°，求a ，c 。

6、如图，在四边形ABCD 中，∠︒=90BAD ，∠︒=90DBC ，12,4,3===BC AB AD ，求CD .

7、利用如下图形证明勾股定理：以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、C、D三点在一条直线上。

b

a