哥德巴赫猜想(1+1)的证明

p"1 ∈ p1 ， p'2 ∈ p2 ， p"2 ∈ p2 。 因为素数有无穷多个，p1+p2 的值随 p1 、 p2 取（不同的）素数值的变化，可得到无
穷多个不同值，显然对于任意一个＞6 的偶数 2m 有无穷多组 p1 p ， 2 ，R 的值满足 2m=(p1+p2)R ，而且无论有多少个＞6 的互不相同偶数，都可以取到多少个的互不相同的 p1+p2 值。
这里撇开每个值的大小，只讲它们的个数、不存在到一定程度＞6 的不同偶数个数时，
再也找不到新的 p1+p2 值；即一切（或任何）＞6 的不同偶数都能取到互不相同的 p1+p2 值 满足 2m1= ( p'1 + p'2 )R1 ， 2m2=( p"1 + p"2 )R2 引理 3.2（上述结论）的证明：
合论的思想来理解本文中所用的数论定理；集合论的（构造完成）思想贯穿本文始终；为了 便于真正做到三者有机的结合、简称之为辨证集合数论。
与自然数标准序列一一对应的正整数数列、可以按照数学归纳法原理构造完（成）了；
用对立统一的辩证法观点对待无限的全体、最小的超限序数ω(集合)的构造完（成）了。 2.2 本文中当 x→∞ 时可以说指的是 x 的值由 x1 开始无限增大的过程
完（成）了时，序数变成了超限；即 x 的值由 x1 开始取越来越大的一切充分大的正整数值
时、对应的函数值的必然趋势（或结果）。这种必然趋势（或结果）指的是全体正素数、全 体正偶数、全体正的哥德巴赫数均随全体充分大的正整数构造完（成）了而完（成）了，否 则就会出现超过一切充分大的正整数的（超限）素数或哥德巴赫数，这与它们均包含于全体 正整数的集合矛盾；至于它们的（相对）序数应根据集合论的排队定理来解决。
“函数 f(x)在|x|大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的正数 M（无论它多么大）总存在 正数 X ，只要 x 适合|x|＞X 时、对应的函数值f(x)总满足|f(x)| >M 则称函数 f(x)为当 x→∞ 时
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的无穷大。” 无穷大的阶反映的不是基数的比较，在正整数函数无穷大的阶的比较表达式中，本身存在二
∞ ，当 x→∞ 时 、 lim Ea(x)=+∞ ，而 Ea(x)≠ +∞ ，这个过程指的是：x1 ， x
x1+ 1 ，x1+2……， x1+n ，x1+n+1…… 构造完（成）了时序数变成了 ω ；这是一种 飞跃，是由量变而引起的质变，在 x→∞ 的过程中 ， 为了便于叙述对应的函数值无限增 大的这一性态，也说函数的极限是无穷大，只要序数还没有变成ω ，皆可按文中说明的方

哥德巴赫猜想（1+1）的证明
唐子周
新疆、且末县中学 且末县玉市一条街 841900
tzz689@
摘要 哥德巴赫猜想即每个不小于 6 的偶数都是两个奇素数之和，即“1+1”。本文根据数 论的定理和集论的理论，唯物辨证法；数学归纳法原理，命题转化法，反证法，给定素数法； 并用映射理论和一一对应法则及数列的排列规律，证明了该猜想成立，即“1+1” 成立； 而且每个＞6 的偶数都是两个不同的奇素数之和的定理成立。
数标准序列是一一对应的，按照数学归纳公设构造完（成）了所有充分大的正整数的全体时，即构造完（成）
了ω这个无限的全体、最小的超限序数也叫极限序数。
当 x→∞ 时， p1 、 p2≤x 不超过 x 的奇素数是无穷多个；因为必须把x 的所有值都考虑在
lim 内，即构造完（成）了全体充分大的正整数时,由定理
所有不同值组成的集合是＞ 6 的一切不同偶数的集合的真子集； [定理 lim x
π( x ) x =1
即
logx
π(x)～ x ] 。 log x
p1 ， p2 均可取 p1 ≠ p2 的任何一个奇素数值，当 p1 、 p2≤x ，x→∞ 时，即 当 x 趋于无穷大时，p1 和 p2 的值均为无穷多个，把 p1 的值由小到大一个一个无穷尽的接 连给定下去，因为 p1 每次被给定的奇素数值，皆不同于前面给定的值，而 p2 始终是不同于
数将无限增大。
证明 如果 p1 的奇素数值给定到一定个数——i 个时，自 pi+1 以后再也找不到新的 p1+p2 的
值了，都和前面的 p1+p2 值相等了；则前面所有 p1+p2 的不同值的个数，加上前面每次给定
p1
的值出现有与之前面相同的
p1+p2
值的情况、逼近于
i)个，而无论 i 值有多么
由数论的定理及推论，不超过 x 的素数个数 ( x ) 逼近 x 即： 当 x→∞ 时 log x
(x)～ x
、 x∈ N + ，当 x→∞ 时不超过 x 的素数个数与正整数 x 趋向无穷大
log x
的“快慢”程度比较中有定理: lim x
π( x x
)
=
0
；则相对于不超过 x 的偶数个数有推论：
lim
x
π( x x
)
=
0
（ x 或 x 1 讨论其一即可），即 当 x→∞ 22
时（当 x 无限增大时）不超
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过 x 的素数个数相对于不超过 x 的偶数个数是低阶的无穷大，也就是说 1 比 1 趋于 0 π(x) x 2
的“快慢”程度“慢些”。这里是在正整数 x 无限增大过程中的比较。
注 1 参考《数学手册》173 页并用无穷大量的倒数是无穷小量，再参考《高等数学》无穷小量的比较。“无
按照无穷大的定义 x>Xj、f(x)>Mj 无论各个无穷大的 Mj 值任意给定多么的大，本文中
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各种无穷大只有有限的几种，总存在满足这几种无穷大定义要求的一个充分大的x 值 x1 ,只 要 x1 充分大、就恒有 x1>Xj；而且 x1 ，x1+ 1 ， x1+2…… x1+n ， x1+n+1…… 均 大于 Xj ，则 f(x1)> Mj ， f(x1+1)> Mj …… f(x1+n)> Mj ，f(x1+n+1)> Mj…… 即 ：
2.预备理论知识
2.1 辨证集合数论
本文中的各个关键点和当 x→∞时对文中各个无穷大的理解；不超过 x 的素数即“对全体素数来说”；对逼近运算的理解；归纳法中对 k=Ea(x)情况的分析；一个
核心问题是对“按照数学归纳法原理构造完（成）了”的理解。 把集合论、数论，唯物辨证法有机的结合起来，把集合论、 数论融为一体，处处用集
范围内；实质上正因为正整数没有穷尽，x 的值便无穷尽，只能用当x→∞ 时、来表示理论上讲的，x
取越来越大的一切充分大的正整数值的这一性态或过程；即当x 无限增大时。
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由注 2 可用数学归纳法原理来理解： x1 ，x1+ 1 ， x1+2…… x1+n ，x1+n+1……与自然
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引 理 3.2 任 意 两 个 ＞ 6 的 不 同 偶 数 2m1 ， 2m2 必 可 表 示 为 ： 2m1=( p'1 + p'2 )R1
2m2=( p"1 + p"2 )R2 ，其中 p'1 + p'2 ≠ p"1 + p"2 ， p'1 ≠ p'2 ， p"1 ≠ p"2 ， p'1 ∈ p1 ，
法逼近运算，而且直到ω构造完成时─—这才是 x→∞的全过程，即 ：当 x→∞ 时序数
从有限变成了超限。用极限的方法来表示的 lim ( x ) =+∞ x
定理，及 lim x
x 2
= +∞
，
lim
x
i(
x log
x
1) = +∞
等等无穷大均反映了自变量 x 的全体充分大的正整数值构造
者唯一确定的排队规则，根据集合论的排队定理二者的序数便被确定了 。
当 x 的绝对值无限增大时记作：当 x→∞ 时，本文中 x 是正整数值由一个充分大的 值 x1 开始可以任意变大的变量，当 x 无限增大时，也记作：当 x→∞ 时，实质上指的是 在 x→∞ 的过程中。
p1 、 p2 中的一个为任意给定的奇素数时，若 p1 的值给定为 p1 ( p1 、 p2 均≤x)，那 么 p1 + p2 的不同值的个数有 π( x ) 1 个，是一部分＞6 的偶数， p1 +p2 的
当 x→∞ 时， lim f(x)=+∞ 也就是说 、当 x→∞ 时 f(x)的极限为无穷大。这表明本 x
文中当 x→∞ 时可以说指的是 x 的值由 x1 开始无限增大的过程，x1 的值是由本文中的有
限种无穷大中 Mj 任意给定的值共同决定的。函数 y =x ， lim y=+∞ ；所以也可以把 x
穷大量是指绝对值可以任意变大的变量。（有时简称无穷大）”见《高等数学基础》 。“如果当 x→ x（或
x→∞）时，对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大，就称函数 f(x)为当 x→ x （或 x→∞）时的
无穷大……按函数极限的定义来说 f(x)的极限是不存在的，但为了便于叙述函数的这一性态，我们也说‘函 数的极限是无穷大’无穷大（∞）不是数。”见《高等数学》39 页
( x ) =+∞ 这种极限情况才完全符合所说
x
的不超过 x 的素数个数。实质上即对全体奇素数来说，若p1 的奇素数值无限不重复给定下去，p1+ p2 的
互异值个数不能随之无限增大，必定是给定到一定个数——i 个时，自 pi+1 以后都和前面的 p1+p2 值相等