【2014中考复习方案】(人教版)中考数学复习权威课件 ：29 切线的性质和判定(25张ppt,含13年试题)

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第29课时┃ 切线的性质和判定
图29－4
解
析
连接OD、OE，则∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，
推出四边形ODBE是正方形，得出BD＝BE＝OD＝OE＝r.根 据切线长定理得出MP＝DM，NP＝NE, Rt△MBN的周长为：
MB＋NB＋MN＝MB＋BN＋NE＋DM＝BD＋BE＝r＋r＝2r，
∴△OBC是正三角形，∴BC＝OC＝2.
(2)证明：∵BC＝CP，∴∠CBP＝∠CPB. ∵△OBC是正三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°.
∴∠CBP＝30°， ∴∠OBP＝∠CBP＋∠OBC＝90°，
∴OB⊥BP.∵点B在⊙O上，∴PB是⊙O的切线．
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切线长
切线长 定理
线的夹角
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第29课时┃ 切线的性质和判定
基本图形 如图所示，点P是⊙O外一点，PA，PB切⊙O于点 A，B，AB交PO于点C，则有如下结论： (1)PA＝PB； (2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝ ∠BOP＝∠CAP＝∠CBP
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方法点析 在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明
一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线
过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于 半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直 线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．
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第29课时┃ 切线的性质和判定
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解
析
(1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由
圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；
(2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的 度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，
求得AD与OD的长．
1 OD＝sin30°×OA ＝ ×10＝5(cm)．∴AB ＝2AD＝10 3(cm)， 2 1 1 ∴S △AOB＝ ×AB×OD＝ ×10 2 2
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3×5＝25 3(cm 2)．
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第29课时┃ 切线的性质和判定
方法点析 (1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的 长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长
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图29－1
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解
析
(1)先连接OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行
从而得证；
(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半 径．
解：(1)证明： 连接OD，
∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC. 又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，
第29课时┃ Fra Baidu bibliotek线的性质和判定
考点4 三角形的内切圆
三角形的 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这 内切圆 个三角形叫圆的外切三角形
三角形 的内心
三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．它是三
三条角平分线 角形______________的交点，三角形的内心到三 距离 边的________相等
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解： (1)∵PA、PB分别为⊙O的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°. ∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°. 在四边形APBO中， ∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB ＝360°－90°－90°－120°＝60°.
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CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线．
图29－5
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第29课时┃ 切线的性质和判定
证 明
证明：连接OC. ∵OA＝OB，CA＝CB，
∴△OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线．
∴OC⊥AB. ∴AB是⊙O的切线．
中考预测
如图 29－6， △ABC 内接于⊙O， ∠B＝60°， 是⊙O CD 的直径，点 P 是 CD 延长线上的一点，且 AP＝AC. (1)求证：PA 是⊙O 的切线； (2)若 PD＝ 3，求⊙O 的直径．
︵ PO 交⊙O 于点 C，OC＝CP＝2，弦 AB⊥OC，劣弧AB的 度数为 120°，连接 PB. (1)求 BC 的长； (2)求证：PB 是⊙O 的切线．
图29－2
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解：(1)连接OB，
∵弦AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°， ∴∠COB＝60°.又∵OC＝OB，
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第29课时┃ 切线的性质和判定
(2)如果直线与圆没有明确的交点， 则过圆心作该直线的垂 线段，证明垂线段等于半径，即“无交点，作垂直，证半径”．
考点3 切线长及切线长定理
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间 的线段的长，叫做这点到圆的切线长 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长 ________，这一点和圆心的连线________两条切 相等 平分
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第29课时┃ 切线的性质和判定
(2)在 Rt △OAP 中，∵∠P＝30°， ∴PO＝2OA＝OD＋PD. 又∵OA ＝OD，∴PD＝OA . ∵PD＝ 3. ∴2OA＝2PD＝2 3. ∴⊙O 的直径为 2 3.
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第29课时
切线的性质和判定
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考 点 聚 焦
考点1 切线的性质 定理：圆的切线________于经过切点的半径． 垂直 技巧：圆心与切点的连线是常用的辅助线． 考点2 切线的判定
垂直 定理： 经过半径的外端并且________于这条半径的直线是圆 的切线． 证圆的切线技巧： (1)如果直线与圆有交点，连接圆心与交点的半径，证明直 线与该半径垂直，即“有交点，作半径，证垂直”．
探究三 切线长定理的运用
命题角度： 1. 利用切线长定理计算； 2. 利用切线长定理证明． 例3 [2012· 绵阳 ]如图29－3，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，
连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.
(1)求∠APB的大小； (2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．
图29－3
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归 类 探 究
探究一 圆的切线的性质 命题角度： 1. 已知圆的切线得出结论；
2. 利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明． 例1 [2011· 湛江 ]如图29－1，已知点E在Rt△ABC的斜边
AB上，以AE为直径的⊙O与直角边 BC相切于点D. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．
常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．
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探究四 三角形的内切圆
命题角度： 1. 三角形的内切圆的定义； 2. 求三角形的内切圆的半径． 例4 [2012· 玉林 ] 如图 29－4， Rt△ABC 的内切圆⊙O 与两
︵ 直角边 AB，BC 分别相切于点 D、E，过劣弧DE(不包括 端点 D、E)上任一点 P 作⊙O 的切线 MN，与 AB，BC 分 别交于点 M，N，若⊙O 的半径为 r，则 Rt△MBN 的周长 为( C ) 3 5 A．r B. r C．2r D. r 2 2
(2)∵PA、PB 分别为⊙O 的切线，∴PA＝PB. ∵OA＝OB，PO＝PO，∴△PAO≌△PBO. 1 ∴∠APO＝∠BPO＝ ∠APB ＝30°.∴PO⊥AB ， 2 1 ∴∠DAO＝∠APO＝30°.∴OA ＝OP×sin∠APO＝20× ＝10(cm)． 2 在 Rt△AOD 中，∠DAO＝30°，OA ＝10 cm， ∴AD＝cos30°×OA ＝ 3 ×10＝5 3(cm)， 2
∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC， 即AD平分∠BAC.
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(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝ BD2 ＋OD2. ∵BE＝2，BD＝4,
∴(BE＋OE)2＝ BD2 ＋OD2，
即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3， 故⊙O的半径为3. 方法点析 “圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆 心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方 法．
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探究二
圆的切线的判定方法
命题角度： 1．利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线 是圆的切线；
2．利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定
这条直线是圆的切线．
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例2 [2013· 湖州 ] 如图 29－2，已知 P 是⊙O 外一点，
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第29课时┃ 切线的性质和判定
解：(1)证明：连接OA， ∵∠B＝60°，
∴∠AOC＝2∠B＝120°.
又∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°.
图29－6
又∵AP＝AC，
∴∠P＝∠ACP＝30°， ∴∠OAP＝∠AOC－∠P＝90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．
故选C.
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第29课时┃ 切线的性质和判定
方法点析 解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解
决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直
角三角形的性质及三角函数等解决．
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第29课时┃ 切线的性质和判定
回 归 教 材
与切线有关的辅助线的添加 教材母题 如图29－5，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，
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第29课时┃ 切线的性质和判定
⊙I 内切于△ABC，切点分别为 D，E，F，如图． 1 则(1)∠BIC＝90°＋ ∠BAC； 2 (2)△ABC 三边长分别为 a，b，c，
规律清单 ⊙I 的半径为 r，则有 1 S△ABC＝ r(a＋b＋c)； 2
(3)(选学)△ABC 中，若∠ACB＝90°，AC＝b， a＋b－c BC＝a，AB＝c，则内切圆半径 r＝ 2