第四章 态和力学量的表象

Ψ p'(x,t)=[1/(2π )] exp[i(p'x-E't)/]
ψ p'(x)= [1/(2π )]
1/2
exp[ip'x/]
C(p)=δ (p'-p)
p ψ p'(x)=p'ψ p'(x)
pδ (p'-p)=p'δ (p'-p)
这类似于一个矢量可以在不同坐标系描写一样。矢量 A 在直角坐标系由三 分量Ax Ay Az 描述；在球坐标系用三分量 Ar A A 描述。 Ax Ay Az 和 Ar, A, A 形式不同，但描写同一矢量A。
（二）力学量表象
推广上述讨论： x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，
对任何力学量Q都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。
问题 那末，在任一力学量Q表象中，
Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？
（1）具有分立本征值的情况
（2）含有连续本征值情况
（1）具有分立本征值的情况
设 算符Q的本征值为： Q1, Q2, ..., Qn, ...，
组成完备系，Ψ可按其展开
展开系数

C ( p, t ) * C ( p, t )dpdp p * ( x ) p ( x )dx
( x , t ) C ( p, t ) p ( x )dp C ( p, t ) p * ( x )( x, t )dx


C ( p, t ) * C ( p, t )dpdp ( p p)
第四章
§1
量子力学中的力学量
态的表象
§2
§3
算符的矩阵表示
量子力学公式的矩阵表述
§4
Dirac 符号
§1 态的表象
体系的状态都用坐标(x,y,z)的函数表示。
力学量则用作用于坐标函数的算符表示。 坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对 空间的描写是完全是等价的。 波函数也可以选用其它变量的函数。 力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。 表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。
0 1 0
同理可得Ly Lz
0 i 0 Ly i 0 i 2 0 i 0 0 0 0 0 0 1
由此得Lx矩阵元
Lz在自身表象中具有最简
单形式，是一个对角矩阵， 对角元素就是 Lz的本征值。
(Lx)11 = (Lx)22 = (Lx)33 = 0 (Lx)13 = (Lx)31 = 0 (Lx)12 = (Lx)21 = (Lx)23 = (Lx)32 = /21/2
假设只有分立本征值，将 Φ, Ψ按{un(x)}展开：
( x , t ) a m ( t )um ( x ) m ( x , t ) bm ( t )um ( x ) m

m
ˆ ( x , i ) bm ( t )um ( x ) F x am ( t )um ( x )
m
Q表象的 表达方式
ˆ ( x , i )u ( x )dx Fnm un * ( x )F m x
Q表象的表达方式
Q 表象 {Am(t)} {Bn(t)} Hn
m
坐标表象
→ →
Φ (x,t) Ψ (x,t) Ĥ F
Fn
m
bn (t ) Fnm am (t )
m
n 1, 2,
C ( p, t ) * C ( p, t )dp
C(p,t) 物理意义
|Ψ(x,t)| 2dx 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的
位置所得结果在x → x + d x
范围内的几率。
|C(p,t)| 2dp 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动
量所得结果在p → p + d p
归一化可写为
共轭矩阵
a1 (t ) *
a2 ( t ) *

an ( t ) *

a1 (t ) *
a2 (t ) *

an (t ) *

an (t ) * an (t ) 1
n
a1 (t ) a2 (t ) an (t )
量子力学 表象 不同表象波函数 u 1 (x), u 2 (x),..., u n (x), ... a 1 (t), a 2 (t),..., a n (t), ... 量子状态 Ψ (x,t)
基本矢量
坐标系
→
不同坐标系的一组分量 i, j, k, Ax, Ay, Az 矢量 A
态矢量
所以我们可以把状态Ψ看成是一个矢量——态矢量。 选取一个特定力学量 Q 表象，相当于选取特定的坐标系，

un * ( x ) ( x, t ) dx uq * ( x ) ( x, t ) dx
( x, t ) an (t )un ( x) aq (t )uq ( x)dq
n
归一化则变为：
|an(t)|2 是在 Ψ(x,t) 态中测量力学量 Q 所得结果为 Qn 的几率；
Lx矩阵是3×3矩阵 ˆ ˆ Lx 1 2 ( L L )
LYlm l ( l 1) m( m 1)Yl ,m 1
写
Y10 2 1 (Y11 Y11 ) 2 1 Y10 2
计算中 使用了 公式
成
0 矩 Lx 1 2 阵 0
1 0 1
u1(x), u2(x), ..., un(x), ...
波函数
a1 ( t ) a2 (t ) an (t )
是 Q 表象 的基本矢量简称基矢。
是态矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方 向上的“分量”。Q表象的基矢有 无限多个，所以态矢量所在的空 间是一个无限维的抽象的函数空 间，称为Hilbert空间。
§2
算符的矩阵表示
（一）力学量算符的矩阵表示 （二）Q 表象中力学量算符 F 的性质
（三）Q 有连续本征值的情况
（一）力学量算符的矩阵表示
坐标表象：
ˆ ( x, p ˆ ) ( x , t ) ( x , t ) F ˆ ( x , i )( x , t ) F
x
Q表象： 代入
§1
态的表象
（一）动量表象 （二）力学量表象 （三）讨论
（一）动量表象
动量本征函数： 命题
假设 Ψ (x,t) 是归一化波函数， 则 C(p,t) 也是归一。
p ( x)
1 eipx / 证 2
1 * ( x, t )( x, t )dx [ C ( p, t ) p ( x )dp]* [ C ( p, t ) p ( x )dp]dx
1 Lz 0 0
（1）力学量算符用厄密矩阵表示
Fnm

ˆ u ( x )dx un * ( x )F m
ˆ u ( x )) * dx ] * [ un ( x )( F m ˆ u ( x )dx ] * [ u * ( x )F
同样
x 在自身表象坐标表象中 对应有确定值 x’ 本征函数 δ(x'-x)。
动量表象中，有确定动 量p’的粒子的波函数是 以动量p为变量的δ函数。本征函数在自身 表象中是一个δ函数。
这可由本征 值方程看出：
x ( x x ) x ( x x ) 所以 x ( x ) ( x x )
若Ψ, un都是归一化的，
则 an(t) 也是归一化的。
相应本征函数为：u1(x), u2(x), ..., un(x), ...。
将Ψ(x,t) 按 Q 的 本征函数展开：
( x , t ) an ( t )un ( x )
n
证：
1 * ( x, t )( x.t )dx
m
a1 (t ) *

a2 ( t ) *

an ( t ) *

aq (t ) *

归一化仍可表为：Ψ+Ψ= 1
（三）讨论
坐标表象 动量本 征函数 不含时 动量本 征函数 本征 方程
1/2
同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同， 波函数的形式也不同，但是它们描写同一状态。
动量表象 C(p,t)=δ (p'-p)exp[-iE't/]
m
m
两边左乘 u*n(x) 并对 x 积分

m
ˆ ( x , i )u ( x )dx ]a ( t ) bm ( t ) un * um ( x )dx [ un * F mຫໍສະໝຸດ Baidum x

m
bm ( t ) nm Fnm am ( t )
m
bn ( t ) Fnm am ( t )
范围内的几率。
Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ(x,t) 是该状态在坐标表象中的波函数； C(p,t) 是该状态在动量表象中的波函数。
若Ψ(x,t) 描写的态是具有确定 动量 p’ 的自由粒子态，即： 则相应动量表象中的波函数：
( x , t ) p ( x )e p 2 E p 2
F12 F22 Fn 2
Φ=FΨ
例 1：求 Lx 在 L2, Lz 共同表象，=1子空间中的矩阵表示。 令： u1 = Y11 u2 = Y10 , u3 = Y1-1
则 Lx 的矩阵元可如下计算：
ˆ u d ( Lx )ij ui * L x j i , j 1,2,3
1 ˆ ˆ L u x 1 2 ( L L )Y11 1 ˆ ˆ Lx u2 ( L L )Y10 2 1 ˆ ˆ Lx u3 ( L L )Y11 2 1
写成矩阵形式
F 在 Q 表象中是一个矩阵， Fnm 是其矩阵元
简写成
F1m F2 m Fnm a1 ( t ) a2 (t ) am (t )
b1 ( t ) F11 b2 ( t ) F21 bn ( t ) Fn1

n
an * (t )an (t ) aq * (t )aq (t )dq 1
|aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t) 态中 测量力学量 Q 所得结果在 q → q + d q之间的几率。
在这样的表象中，Ψ 仍可以用一个列矩阵 表示：
a1 ( t ) a ( t ) 2 an (t ) a (t ) q
an ( t ) un * ( x )( x .t )dx
a1(t), a2(t), ..., an(t), ...
[ am ( t )um ( x )]* an ( t )un ( x )dx
n
就是Ψ(x,t)所描写状态 在Q表象中的表示。
am * ( t )an ( t ) um * ( x )un ( x )dx
iE p t /
iE p t /
C ( p, t ) p * ( x )( x, t )dx p * ( x ) p ( x )e
dx
e
iE p t /

p * ( x ) p ( x )dx e
iE p t /
( p p)
m n
am * ( t )an ( t ) mn
m n
an * ( t )an ( t )
n
由此可知，| an| 2 表示 在Ψ (x,t)所描述的状态 中测量Q得Qn的几率。
写成 矩阵形式
a1 ( t ) a2 (t ) an (t )
（2）含有连续本征值情况
设力学量 Q 的本征值和本征函数分别为： Q1, Q2, ..., Qn, ..., q u1(x), u2(x), ..., un(x), ..., uq(x) 则
例如氢原子能量就是这样一种力学量， 即有分立也有连续本征值。
an (t ) a (t ) q