数学：4.1.2《圆的一般方程》课件(新人教版A版必修2)
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新课标人教A版高一必修二数学4.1.2圆的一般方程课件(共14张ppt)
思考2:方程 x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 的一般形式是什么？
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
灿若寒星整理制作
高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
x2 y2 Dx Ey F 0
思考3:方程 x2 y2 2x 4 y 1 0
与表x2示的y2图 形2x都 是4 y圆 吗6 ？0为什么？
思考4:方程可x2 化 y2 Dx Ey F 0
圆心为，( D半, 径E为)
22
1 D2 E2 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 圆的x2位置y2分别Dx有什Ey么特F 点 0？
y
y
y
C
C
C
o
x
o
x
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程
思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？
例3已知线段AB的端点B的坐标是（4， 3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求 线段AB的中点M的轨迹方程.
y B
AM
o
x
例4已知点P（5，3），点M在圆x2+y24x+2y+4=0上运动，求|PM|的最大值和 最小值.
P y
o
A Mx
C
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成的x2 形y2式 D，x 但E方y 程F 表0
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高中数学课件
4.1.2圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标 准方程是什么？
(x a)2 ( y b)2 r2
2.直线方程有多种形式，圆的方程是 否还可以表示成其他形式？这是一个 需要探讨的问题.
高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2
4.1.2 圆的一般方程
目标导航 课标要求 素养达成
1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和 半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一 般方程解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.
通过对圆的一般方程的学习,促进学生数形结合思想 方法的养成,帮助直观想象,数学运算、数学抽象等 核心素养的达成.
D 8,
解得
E
2,
……………………………………………10
分
F 12.
所以△ABC 外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0.………12 分
法二 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,…………2 分
(2 a)2 (2 b)2 r2,
由题意得
(5
a)2
(3
b)2
r2,
解:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程
的形式(x+ D )2+(y+ E )2= D2 E2 4F 后,D2+E2-4F 是否大于 0,若大于 0 则表示
2
2
4
圆,否则不表示圆.
法一 (1)将原方程转化为(x- 1 )2+y2=0,表示一个点,坐标为( 1 ,0).
(4)由于 D2+E2-4F=1+4-4=1>0,所以该二元二次方程表示的是圆.
又 x2+y2+x+2y+1=(x+ 1 )2+(y+1)2= 1 ,所以它表示以(- 1 ,-1)为圆心,以 1 为半径的圆.
2
4
目标导航 课标要求 素养达成
1.了解圆的一般方程的特点,会由一般方程求圆心和 半径. 2.会根据给定的条件求圆的一般方程,并能用圆的一 般方程解决简单问题. 3.初步掌握求动点的轨迹方程的方法.
通过对圆的一般方程的学习,促进学生数形结合思想 方法的养成,帮助直观想象,数学运算、数学抽象等 核心素养的达成.
D 8,
解得
E
2,
……………………………………………10
分
F 12.
所以△ABC 外接圆的方程为 x2+y2-8x-2y+12=0.………12 分
法二 设所求的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,…………2 分
(2 a)2 (2 b)2 r2,
由题意得
(5
a)2
(3
b)2
r2,
解:方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 是否表示圆,关键看将该方程配方转化为圆的标准方程
的形式(x+ D )2+(y+ E )2= D2 E2 4F 后,D2+E2-4F 是否大于 0,若大于 0 则表示
2
2
4
圆,否则不表示圆.
法一 (1)将原方程转化为(x- 1 )2+y2=0,表示一个点,坐标为( 1 ,0).
(4)由于 D2+E2-4F=1+4-4=1>0,所以该二元二次方程表示的是圆.
又 x2+y2+x+2y+1=(x+ 1 )2+(y+1)2= 1 ,所以它表示以(- 1 ,-1)为圆心,以 1 为半径的圆.
2
4
人教A版高中数学必修二《4.圆的一般方程》课件
方 程x2y2DxEyF0表 示 以 点 D 2,E 2为 圆 , 1 D2E24F为 半 径 的 圆 . 2
（ 2 ） 当 D 2 E 2 4 F 0 时 ，
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 表 示 点 D 2 , E 2
（ 3 ） 当 D 2E 2 4 F 0 时 ，
练一练
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
1:下列方程各表示什么图形?
（ 1） x2y20_________
原点（0,0）.
（ 2 ） x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _
圆 心 为 ( 1 ,2 ),半 径 为 1 1 的 圆 .
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: (用配方法求解) ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待 定系数法求解.
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件 人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
x12 y2 4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标（x，y）,
点A的坐标 x0 , y.0由 于点B的坐
标是（4，3）,且点M是线段 AB的中点,所以
xx04,yy03,
2
2
于是有 x02x4,y02y3.①
y
M
B
A
O
x
图4.1-4
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 不 表 示 任 何 图 形 .
（ 2 ） 当 D 2 E 2 4 F 0 时 ，
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 表 示 点 D 2 , E 2
（ 3 ） 当 D 2E 2 4 F 0 时 ，
练一练
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
1:下列方程各表示什么图形?
（ 1） x2y20_________
原点（0,0）.
（ 2 ） x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 _ _ _ _ _ _ _ _ _
圆 心 为 ( 1 ,2 ),半 径 为 1 1 的 圆 .
(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: (用配方法求解) ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.
②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待 定系数法求解.
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
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x12 y2 4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程.
解：设点M的坐标（x，y）,
点A的坐标 x0 , y.0由 于点B的坐
标是（4，3）,且点M是线段 AB的中点,所以
xx04,yy03,
2
2
于是有 x02x4,y02y3.①
y
M
B
A
O
x
图4.1-4
人教A版高中数学必修二《4.1.2圆的 一般方 程》课 件
方 程 x 2 y 2 D x E y F 0 不 表 示 任 何 图 形 .
高中数学 4.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
第八页，共29页。
(3)求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆 的方程的大致步骤是：
①根据题意所给条件，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； ③解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程． (4)求圆的方程时要注意与平面几何知识相联系(如圆的几何性 质)可使问题简单化．
A．k>1 B．k<1 C．k≥1 D．k≤1 【答案】B
第五页，共29页。
3．以 A(0,0)，B(4,3)点为直径的两个端点的圆的一般方程是 ____________．
【答案】x2＋y2－4x－3y＝0 4．已知点 P (a,b)关于直线 l 的对称点为 P ′(b+1,a-1),则圆 C ： x2+ y2-6 x-2y=0 关于直线 l对称的圆 C ′的一般方程为________． 【答案】x2+ y2-4x-4y-2=0
第十九页，共29页。
题型三 轨迹问题 【例 3】 已知直角△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3，0)，求： (1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程． 思路点拨： (1)设出 C 点坐标，利用垂直关系直接由斜率之积为－1 列出 方程，注意 A、B、C 三点不能共线； (2)设出 M 点坐标，利用中点关系，建立 M 点与 C 点坐标之间 的关系，求出轨迹方程．
第二页，共29页。
自主探究 探究：所有形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程都表 示圆吗？
【答案】不是，只有当 D2＋E2－4F>0 时才表示圆，D2＋E2－
4F 取值不同，对应图形如下表．
方程
条件
图形
(3)求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆 的方程的大致步骤是：
①根据题意所给条件，选择标准方程或一般方程； ②根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； ③解出 a，b，r 或 D，E，F，代入标准方程或一般方程． (4)求圆的方程时要注意与平面几何知识相联系(如圆的几何性 质)可使问题简单化．
A．k>1 B．k<1 C．k≥1 D．k≤1 【答案】B
第五页，共29页。
3．以 A(0,0)，B(4,3)点为直径的两个端点的圆的一般方程是 ____________．
【答案】x2＋y2－4x－3y＝0 4．已知点 P (a,b)关于直线 l 的对称点为 P ′(b+1,a-1),则圆 C ： x2+ y2-6 x-2y=0 关于直线 l对称的圆 C ′的一般方程为________． 【答案】x2+ y2-4x-4y-2=0
第十九页，共29页。
题型三 轨迹问题 【例 3】 已知直角△ABC 的斜边为 AB，且 A(－1,0)，B(3，0)，求： (1)直角顶点 C 的轨迹方程； (2)直角边 BC 中点 M 的轨迹方程． 思路点拨： (1)设出 C 点坐标，利用垂直关系直接由斜率之积为－1 列出 方程，注意 A、B、C 三点不能共线； (2)设出 M 点坐标，利用中点关系，建立 M 点与 C 点坐标之间 的关系，求出轨迹方程．
第二页，共29页。
自主探究 探究：所有形如 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的二元二次方程都表 示圆吗？
【答案】不是，只有当 D2＋E2－4F>0 时才表示圆，D2＋E2－
4F 取值不同，对应图形如下表．
方程
条件
图形
4.1.2圆的一般方程 课件(人教A必修2)
C. (－1,2)
D. (－1, －2)
解析: 选A.2).
栏目 导引
第四章 圆与方程
2. 圆x2＋y2－6x＋8y＝0的半径等于( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 25
解析: 选C.(x－3)2＋(y＋4)2＝25.
栏目 导引
第四章 圆与方程
典题例证·技法归纳
【满分警示】 求动点的轨迹方程是指动点(x, y)满足的等式 关系, 求动点轨迹是说明动点满足的曲线或者 图形.
(1)当___D__2＋__E__2－___4_F_＝__0_____时, 方程表示一
个点, 该点的坐标为(－D2 , －E2 );
(2)当___D__2＋__E__2－___4_F_<_0_______时, 方程不表
示任何图形;
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)当__D__2＋__E__2－__4_F__>_0___时, 方程表示的曲线 为圆, 它的圆心坐标为 _(_－__D2_,_－__E2__)___, 半径长等于
x－x23＋2y＋2 y2＝12.6 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
两边平方并化简, 得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0. 将方程配方, 得(x＋1)2＋y2＝4.10 分 ∴所求曲线是圆心为(－1,0), 半径为 2 的圆, 其方程为(x＋1)2＋y2＝4.12 分
栏目 导引
第四章 圆与方程
名师微博
栏目 导引
第四章 圆与方程
(3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为 (x－1)2＋(y－2)2＝－5, ∴它不能表示圆.
(4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2 ＝452, ∴它表示以45，0为圆心, 54为半径的圆.
高中数学人教A版必修2课件-4.1.2圆的一般方程
以（1，-2）为圆心，以
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
高一数学人教版A版必修二课件：4.1.2 圆的一般方程
围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得
1 m<5.
圆心坐标为(－m,1)，半径为 1－5m.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 (1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐 标和半径分别为_(_－__a2_，__a2_)，____22_|a_|__；
A.x＋y－1＝0
B.x＋y＋3＝0
C.x－y＋1＝0
D.x－y＋3＝0
解析 因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.
解析答案
1 23 45
3.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是( B )
A.m≤2
B.m＜12
C.m＜2
D.m≤21
解析 由D2＋E2－4F＞0，
解析答案
规律与方法
1.判断二元二次方程表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判 D2＋E2－4F是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于 零的常数. 2.待定系数法求圆的方程 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程， 再用待定系数法分别求出常数D、E、F.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6) 的圆的方程.
解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得 －2－a2＋－4－b2＝r2，
8－a2＋6－b2＝r2，
a＝121， 解得b＝－32，
得(－1)2＋12－4m＞0，
即 m＜12.
人教A版必修二高一数学4.1.2圆的一般方程课件理(7张幻灯片)新人教A版必修2.ppt
2
2
4
(1)当D2 E 2 4F 0时, 方程(*)表示一个圆； (2)当D2 E 2 4F 0时, 方程(*)表示一个点； (3)当D2 E 2 4F 0时,方程(*)不表示任何图形. 完成课本P123练习1,2
例1.求过三点A(2,2), B(5,3),C(3,1)的圆的方程. 解：
思考：如何由x2 y2 Dx Ey F 0 确定圆的圆心和半径.
4.1.2 圆的一般方程
配方, 得
x2 y2 Dx Ey F 0
x2 Dx D2 y2 Ey E 2 D2 E 2 ( x D)2 ( y E )2 D2 E2 4F
例2.圆C与x轴交于A(1,0), B(3,0)两点,被y轴所截弦长为 2 3,
求圆C的方程. 解：
例3. 已知B(2,0),点A为圆x2 y2 1上动点，求线段AB的 中点M的轨迹方程.
家庭作业
B组1，2 P124 活页P53
空白演示
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4.1.2 圆的一般方程
展开得
( x a)2 ( y b)2 r2
x2 2ax a2 y2 2by b2 r2
整理得
x2 y2 2ax 2by (a2 b2 r2 ) 0
一般地，圆的标准方程可表示为
x2 y2 Dx Ey F 0
2
2
4
即圆心为( D , E ) 半径为 D2 E 2 4F
22
2
思考：上述确定圆心和 半径的过程对参数 D, E,F 是否有限制？
4.1.2 圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
高中数学人教A版必修二4.1.2圆的一般方程课件
x2+y2-7x-3y+2=0. ( 3)“求经过点A(4,-5)，且与直线m：x-2y+4=0相切于 点B(-2,1)的圆的方程”，有哪一些方法？
(4-a)2+(-5-b)2=r2
(-2-a)2+(1-b)2=r2
b|a1a--(-+2-12b(-)+2=4)-2|2=r2
42+(-5)2+4D-5E+F=0
当当a当 当 a,,baba不,不,b同 b不同不时同时同 为时为0时 为时00为 时 时 , 0,, 时,
表表示表 表 示圆示圆 示心圆心 圆为心为心为 为 a,a0a,0, 半a ,,,半 径0半径 为径 , 半 为为a径 2a2为 ab22b的2a的 b圆22圆 的 . .b圆2
当当a当 当 a,,baba同,同,b时b同时同为时为时 0为时0为 0时,时0,,时,
(-2)2+12 -2D+E+F=0
-
-E2|-D2-D2(--1-122+)((-=-E22-2))2+4|
=
D2+E2 -4F 2
AB的中垂线：y-(-2)=1 (x-1) m的垂线：y-1=-2[x-(-2)]
L XZ XJY
例析
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点
A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的
若设 2a D,2b E ,a 2 b2 r 2 F，则有 :
x 2 y 2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程。
2.下列二元二次方程各表示什么图形？由 此你能得到什么结论？
(1)x2+y2 -2x- 4y +1=0
高中数学4-1-2圆的一般方程课件新人教A版必修(2)
[答案] B
[解析] (x－2)2＋y2＝5，圆心坐标为(2,0)，半径为 5.
2．轨迹方程 点M的坐标(x，y)满足的关__系__式__称为点M的轨迹方程． [拓展]当动点M的变化是由点P的变化引起的，并且点P在 某一曲线C上运动时，常用中间量法(又称为相关点法)来求动 点M的轨迹方程，其步骤是：(1)设动点M(x，y)；(2)用点M的 坐标来表示点P的坐标；(3)将所得点P的坐标代入曲线C的方 程，即得动点M的轨迹方程．
第四章
圆的方程
第四章
4．1 圆的方程
第四章
4．1.2 圆的一般方程
课前自主预习 思路方法技巧 名师辨误做答
课堂基础巩固 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 1．圆的标准方程为__(_x_－__a_)2_＋__(_y_－_b_)_2_＝__r2_(_r_>_0_) __． 2．用待定系数法求圆的标准方程步骤如下： (1)由题意设出标准方程；(2)列出关于a、b、r的方程(或 方程组)；(3)解出a、b、r代入标准方程．
1．圆的一般方程
(1)方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝ 0_叫 _12_做 __D圆 _2_＋的 __E一 _2_－般 __4方 _F_程 __， _. 其中圆心为___C_(_－__D2_，__－__E2_)_，半径为r＝
(2)说明：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不一定表示圆．当且
5 4
)2＋y2＝(
5 4
)2，∴它表
示以(54，0)为圆心，54为半径的圆．
规律总结：(1)判断一个二元二次方程是否表示圆的步 骤是：先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即①x2与 y2的系数相等；②不含xy项；当它具有圆的一般方程的特征 时，再看它能否表示圆，此时有两种途径，一是看D2＋E2－ 4F是否大于零，二是直接配方变形，看右端是否为大于零的 常数即可．
人教A版高中数学必修二课件第四章4.1.2圆的一般方程(共37张PPT).pptx
答案:(x-5)2+y2=16
【拓展提升】求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件,列出方程f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
【变式训练】(2013·合肥高一检测)过原点O作圆x2+y2-8x=0
【解题探究】1.题1中三点与圆心、半径无直接联系,应怎样 设出圆的方程? 2.圆的一般方程中含有几个待定系数,在求圆的方程时如何求 出待定系数? 探究提示: 1.可设出圆的一般方程求解. 2.含有三个待定系数,需三个独立条件,列出三个方程构成方 程组求出待定系数.
【解析】1.选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0分别代入 (－1,5)，(5,5)，(6,－2)得
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=25
2.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.若点P的轨
迹为曲线C,则此曲线的方程为
.
【解题探究】1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置 关系上是什么? 2.几何关系|PA|=2|PB|如何用数量关系表示? 探究提示: 1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置关系上便是垂 直,因而其斜率之积为-1. 2.几何关系|PA|=2|PB|可通过两点间的距离公式转化为数量 关系.
r＝1 D2＋E2－4F＝ 5 | m－2 | . 2
方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，原方程表示圆的方程． 此时，圆的圆心为(2m，-m)，半径为r＝|m5－2|.
【拓展提升】求轨迹方程的一般步骤 (1)建立适当坐标系,设出动点M的坐标(x,y). (2)列出点M满足条件的集合. (3)用坐标表示上述条件,列出方程f(x,y)=0. (4)将上述方程化简. (5)证明化简后的以方程的解为坐标的点都是轨迹上的点.
【变式训练】(2013·合肥高一检测)过原点O作圆x2+y2-8x=0
【解题探究】1.题1中三点与圆心、半径无直接联系,应怎样 设出圆的方程? 2.圆的一般方程中含有几个待定系数,在求圆的方程时如何求 出待定系数? 探究提示: 1.可设出圆的一般方程求解. 2.含有三个待定系数,需三个独立条件,列出三个方程构成方 程组求出待定系数.
【解析】1.选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0分别代入 (－1,5)，(5,5)，(6,－2)得
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=25
2.已知点A(-3,0),B(3,0),动点P满足|PA|=2|PB|.若点P的轨
迹为曲线C,则此曲线的方程为
.
【解题探究】1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置 关系上是什么? 2.几何关系|PA|=2|PB|如何用数量关系表示? 探究提示: 1.直角三角形中的两条直角边,反映在直线位置关系上便是垂 直,因而其斜率之积为-1. 2.几何关系|PA|=2|PB|可通过两点间的距离公式转化为数量 关系.
r＝1 D2＋E2－4F＝ 5 | m－2 | . 2
方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，原方程表示圆的方程． 此时，圆的圆心为(2m，-m)，半径为r＝|m5－2|.
【数学】4.1.2《圆的一般方程》课件(新人教A版必修2)
，
D E 4F 为半径的圆
(2)当D x
2
2
E
2
4F 0时，方程
y
2
Dx Ey F 0只 有 实 D 2 ,y E 2 ）. E 2 ,表示一个
数解x 点（ D 2
，
2
(3)当D
2 2
2
E 4F 0时, 方程
x y Dx Ey F 0没有 实数解，因而不表示任 何图形.
2
• 分析探求解决途径：①、用配方法将其变形 化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程 的判断方法求解。但是，要注意对于来说， 这里的 • . 9
D 1, E 3, F 而 不 是 D=-4,E=12,F=9 4
变 式 ： a x (a 2) y 2ax a 0
2 2 2
2.当D
2
2 2
E 4F 0时, 方程
2
x y Dx Ey F 0称为
圆的一般方程.
3.圆的一般方程的特
（1）x
2 2
点：
与y 的系数相同，不等于0
（2）没有xy项 (3)D2源自 E 4F 02
例1.求过三点O(0
,0),
M 1(1,1), M 2(4,2)的圆 的方程.
4.1.2《圆的一般方程》
一、复习
(x a) (y b) 圆的标准方程是______________________r
2 2 2
将上式展开得 x y 2 ax 2 by a b r 0
2 2 2 2 2
思
形如x
2
y Dx Ey F 0 ?
高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.2圆的一般方程
(2)解法一 原方程可化为 x2＋y2－32x＋2y＋3＝0，易知 D＝－32，E＝2， F＝3. ∵D2＋E2－4F＝94＋4－12<0，∴方程不表示圆． 解法二 方程可变形为 2x－342＋2(y＋1)2＝－283，此方程无实数解．故 方程不表示任何图形．
(3)原方程可化为(x＋a)2＋y2＝a2. ①当 a＝0 时，方程表示点(0,0)，不表示圆； ②当 a≠0 时，方程表示以(－a,0)为圆心，以|a|为半径的圆，标准方程 为(x＋a)2＋y2＝a2.
D．a>1
[解析] ∵x2＋y2＋2ax＋2y＋a2－2a＋1＝0 表示圆， ∴4a2＋4－4a2＋8a－4＝8a>0，∴a>0 又(0,0)在圆外，∴将(0,0)代入圆 C 方程有： a2－2a＋1＝(a－1)2>0，∴a≠1， 综上，a 的取值范围是 0<a<1 或 a>1. [答案] C
判断点(x0，y0)与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 的位置关系有两种途径： (1)点(x0，y0)与圆心的距离和半径的大小比较；(2)将(x0，y0)代入圆的方
(4)将原方程化为 x2＋y2－x＋3y＋141＝0， ∴D＝－1，E＝3，F＝141， ∴D2＋E2－4F＝－1<0， ∴此方程不表示圆．
[典例 2] 若原点 O(0,0)在圆 x2＋y2＋2ax＋2y＋a2－2a＋1＝0 外，则 a
的取值范围是( )
A．a≠1
B．a>0
C．0<a<1 或 a>1
程，x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>＝00
点在圆外， 点在圆上，
<0 点在圆内.
2．已知定点 A(a,2)在圆 x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0 的外部，求 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的取
高中数学 412 圆的一般方程课件 新人教A版必修2
＝32，圆心(－2,3)，半径
r＝
6 2.
已知方程x2＋y2－2(m－1)x－4my＋6m2－4m＋1＝0表示 圆．
(1)m的取值范围为________； (2)圆心的轨迹方程为________． [答案] (1)(0,2) (2)2x－y＋2＝0(－1<x<1) [解析] 配方得，[x－(m－1)]2＋(y－2m)2 ＝－m2＋2m. (1)∵方程表示圆，∴－m2＋2m>0，∴0<m<2.
4．1.2 圆的一般方程
• 1．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0当且仅当 D2＋E2－4F>0
时表示圆，其圆心为
，半径为
.此方程称为圆的一般方程．
• 若二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cx2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆
则应满足：
.
• 2．已知圆的方程为x2＋y2＋6x＋4y＋12＝0，则圆心为 ，B＝半0径，为A＝C≠.0，D2＋E2－4AF>0
3D＋4E－F－25＝0
Байду номын сангаас
F＝－15
故所求圆的方程为 x2＋y2＋6x－2y－15＝0.
[例3] 自圆x2＋y2＝4上的点A(2,0)引此圆的弦AB，求弦AB 的中点轨迹方程．
[解析] 设 AB 的中点 P(x，y)，B(x1，y1)，则有 x21＋y12＝ 4∴，(且2x－x＝2x)21＋＋2 (22，y)y2＝＝4y，1＋2即0.(∴x－x11＝)22＋x－y2＝2，1.y1＝2y. 当A、B重合时，P与A点重合，不合题意， ∴所求轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1(x≠2)．
1－D＋F＝0 9＋3D＋F＝0 1＋E＋F＝0
D＝－2 ∴E＝2
F＝－3
人教A版高中数学必修2第四章4.1.2圆的一般方程课件(共16张PPT)
没有xy这样的二次项
ห้องสมุดไป่ตู้
练一练
1.下列方程能否表示圆方程？若能写出圆心与半径
(1) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (2) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是
(3) x2+y2+2by=0
(4).x2 + y2 + 2ax - b2 = 0
巩固应用
1. 已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),
y=-E/2，表示一个点（ - D , - E ）.
22
( x + D )2 + ( y + E )2 = D2 + E2 - 4F
2
2
4
(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所 以不表示任何图形.
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程
1.圆的一般方程:
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
(x - a)2 + (y - b)2 = r2(r 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 - a)2 + (1- b)2 = r 2 a = 2 (7 - a)2 + (-3 - b)2 = r 2 b = -3 (2 - a)2 + (-8 - b)2 = r 2 r = 5
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
高中数学 4.1.2圆的一般方程课件 新人教A版必修2
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高中数学课件
知识回顾
1. 圆的标准方程； 2. 点与圆的位置关系及其判断。
问题探究
探究1：已知点M与两个定点O(0， 0)，A( 3， 0) 1 的距离之比为 ，求点M的轨迹方程并判断其轨 2 迹。
探究2：（1）方程x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 表示什么图形？ （2）方程x y 2 x 4 y 6 0表示什么
2 2
图形？
探究3：方程x y Dx Ey F 0表示
2 2
什么图形？
学法小结
圆的一般方程： x y Dx Ey F （ 0 D E 4 F 0）
2 2 2 2
自我检测
检测1：教材P 123 练习T1 检测2：教材P 123 练习T2
典例精析
Hale Waihona Puke 例1：求过三点O(0， 0)，M 1 (1， 1)，M 2 (4， 2)的 圆的方程，并求这个圆 的半径长和圆心坐标。
例2：已知线段AB的端点B的坐标是(4， 3)， 端点A在圆( x 1) y 4上运动，求线段 AB
2 2
的中心M的轨迹方程。
高中数学课件
知识回顾
1. 圆的标准方程； 2. 点与圆的位置关系及其判断。
问题探究
探究1：已知点M与两个定点O(0， 0)，A( 3， 0) 1 的距离之比为 ，求点M的轨迹方程并判断其轨 2 迹。
探究2：（1）方程x 2 y 2 2 x 4 y 1 0 表示什么图形？ （2）方程x y 2 x 4 y 6 0表示什么
2 2
图形？
探究3：方程x y Dx Ey F 0表示
2 2
什么图形？
学法小结
圆的一般方程： x y Dx Ey F （ 0 D E 4 F 0）
2 2 2 2
自我检测
检测1：教材P 123 练习T1 检测2：教材P 123 练习T2
典例精析
Hale Waihona Puke 例1：求过三点O(0， 0)，M 1 (1， 1)，M 2 (4， 2)的 圆的方程，并求这个圆 的半径长和圆心坐标。
例2：已知线段AB的端点B的坐标是(4， 3)， 端点A在圆( x 1) y 4上运动，求线段 AB
2 2
的中心M的轨迹方程。
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y B
A
o
M x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y o C
A
M x
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2 y 2 Dx Ey F 0 2 2 的形式，但方程 x y Dx Ey F 0表示 的曲线不一定是圆，当 D 2 E 2 4F 0 时， D ，半径 E 方程表示圆心为 ( , ) 为 1 D 2 E 2 4 F 的圆. 2 2
2 2
2 2
思考6:方程 x y Dx Ey F 0 2 2 ( D E 4F 0)叫做圆的一般方程，其 圆心坐标和半径分别是什么？
2 2
D E 圆心为 ( , ) 2 2
，半径为
1 2 2 D E 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 2 2 圆 x y Dx Ey F 0 的位置分别 有什么特点？
y C o y C x o x y C
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程 思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？ 思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆方 y P 程如何？
B A o x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
2 2
思考4:方程 x y Dx Ey F 0 可化
2 2
为
D 2 E 2 D E 4F (x ) ( y ) 2 2 4
2 2
，
它在什么条件下表示圆？
4F 思考5:当 D E 4 F 0或 D E 时， 0 2 2 方程 表示什么图 x y Dx Ey F 0 形？
理论迁移 例1 求过三点O（0，0），A（1，1）， B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的 半径长和圆心坐标.
例2 方程 x y ax 2ay 2a a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
2 2 2
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
4.1.2
圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆 的标准方程是什么？
( x a) ( y b) r
2 2
2
2.直线方程有多种形式，圆的方 程是否还可以表示成其他形式？这是 一个需要探讨的问题.知识探究一：圆的一般方程
思考1:圆的标准方程 ( x a) ( y b) r 展开可得到一个什么式子?
2 2
2 2 2 2 2
2
思考2:方程 x y 2ax 2by a b r 0 的一般形式是什么？
x y Dx Ey F 0
2 2
思考3:方程 x y 2 x 4 y 1 0 2 2 与 x y 2 x 4 y 6 0 表示的图形 都是圆吗？为什么？
2
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业： P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.
A
o
M x
例4 已知点P（5，3），点M在圆 x2+y2-4x+2y+4=0上运动，求|PM|的最 大值和最小值.
P y o C
A
M x
B
小结作业
1.任一圆的方程可写成 x2 y 2 Dx Ey F 0 2 2 的形式，但方程 x y Dx Ey F 0表示 的曲线不一定是圆，当 D 2 E 2 4F 0 时， D ，半径 E 方程表示圆心为 ( , ) 为 1 D 2 E 2 4 F 的圆. 2 2
2 2
2 2
思考6:方程 x y Dx Ey F 0 2 2 ( D E 4F 0)叫做圆的一般方程，其 圆心坐标和半径分别是什么？
2 2
D E 圆心为 ( , ) 2 2
，半径为
1 2 2 D E 4F 2
思考7:当D=0，E=0或F=0时， 2 2 圆 x y Dx Ey F 0 的位置分别 有什么特点？
y C o y C x o x y C
o
x
D=0
E=0
F=0
知识探究二：圆的直径方程 思考1:已知点A(1，3)和B(-5，5)，如 何求以线段AB为直径的圆方程？ 思考2:一般地，已知点A(x1，y1)， B(x2，y2)，则以线段AB为直径的圆方 y P 程如何？
B A o x
(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
2 2
思考4:方程 x y Dx Ey F 0 可化
2 2
为
D 2 E 2 D E 4F (x ) ( y ) 2 2 4
2 2
，
它在什么条件下表示圆？
4F 思考5:当 D E 4 F 0或 D E 时， 0 2 2 方程 表示什么图 x y Dx Ey F 0 形？
理论迁移 例1 求过三点O（0，0），A（1，1）， B（4，2）的圆的方程，并求出这个圆的 半径长和圆心坐标.
例2 方程 x y ax 2ay 2a a 1 0 表示的图形是一个圆，求a的取值范围.
2 2 2
例3 已知线段AB的端点B的坐标是 （4，3）,端点A在圆(x+1)2+y2=4上运 动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
4.1.2
圆的一般方程
问题提出
1.圆心为A(a，b)，半径为r的圆 的标准方程是什么？
( x a) ( y b) r
2 2
2
2.直线方程有多种形式，圆的方 程是否还可以表示成其他形式？这是 一个需要探讨的问题.知识探究一：圆的一般方程
思考1:圆的标准方程 ( x a) ( y b) r 展开可得到一个什么式子?
2 2
2 2 2 2 2
2
思考2:方程 x y 2ax 2by a b r 0 的一般形式是什么？
x y Dx Ey F 0
2 2
思考3:方程 x y 2 x 4 y 1 0 2 2 与 x y 2 x 4 y 6 0 表示的图形 都是圆吗？为什么？
2
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤： （1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）求系数； （4）小结.
3.求轨迹方程的基本思想： 求出动点坐标x，y所满足的关系.
作业： P123练习：1，2，3. P124习题4.1B组：1，2，3.