从平面几何立体几何

从平面几何到立体几何

《立体几何》作为高中数学的重要组成部分，其在培养学生的空间思维能力、空间想象能力和严密的逻辑推理能力方面起着不可替代的作用。实际教学中，明显感觉到大多学生对《立体几何》这一门课存在畏惧心理，思维比较难从平面几何里过渡进来，不能体会到其中的统一关系。究其原因，认为主要有如下几点：

(1)初、高中思维模式的差别巨大；

(2)平面与空间的思维跨度大；

(3)学生的学习兴趣取向没有形成。

所以实际教学中，如何精心设计问题情景和平台、注重导入技巧；如何把握《立体几何》的概念及思维特征、使学生转变观念和思维习惯显得至关重要。

1、注重激发兴趣，渗透情感教育

首先：充分调动学习兴趣，借用平面几何基础、生活实例、实物模型及多媒体等教学手段，充实学生对客观事物（空间图形）的感知，引导从平面向立体转化，为学生进行形象思维创造条件，促使学生建立起一定的空间想象力。在课堂上，除作了一些必要的生活铺垫，可以作一些趣味思考题，如：六根等长木棒任意搭建，最多可得多少正三角形？让学生分组（课前准备好道具）协作构思，极大地调动了学生的参与热情和探求欲望，在学生大多得出正确结果的基础上，用多媒体展示搭建过程，后提炼出“空间中思考问题”的实质，有效地培养了学生的空间思维能力及空间想象能力。

其次：在教学实践中，注意情感渗透。不少学生（女生居多）一上来对学习《立体几何》就信心不足。此时，教师宜尽量采用轻松、活泼的语言来分析问题与结论，缓解学生学习的心理压力，减少干扰因素，特别是针对一些“慢热”型学生更应注重情感交流，适时了解其学习困惑，建立起融洽的师生关系，使学生在一个宽松、和谐、平等的教学氛围中，积极主动地学习，最大限度地发挥出其聪明才智和创造性，从而获取最佳学习效益。

2、注重概念的导入教学，促进空间思维的建立

立体几何是平面几何在空间的延伸，学好平面几何是学好立体几何的基础。学生掌握的平面几何概念（上位学习）对立体几何的学习（下位学习）起着重要的作用：如果上位学习对下位学习产生积极有效的促进作用，在认知心理学上称之为正迁移

．．．；如果上位学习对下位学习引起障碍及抑制作用，在认知心理学上称

之为负迁移

．．．。这种正负迁移在立几概念教学中是难以避免的，甚至可说影响极大。为此在教学法中需努力地防止负迁移，促使正迁移，才能顺理成章地引导学生从平面到空间的过渡，建立正确的空间概念。

比如：在讲述平面这个抽象概念时，除了介绍一些概念形成的实物背景，同时为了形象阐明“平面”的抽象特征，就应充分利用“上位”与“下位”学习的迁移和渗透，让学生在旧知基础上确立新知感到自然、亲切。（见下表）

平面（立几）直线（平几）

特征1：无限延展两端无限延伸

（无大小）（无长短）

特征2：无厚薄无粗细

事实上，许多立体几何内容都是平面几何内容在空间的延伸和拓广，若能进行适当类比，提示出新旧知识之间的内在联系及共同本质，则能使已有知识得到顺利迁移，起到事半功倍的效果。

3、注重概念的表述教学，促进对概念的应用与理解

在立体几何教学中，学生往往会出现：“上课听得懂，而课下题目不会做”的局面，这主要是学生不能正确、合理地使用数学语言将所学概念表达出来的缘故。

前苏联数学教育家AA斯托利亚尔曾指出，在一定程度上，“数学教学就是数学语言教学”。数学语言分为文字语言、符号语言、图象语言三种。学好和掌握数学语言，对于掌握概念、理解题意、准确分析推理至关重要。

数学文字语言、符号语言、图形语言虽然形式各异，但它们在描述同一概念时其本质属性是相同的。因此它们之间可相互转化。众所周知，立体几何的定理大都是用文字语言表述的，而证明它们时，则需先将文字语言翻译成图形语言，为数学思维提供几何直观，进而翻译成符号语言来推理、论证。应当说这正是训练和培养学生三种数学语言互译能力的极好素材和时机，教师在进行立体概念、定理教学时，如果仅仅启发学生得出文字语言的表述形式，而忽略了不同语言表述方式的教学，即忽略了三种语言相互转化、翻译能力的训练，就容易造成：（1）使学生也只注重文字语言表述，而不善于将这些文字语言与符号语言、图形语言相联系，只能死记硬背，从而也不可能达到真正理解、掌握要领及定理的实质，影响学生对这些知识应用能力的发展和认知水平的提高；（2）书中例题、习题都是以一种语言形式（文字语言或符号语言）少数配以图形语言形式出现，如若不能语言互译，合理构图，也就不能跨越解题的第一障碍———理解题意。

例如：

三个平面两两相交，有三条交线，求证这三条交线交于一点或互相平行。 面对这道用文字语言表述的题目，一般学生往往感到难以下手，其症结在于“图形画不出，题意不理解”——缺乏语言互译能力。反之，若学生能将用文

图 1 图2

进而用符号语言表述，即：

已知：α∩β=a ，β∩γ＝b ，α∩γ=c ，

求证：a 、b 、c 相交于一点（p ）或a 、b 、c 相互平行。

则易于打开解题思路，并完成证明。

证明：∵α∩β=a ⇒α⊂β;β∩γ＝b ⇒b ⊂β

∴a 、b 相交或平行。

①若a ∩b=p （如图1）

p ∈a ∩b =p ∈a ∈ p ∈c ∵β∩γ⇒p

又∵α∩γ即c 也过点p ，故a 、b 、c 相交于一点p 。

②若a ∥b 2）

b ⊂ a ⊂⇒a ∥γ a ∥又a ⊂α⇒a ∥

c a ∥b ∥c

α∩γ=∵a ∥b 由①②可知这三条线交于一点或互相平行。

很明显，若学生缺乏语言互译能力，面对这道题，将会有无以下手。

为此在立体几何入门教学中，就必须强化对概念、定理的语言表述教学，抓住时机，提高

学生的文字语言、符号语言、图形语言三种语言相互转化、翻译的能力。如在进行“直线与平面平行的性质定理”的教学时，首先要求学生通过仔细阅读，咬文