【教案】 圆周角与圆心角、弧的关系

圆周角与圆心角、弧的关系

一、知识讲解：

1．圆周角与圆心角的的概念：

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

5．圆的内接四边形对角之和是180度。

6．弧的度数就是圆心角的度数。

解题思路：

1．已知圆周角，可以利用圆周角求出圆心角

2．已知圆心角，可以利用圆心角求出圆周角

3．已知直径和弧度，可以求出圆周角与圆心角

1.圆周角与圆心角的定义

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意圆周角定义的两个基本特征：

(1)顶点在圆上；

(2)两边都和圆相交。

二、教学内容

【1】圆心角：顶点在圆心的角。

利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个基本特征：

练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．

【2

一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，

求证：∠BAC= 1/2∠BOC.

分析：通过图形的演示指导学生进一步去寻找圆心O与∠BAC的关系

本题有三种情况：

（1）圆心O在∠BAC的一边上 O

（2）圆心O在∠BAC的内部

（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C

●如果圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角

形的性质即可证明

●如果圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将这个角转化为上述

情况的两个角的和或差即可

证明:

圆心O在∠BAC的一条边上 A

OA=OC==>∠C=∠BAC

∠BOC=∠BAC+∠C O

==>∠BAC=1/2∠BOC. B C

【3】圆周角与圆心角的关系

（1）．在同圆或等圆中，如果两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

（2）．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

（3）．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

（4）．圆的内接四边形对角之和是180度。

（5）．弧的度数就是圆心角的度数。

三、精讲精练

（一）选择、填空题：

1．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）

A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对

2．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）

A．5对 B．6对 C．7对 D．8对

3．下列说法正确的是（）

A．顶点在圆上的角是圆周角

B．两边都和圆相交的角是圆周角

C．圆心角是圆周角的2倍

D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半

4．下列说法错误的是（）

A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等

C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等

5．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．

6．如图5，⊙O直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°，则∠AON= ．

7.⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．

A、30°

B、150°

C、30°或150°

D、60°

8.△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则

的度数为（）．

A、60°

B、80°

C、100°

D、120°

9.如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°的角共有( )个．

A、3

B、4

C、5

D、6

10.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A的度数为（）

A、70°

B、65°

C、60°

D、50°

11.圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形

内角的度数分别为__________．

（二）解答题

1．如图，以△ABC的BC边为直径的半圆交AB于D，交AC于E，过E点作EF⊥BC，垂足为F，且BF：FC=5：1，AB=8，AE=2，求EC 的长．

2．如图，已知圆心角∠AOB=100°，求圆周角∠ACB、∠ADB的度数？

3.如图，OA、OB、OC都是圆O的半径，∠AOB=2∠BOC．求证：∠ACB=2∠BAC

4. 如图，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E．（1）求证：△DOE是等边三角形；（2）如图3-3-14，若∠A=60°，AB≠AC，则①中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由？

5. 如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．

6. 如图，AB是⊙O的直径，CD⊥AB于D，AD=9cm，DB=4cm，求CD和AC的长．

7.如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．

（1）求证：AC⊥OD；

（2）求OD的长；

（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．