第五章系统的稳定性-机械工程控制基础-教案

Chp.5系统稳定性基本要求1．了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2．掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3．掌握Nyquist 判据；4．理解Nyquist 图和Bode 图之间的关系；5．掌握Bode 判据；6．理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist 图和Bode 图上加以表示。

重点与难点本章重点1．Routh 判据、Nyquist 判据和Bode 判据的应用；2．系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode 图的表示法。

本章难点Nyquist 判据及其应用。

§1 概念示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。

（图5.1.2）讨论：①线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。

与输入量种类、性质无关。

②系统不稳定必伴有反馈作用。

（图5.1.3）若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。

将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) →稳定若反馈加强E(s) →不稳定③稳定性是自由振荡下的定义。

即x i(t)=0时，仅存在x i(0-)或x i(0+)在x i(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。

2、系统稳定的条件：对[a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0]x0(t)=[b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0]x i(t)令B(s)= a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0 A(s)= b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0初始条件：B0(s) A0(s)则B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)X i(s)- B0(s)X i(s)=0,由初始条件引起的输出：L-1变换根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即z i为负值。

系统稳定的充要条件：系统特征方程全部根的实部必须为负。

或：系统传递函数的极点全部位于[s]复平面的左半部。

讨论：①特征根中有一个或以上的根的实部为正→系统不稳定；②临界稳定：特征根中有部分为零或纯虚数，而其它根为负数。

临界稳定系统属于不稳定。

③若，则系统不稳定。

④零点对稳定性无影响。

零点仅反映外界输入对系统的作用，而稳定性是系统本身的固有特性。

⑤稳定性判定方法：a)直接求解出特征方程的根（高阶困难）b)确定特征根在[s]平面上的分布：时域：Routh判据，胡尔维茨判据频域：Nyquist判据，Bode判据§2 劳斯（Routh）判据Routh判据在特征方程系数和根之间建立一定关系，以判别特征根分布是否具有负实部。

一、必要条件：特征方程：B(s)= a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0=0必要条件：B(s)=0的各项系数a i符号均相同，且不等于0;或 a n＞0 a n-1＞0 … a1＞0 a0＞0 （证明）二、充要条件：（Rough稳定性判据）：1、Rough表：将特征方程系数排成两列：偶：a n a n-2 a n-4 a n-6…奇：a n-1 a n-3 a n-5 a n-7 …Rough数列表：（p.124）s n a n a n-2 a n-4 a n-6… a0s n-1a n-1 a n-3 a n-5 a n-7 … a1 0s n-2 A1A2A3 0s n-3B1B2B3 0┆┆┆┆┆s0…0 0 02、判据：Rough列表中第一列各项符号均为正且不等于0若有负号存在，则发生负号变化的次数，就是不稳定根的个数。

例1，已知系统特征方程 B(s)=s4+8s3+17s2+16s+5=0 试判定其稳定性。

解：a4=1 a3=8 a2=17 a1=16 a0=5(过程)a i＞0 （i=1，2，3，4，5）Rough列表中第一列(1，8，15，13.3,5)均大于0，故系统稳定。

例2，已知系统特征方程 B(s)=s3-4s2+s+6=0 试判定其稳定性。

解：有一个负系数，不满足稳定的必要条件，有几个不稳定的根？(过程)有二个负实根，实际上s3-4s2+s+6=（s-2）(s+1)(s-3)例3，已知系统试判定其稳定性。

解：B(s)=s5+2s4+14s3+88s2+200s+800=0(过程)符号改变二次，存在两个不稳定的根。

例4，设有系统方框图如下，已知ζ=0.2，ωn=86.6，试确定k取何值时，系统方能稳定。

(p.126图) (过程)三、特殊情况：1、Rough列表中任一行第一项为0，其余各项不为0或部分不为0。

造成该行的下一行各项变为无穷大，无法进行Rough计算。

措施：①以任一小正数ε代替0的那一项，继续计算。

例：B(s)=s3-3s+2=0（求解）若用ε代替后，系统Rough列表第一列均为正，→临界稳定（共轭虚根）②用因式（s+a）乘特征方程两边，得新的特征方程，进行Rough计算后判断（A为任意正数）。

例：B(s)=s3-3s+2=0（求解，取a=3）2、Rough列表任一行全为0。

原因：系统特征方程的根出现下列一种或多种情况时会发生。

①具有相异符号的实数根（如s=±2）；②虚根时（如s=±j5）；③共轭复数根时（如）解决：①利用全为0这一行的上一行的各项系数组成一个多项式方程（辅助方程）；②对辅助方程取导数得一新方程；④以新方程的系数取代全为0的哪一行，继续进行Rough计算。

例：B(s)=s4+s3-3s2-s+2=0（求解）例：B(s)=s6+s5-2s4-3s3-7s2-4s-4=0（求解）§3 Nyquist判据时域判据的弱点：工程设计中，组成系统的各种参数尚未最后确定，时域判据不能应用；时域判据仅能判断系统是否稳定，不能说明系统稳定或不稳定的程度，因而不能提出改善系统性能的具体途径。

Nyquist判据特点：①图解法：由几何作图判定系统稳定性；②由开环特性判断闭环系统稳定性（开环特性由分析法或实验法获得）；③可判断系统相对稳定性；④可指出各环节对系统稳定性的影响。

一、预备知识：1、三种函数的零、极点关系：（G k(s)、G B(s)、F(s) ）(图5.3.1)G k(s)=G(s)H(s)F(s)=1+ G(s)H(s)z i：G k(s)的零点；p i：G k(s)的极点。

上述各函数零点和极点的关系：（p.131）结论：闭环系统稳定充要条件为G B(s)全部极点具有负实部→F(s)函数的全部极点均具有负实部，即通过G k(s)= G(s)H(s)判断G B(s)的稳定性。

2、映射概念：设函数F(s)=Re(s)+jIm(s) 而s=σ+jω两个函数：F(s)，s 两个复平面：[F(s)]，[s][s]上的每一个点对应[F(s)]上有一个映射的点，称为像点或映射轨迹。

例：已知F(s)= s2，求s=1+j2的像点。

F(s)= s2=（1+j2）2 =-3+ j4即[s]平面上点（1，j2）在[F(s)]复平面上的像点为[-3，j4](tu 2)3、映射定理（幅角原理）：设F(s)为一有理数，设L s为[s]平面上的一封闭曲线（看成点的封闭轨迹），L F为[F(s)]平面上的对应曲线，则：①L s在[F(s)]平面上的映射轨迹L F，也必然是一条封闭曲线。

(tu 2)②若L s包围了F(s)的z i个零点和p i个极点，则L s上某动点s沿L s顺时针方向转一周时，它在[B(s)]上的映射轨迹L B将会顺时针方向包围O B原点N次（N=z-p）。

(tu 2)二、Nyquist判据：1、映射定理的推广：F(s)=1+ G(s)H(s) 为有理数，满足映射定理。

在[s]上，当s按顺时针方向沿整根虚轴（-j∞→+j∞）及R=∞的半径组成的封闭曲线L s（实际上为[s]平面的右半部）转一周时，若虚轴上无F(s)的极点，则在L s在[F(s)]平面上的映射轨迹L F 也将顺时针方向包围原点O B共N次。

(tu 2)根据闭环系统稳定充要条件，特征方程F(s)=0的根均为负实数或实部为负的复数，即F(s)在[s]平面右半部无零点，→系统稳定下的映射为N=-p复平面下系统稳定的充要条件：若[s]虚轴上无F(s)=1+ G(s)H(s)的极点，则当s沿-j∞→+j∞按顺时针方向转一周时，其在[F(s)]平面上的映射轨迹L F也将顺时针方向包围原点O B 共N次，系统才能稳定，否则就不稳定。

2、N=-p含义的变通：N=-p的实质就是利用特征函数F(s)=1+ G(s)H(s)的零、极点分布来判定系统是否稳定，实用上不方便，希望判据建立在开环基础上。

含义变通：①在N=-p中的F(s)的极点数p，理解为开环G(s)H(s)的极点数；②将[F(s)]平面转换成[G(s)H(s)]平面；[F(s)]的原点就是[G(s)H(s)]的（-1，j0）点。

③令s=jω，则s取值-j∞→+j∞，变成ω取值-∞→+∞。

通过上述转换，将N=-p含义重新引申为：N：开环G(s)H(s)轨迹包围（-1，j0）点的次数，即开环轨迹顺，逆时针方向包围（-1，j0）点次数之代数和。

P:开环G(s)H(s)在[s]平面右半部的极点数。

2、Nyquist判据：充要条件：当ω取值-∞→+∞时，其开环G(jω)H(jω)轨迹必须逆时针包围（-1，j0）点p次，则系统稳定，否则就不稳定。

讨论：a) Nyquist判据在[GH]平面上判断；过程：[s]上Nyquist轨迹映射到[GH]上的Nyquist轨迹G(jω)H(jω)，根据G(jω)H(j ω)包围（-1，j0）点的次数来判断系统的稳定性。

b)应用简单：一般开环系统为最小相位系统，p=0，故只需看开环Nyquist图是否包围（-1，j0）点，不包围则稳定。

若开环系统为非最小相位系统，p≠0（开环不稳定），则看Nyquist图是否逆时针包围（-1，j0）点p圈。

c)开、闭环稳定性关系：开环不稳定，闭环可能稳定开环稳定，闭环可能不稳定d)绘制开环ω=0→+∞的Nyquist图即可判断。

原因：开环Nyquist图对实轴对称。

三、对虚轴存在极点的处理：Nyquist判据中规定开环G k(s)中不能含有s=0和s=±jk（k为实数）的极点，否则，这些极点处的幅角是个不确定值，因而，这些点的映射轨迹也不确定。

但工程上大多数G k(s)会含有s=0或s=±jk的极点，此时，Nyquist判据仍可使用，但需对L s曲线修正。

四、应用举例：1、开环稳定，判断闭环稳定性：G k(s)在[s]右半部无极点，p=0，则ω=0→+∞时G k(jω)不包围（-1，j0）点，即N=0，则系统稳定，否则就不稳定。