变化率问题教案
《变化率问题》教学设计
《变化率问题》教学设计
一、教学设计说明
1．教材分析
本课是人教版高中数学选修2-2第一章第一节的第一课时的内容，其基本内容是平均变化率的概念。
我们知道函数在高中数学有着不可忽视的地位，并且导数是研究函数的重要工具及手段，而平均变化率直观的帮助学生了解导数概念的实际背景及几何意义，进而有利于学生更好的学习瞬时变化率——导数，可以说，这一节起到了承上启下的作用。
2．学情分析
本节课的教学对象为高二年级理科生，在物理中，学生已学过平均速度、瞬时速度、加速度等概念，这些都直接或间接地涉及到平均变化率的思想，同时学生又具备了一定的函数知识与解析几何知识，这些都有利于本节课的顺利进行。
平均变化率对于学生来说既陌生又熟悉，熟悉是因为现实生活中有大量问题涉及到平均变化率，所以说它是实践性很强的内容。
但是学生没有明确的系统的学习过平均变化率，不知道他的精确定义及内涵。
由于学生通过自己的亲身体验，亲自去解释生活中的一些问题，才能体会到平均变化率的基本思想。
因此需要学生具有高度的概括能力和深刻的思维能力，对学生的思维是一次挑战，因此，平均变化率的理解与转化是本节课的难点。
二、教案。
《变化率问题教学》课件
详细描述
在变化率问题中，建立数学模型是解决问题的第一步。首先需要对问题进行抽象 和简化，然后使用数学符号和公式来表示问题中的变量、参数和关系。通过建立 数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，便于进行定量分析和求解。
导数的计算和运用
总结词
导数在变化率问题中具有重要应用，通过计算导数可以分析函数的变化趋势和极值点。
变化率与函数图像的关系
单调性
如果一阶导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果一阶 导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
凹凸性
如果二阶导数大于0，则函数在该区间内是凹的；如果二阶导 数小于0，则函数在该区间内是凸的。
04
变化率问题解决策略
建立数学模型
总结词
通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，便于分析和求解。
学Байду номын сангаас参与度与反馈
分析学生在课堂上的参与 情况，以及他们对变化的 反应和反馈，以便更好地 调整教学方法和内容。
学生自我评价与反馈
学生自我评价
引导学生反思自己在本次教学中 对变化率问题的理解程度，以及 自己的学习方法和态度是否有所
改进。
学习困难与问题
鼓励学生提出自己在理解变化率问 题时遇到的困难和问题，以便教师 更好地了解学生的学习需求和困难 。
变化率的应用场景
要点一
总结词
变化率的应用场景非常广泛，包括物理、工程、经济、生 物等领域。
要点二
详细描述
在物理学中，变化率用于描述速度、加速度等物理量的动 态变化。在工程领域，变化率可以用于预测和优化系统的 性能，如机械振动、流体动力学等。在经济领域，变化率 用于分析经济增长、通货膨胀等经济指标的变化趋势。在 生物领域，变化率可以用于描述物种数量、种群动态等生 态现象的变化趋势。
39变化率问题举例教案
一、变化率在工程技术上的几种常见类型
例1（电流模型）设在[0，t]这段时间内通过导线横截面的电荷为 ，求 时刻的电流.
例2（细杆的线密度模型）设一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上，在[0，x]上的质量m是x的函数m=m(x)，求杆上 处的线密度.
例3（化学反应速度模型）在化学反应中某种物质的浓度N和时间t的关系为
弹性分析也是经济分析中常用的一种方法,主要用于对生产、供给、需求等问题的研究.
给定变量，它在某处的改变量称作绝对改变量.给定改变量与变量在该处的值之比称作相对改变量.
定义对于函数 ，如果极限
存在，则 称作函数 在点 处的弹性，记作E，即
作业
自主练习
课后小结
重点、难点：
教学重点：教学难点：
1.变化率在工程技术上的几种常见类型；弹性分析及其意义
授课内容
变化率问题举例
教学方法
及教学工具
授课日期
授课节次
授课地点
教学过程、教学内容（含板书设计）
前面我们从实际问题中抽象出了导数的概念，并利用导数的定义求一些函数的导数，这当然是很重要的一方面,但另一方面，我们还应使抽象的概念回到具体的问题中去,在科学技术中常把导数称为ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ化率.因为,对于一个未赋予具体含义的一般函数 来说
N=N(t)
求在t时刻该物质的瞬时反应速度.
二、变化率在经济分析中的应用
1、边际分析
边际概念是经济学中的一个重要概念，一般指经济函数的变化率.利用导数研究经济变量的边际变化的方法，称为边际分析法.边际分析法是经济理论中的一个重要方法.
(1)边际成本；(2)边际收入；(3)边际利润
【教学方案】《变化率问题》教学案3
《变化率问题》教学案学习目标:1．感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2．理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景. 学习重点:求函数在某点附近的平均变化率.学习难点:对增量的理解.学习过程:一、引言学习阅读教材P 72~ P 73，体会为什么要学习导数.二、新课导学阅读教材P 72~ P 74，在书上标注出重点和疑惑之处※ 学习探究问题1：气球膨胀率，求平均膨胀率思考：当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是多少？问题2：高台跳水，求平均速度 探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？新知：平均变化率：2121()()f x f x f x x x-∆=-∆试试：设()y f x =，1x 是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点2x ，1x 与2x 的差记为x ∆，即x ∆=_______________或者2x =______________，x ∆就表示从1x 到2x 的变化量或增量，相应地，函数的变化量或增量记为y ∆，即y ∆=______________；如果它们的比值y x∆∆，则上式就表示为______________，此比值就称为平均变化率. 反思：所谓平均变化率也就是______________的增量与______________的增量的比值. 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆x f 1212)()(x x x f x f --表示什么？ 一起讨论、分析，得出结果；※ 典型例题(展示点评)例1 过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求出当0.1x ∆=时割线的斜率.变式：已知函数2()f x x x =-+的图象上一点(1,2)--及邻近一点(1,2)x y -+∆-+∆，则y x∆∆=_________. 小结：※ 动手试试(展示点评)练1. 某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.练2. 已知函数()21f x x =+，()2g x x =-，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上()f x 及()g x 的平均变化率.(发现：y kx b =+在区间[m ，n ]上的平均变化率有什么特点？三、总结提升※ 学习小结1.函数()f x 的平均变化率是____________________.2.求函数()f x 的平均变化率的步骤：(1)求函数值的增量____________________.(2)计算平均变化率____________________.※ 知识拓展T(月)6 3 9 12平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”． 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：1. 21y x =+在(1,2)内的平均变化率为( )A ．3B ．2C ．1D ．02. 设函数()y f x =，当自变量x 由0x 改变到0x x +∆时，函数的改变量y ∆为( ) A ．0()f x x +∆ B ．0()f x x +∆C ．0()f x x ∆D ．00()()f x x f x +∆-3. 质点运动动规律23s t =+，则在时间(3,3)t +∆中，相应的平均速度为( ) A ．6t +∆ B ．96t t +∆+∆C ．3t +∆D ．9t +∆4.已知212s gt =，从3s 到3.1s 的平均速度是_______.5.223y x x =-+在2x =附近的平均变化率是____.。
变化率问题教案
变化率问题教案教案标题：变化率问题教案教案概述：本节课的教学目标是帮助学生理解和应用变化率的概念。
通过引入实际生活中的变化率问题，学生将学会计算和解释变化率，并能够将其应用于各种实际情境中。
本节课适用于中学高年级学生，他们已经掌握了基本的数学概念和计算技巧。
教学目标：1. 理解变化率的概念和意义；2. 能够计算和解释变化率；3. 能够应用变化率解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：- 准备一些实际生活中的变化率问题的例子；- 准备展示和解释变化率计算方法的教学资源；- 准备学生练习和巩固所学内容的练习题。
2. 学生准备：- 确保学生已经掌握了基本的数学计算技巧和概念。
教学过程：引入（5分钟）：1. 引入一个实际生活中的变化率问题，例如：小明每分钟能够跑100米，那么他的速度是多少？2. 引导学生思考速度的定义，并与变化率进行联系。
讲解变化率概念（10分钟）：1. 使用图表或图形来解释变化率的概念，例如：绘制小明跑步速度随时间变化的图表。
2. 解释变化率的定义：变化率是指某一量在一定时间内的变化量。
3. 强调变化率的单位和意义。
计算和解释变化率（15分钟）：1. 展示变化率计算的方法，例如：速度的变化率等于距离的变化量除以时间的变化量。
2. 通过几个例子引导学生计算和解释变化率。
应用变化率（15分钟）：1. 提供一些实际生活中的变化率问题，例如：汽车行驶的速度随时间的变化、销售额的增长率等。
2. 引导学生应用所学的变化率概念和计算方法解决这些问题。
3. 鼓励学生思考变化率对于解决实际问题的重要性。
练习和巩固（10分钟）：1. 分发练习题，让学生独立或小组完成。
2. 检查并讲解答案，解决学生可能遇到的问题。
总结（5分钟）：1. 总结本节课所学的内容和重点。
2. 强调变化率在实际问题中的应用价值。
拓展活动：1. 鼓励学生应用变化率的概念和计算方法解决更复杂的变化率问题。
2. 提供更多实际生活中的变化率问题供学生练习。
变化率问题
1．1第一课时 变化率问题一、课前准备 1．课时目标(1) 认识平均变化率，掌握平均变化率的基本概念和基本公式； （2）掌握求函数平均变化率的步骤； （3）理解函数平均变化率的几何意义． 2．基础预探(1)对于函数()x f y =，当自变量x 从1x 变为2x 时，函数值从()1x f 变为()2x f ，则它的平均变化率为 ．(2) 习惯上常常把自变量的变化12x x -称作自变量的增量，记作x ∆，函数值的变化()2x f ()1x f -称做函数值的增量，记为y ∆，所以当x ∆0≠时，函数的平均变化率表示为 ．(3) 函数2x y =在0x x =附近的平均变化率为 ．二、学习引领1． 平均变化率的含义一般地，对于函数在区间[]21,x x 上的变化率()()1212x x x f x f --称为平均变化率，注意到平均变化率是反映曲线陡峭程度的“数量化”． 2．函数平均变化率的理解 ①在式子=∆∆xy()()1212x x x f x f --=()()x x f x x f ∆-∆+11，x ∆、y ∆的值可正、可负，但x ∆的值不能为0， y ∆的值可为0．若函数()x f 为常数函数时，y ∆0=．当1x 取定值，x ∆取不同的数值时，函数的平均变化率不同；当x ∆取定值，1x 取不同的数值时，函数的平均变化率也不一样．②x ∆趋于0，是指自变量的改变量越来越小，但始终不能为0，x ∆、y ∆在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数． 3． 求函数平均变化率的步骤 ①求自变量的增量：12x x x -=∆； ②求函数值的增量：()()12x f x f y -=∆； ③求函数的平均变化率：=∆∆xy()()1212x x x f x f --． 三、典例导析题型一：函数平均变化率例1：已知函数()13+=x x f ，计算它在区间[]9.0,1--上的平均变化率． 思路导析：应用()x f 在区间[]21,x x 上的平均变化率公式． 解：函数()13+=x x f 在区间[]9.0,1--上的平均变化率为()()3)1(9.019.0=------f f ． 规律总结：本题是用斜率来量化直线的倾斜程度，所以已知函数()x f y =，若0x 、1x 是定义域内不同的两点，记01x x x -=∆，01y y y -=∆=()()()()0001x f x x f x f x f -∆+=-，而当0≠∆x 时，商()()xyx x f x x f ∆∆=∆-∆+00，从而称作函数()x f y =在区间[]x x x ∆+00,上的平均变化率． 变式训练1：已知函数()2x x f =，分别计算函数()x f 在区间[]1.1,1，[]01.1,1，[]001.1,1上的平均变化率，通过计算，你能发现平均变化率有什么特点吗？题型二：割线的斜率问题例2：过曲线3()y f x x ==上两点(1,1)P 和(1,1)Q x y +∆+∆作曲线的割线，求当0.1x ∆=时割线的斜率．思路导析：割线PQ 的斜率即为函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率y x∆∆． 解：∵323(1)(1)(1)133()()y f x f x x x x ∆=+∆-=+∆-=∆+∆+∆，∴割线PQ 的斜率为322()3()3()33y x x x x x x x∆∆+∆+∆==∆+∆+∆∆． ∴当0.1x ∆=时，割线PQ 的斜率为k ，则 2(0.1)30.13 3.31yk x∆==+⨯+=∆． 规律总结：一般地，设曲线C 是函数()y f x =的图象，00(,)P x y 是曲线上的定点，点00(,)Q x x y y +∆+∆是C 上与点P 邻近的点，有00()y f x =，00()y y f x x +∆=+∆，00()()y f x x f x ∆=+∆-，割线PQ 的斜率为00()()f x x f x y k x x+∆-∆==∆∆． 变式训练2：国家环保局在规定排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，连续的检测结果如图所示意（其中()t W 1、()t W 2分别表示甲、乙两企业的排污量），试比较两个企业的治污效果．题型三：平均速度问题例3：已知某物体作直线运动．其运动规律方程为：t t S 432+=（单位：路程：m 时间：s ）求：（1）物体前3s 内的平均速率；（2）物体在2s ～3s 内的平均速率． 思路导析：结合定义求平均速率也就是平均变化率．解；（1）13303903)0()3(=-=--=S S v （s m /）（2）191203923)2()3(=-=--=S S v （s m /）． 规律总结：此题当中的平均速率其实就是)(t S （路程）的平均变化率． 变式训练3：自由落体的运动方程为212s gt =，计算t 从3s 到3.1s ，3.01s ，3.001s 各段内的平均速度（位置s 的单位为m ）． 题型四：理解平均变化率的实质例4：求函数3x y =在0x 到x x ∆+0之间的平均变化率，并计算当10=x ，21=∆x 时平均变化率的值． 思路导析：直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再代入数据就可以求得相应的平均变化率．解：当自变量0x 变化到x x ∆+0时，函数的平均变化率为()()()xx x x x x f x x f ∆-∆+=∆-∆+33000()202033x x x x ∆+∆+=，当10=x ，21=∆x 时，平均变化率的值为4192121131322=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯+⨯．规律总结：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的定义，只要求出平均变化率的表达式，它的值就可以很容易算出．变式训练4：若()15+-=x x f ，分别计算函数区间[]1,3--，[]1,1-上的平均变化率． 四、随堂练习1．在区间[]n m ,上，下列函数的平均变化率为定值的是（ ）A ．2x y =B ．3x y =C ．xy 1=D ．x y 2=2． 在曲线22-=x y 的图象上取一点()1,1--及邻近一点()y x ∆+-∆+-1,1，则平均变化率xy∆∆为( ) A ．21-∆+∆x x B ．21-∆-∆xx C ．2-∆x D ．x ∆2 3．在曲线2x y -=上取一点A ，它的横坐标为6-=x ，则曲线在点A 处的横坐标的增量x ∆( ) A ．大于零 B ．等于零 C ．小于零 D ．可以大于零也可以小于零4．函数2x y =，当30=x ，1.0=∆x 时，xy∆∆=________________． 5．已知函数xy 2=，当x 由2变到5.1时，函数的增量=∆y _______________． 6．甲企业用2年时间获利100万元，乙企业投产6个月时间就获利30万元，如何比较和评价甲、乙两企业的生产效益？（设两企业投产前的投资成本都是10万元）五、课后作业1．已知函数23x x y -=在20=x 处的增量为x ∆1.0=，则y ∆的值为（ ）A ．11.0-B ．1.1C ．89.3D ．29.02．在平均变化率的定义中，自变量x 在0x 处的增量x ∆( ) A ．大于零 B ．小于零 C ．等于零 D ．不等于零3．函数()522+=x x f 在[]x ∆+2,2上的平均变化率 ．4．已知一质点的运动方程为238t S -=，求该质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度为 ．5．已知函数1log 2+=x y ，（1）求函数在[]1.2,2上的平均变化率；（2）若自变量从0x 增加到x x ∆+0，则该函数的平均变化率又是多少．6．已知气球的体积为V （单位：L ）与半径r （单位：dm ）之间的函数关系是()343r r V π=，（1）求半径r 关于体积V 的函数()V r ；（2）比较体积V 从L 0增加到L 1和从L 1增加到L 2，半径r 的平均变化率，哪段半径变化比较快（精确到01.0），此结论可说明什么意义？1．1第一课时 变化率问题一、2．基础预探(1)答案：1212)()(x x x f x f --(2)答案：xy∆∆．(3)答案：x x ∆+02解：2020)(x x x y -∆+=∆，所以x x x x x y ∆-∆+=∆∆220)(x x xx x x x x ∆+=∆-∆+∆+=020202022 ．三、典例导析变式练习1． 解：函数()2x x f =在[]1.1,1上的平均变化率为()1.011.111.1)1(1.12-=--f f =1.2；函数()2x x f =在[]01.1,1上的平均变化率为()01.0101.1101.1)1(01.12-=--f f =01.2；函数()2x x f =在[]001.1,1上的平均变化率为()001.01001.11001.1)1(001.12-=--f f =001.2．通过计算发现函数()2x x f =的平均变化率随着()00x x x x -∆+=∆变小而变小，若x ∆变得很小时，则平均变化率与2无限接近．2． 解：分别在()t W 1、()t W 2上取区间[]x x x ∆+00,，则()()xyx x f x x f ∆∆=∆-∆+00，由图象可以知道，单位时间内()t W 1中xy∆∆大（即平均变化率大）． 观察图形，单位时间内，()t W 1中x y ∆∆大，而()t W 2中xy∆∆比较小，所企业甲比企业乙的平均治污率大，从而判定企业甲治污效果更好． 3．解：要求平均速度，就是求st∆∆的值，故求出s ∆，t ∆即可． 设在[]3,3.1内的平均速度为1v ，则1 3.130.1()t s ∆=-=，22111(3.1)(3) 3.130.305()22s s s g g g m ∆=-=⨯-⨯=． ∴1110.305 3.05(/)0.1s g v g m s t ∆===∆； 同理2220.03005 3.005(/)0.01s g v g m s t ∆===∆； 3330.0030005 3.0005(/)0.001s gv g m s t ∆===∆． 4．解：函数()15+-=x x f 在区间[]1,3--上的平均变化率为()()()()3131------f f=()()[]()()[]52135115-=+-⨯--+-⨯-．函数()15+-=x x f []1,1-上的平均变化率为()()()1111----f f =()[]()()[]52115115-=+-⨯--+⨯-． 四、随堂练习1．答案：D ． 解析：x y ∆∆=222=--mn m n 为定值． 2．答案：选C ．()[]22)1(2122-∆=∆----∆+-=∆∆x xx x y ． 3．答案：选D ．()x x ∆=--∆+-66 可能大于零也可能小于零．4．答案：1.6．=∆∆xy 1.61.031.322=-． 5．答案：31-．315.1222-=-=∆y ． 6． 解：甲企业生产效益的平均变化率为124512210100=⨯-，乙企业生产效益的平均变化率为124061030=-． 因为12401245>，则可以确定甲的生产效益好． 五、课后作业1．答案：A ．解：()()11.0223)1.02(1.02322-=-⨯-+-+=∆y ． 2．答案D ．解：可以大于零也可以小于零．3．答案：x ∆+28． 解：()()x x y ∆+=+⨯-∆+⨯=∆2852252222．4．答案：t ∆--36解：质点在[]t ∆+1,1这段时间内的平均速度t S ∆∆=()()t tf t f ∆--=∆-∆+3611．5．解：（1）()()7.01.0207.21212=-=--=∆∆x x x f x f x y ； （2）()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆+=-∆+=-∆+=∆020020202001log log log log x x x xx x x x x f x x f y ， 则xx x x y∆⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=∆∆1021log ． 6．解：（1）∵343r V π=，则π433V r =即343πV r =，则343)(πV V r =．（2）当气球体积V 从L 0增加到L 1，气球半径增加了()()=-=∆01r r r 343π)(62.00dm =-． ∴函数()V r 在区间[]1,0上的平均变化率为()())(62.00101dm r r =--． 当气球体积从L 1增加到L 2，气球半径增加了()()12r r r -=∆)(16.0dm =． ∴函数()V r 在区间[]1,0上的平均变化率为()())(16.01212dm r r =--． 说明随着气球的体积的增加，气球的半径增加得越来越慢．。
高中数学的变化率问题教案
高中数学的变化率问题教案教学目标：1. 理解变化率的定义和概念；2. 掌握求解变化率的方法；3. 能够应用变化率解决实际问题。
教学重点和难点：1. 变化率的概念和定义；2. 求解变化率的方法；3. 将变化率应用于实际问题中。
教学准备：1. 教材：高中数学教材中有关变化率的知识点；2. 教具：黑板、彩色粉笔、教案复印件；3. 知识点整理：准备变化率的定义、求解方法和相关例题。
教学流程：一、引入教师通过一个简单的生活场景引入变化率的概念，让学生了解变化率与日常生活的联系。
二、概念和定义1. 教师讲解变化率的定义和概念，引导学生理解变化率表示的是某一情况随时间、空间或其他变化而发生的程度。
2. 教师让学生通过实例理解变化率的计算方法，如函数的导数表示函数在某一点的变化率。
三、求解变化率的方法1. 教师让学生通过实例计算函数的导数，并解释导数的物理意义；2. 教师讲解变化率计算的一般步骤，如根据已知量列方程、求导、代入数值等。
四、实际问题应用1. 教师让学生通过应用例题，实践变化率的计算方法；2. 教师引导学生分析实际问题，找出关键信息，运用变化率解决问题。
五、课堂练习教师设计一些练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识点。
六、总结教师对本节课所学内容进行总结，强调变化率的重要性和应用。
七、作业布置教师布置相关作业，让学生巩固所学内容。
教学反思：1. 教师要注意引导学生提高数学思维，培养解决问题的能力；2. 教师要根据学生的表现及时调整教学方法，确保教学效果。
（备注：以上教案仅供参考，具体教学过程根据实际情况进行调整和改进）。
变化率问题2教案
变化率问题2教案教案标题：变化率问题2教案教案目标：1. 学生能够理解变化率的概念，并能够应用变化率解决实际问题。
2. 学生能够计算变化率，并能够解释计算结果的含义。
3. 学生能够应用变化率解决与速度、斜率和增长率相关的问题。
教学重点：1. 变化率的概念和计算方法。
2. 变化率在实际问题中的应用。
3. 变化率与速度、斜率和增长率的关系。
教学准备：1. 教学投影仪和电脑。
2. 学生练习纸和铅笔。
3. 实际问题的案例和练习题。
教学过程：引入：1. 使用一个实际问题引入变化率的概念，例如：小明骑自行车从家到学校的路程是10公里，他用了1小时完成。
请问他的平均速度是多少？2. 引导学生思考速度的计算方法，并解释速度就是距离和时间的比值。
讲解：1. 引导学生理解变化率的概念：变化率是指某个量随着另一个量变化的速度。
2. 解释变化率的计算方法：变化率等于两个量的差值除以两个量之间的差值。
3. 给出一个简单的例子，例如：小明从家到学校的距离是10公里，他用了1小时，而小红从家到学校的距离是8公里，她用了40分钟。
请计算小明和小红的平均速度，并比较两者之间的变化率。
实践：1. 分发练习纸和铅笔，让学生在小组内完成一些练习题，例如：计算不同物体的速度和变化率。
2. 鼓励学生在解答问题时运用变化率的概念和计算方法。
拓展：1. 引导学生思考变化率与斜率的关系，并解释斜率就是变化率的几何表示。
2. 给出一个图形问题，例如：一条直线上的两个点A和B的坐标分别是(2, 4)和(6, 10)，请计算直线AB的斜率，并解释结果的含义。
总结：1. 回顾变化率的概念和计算方法。
2. 强调变化率在实际问题中的应用，例如速度、斜率和增长率的计算。
3. 鼓励学生在解决实际问题时灵活运用变化率的概念和计算方法。
扩展活动：1. 让学生选择一个自己感兴趣的实际问题，并运用变化率的概念和计算方法解决。
2. 学生可以在小组内分享自己的解决过程和结果。
变化率问题教案
第 课时 21．3 实际问题与一元二次方程（2）【学习目标】会根据具体问题中的数量关系，利用“变化率”问题建立数学模型解决实际问题。
【评价任务】通过探究新知检测目标的达成。
【教学过程】【情景引入】二中小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是a 分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？【探究新知】探究1两年前生产 1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产 1吨甲种药品的成本是3000元,生产1 吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?分析:甲种药品成本的年平均下降额为：(5000-3000)÷2=1000(元)乙种药品成本的年平均下降额为：(6000-3600)÷2=1200(元)乙种药品成本的年平均下降额较大。
但是,年平均下降额(元)不等同于 年平均下降率。
解:设甲种药品成本的年平均下降率为x, 则一年后甲种药品成本为5000(1-x)元, 两年后甲种药品成本为5000(1-x)²元,由题意得：5000（1-x ）2=3000解得: 答:甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%.算一算:乙种药品成本的年平均下降率是多少?比较:两种药品成本的年平均下降率(22.5%,相同)思考：经过计算,你能得出什么结论?成本下降额较大的药品,它的成本下降率一定也较大吗 ?应怎样全面地比较对象的变化状况?（经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格.）小结：类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在,有一定的模式：若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n 次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n =b(中增长取+,降低取－)【应用拓展】探究2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率． )(775.1,225.021舍去≈≈x x分析：设这种存款方式的年利率为x ，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x ·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x ·80%，其它依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x则：1000+2000x ·80%+（1000+2000x ·8%）x ·80%=1320 整理，得：1280x 2+800x+1600x=320，即8x 2+15x-2=0解得：x 1=-2（不符，舍去），x 2=0.125=12.5%答：所求的年利率是12．5%．【课堂小结】若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n 次后的量是b,则它们的数量关系可表示为其中增长取+,降低取－注意： （1）1与x 的位置不要调换（2）解这类问题列出的方程一般用：直接开平方法【布置作业】1、某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x ，可列出方程为__________．2、某公司计划经过两年把某种商品的生产成本降低19%，那么平均每年需降低百分之几?3、某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同。
高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计
高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计2、理解导数的概念及其几何意义，能够求解导数，并能应用导数解决实际问题。
3、培养学生抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力，提高学生的数学思维能力和创新意识。
基于以上课程标准，本节课的教学目标设计如下：1、理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。
2、理解导数的概念及其几何意义，能够求解导数，并能应用导数解决实际问题。
3、通过具体生活实例，概括出平均变化率的定义，并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。
4、培养学生抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力，提高学生的数学思维能力和创新意识。
四、教学过程设计1、导入环节通过“气球膨胀率”、“高台跳水”等生活实例，引导学生思考变化率的概念，并通过图像、表格等方式，让学生感受变化率的变化趋势。
2、知识讲解1）平均变化率的概念和计算方法，以及平均变化率的几何意义。
2）瞬时变化率的概念和计算方法，以及导数的定义和几何意义。
3）导数的求解方法和应用。
3、案例分析通过一些典型例题，让学生掌握导数的计算方法和应用，培养学生的解决实际问题的能力。
4、练与巩固通过一些练题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
5、拓展与应用通过一些拓展性的问题，让学生进一步理解导数的概念和应用，培养学生的创新思维能力。
6、总结与评价对本节课所学知识进行总结，并对学生的表现进行评价和反馈。
五、教学方法通过引导学生思考、案例分析、练巩固、拓展应用等多种教学方法，培养学生的数学思维能力和创新意识。
六、教学手段通过黑板、投影仪、实物模型等多种教学手段，让学生更加直观地理解所学知识。
本节课的教学目标需要更具体、可操作和可检测性。
通过解读《课程标准》，我们将课堂教学目标确定为：1.理解平均变化率的概念，了解其几何意义；2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率的定义；3.体会数形结合的思想方法。
为了有效地突破教学难点，我们将引用苏教版《变化率问题》中的“气温变化”问题，通过数学角度解释生活中的变化快慢现象，为后面探究“气球膨胀率”、“高台跳水”问题奠定基础，为归纳“平均变化率”的概念提供具体背景。
5.1.1变化率问题(教学设计)(人教A版2019选择性必修第二册)
5.1.1变化率问题教学设计一、课时教学内容1. 通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.2.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．二、课时教学目标1.体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.3.掌握割线与切线的定义，会求其斜率.三、教学重点、难点1、教学重点瞬时速度的概念、割线与切线的定义及斜率求法.2、教学难点割线与切线的斜率.四、教学过程设计环节一创设情境，引入课题为了描述现实世界中的运动、变化现象，在数学中引入了函数．刻画静态现象的数与刻画动态现象的函数都是数学中非常重要的概念．在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑．微积分的创立与处理四类科学问题直接相关．一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等，历史上科学家们对这些问题的兴趣和研究经久不衰，终于在17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨在前人探索与研究的基础上，凭着他们敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分．导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等性质的基本方法，因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具．在本章，我们将通过丰富的实际背景和具体实例，学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数的内涵与思想，感悟极限的思想．通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义．5.1导数的概念及其意义在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数函数”比“直线上升”快得多．进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题．5.1.1变化率问题问题1高台跳水运动员的速度探究:在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 4.811h t t t =-++．如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快．我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v 近似地描述他的运动状态． 例如，在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0)2.35(m /s)0.50h h v -==-；在12t ≤≤这段时间里，(2)(1)9.9(m /s)21h h v -==--一般地，在12t t t ≤≤这段时间里，211221()()4.9() 4.8h t h t v t t t t -==-++-．环节二 观察分析，感知概念 思考:计算运动员在48049t ≤≤这段时间里的平均速度，你发现了什么？ 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 我们发现，运动员在049t ≤≤这段时间里的平均速度为0．显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态．因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态． 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念．我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity ）．探究:瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在1s t =s 时的瞬时速度吗？设运动员在0t 时刻附近某一时间段内的平均速度是v ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么v 将越来越趋近于运动员在0t 时刻的瞬时速度． 用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想．为了求运动员在1t =时的瞬时速度，我们在1t =之后或之前，任意取一个时刻1t +∆，t ∆是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0．当0t ∆>时，1t +∆在1之后，当0t ∆<时，1t +∆在1之前．当0t ∆>时，把运动员在时间段[1,1]t +∆内近似看成做匀速直线运动，计算时间段[1,1]t +∆内的平均速度v ，用平均速度v 近似表示运动员在1t =时的瞬时速度．当0t ∆<时，在时间段[1,1]t +∆内可作类似处理．为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）．表5.1-1当0t ∆<时，在时间段[1,1]t +∆内当0t ∆>时，在时间段[1,1]t +∆内t ∆2(1)(1)1(1)4.9()5 4.95h h t v t t tt t-+∆=-+∆∆+∆==-∆--∆t ∆2(1)(1)(1)14.9()5 4.95h t h v t t tt t+∆-=+∆--∆-∆==-∆-∆－0.01 －4.951 0.01 －5.049 －0.001 －4.9951 0.001 －5.0049 －0.0001 －4.99951 0.0001 －5.00049 －0.00001 －4.999951 0.00001 －5.000049 －0.000001－4.9999951 0.000001－5.0000049……观察:给出t ∆更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度v 的值．当t ∆无限趋近于0时，平均速度v 有什么变化趋势？1时，平均速度v 都无限趋近于5-．事实上，由(1)(1)4.95(1)1h t h v t t +∆-==-∆-+∆-可以发现，当t ∆无限趋近于0时， 4.9t -∆也无限趋近于0，所以v 无限趋近于5-．这与前面得到的结论一致．数学中，我们把5-叫做“当t ∆无限趋近于0时，(1)(1)h t h v t+∆-=∆的极限”，记为0(1)(1)lim5t h t h t ∆→+∆-=-∆．从物理的角度看，当时间间隔t ∆无限趋近于0时，平均速度v 就无限趋近于1t =时的瞬时速度．因此，运动员在1s t =时的瞬时速度(1)5m /s v =-． 思考:（1）求运动员在2s t =时的瞬时速度；（2）如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0t 的瞬时速度？ 解：（1）运动员在2s t =时的瞬时速度2200(2)(2)[ 4.9(2) 4.8()11][ 4.92 4.8211](2)lim lim (2)2t t h t h t t t v t t ∆→∆→+∆--+∆++∆+--⨯+⨯+==+∆-∆lim( 4.914.8)14.8t t ∆→=-∆+=．（2）运动员从起跳到入水过程中在某一时刻0t 的瞬时速度2200000000000()()[ 4.9() 4.8()11][ 4.9 4.811]()lim lim()t t h t t h t t t t t t t v t t t t t∆→∆→+∆--+∆++∆+--++==+∆-∆000lim( 4.99.8 4.8)9.8 4.8t t t t ∆→=-∆-+=-+．1．求问题1中高台跳水运动员在0.5s t =时的瞬时速度．1．【解析】22(0.5)(0.5)[ 4.9(0.5) 4.8(0.5)11]( 4.90.5 4.80.511)h t h t t +∆-=-+∆++∆+--⨯+⨯+24.9()0.1t t =-∆-∆，所以，00(0.5)(0.5)(0.5)limlim(0.1 4.9)0.1(m /s)t t h t h v t t∆→∆→+∆-==--∆=-∆．所以，高台跳水运动员在0.5s t =时的瞬时速度为0.1m /s -． 2．火箭发射s t 后，其高度（单位：m ）为2()0.9h t t =，求： （1）在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度； （2）发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度． 2．【解析】（1）因为22(2)(1)0.920.91 2.7(m /s)21h h v -==⨯-⨯=-，所以在12t ≤≤这段时间里，火箭爬高的平均速度为2.7m /s ；（2）因为222000(10)(10)0.9(10)0.9100.9()18lim lim lim (10)10t t t h t h t t t t t t ∆→∆→∆→+∆-⨯+∆-⨯∆+∆==+∆-∆∆ 0lim(0.11898)t t ∆→=∆+=．所以发射后第10s 时，火箭爬高的瞬时速度18m /s ．3．一个小球从5 m 的高处自由下落，其位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）之间的关系为2() 4.9y t t =-．求1s t =时小球的瞬时速度．3．【解析】由题意知：222000()() 4.9() 4.99.8 4.9()lim lim limt t t y t t y t t t t t t t t t t∆→∆→∆→+∆--+∆+-⋅∆-∆==∆∆∆ 0lim(9.8 4.9)9.8t t t t ∆→=--∆=-，当1s t =时，小球的瞬时速度为s 9.8m /-．环节四 辨析理解，深化概念 问题2抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于一般的曲线C ，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线2()f x x =为例进行研究． 探究：你认为应该如何定义抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线？与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线，我们通常在点0(1,1)P 的附近任取一点2(,)P x x ，考察抛物线2()f x x =的割线0P P 的变化情况．观察：如图5.1-1，当点2(,)P x x 沿着抛物线2()f x x =趋近于点0(1,1)P 时，割线0P P 有什么变化趋势？我们发现，当点P 无限趋近于点0P 时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0P T 称为抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线． 环节五 概念应用，巩固内化探究我们知道，斜率是确定直线的一个要素．如何求抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率0k 呢？从上述切线的定义可见，抛物线2()f x x =在点0(1,1)P 处的切线0P T 的斜率与割线0P P 的斜率有内在联系．记1x x ∆=-①，则点P 的坐标是2(1,(1))x x +∆+∆．于是，割线0P P 的斜率2()(1)(1)121(1)1f x f x k x x x -+∆-===∆+-+∆-．①x ∆可以是正值，也可以是负值，但不为0．我们可以用割线0P P 的斜率k 近似地表示切线0P T 的斜率0k ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔x ∆来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表5.1-2）．表5.1-20x ∆< 0x ∆>x ∆ 2k x =∆+ x ∆ 2k x =∆+ －0.01 1.99 0.01 2.01 －0.001 1.999 0.001 2.001 －0.00011.99990.00012.0001OxyP 0PT2()f x x =－0.00001 1.99999 0.00001 2.00001 －0.0000011.9999990.0000012.000001……观察：利用计算工具计算更多割线0P P 的斜率k 的值，当x ∆无限趋近于0时，割线0P P 的斜率k 有什么变化趋势？近于1时，割线0P P 的斜率k 都无限趋近于2．事实上，由(1)(1)2f x f k x x+∆-==∆+∆可以直接看出，当x ∆无限趋近于0时，2x ∆+无限趋近于2．我们把2叫做“当x ∆无限趋近于0时，(1)(1)f x f k x+∆-=∆的极限”，记为(1)(1)lim2x f x f x∆→+∆-=∆．从几何图形上看，当横坐标间隔x ∆无限变小时，点P 无限趋近于点0P ，于是割线0P P 无限趋近于点0P 处的切线0P T ．这时，割线0P P 的斜率k 无限趋近于点0P 处的切线0P T 的斜率0k ．因此，切线0P T 的斜率02k =．思考：观察问题1中的函数2() 4.9 4.811h t t t =-++的图象（图5.1-2），平均速度(1)(1)(1)1h t h v t +∆-=+∆-的几何意义是什么？瞬时速度(1)v 呢？环节六 归纳总结,反思提升问题:请同学们回顾本节课的学习内容,并回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？2() 4.9 4.811h t t t =-++(1,(1))h (1,(1))t h t +∆+∆图5.1-2(1) 平均速度、瞬时速度的概念及其关系。
高中数学变化率的教案
高中数学变化率的教案
教学目标：
1. 理解变化率的概念，能够计算函数在某一点处的导数。
2. 掌握变化率与导数的关系，能够应用导数解决实际问题。
3. 提高学生的数学分析能力和解决问题的能力。
教学重点：
1. 变化率的概念
2. 导数的计算
3. 导数的应用
教学难点：
1. 理解导数的定义及其应用
2. 解决实际问题时的应用
教学步骤：
一、导入（5分钟）
通过一个简单的例子引出变化率的概念，让学生感受到变化率的重要性和实际应用价值。
二、概念讲解（15分钟）
1. 讲解变化率的定义及其计算方法。
2. 介绍导数的概念及其与变化率的关系。
3. 解释导数的意义和应用。
三、实例演练（20分钟）
1. 让学生通过例题计算函数在某一点处的导数。
2. 给学生几个实际问题，让他们应用导数解决问题。
四、拓展应用（10分钟）
1. 给学生习题提供更多练习机会，巩固导数的计算和应用。
2. 让学生思考如何在实际问题中更好地使用导数解决问题。
五、总结与评价（5分钟）
总结今天的学习内容，强调导数在数学和实际问题中的重要性，并评价学生的学习情况。
六、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对导数的理解和应用能力，以及在解决实际问题中的应用能力。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的概念及其应用有了更深入的理解，提高了数学分析能力和解决问题的能力。
但在实际引导学生解答实际问题时，还需引导学生思考更深入，提高解决问题的能力。
变化率问题教案
变化率问题教案教案: 变化率问题I. 引言A. 引入变化率的概念B. 引出学生在解决变化率问题上的困惑C. 目标：通过本课程，学生将能够熟练解决变化率问题II. 学习目标与能力要求A. 学习目标：了解变化率的定义，掌握计算变化率的方法，能够应用变化率解决实际问题B. 能力要求：具备基本的数学计算能力，理解直线的斜率概念III. 预习活动A. 学生通过阅读教科书或课外资料扩充对变化率的理解B. 学生为预习问题解决方案做准备IV. 暖身活动A. 学生通过解决简单的变化率问题来复习前一个章节的知识B. 学生互相讨论解决方案，分享自己的思考过程V. 教学过程A. 引导学生理解变化率1. 提供一个简单的实例，让学生观察和描述变化率的含义2. 指导学生使用数学表达式定义变化率，讨论其意义3. 练习计算变化率的例子，确保学生掌握计算方法B. 应用变化率解决实际问题1. 提供一些实际生活中的问题，引导学生用变化率解决2. 要求学生在解决问题的过程中陈述他们的思考步骤，以促进深入理解3. 练习更复杂的变化率问题，以加强学生的应用能力C. 深入理解变化率1. 引导学生思考变化率的特性和性质2. 提供一些挑战性问题，让学生通过分析和推理来解决3. 鼓励学生提出自己的问题，并寻找解决方案VI. 巩固练习A. 给学生一些变化率相关的题目作为巩固与拓展B. 学生独立完成练习，然后和同伴交流解决方案C. 教师梳理学生的答案与思路，进行解析与讨论D. 对于有困惑的学生，教师提供额外的辅导与指导VII. 总结与反思A. 教师引导学生总结课程的内容，强调变化率的重要性与应用B. 学生反思自己的学习过程，提出问题和心得C. 教师提供鼓励和指导，激发学生继续深入学习相关知识的兴趣VIII. 作业布置A. 提供一些练习题作为课后作业B. 要求学生总结今天学到的重点知识，书写对变化率的理解和应用IX. 扩展学习A. 推荐学生到外部资源寻找更多变化率相关的问题和实例B. 鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，拓宽数学应用领域X. 复习与检测A. 定期安排复习课堂，检验学生对变化率概念的理解与应用B. 根据学生的学习情况进行个别辅导和指导本教案按照教案格式来介绍了一堂关于变化率问题的课程。
变化率问题教案
人教A 版选修2-2第一章《导数及其应用》第1节 变化率与导数1.1.1 变化率问题冯敏（监利一中） 教学目标 知识目标1.了解微积分在数学发展中的作用，感受数学家的智慧和精神。
2.经历从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特殊到一般的数学思想，体现了数学知识来源于生活，又服务于生活。
3.通过函数平均变化率几何意义的教学，让学生体会数形结合的思想。
4.通过例题的解析，让学生进一步理解函数平均变化率的概念。
能力目标：1.通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；2.通过对实际问题的探究使学生体会类比、从特殊到一般的数学思想。
情感目标： 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
教学重点1.平均变化率的概念的归纳得出；2.理解平均变化率的概念，体会平均变化率的几何意义，会计算函数在某个区间上的平均变化率；3.感受数学模型在刻画客观世界的作用，进一步领会变量数学的思想，提高分析问题、解决问题的能力。
教学难点：平均变化率的理解与转化 教学方法引导学生通过由特殊到一般的思想方法得到平均变化率的概念；引导学生通过积极探究、讨论，逐步理解平均变化率的实际意义和几何意义。
教学基本流程教学过程设计：一．创设情境为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究不断深入，17世纪中叶牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;反之亦可；（2）求曲线的切线;（3）求已知函数的最大值与最小值;（4）求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一。
【设计意图】运用数学史知识,有助于帮助学生弄清数学知识的来龙去脉，使知识网络更加清晰，形成科学系统；运用数学史知识，会让学生大脑处于兴奋状态，提高学习兴趣，对二．新课讲授（1） .问题提出：问题1 气温平均变化率物变化的快慢情况。
5.1.1变化率问题(教学设计)
5.1.1变化率问题本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习变化率问题本节内容通过分析高台跳水问题、曲线上某点处切线斜率的问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念和瞬时变化率的概念，在此基础上，要求学生掌握函数平均变化率和瞬时变化率解法的一般步骤。
平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础。
在这个过程中，注意特殊到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。
课程目标学科素养A.通过求高台跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法.B.通过求曲线处某点处切线斜率的过程，体会求切线斜率的一般方法.C.理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念．1.数学抽象：函数的变化率2.逻辑推理：平均变化率与瞬时变化率的关系3.数学运算：求解瞬时速度与切线斜率4.数学建模：函数的变化率重点：理解瞬时速度和曲线上某点处切线斜率的概念及算法难点：理解函数的平均变化率，瞬时变化率的概念多媒体来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度v̅近似的描述它的运动状态。
例如,在 0 ≤ t ≤0.5这段时间里，v̅=ℎ(0.5)−ℎ(0)0.5−0=2.35(m/s)在 1≤ t ≤2这段时间里，v̅=ℎ(2)−ℎ(1)2−1=−9.9(m/s)一般地，在 t 1≤ t ≤t 2这段时间里，v̅=ℎ(t 2)−ℎ(t 1)t 2−t 1=−4.9(t 1+t 2)+4.8探究1： 计算运动员在0 ≤ t ≤4849这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。
我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
探究2：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1是的瞬时速度吗？1．平均变化率对于函数y ＝f (x )，从x 1到x 2的平均变化率： (1)自变量的改变量：Δx ＝_______. (2)函数值的改变量：Δy ＝_____________． (3)平均变化率ΔyΔx ＝ ＝ .x 2－x 1；f (x 2)－f (x 1)；f x 2－f x 1x 2－x 1；f x 1＋Δx －f x 1Δx2.瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在________的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0ΔyΔx＝ .某一时刻；limΔx→0f x0＋Δx－f x0Δx问题2. 抛物线的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？下面我们以抛物线f(x)=x2为例进行研究.探究3. 你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？与研究瞬时速度类似为了研究抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线，我们通常在点P0(1,1)的附近取一点P(x,x2)，考察抛物线f(x)=x2的割线P0P的变化情况。
高中数学变化率问题教案
高中数学变化率问题教案一、教学内容本节课主要介绍数学中的变化率问题，包括函数的导数和微分的概念，以及如何利用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。
二、教学目标1. 了解导数和微分的定义和性质；2. 掌握求函数导数和微分的方法；3. 能够应用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。
三、教学重点1. 函数导数和微分的计算方法；2. 如何应用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。
四、教学难点1. 理解函数的导数和微分的物理意义；2. 能够灵活运用导数和微分解决实际问题中的变化率问题。
五、教学过程1. 导入：通过一个生活中的例子引入变化率的概念，让学生了解变化率的重要性；2. 讲解：介绍函数的导数和微分的定义和性质，以及其计算方法；3. 练习：给学生几个简单的函数求导数和微分的练习题，让他们掌握计算方法；4. 拓展：介绍如何应用导数和微分解决实际问题中的变化率问题，例如速度、加速度等；5. 实践：让学生做一些实际问题的应用练习，培养他们解决实际问题的能力；6. 总结：通过总结本节课的内容，让学生对函数的导数和微分有一个清晰的认识。
六、教学资源1. 课件：包括导数和微分的定义、性质和计算方法；2. 教材：提供相关的例题和练习题；3. 实例：准备一些生活中的例子，引发学生思考。
七、教学评估1. 课堂练习：通过课堂上的练习题检测学生对导数和微分的掌握情况；2. 作业：布置相关的作业，考察学生对实际问题的应用能力；3. 讨论：组织学生进行小组讨论，检查其解题思路和方法。
八、课后作业1. 完成教师布置的练习题；2. 尝试解决一些实际问题，应用导数和微分计算变化率。
注：以上内容仅为参考，具体教学过程和内容可根据实际情况进行调整。
高中数学《变化率问题》公开课优秀教学设计
《变化率问题》教学设计教材版本：普通高中数学教材人教A版《选修2-2》“1.1.1变化率问题”，一、教学内容分析导数是微积分的核心概念之一，是研究函数增减、变化快慢、最值问题的最一般、最有效的工具。
教材按照“平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义”的顺序安排，采用“逼近”的方法，从数形结合的角度定义导数，使导数概念的建立形象、直观而又容易理解，突出了导数概念的本质。
平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。
从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。
在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。
基于上述分析，我将本节课的教学重点确定为：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。
二、学生情况分析（一）、学生已有的认知基础1、学生具备了一定的函数知识，可以通过表格、图像、关系式三种不同的函数表现形式，求解函数在某一区间内“因变量的增量与自变量的增量的比值。
并能从图像中看出函数变化的快与慢。
2、学生已在物理中学习了平均速度、瞬时速度、加速度等概念，比较容易理解可以用“平均速度”刻画物体在一段时间内的速度。
（二）可能存在的认知困难1、“吹气球”与“高台跳水”是学生非常熟悉的生活实例，如何从具体实例中抽象出共同的数学本质，能够用“平均变化率”对生活中的变化快慢现象进行合理的数学解释是本节课教学的关键，也是难点所在。
2、利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学数学语言表达问题的能力。
对高中生而言，抽象概括能力和应用数学语言的能力还有待进一步的提高。
变化率问题教案
3.1.1 变化率问题一、教学目标重点: 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；函数平均变化率的概念.难点：如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢？”函数平均变化率的概念理解.知识点：平均变化率的概念及其求法.能力点：使学生在研究过程中熟悉数学研究的途径：背景——数学表示——应用，培养学生独立思考，解决问题的能力和在生活中建立数学模型，用数学理论解释生活问题、应用数学的能力.教育点：使学生通过学习，了解简单的情景蕴涵建立模型解决问题的一般思想方法，鼓励学生主动探究、不惧困难，勇于挑战自我的思想品质。
并养成学生探究—总结型的学习习惯.自主探究点：平均速度和瞬时速度的区别和联系.考试点：平均变化率的概念及其求法.易错易混点：函数值的增量的理解和计算.拓展点：瞬时速度和瞬时变化率．二、复习引入创设情境：我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?【设计意图】通过熟悉的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念提供具体背景.设计说明：老师准备两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？【设计意图】让学生吹气球，可以增加课堂气氛，同时加深学习导数的印象．对一种生活现象的数学解析，可以激发学生深入探究的兴趣，而且让学生感到数学是有用的.三、探究新知学生演示吹气球过程，谈感受，老师点评．得出结论：随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．探究一：“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢”，从数学的角度该如何描述？【设计意图】使学生感受到数学知识的产生发展是自然的，并非强加于人的，从而激发他们学习的兴趣与愿望.说明：(1)组织学生讨论问题，阐述想法；(2)引导学生“以已知探求未知”，从气球体积出发，寻求想法；(3)师生共同确定想法：①气球体积V与气球半径r之间的关系()r V=当气球体积增加量相同时，相应半径的增加量越来越小＂，从数学角度进行描述就是，“随着气球体积的增大，比值半径的增加量体积的增加量越来越小”．③比值半径的增加量体积的增加量就是气球的平均膨胀率．提出问题：请分别计算Ｖ从０增加到１Ｌ时，从１Ｌ增加到２Ｌ的平均膨胀率.【设计意图】（1）让学生体会需要用数字来说明问题；学生计算，交流计算结果，并讨论结果代表的意思； （2）让学生感受气球膨胀率大小的变化，从而体会平均膨胀率可以刻划气球半径变化的快慢． 分析: ()r V =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm - 气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10r r dm L -»-⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm - 气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21r r dm L -»-可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()r V r V V V --【设计意图】把问题1中的具体数据运算提升到一般的字母表示，体现从特殊到一般的数学思想，为归纳函数平均变化率概念作铺垫． 探究二：高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态？【设计意图】高台跳水展示了生活中最常见的一种变化率——运动速度，而运动速度是学生非常熟悉的物理知识，这样可以减少因为背景的复杂而可能引起的对数学知识学习的干扰．通过计算为归纳函数平均变化率概念提供又一重要背景．说明：教师播放郭晶晶、吴敏霞在2008年北京奥运会上跳水比赛录像，让学生在情景中感受速度变化． 思考计算：如何计算运动员的平均速度？并分别计算00.5t ＃和12t ＃时间段里的平均速度. 在00.5t ＃这段时间里，(0.5)(0)4.05(/)0.50h h v m s -==-；在12t＃这段时间里，(2)(1)8.2(/)21h h v m s -==--． 【设计意图】再次通过计算，理解平均变化率. 探究：计算运动员在65049t＃这段时间里的平均速度，并思考以下问题： ⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，结合图形可知，65()(0)49h h =， 所以65()(0)490(/)65049h h v s m -==-， 虽然运动员在65049t ＃这段时间里的平均速度为)/(0m s，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．设计意图：这里的“探究”会让学生感受到进一步探究、学习的必要性，为从平均变化率到瞬时变化率（即导数）做好准备，为建立导数概念营造了一个良好的问题情境.让学生就此探究进行思考、展开讨论，激发他们的认知需求，自然地进入导数概念的学习. 设计说明：（1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；定义：平均变化率概念:上述问题中的变化率可用式子2121()()f x f x x x --表示, 称为函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率设计意图：让学生在经历从实例到抽象概括出变化率的过程中，感受数学的思想，认识数学的本质，主动参与数学教学活动的基本理念.若设21x x x ∆=-, 21()()y f x f x ∆=- (这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x +x ∆代替2x ,同样21()()y f x f x ∆=-)，则平均变化率为y x ∆=∆211121()()()()f x f x f x x f x x x x-+∆-=-∆ 四、理解新知说明：（1）x ∆是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；式子中x ∆、y ∆的值可正、可负，但x ∆不能为0，y ∆的值可以为0.因此，平均变化率可正可负，也可为零． （2）x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x +x ∆代替2x ；（3）2111()()()()y f x f x f x x f x ∆=-=+∆-表示函数值的“增量”。
教学设计5：1.1.1变化率问题
说教学设计《平均变化率》大家好，我说课的题目是《平均变化率》，我将从教材、目标、教法、教学过程和评价反馈分析五个方面进行陈述。
一、教材分析《导数及其应用》在整个高中教材中的地位和作用是非常重要的，它既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。
新课标对“导数及其应用”内容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关知识，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特殊的极限、一种“规则”来学习的处理方式。
而是按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，用“逼近”的方法，分别从代数上的减小区间长度,使区间长度逼近于一个点和几何上的减小割线两点间的距离,使割线逐渐逼近于切线,这两个数形结合的角度定义导数.这种概念建立的方式形象、直观、生动又容易理解，最重要的是能够突出了导数概念的本质。
而我今天说课的内容《平均变化率》又是《导数及其应用》的第一课时，对下一步瞬时变化率和导数概念的形成起到重要的奠基作用。
二、目标分析在讲课的过程中，我们要让学生有一个经历、体会、运用、感受的过程。
于是，我将本堂课的教学目标定为：（1）知识与技能目标要求学生能通过大量实例直观感知、构建平均变化率的概念，并初步运用和加深理解平均变化率的实际意义和数学意义.为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。
（2）过程与方法目标通过丰富的实例，让学生经历平均变化率概念的形成过程，体会平均变化率是刻画变量变化快慢程度的一种数学模型；（3）情感、态度、价值观感受数学模型在刻画客观世界中的作用，进一步领会变量数学的思想方法，提高能力。
根据课标要求，结合实际情况，我确定平均变化率的概念及其形成过程为教学重点，通过实例理解平均变化率的实际意义和数学意义是本节课的难点。
三、教法分析启发式教学与探究式学习相结合。
通过生活中的实例，引导学生分析和归纳，让学生在已有认知结构的基础上建构新知识，从而达到概念的自然形成，进而从数学的外部到数学的内部，启发学生运用概念探究新问题。
3.1.1变化率问题,教案
3.1.1变化率问题,教案篇一：3.1.1变化率问题教案3.1变化率与导数3.1.1变化率问题一、【创设情境】为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关:1、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;2、求曲线的切线;3、求已知函数的最大值与最小值;4、求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的工具.导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.二、新课讲授(一)问题提出问题1气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是V(r)?如果将半径r表示为体积V的函数,那么r(V)?3分析:r(V)?43?r33V4?3V4?(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1)?r(0)?0.62(dm)r(1)?r(0)气球的平均膨胀率为?0.62(dm/L)1?0(2)当V从1增加到2时,气球半径增加了r(2)?r(1)?0.16(dm)r(2)?r(1)气球的平均膨胀率为?0.16(dm/L)2?1可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了.思考:当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?问题2高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间r(V2)?r(V1)V2?V1t(单位:s)存在函数关系h(t)??4.9t2?6.5t?10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗略地描述其运动状态?思考计算:0?t?0.5和1?t?2的平均速度v在0?t?0.5这段时间里,v?h(0.5)?h(0)?4.05(m/s)0.5?0在1?t?2这段时间里,v?探究:计算运动员在0?t?h(2)?h(1)??8.2(m/s)2?165这段时间里的平均速度,并思考以下问题:49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程:如图是函数h(t)??4.9t2?6.5t?10的图像,结合图形可知,h(65)?h(0),所以v?49h(65)?h(0)49?0(s/m)65?049虽然运动员在0?t?65这段时间里的平均速度为0(s/m),49但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.(二)平均变化率概念1.上述问题中的变化率可用式子f(x2)?f(x1)表示,x2?x1称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.2.若设?x?x2?x1,?f?f(x2)?f(x1)(这里?x看作是对于x1的一个“增量”可用x1??x代替x2,同样?f??y?f(x2)?f(x1))则平均变化率为f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f???x2?x1?x?x?x?ff(x2)?f(x1)表示什么???xx2?x1思考:观察函数f(x)的图象平均变化率三、典例分析例1已知函数f(x)??x?x的图象上的一点a(?1,?2)及2?y?.?x解:?2??y??(?1??x)2?(?1??x)临近一点B(?1??x,?2??y)则?y?(?1??x)2?(?1??x)?2??3??x∴?x?x例2求y?x2在x?x0附近的平均变化率.解:?y?(x0??x)?x02222x0?2x0?x??x2?x0?y(x0??x)2?x0所以???2x0??x?x?x?x所以y?x2在x?x0附近的平均变化率为2x0??x2课堂练习1.质点运动规律为s?t?3,则在时间(3,3??t)中相应的平均速度为.2.物体按照s(t)?3t?t?4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.3.过曲线y?f(x)?x上两点P(1,1)和Q(1??x,1??y)作曲线的割线,求出当?x?0.1时割线的斜率.四、【课堂小结】1.平均变化率的概念.2.函数在某点处附近的平均变化率.322篇二：3.1.1变化率问题(学、教案)变化率问题课前预习学案一、预习目标了解平均变化率的定义。
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三：新课引入一、导入新课：
为了描绘现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数
学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微
积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
理解微积分的
背景
多媒体展示四
类问题，激发
学生的好奇心
四：新课讲授（一）新知识导学引例
生活中变化快慢的量
（1）两分公司半年销售额折线图
（2）冷水、温水、热水分别置于空气中的温度变化
观看引例中的
这些图，自由发
表自己的看法
多媒体展示
引导学生观察
变化量
（二）：新知识讲解与分析（一）问题提出
实例一：气温变化温度
气温变化的快慢不同
问题1：怎样用数学语言描绘气温变化率呢？
实例二：气球膨胀率
气球的体积V(单位：L)与半径r(单位：dm)之间的函数
关系是
假设将半径r表示为体积V的函数，那么
3
3
()
4
V
r V
π
=
问题2：当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率
是多少？
思考：当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是
多少?
实例三：高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：
m)与起跳后的时间t（单位：s）存有函数关系h(t)= -4.
9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v度粗
观看四个实例，
相互交流讨论，
思考PPT展示的
问题。
交流讨论之后
自己动手操作，
计算并化简思
考题的问题。
展示实例，首
先让学生观
看，然后引导
学生总结，最
后提问并点评
学生的回答。
要充分的调动
学生的积极
性，让更多的
学生参与到课
堂当中。
3
4
()
3
V r r
π
=
略地描绘其运动状态?
思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v 实例四：山坡的陡峭水准 问题3：爬山时的感觉：山坡平缓时，步履轻盈；山坡陡峭时，气喘吁吁.如何用数学反映山坡陡峭呢？
假定山路是 平直的.
（二）平均变化率概念：
平均变化率为 =
∆∆=∆∆x f x y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212
通过实例，尝试
的总结平均变
化率的概念，举
手回答。
通过思考，尝试着完成例题。
进一步的分析实例，引导学生总结平均变化率的问题，并点评学生的回答，最后展示并板书平均变化率的概念。
展例如题，引导学生分析例题，最后和学生一起完成。
（三）： 新知识思维的提升与规律总结
随堂练习独立完成练习巡查，个别指导
课堂小结
课后作业
物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率.
板书设计
§3.1.1变化率问题
实例一：气温变化问题平均变化率的概念总结实例二：气球膨胀率例题作业实例三：高台跳水
实例四：山坡的陡峭水准练习
教学反思作业批阅。