§9.2 平面简谐波方程

解：这是一列向x轴负向传播的波,将波方程变成
y Acos2 ( t x)
0.5
与标准形式比较得
1m
1 2Hz
T
u 2m/s
例二
求：(2)写出t=4.2s时刻各例波1峰位置的坐标表达式，并
求出此时离坐标原点最近的那个波峰的位置；
解 波动方程为 y Acos (4t 2x)
波峰位置即y=A处 由cos (4t 2x) 1
ku, , k 表示
y Acos k(ut x)
ku, k, u 表示
习题类型
1）已知波动方程，求波长、频率、波速。
2）已知某点振动状态，求波函数、某点 的振动方程。
3）由图形求波函数。
例1 已知一平面简谐波例的1 方程为
y Acos (4t 2x) (SI)
求：(1)求该波的波长，频率和波速u的值；
§9.2 平面简谐波方程
简谐波 由简谐振动的传播所形成的波动。 ➢ 简谐波又称余弦波或正弦波; ➢ 规律最简单、最基本的波。 ➢ 各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的 简谐波的叠加。 ➢ 平面简谐波：波面是平面的简谐波。
一、平面简谐波方程的建立
一列平面简谐波 （假定是横波）
观测坐标原点任设 （不必设在波源处）
0.04 cos(0.4 t 3 )
2
例4
已知：一平面简谐波沿轴正向传播，其振幅为A，
频率为 ，波速为u，设 时t′刻的波形曲线如图。
求：（1）原点处质点振动方程
y/m
u
A
o
-A
t
x/m
解 （1）设o点振动方程例4
由图：在 t=t´时刻，o点位移为零，振动速度小于
零，所以在t=t´时刻o点的相位等于/2
xb 2
b点的振动表达式
yb
A c os (t
2
2
)
A c ost
例3
如图所示为一平面简谐波t=0时刻的波形，求：
（1）该波的波动方程；
ym
u 0.08m s1
（2）P点处质点的振动方程。
p
O
0.20
xm
解（1）对原点O 处的质点 0.04
t 0时 y0 Acos0 0
v0 A sin0 0
x u
)
0
]
波动方程:
2 y t 2
u2
2 y x 2
的运动情况（行波）.
y
u
t1 时刻
t1 t 时刻
O
x
u/T v/k
x
(k 2 / )
三、平面简谐波方程的多种表示形式
y Acos[ (t
x u
)
0
]
, u 表示
y Acos[2 v(t y Acos[2 ( t
T
x u
)
0
]
x
)
0
]
v, u 表示
T , 表示
y Acos( t kx)
波沿 X 轴正向传播 （正向行波）
原点 O 处质点的振动方程为 y0 Acos(t 0 )
波线上任一点、任意时刻的振动规律为
y
A cos[ (t
x u
)
0 ]
（平面简谐波动方程）
讨论
1、若波沿x轴负向传播,则平面简谐波方程为
y
A cos[ (t
x u
)
0
]
2、若波沿x 轴正向传播,但已知某确定点P(x0)的
t 0
2
0
2
t
y/m
u
A
A
o百度文库
x/m
O
y
-A
x=0处振动方程为 例4
y Acos[2 (t t) ]
2
（2）该波的波动方程
y
A cos[2
(t
t
x
u)
2
]
四、波动方程
y
A cos[ ( t
x) u
0 ]
2 y t 2
A
2
cos[ ( t
x) u
0
]
2 y x 2
2
A u2
cos[ ( t
0
2
O 点的振动方程：y Acos(t ) Acos( 2 t )
2
T2
例3
又有：
T 0.40 s 5s
u 0.08
波方程
y 0.04cos[2 ( t x ) ]
5 0.4 2
（2）P 处质点的振动方程为
y 0.04 cos[2 ( t 0.2 ) ]
5 0.4 2
振动方程为: yP Acos(t 0 )
则平面简谐波方程为:
y
A cos[ (t
x
x0 u
)
0 ]
二、平面简谐波方程的物理意义
y
A cos[ (t
x u
)
0 ]
1.如果 x = x0
y
波函数变为
t T
y(x0
,t)
Acos[(t
x0 u
)
0 ]
表示x0点的简谐振动规律（独舞）。
y(x0,t) y(x0,t T ) （波具有时间的周期性）
二、平面简谐波方程的物理意义
y
A cos[ (t
x u
)
0 ]
2. 如果 t=t0
y(x
,t0 )
A cos[ (t0
x u
)
0
]
y
表示时刻t0波线上
各个质点位移情况，即
x
λ
表示某一瞬时的波形（集体定格）。
（波具有空间的周期性）
二、平面简谐波方程的物理意义
3 若 x,均t 变化，波函数表示波形沿传播方向
得 (4t 2x) 2k (k 0,1,2)
x k 2t
当t 4.2s时， x (k 8.4)m
此时离坐标原点最近的那个波峰的位置在 x=-0.4m处。
求：(3) t=4.2s时坐标原例点与1 离坐标原点最近的那个
波峰的相位差。
解：相位差为 2 x 2 0.4 2
1
5
u
y
t=4.2s
O
x
例2 若一平面简谐波在均例匀2 介质中以速度u传播，
已知a点的振动表达式为 y A(t 。 2)
(1)试写出如图所示的坐标系中的波动方程。
解：(1)波向x轴正向传播，
xa 4
波动方程为
y Acos[(t x xa ) ]
u2 Acos(t 2 x )
例2
（2）b点的振动表达式.